高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：§4 4- 數(shù)學(xué)歸納法(人教A版)

§4.4*數(shù)學(xué)歸納法第四章數(shù)列1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，生活中大家是否有過這種經(jīng)歷，比如說，你在家里做錯(cuò)了一點(diǎn)事情，你的父母就會(huì)感覺你做什么都是錯(cuò)的；比如說，你知道有一個(gè)人欺騙了你，你就會(huì)感覺所有的人都在欺騙你；比如說，當(dāng)你做題時(shí)，第一個(gè)題不會(huì)，你就會(huì)認(rèn)為所有的題目都不會(huì)了，其實(shí)這些都用了不完全歸納的方法，其結(jié)論不一定成立，而這些也往往給予特定的目標(biāo)一些心理暗示，容易對一些目標(biāo)造成心理傷害，我們今天就一起解決這些特定目標(biāo)的心理障礙吧.導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練一、數(shù)學(xué)歸納法的理解二、增加的項(xiàng)的個(gè)數(shù)問題三、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式內(nèi)容索引一、數(shù)學(xué)歸納法的理解問題1

如果你從袋子里拿出5個(gè)小球，發(fā)現(xiàn)全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？提示不能.通過考察部分對象，得到一般的結(jié)論的方法，叫不完全歸納法.不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確.例如，在我們數(shù)學(xué)上有費(fèi)馬猜想、哥德巴赫猜想等，他們所用的就是不完全歸納法，至于最終的結(jié)論能否成立，只能留給你們了.問題2

在多米諾骨牌游戲中，如何保證所有的骨牌全部倒下？提示要保證任意相鄰兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊倒下，這樣的話，只需要第一塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致后面所有的骨牌都能倒下.像這樣以一種不同的方式來證明任意一個(gè)給定的情形都是正確的推理方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.它是一種完全歸納的方法，雖有“歸納”這兩個(gè)字，但其結(jié)論是正確的.知識(shí)梳理一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)

時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)以“當(dāng)

(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)

時(shí)命題也成立”.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從

開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.注意點(diǎn)：初始值n0選擇不一定是1，要結(jié)合題意恰當(dāng)?shù)倪x擇.n＝kn＝k＋1n0n＝n0(n0∈N*)例1

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時(shí)，初始值n0應(yīng)等于_____.6解析由題意，得當(dāng)n＝1時(shí)，21<(1＋1)2；當(dāng)n＝2時(shí)，22<(2＋1)2；當(dāng)n＝3時(shí)，23<(3＋1)2；當(dāng)n＝4時(shí)，24<(4＋1)2；當(dāng)n＝5時(shí)，25<(5＋1)2；當(dāng)n＝6時(shí)，26>(6＋1)2，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時(shí)，初始值n0應(yīng)等于6.例1

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時(shí)，初始值n0應(yīng)等于_____.6解析由題意，得當(dāng)n＝1時(shí)，21<(1＋1)2；當(dāng)n＝2時(shí)，22<(2＋1)2；當(dāng)n＝3時(shí)，23<(3＋1)2；當(dāng)n＝4時(shí)，24<(4＋1)2；當(dāng)n＝5時(shí)，25<(5＋1)2；當(dāng)n＝6時(shí)，26>(6＋1)2，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時(shí)，初始值n0應(yīng)等于6.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝

＝2k＋1－1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.由此可知對于任何n∈N*，等式都成立.上述證明，錯(cuò)誤是______________.未用歸納假設(shè)解析本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.反思感悟數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，要正確分析式子中項(xiàng)數(shù)的變化，弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律.(3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1時(shí)，一定要利用歸納假設(shè).跟蹤訓(xùn)練1

對于不等式

＜n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，

＜1＋1，不等式成立.∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法A.過程全部正確 B.n＝1驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確 D.從n＝k到n＝k＋1的推理不正確√解析在n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.二、增加的項(xiàng)的個(gè)數(shù)問題二、增加的項(xiàng)的個(gè)數(shù)問題解析將n＝1代入a2n＋1得a3，故選C.√反思感悟弄清楚等式或不等式兩側(cè)的項(xiàng)的變化規(guī)律，才能清楚增加了哪些項(xiàng)或增加了多少項(xiàng)以及減少了哪些項(xiàng).√三、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，命題成立，即那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，上式表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立.由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)均成立.反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：(1)n＝n0時(shí)，等式的結(jié)構(gòu).(2)n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時(shí)的代數(shù)式比n＝k時(shí)的代數(shù)式增加(或減少)的項(xiàng).這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：①代數(shù)式從哪一項(xiàng)(哪一個(gè)數(shù))開始，即第一項(xiàng).②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.③代數(shù)式中最后一項(xiàng)(最后一個(gè)數(shù))與n的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練3

求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.綜上所述，等式對任何n∈N*都成立.1.知識(shí)清單：(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念.(2)增加或減少項(xiàng)的個(gè)數(shù)問題.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式.2.方法歸納：數(shù)學(xué)歸納法.3.常見誤區(qū)：一是對n0取值的問題易出錯(cuò)；二是增加或減少的項(xiàng)數(shù)易出錯(cuò).課堂小結(jié)隨堂演練12341.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝

(n∈N*)，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是A.1 B.1＋2C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4解析當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋3＋4.√1234√123412343.某個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題：如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知n＝5時(shí)命題不成立，那么可以推得A.當(dāng)n＝4時(shí)命題不成立

B.當(dāng)n＝6時(shí)命題不成立C.當(dāng)n＝4時(shí)命題成立

D.當(dāng)n＝6時(shí)命題成立√解析因?yàn)楫?dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，所以假設(shè)當(dāng)n＝4時(shí)命題成立，那么n＝5時(shí)命題也成立，這與已知矛盾，所以當(dāng)n＝4時(shí)命題不成立.12344.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當(dāng)n＝k時(shí)，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，表達(dá)式為____________________________________________________.1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2解析當(dāng)n＝k＋1時(shí)，表達(dá)式左側(cè)為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，表達(dá)式右側(cè)為(k＋1)(k＋2)2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.課時(shí)對點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為

n(n－3)條時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形，故選C.12345678910111213141516√解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，所以當(dāng)n＝k時(shí)，下一個(gè)偶數(shù)為k＋2.123456789101112131415163.若命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時(shí)成立，則有n＝k＋1時(shí)命題也成立.現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N*)成立，則有A.命題對所有正整數(shù)都成立B.命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C.命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)

都成立D.以上說法都不正確√12345678910111213141516解析由已知得n＝n0(n0∈N*)時(shí)命題成立，則有n＝n0＋1時(shí)命題成立.在n＝n0＋1時(shí)命題成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1時(shí)命題也成立，依此類推，可知選C.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析當(dāng)n＝k時(shí)，等式的左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式的左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋1＋k)(k＋k＋2)，12345678910111213141516√123456789101112131415166.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的過程中，第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2√解析由數(shù)學(xué)歸納法知第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2.12345678910111213141516解析注意末項(xiàng)與首項(xiàng)，123456789101112131415168.證明：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.因此對于任意n∈N*等式都成立.以上用數(shù)學(xué)歸納法證明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的過程中的錯(cuò)誤為_________________.缺少步驟歸納奠基1234567891011121314151612345678910111213141516(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任意n∈N*都成立.1234567891011121314151610.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立.12345678910111213141516綜合運(yùn)用√12345678910111213141516解析因?yàn)楫?dāng)n＝k時(shí)，等號的左端為1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等號的左端為1＋2＋3＋…＋(k＋1)2，所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2，故選D.1234567891011121314151612.(多選)已知一個(gè)命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1,2，…，1000時(shí)，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是A.p(k)對k＝528成立B.p(k)對每一個(gè)自然數(shù)k都成立C.p(k)對每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D.p(k)對某些偶數(shù)可能不成立√√解析由題意知p(k)對k＝2,4,6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立，故選AD.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析f(n)中共有n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2項(xiàng)，1234567891011121314151614.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋_____.π解析由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形圖形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.拓廣探究1234567891011121314151615.用數(shù)學(xué)歸納法證明“已知n為正奇數(shù)，求證：xn＋yn能被x＋y整除”時(shí)，第二步假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)命題為真后，需證n＝______時(shí)命題也為真.k＋2解析因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以n＝k＋2時(shí)命題也為真.1234567891011121314151616.試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.12345678910111213141516解當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4>n2＝1，當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6>n2＝4，當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10>n2＝9，當(dāng)n＝4時(shí)，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，12345678910111213141516所以左邊>右邊，所以原不等式成立.當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，所以左邊>右邊；當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊>右邊.(2)假設(shè)n＝k時(shí)(k≥3且k∈N*)時(shí)，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1時(shí)，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－312345678910111213141516＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2