高中數(shù)學選擇性必修二課件：§4 4- 數(shù)學歸納法(人教A版)

§4.4*數(shù)學歸納法第四章數(shù)列1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題.學習目標同學們，生活中大家是否有過這種經(jīng)歷，比如說，你在家里做錯了一點事情，你的父母就會感覺你做什么都是錯的；比如說，你知道有一個人欺騙了你，你就會感覺所有的人都在欺騙你；比如說，當你做題時，第一個題不會，你就會認為所有的題目都不會了，其實這些都用了不完全歸納的方法，其結(jié)論不一定成立，而這些也往往給予特定的目標一些心理暗示，容易對一些目標造成心理傷害，我們今天就一起解決這些特定目標的心理障礙吧.導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、數(shù)學歸納法的理解二、增加的項的個數(shù)問題三、用數(shù)學歸納法證明等式內(nèi)容索引一、數(shù)學歸納法的理解問題1

如果你從袋子里拿出5個小球，發(fā)現(xiàn)全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？提示不能.通過考察部分對象，得到一般的結(jié)論的方法，叫不完全歸納法.不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確.例如，在我們數(shù)學上有費馬猜想、哥德巴赫猜想等，他們所用的就是不完全歸納法，至于最終的結(jié)論能否成立，只能留給你們了.問題2

在多米諾骨牌游戲中，如何保證所有的骨牌全部倒下？提示要保證任意相鄰兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊倒下，這樣的話，只需要第一塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致后面所有的骨牌都能倒下.像這樣以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的推理方法叫做數(shù)學歸納法.它是一種完全歸納的方法，雖有“歸納”這兩個字，但其結(jié)論是正確的.知識梳理一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當

時命題成立；(2)(歸納遞推)以“當

(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當

時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從

開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法.注意點：初始值n0選擇不一定是1，要結(jié)合題意恰當?shù)倪x擇.n＝kn＝k＋1n0n＝n0(n0∈N*)例1

(1)用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應(yīng)等于_____.6解析由題意，得當n＝1時，21<(1＋1)2；當n＝2時，22<(2＋1)2；當n＝3時，23<(3＋1)2；當n＝4時，24<(4＋1)2；當n＝5時，25<(5＋1)2；當n＝6時，26>(6＋1)2，所以用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應(yīng)等于6.例1

(1)用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應(yīng)等于_____.6解析由題意，得當n＝1時，21<(1＋1)2；當n＝2時，22<(2＋1)2；當n＝3時，23<(3＋1)2；當n＝4時，24<(4＋1)2；當n＝5時，25<(5＋1)2；當n＝6時，26>(6＋1)2，所以用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應(yīng)等于6.(2)用數(shù)學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立.②假設(shè)當n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝

＝2k＋1－1，所以當n＝k＋1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*，等式都成立.上述證明，錯誤是______________.未用歸納假設(shè)解析本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學歸納法的要求不符.反思感悟數(shù)學歸納法的三個關(guān)鍵點(1)驗證是基礎(chǔ)：找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵：數(shù)學歸納法的實質(zhì)在于遞推，要正確分析式子中項數(shù)的變化，弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律.(3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1時，一定要利用歸納假設(shè).跟蹤訓(xùn)練1

對于不等式

＜n＋1(n∈N*)，某同學用數(shù)學歸納法的證明過程如下：(1)當n＝1時，

＜1＋1，不等式成立.∴當n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法A.過程全部正確 B.n＝1驗證不正確C.歸納假設(shè)不正確 D.從n＝k到n＝k＋1的推理不正確√解析在n＝k＋1時，沒有應(yīng)用n＝k時的歸納假設(shè)，不是數(shù)學歸納法.二、增加的項的個數(shù)問題二、增加的項的個數(shù)問題解析將n＝1代入a2n＋1得a3，故選C.√反思感悟弄清楚等式或不等式兩側(cè)的項的變化規(guī)律，才能清楚增加了哪些項或增加了多少項以及減少了哪些項.√三、用數(shù)學歸納法證明等式(2)假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時，命題成立，即那么當n＝k＋1時，上式表明當n＝k＋1時，命題也成立.由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)均成立.反思感悟用數(shù)學歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結(jié)構(gòu)，即：(1)n＝n0時，等式的結(jié)構(gòu).(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時的代數(shù)式比n＝k時的代數(shù)式增加(或減少)的項.這時一定要弄清三點：①代數(shù)式從哪一項(哪一個數(shù))開始，即第一項.②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律.③代數(shù)式中最后一項(最后一個數(shù))與n的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練3

求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).證明(1)當n＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立.(2)假設(shè)當n＝k時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以當n＝k＋1時，等式也成立.綜上所述，等式對任何n∈N*都成立.1.知識清單：(1)數(shù)學歸納法的概念.(2)增加或減少項的個數(shù)問題.(3)用數(shù)學歸納法證明等式.2.方法歸納：數(shù)學歸納法.3.常見誤區(qū)：一是對n0取值的問題易出錯；二是增加或減少的項數(shù)易出錯.課堂小結(jié)隨堂演練12341.用數(shù)學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝

(n∈N*)，驗證n＝1時，左邊應(yīng)取的項是A.1 B.1＋2C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4解析當n＝1時，左邊＝1＋2＋3＋4.√1234√123412343.某個與正整數(shù)有關(guān)的命題：如果當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立.現(xiàn)已知n＝5時命題不成立，那么可以推得A.當n＝4時命題不成立

B.當n＝6時命題不成立C.當n＝4時命題成立

D.當n＝6時命題成立√解析因為當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立，所以假設(shè)當n＝4時命題成立，那么n＝5時命題也成立，這與已知矛盾，所以當n＝4時命題不成立.12344.用數(shù)學歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當n＝k時，表達式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當n＝k＋1時，表達式為____________________________________________________.1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2解析當n＝k＋1時，表達式左側(cè)為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，表達式右側(cè)為(k＋1)(k＋2)2，則當n＝k＋1時，表達式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為

n(n－3)條時，第一步應(yīng)驗證n等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形，故選C.12345678910111213141516√解析因為n為正偶數(shù)，所以當n＝k時，下一個偶數(shù)為k＋2.123456789101112131415163.若命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時成立，則有n＝k＋1時命題也成立.現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N*)成立，則有A.命題對所有正整數(shù)都成立B.命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C.命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)

都成立D.以上說法都不正確√12345678910111213141516解析由已知得n＝n0(n0∈N*)時命題成立，則有n＝n0＋1時命題成立.在n＝n0＋1時命題成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1時命題也成立，依此類推，可知選C.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析當n＝k時，等式的左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，當n＝k＋1時，等式的左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋1＋k)(k＋k＋2)，12345678910111213141516√123456789101112131415166.用數(shù)學歸納法證明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的過程中，第二步假設(shè)n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應(yīng)得到A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2√解析由數(shù)學歸納法知第二步假設(shè)n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應(yīng)得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2.12345678910111213141516解析注意末項與首項，123456789101112131415168.證明：假設(shè)當n＝k(k∈N*)時等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即當n＝k＋1時等式也成立.因此對于任意n∈N*等式都成立.以上用數(shù)學歸納法證明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的過程中的錯誤為_________________.缺少步驟歸納奠基1234567891011121314151612345678910111213141516(2)假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時，那么當n＝k＋1時，所以當n＝k＋1時，等式也成立.根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任意n∈N*都成立.1234567891011121314151610.用數(shù)學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).證明(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.則當n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，即當n＝k＋1時，等式也成立.由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立.12345678910111213141516綜合運用√12345678910111213141516解析因為當n＝k時，等號的左端為1＋2＋3＋…＋k2，當n＝k＋1時，等號的左端為1＋2＋3＋…＋(k＋1)2，所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2，故選D.1234567891011121314151612.(多選)已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當n＝1,2，…，1000時，p(k)成立，且當n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是A.p(k)對k＝528成立B.p(k)對每一個自然數(shù)k都成立C.p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立D.p(k)對某些偶數(shù)可能不成立√√解析由題意知p(k)對k＝2,4,6，…，2002成立，當k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析f(n)中共有n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2項，1234567891011121314151614.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋_____.π解析由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形圖形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.拓廣探究1234567891011121314151615.用數(shù)學歸納法證明“已知n為正奇數(shù)，求證：xn＋yn能被x＋y整除”時，第二步假設(shè)n＝k(k∈N*)時命題為真后，需證n＝______時命題也為真.k＋2解析因為n為正奇數(shù)，所以n＝k＋2時命題也為真.1234567891011121314151616.試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.12345678910111213141516解當n＝1時，21＋2＝4>n2＝1，當n＝2時，22＋2＝6>n2＝4，當n＝3時，23＋2＝10>n2＝9，當n＝4時，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立.下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當n＝1時，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，12345678910111213141516所以左邊>右邊，所以原不等式成立.當n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，所以左邊>右邊；當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊>右邊.(2)假設(shè)n＝k時(k≥3且k∈N*)時，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1時，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－312345678910111213141516＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2