高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：4 2 2 第2課時(shí) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用(人教A版)

第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用第四章4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.構(gòu)造等差數(shù)列求和模型，解決實(shí)際問題.2.能夠利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)求其前n項(xiàng)和的最值.3.理解并應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì).學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用二、等差數(shù)列中前n項(xiàng)和的最值問題三、等差數(shù)列中的片段和問題內(nèi)容索引一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用問題1

請(qǐng)同學(xué)們圍繞身邊的相關(guān)生活背景，發(fā)揮智慧，命制一個(gè)等差數(shù)列求和的應(yīng)用題.提示我們學(xué)校會(huì)議室里的一排排座位；超市里擺放的水果；工地上的一堆鋼管等.例1

某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元，購買當(dāng)天先付150萬元，按約定以后每月的這一天都交付50萬元，并加付所有欠款利息，月利率為1%，若交付150萬元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢？全部付清后，買這40套住房實(shí)際花了多少錢？解因購房時(shí)付150萬元，則欠款1000萬元，依題意知分20次付款，則每次付款的數(shù)額依次構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝10×(60＋50.5)＝1105.所以實(shí)際共付1105＋150＝1255(萬元).反思感悟(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列.(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn).反思感悟(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列.(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn).跟蹤訓(xùn)練1

《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布，則每天比前一天多織____尺布(不作近似計(jì)算).解析由題意知，該女每天的織布尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其中a1＝5，S30＝390，二、等差數(shù)列中前n項(xiàng)和的最值問題問題2根據(jù)上節(jié)課所學(xué)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有什么樣的函數(shù)特點(diǎn)？知識(shí)梳理等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定．大小知識(shí)梳理等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定．大小小大例2

在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n項(xiàng)和Sn的最大值.解方法一

因?yàn)镾8＝S18，a1＝25，解得d＝－2.所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值為169.方法二

同方法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.因?yàn)閍1＝25>0，又因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值為169.方法三

因?yàn)镾8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.因?yàn)閍1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0.所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，所以Sn的最大值為169.方法四

設(shè)Sn＝An2＋Bn.因?yàn)镾8＝S18，a1＝25，所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn取得最大值.所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值為169.反思感悟(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即所有非負(fù)項(xiàng)之和；②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即所有非正項(xiàng)之和.(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法①尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用②運(yùn)用二次函數(shù)求最值.跟蹤訓(xùn)練2

在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，前5項(xiàng)的和S5＝－15.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，a10＝18，S5＝－15，所以an＝3n－12，n∈N*.(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的最小值，并指出何時(shí)取最小值.解因?yàn)閍1＝－9，d＝3，an＝3n－12，所以當(dāng)n＝3或4時(shí)，前n項(xiàng)和Sn取得最小值為S3＝S4＝－18.三、等差數(shù)列中的片段和問題問題3

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，你能發(fā)現(xiàn)Sn與S2n的關(guān)系嗎？提示S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同樣我們發(fā)現(xiàn)S3n＝3Sn＋3n2d，這里出現(xiàn)了一個(gè)有意思的數(shù)列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一個(gè)公差為n2d的等差數(shù)列.知識(shí)梳理1.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.2.若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列

也是等差數(shù)列，且公差為

.3.在等差數(shù)列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n).例3

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S10＝100，S100＝10，求S110.解方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，∵S10＝100，S100＝10，方法二∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以S110＝－110.方法四直接利用性質(zhì)Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.反思感悟利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算(1)在解決等差數(shù)列問題時(shí)，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有時(shí)運(yùn)算量大些.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果.(3)設(shè)而不求，整體代換也是很好的解題方法.跟蹤訓(xùn)練3

等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m.解方法一在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.1.知識(shí)清單：(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題.(3)等差數(shù)列中的片段和問題.2.方法歸納：公式法、構(gòu)造法、函數(shù)法、整體代換法.3.常見誤區(qū)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用的前提是等差數(shù)列.課堂小結(jié)隨堂演練12341.已知數(shù)列{an}滿足an＝26－2n，則使其前n項(xiàng)和Sn取最大值的n的值為A.11或12 B.12 C.13 D.12或13√1234解析∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.又a1＝24，d＝－2，∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大.12342.等差數(shù)列{an}中，S3＝3，S6＝9，則S12等于A.12 B.18 C.24 D.30√解析根據(jù)題意，得在等差數(shù)列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差數(shù)列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，則S9－S6＝9，S12－S9＝12，則S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.12343.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長(zhǎng)排來差三歲，共年二百又零七，借問長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則a1等于A.35 B.32 C.23 D.38√1234解析由題意可知，九個(gè)兒子的年齡成公差d＝－3的等差數(shù)列，且九項(xiàng)之和為207.123420181234解析∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，若

＝2，則S10等于A.10 B.100 C.110 D.120√12345678910111213141516解析∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，∴S10＝100.123456789101112131415162.若等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和Sm為20，前3m項(xiàng)的和S3m為90，則它的前2m項(xiàng)的和S2m為A.30 B.70 C.50 D.60解析∵等差數(shù)列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.√123456789101112131415163.已知數(shù)列{2n－19}，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和SnA.有最大值且是整數(shù) B.有最小值且是整數(shù)C.有最大值且是分?jǐn)?shù) D.無最大值和最小值√12345678910111213141516解析易知數(shù)列{2n－19}的通項(xiàng)公式為an＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴該數(shù)列是遞增的等差數(shù)列.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….123456789101112131415164.在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且S2011＝S2018，Sk＝S2009，則正整數(shù)k為A.2017 B.2018 C.2019 D.2020√解析因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以由二次函數(shù)的對(duì)稱性及S2011＝S2018，Sk＝S2009，解得k＝2020.123456789101112131415165.在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安四百二十里，良馬初日行九十七里，日增一十五里；駑馬初日行九十二里，日減一里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.問：幾日相逢？A.4日 B.3日 C.5日 D.6日√12345678910111213141516解析由題意，可知良馬第n日行程記為an，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為97，公差為15的等差數(shù)列，駑馬第n日行程記為bn，則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為92，公差為－1的等差數(shù)列，則an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.整理得14n2＋364n－1680＝0，即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢.123456789101112131415166.(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S5<S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是A.d<0 B.a7＝0C.S9>S5 D.S6與S7均為Sn的最大值√√解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6與S7均為Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.√∴S9<S5，故C錯(cuò).123456789101112131415167.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，其中S5＝8，S8＝5，則S13＝______.解析由性質(zhì)Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.－13123456789101112131415168.已知在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，則S9－S6＝____.解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.5123456789101112131415169.某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛車工作24小時(shí).從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？12345678910111213141516解從第一輛車投入工作算起各車工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a1，a2，…，a25.而需要完成的工作量為24×20＝480.∵500>480，∴在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線.1234567891011121314151610.已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.12345678910111213141516(2)當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取得最大值？12345678910111213141516解方法一

a1＝9，d＝－2，＝－(n－5)2＋25，∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值.方法二

由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是遞減數(shù)列.令an≥0，則11－2n≥0，12345678910111213141516∵n∈N*，∴當(dāng)n≤5時(shí)，an>0；當(dāng)n≥6時(shí)，an<0.∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值.12345678910111213141516綜合運(yùn)用√解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，設(shè)S3＝k，S6＝4k(k≠0)，則S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，1234567891011121314151612.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝11，

＝－8，則Sn取最大值時(shí)的n為A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516解析設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，解得d＝－2；則a1＝a2－d＝13，則Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn取得最大值.1234567891011121314151613.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，S4＝S9，當(dāng)Sn最大時(shí)，n等于A.6 B.7 C.6或7 D.13√12345678910111213141516化簡(jiǎn)得a1＋6d＝0，所以a1＝－6d，因?yàn)閍1>0，所以d<0，因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝6或n＝7時(shí)，Sn取得最大值.1234567891011121314151614.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為_____.10解析由題意知鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個(gè).當(dāng)n＝19時(shí)，S19＝190.當(dāng)n＝20時(shí)，S20＝210>200.∴當(dāng)n＝19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根.拓廣探究1234567891011121314151615.已知等差數(shù)列{an}，滿足a2019＋a2020<0，a2019·a2020<0，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么Sn取最小正值時(shí)，n等于A.4037 B.4036 C.4035 D.4034√12345678910111213141516解析因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和