高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：4 3 2 第1課時(shí) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(人教A版)

第四章

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路.2.會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式

知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，

仍構(gòu)成等比數(shù)列.2.若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋

(n，m∈N*).S3n－S2nqnSm4.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列.(

)1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn不可能為0.(

)2.若首項(xiàng)為a的數(shù)列既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和等于na.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2題型探究PARTTWO一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算例1

在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算例1

在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.解因?yàn)閍2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩個(gè)根.反思感悟等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來(lái)解答.(2)對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如qn，

都可看作一個(gè)整體.(3)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論.(3)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論.跟蹤訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中.∴q＝－2，∴n＝5.(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解若q＝1，則S8＝2S4，不符合題意，∴q≠1，∴q＝2或q＝－2，二、利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和反思感悟錯(cuò)位相減法的適用范圍及注意事項(xiàng)(1)適用范圍：它主要適用于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.(2)注意事項(xiàng)：①利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意使兩式交錯(cuò)對(duì)齊，以便于作差，正確寫出(1－q)Sn的表達(dá)式.②利用此法時(shí)要注意討論公比q是否等于1的情況.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解根據(jù)題意得兩式相減得三、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例3

(1)在等比數(shù)列{an}中，若S2＝7，S6＝91，則S4＝____.28解析∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且易知公比q≠－1，∴S2，S4－S2，S6－S4也構(gòu)成等比數(shù)列，即7，S4－7,91－S4構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，∴S4＝28.(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，則公比q＝____.2解析由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋1－2k，則實(shí)數(shù)k＝___.解析∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}為等比數(shù)列，延伸探究反思感悟處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.(2)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝1，S8＝3，則a9＋a10＋a11＋a12等于A.8 B.6 C.4 D.2√解析S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比數(shù)列.∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.(2)一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，所有奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記作S奇，S偶，由題意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.3隨堂演練PARTTHREE1.在數(shù)列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)的和等于A.－25 B.25 C.－31 D.3112345√解析因?yàn)閍n＋1＝2an，且a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，解析當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝n；123452.等比數(shù)列1，x，x2，x3，…的前n項(xiàng)和Sn等于√3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于A.3∶4 B.2∶3

C.1∶2 D.1∶312345√解析在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，得S15∶S5＝3∶4，故選A.123451234512345所以a1＋a2＝3，1234580解析令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，則S100＝X＋Y，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.1.知識(shí)清單：(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(3)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì).2.方法歸納：錯(cuò)位相減法、方程(組)思想、分類討論.3.常見誤區(qū)：(1)忽略q＝1的情況而致錯(cuò).(2)錯(cuò)位相減法中粗心出錯(cuò).(3)忽略對(duì)參數(shù)的討論.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝1，則S100等于A.4－2100 B.4＋2100 C.4－2－98 D.4－2－100基礎(chǔ)鞏固√12345678910111213141516√解析易知q≠－1，因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以8(S9－S6)＝1，2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于12345678910111213141516解析等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1＋a，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，化簡(jiǎn)得an＝2n－2.則a3a5＝2×23＝16.3.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1＋a，則a3a5等于A.4 B.8 C.16 D.3212345678910111213141516√4.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若27a4＋a7＝0，則

等于A.10 B.9 C.－8 D.－5√解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0，因?yàn)閍4≠0，所以27＋q3＝0，則q＝－3，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，顯然q≠1，123456789101112131415166.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2·3n＋r，則r＝_____.12345678910111213141516－2解析Sn＝2·3n＋r，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得r＝－2.7.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，則項(xiàng)數(shù)n＝____，a1＝___.解析由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，5

3123456789101112131415168.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為_____.解析由題意知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，若q＝1，則Sn＝na1，式子顯然不成立，12345678910111213141516－2故2qn＝qn＋1＋qn＋2，即q2＋q－2＝0，∴q＝－2.123456789101112131415169.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的公比q；解依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.12345678910111213141516(2)若a1－a3＝3，求Sn.12345678910111213141516(1)求an與bn；12345678910111213141516解由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*).由題意知：當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝b2－1，故b2＝2.12345678910111213141516(2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*).11.在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，q＝5，則使Sn>107的最小正整數(shù)n的值是A.11 B.10 C.12 D.9綜合運(yùn)用√解析由題意可知在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，q＝5，12345678910111213141516∵Sn>107，∴5n－1>107，∴n>10.01，∵n為正整數(shù)，∴n≥11，故n的最小值為11.12345678910111213141516√解析設(shè)數(shù)列{an}共有(2m＋1)項(xiàng)，由題意得12345678910111213141516故當(dāng)n＝1或2時(shí)，Tn取最大值，為2.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析因?yàn)閿?shù)列a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為2014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2014，所以數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，則Sn＝______.解析當(dāng)n＝1時(shí)，則有2S1＝a2－1，∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，上述兩式相減得2an＝an＋1－an，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，12345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151612345678910111213141516當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－112345678910111213141516可知{bn}為公比為9的等比數(shù)列，b1＝32×1＝9，1234567891011121314151616.已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n，n∈N*.123