2024年高中數(shù)學專題4-1重難點題型培優(yōu)精講數(shù)列的概念教師版新人教A版選擇性必修第二冊

專題4.1數(shù)列的概念1．數(shù)列的概念數(shù)列的定義一般地，把依據(jù)確定的依次排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，其次個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用表示第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用表示.其中第1項也叫做首項.2．數(shù)列的分類3．數(shù)列的通項公式假如數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.4．數(shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念假如一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.(2)對數(shù)列遞推公式的理解①與“不愿定全部數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是全部的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關于項的序號n的恒等式.假如用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.

③用遞推公式求出一個數(shù)列，必需給出：基礎——數(shù)列{}的第1項(或前幾項)；

遞推關系——數(shù)列{}的隨意一項與它的前一項()(或前幾項)間的關系，并且這個關系可以用等式來表示.5．數(shù)列表示方法及其比較6．數(shù)列的前n項和數(shù)列{}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{}的前n項和，記作，即=+++.

假如數(shù)列{}的前n項和與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.

=.7．數(shù)列的性質(1)單調性假如對全部的，都有>，那么稱數(shù)列{}為遞增數(shù)列；假如對全部的，都有<，那么稱數(shù)列{}為遞減數(shù)列.(2)周期性假如對全部的，都有=(k為正整數(shù))，那么稱{}是以k為周期的周期數(shù)列.

(3)有界性

假如對全部的，都有，那么稱{}為有界數(shù)列，否則稱{}為無界數(shù)列.【題型1依據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式】【方法點撥】依據(jù)數(shù)列的前幾項寫出其一個通項公式的方法：首先從下面4個角度視察數(shù)列的前幾項：(1)各項的符號特征；(2)各項能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相鄰項的變更規(guī)律.其次找尋各項與對應的項的序號之間的規(guī)律.【例1】（2024·甘肅·高二期中）數(shù)列32,-A．2n-C．(-1)【解題思路】依據(jù)分子、分母和正負號的變更即可得出通項公式.【解答過程】解：由題意，在數(shù)列32分母是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列分子是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，∵數(shù)列的奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負數(shù)，∴比例系數(shù)為(∴數(shù)列的一個通項公式為：an故選：C.【變式1-1】（2024·重慶高二階段練習）數(shù)列-1,13A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=【解題思路】令n=1【解答過程】由題意得，令n=1A選項：a1B選項：a1C選項：a1D選項：a1故選：D.【變式1-2】（2024·浙江·高二開學考試）已知數(shù)列an的前4項為：1，-12，14，-1A．a(chǎn)n=12n B．【解題思路】分母與項數(shù)n關系是是2n【解答過程】正負相間用(-1)n-故選：D.【變式1-3】（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個通項公式是an=（A．1910C．131【解題思路】依據(jù)0.3，0.33，0.333，0.3333，…與9，99，999，9999，…的關系，結合9，99，999，9999，…的通項公式求解即可.【解答過程】數(shù)列9，99，999，9999，…的一個通項公式是bn=10n-故選：C．【題型2推斷數(shù)列的項】【方法點撥】依據(jù)題目條件，結合數(shù)列的通項公式，推斷所給的數(shù)是否滿足數(shù)列的通項公式，求出該數(shù)所對應的項數(shù)n，即可得解.【例2】（2024·福建·高二階段練習）若一數(shù)列為1，37，314，321，…，則3A．不在此數(shù)列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項【解題思路】依據(jù)給定的4項，寫出數(shù)列的一個通項公式即可計算作答.【解答過程】因1=37×由37(n-所以398故選：D.【變式2-1】（2024·廣東佛山·高二期末）已知數(shù)列an的通項公式為an=A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】利用通項公式干脆求解.【解答過程】令an=n2+故選：B.【變式2-2】（2024·四川省高一階段練習（理））已知數(shù)列an的通項公式為an=3nA．第1項 B．第2項 C．第3項 D．第10項【解題思路】由已知條件，依據(jù)通項公式求出n即可得答案.【解答過程】因為數(shù)列{an}令3n-1所以9是數(shù)列{a故選：C.【變式2-3】（2024·河北保定·高二期中）已知數(shù)列an的通項公式為an=2n+1A．2 B．4 C．8 D．16【解題思路】依據(jù)數(shù)列的通項公式，推斷是否存在n∈N*【解答過程】由于數(shù)列an的通項公式為a故令an=2n+1=2，則n令2n+1=4,n=1，令即4，8，16是數(shù)列an故選:A.【題型3依據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項、通項公式】【方法點撥】結合所給數(shù)列的遞推公式，分析數(shù)列之間的規(guī)律關系，轉化求解即可.【例3】（2024·陜西·高一期末（理））已知數(shù)列an滿足an+1an=n+1nA．a(chǎn)n=3C．a(chǎn)n=2【解題思路】由題意可得數(shù)列an【解答過程】由題意得an+1n+1所以數(shù)列ann是以則ann=3故選：A.【變式3-1】（2024·甘肅·二模（文））數(shù)列an滿足nan+1=n+1anA．4043 B．4044 C．2024 D．2024【解題思路】由nan+1=n+1an+1【解答過程】解：因為nan+1=所以an+1n+1+1n+1所以an所以a20222022+故選：A.【變式3-2】（2024·全國·高二課時練習）已知數(shù)列an滿足a1+a2A．1-12n B．2【解題思路】利用an與S【解答過程】a1+當n≥a1+則①－②得，an故an當n=1時，a1=故選：D．【變式3-3】（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an滿足a2=0,a2n+1A．20212022 B．20232022 C．1010【解題思路】由題中條件可得到偶數(shù)項得關系a2n+2【解答過程】a2n+2所以a2022a2020?a4累加得a2022故選：C.【題型4數(shù)列的單調性的推斷】【方法點撥】推斷單調性的方法：①轉化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調性，如基本初等函數(shù)的單調性等，探討數(shù)列的單調性.②利用定義推斷：作差比較法，即作差比較與的大?。蛔魃瘫容^法，即作商比較與的大小，從而推斷出數(shù)列{}的單調性.【例4】（2024·浙江·高二期中）在數(shù)列an中，a1=3A．數(shù)列an單調遞減 B．數(shù)列aC．數(shù)列an先遞減后遞增 D．數(shù)列a【解題思路】由數(shù)列遞推式求出a2=5，可推斷an>0，將an=an-1【解答過程】由a1=3，an=an-再由an=an則an+12②﹣①得：an+12-a∵an>0，∴an由a2-a1<0可知數(shù)列an故選：A．【變式4-1】（2024·遼寧葫蘆島·高二階段練習）下列數(shù)列中，為遞減數(shù)列的是（

）A．1+5n B．-n2【解題思路】利用第n+1項與第n【解答過程】對于A，∵1+5n+1-1+對于B，∵-∴當n≤2時，數(shù)列-n2+6n對于C，∵3n+1+6-3n+6對于D，∵1-log2n+1故選：D.【變式4-2】（2024·天津·高三期中）數(shù)列an的通項公式為an=n2+knA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【解題思路】依據(jù)an+1【解答過程】由題意得數(shù)列an為遞增數(shù)列等價于對隨意n即k>-2n-所以“k≥-2故選：A.【變式4-3】（2024·浙江·高二期中）已知數(shù)列an滿足：an=(3-a)n-A．(2,3) B．(1,107) C．【解題思路】仿照分段函數(shù)的單調性求解，同時留意a6【解答過程】由題意3-解得107故選：C．【題型5數(shù)列的周期性】【方法點撥】結合具體條件，分析數(shù)列的前幾項，得出數(shù)列的周期，進行轉化求解即可.【例5】（2024·福建·高二期中）在數(shù)列an中，a1=-2，aA．-2 B．-13【解題思路】依據(jù)數(shù)列的遞推式，計算數(shù)列的項，可推得數(shù)列為周期性數(shù)列，利用其周期即可求得答案.【解答過程】由題意可得a1=-2，an+1=a4=1+∴該數(shù)列an是周期數(shù)列，周期T又2022=505×4+2，∴故選：B．【變式5-1】（2024·江蘇·高二期中）若數(shù)列an滿足a1=2，a2=3，aA．-3 B．-2 C．-1 D．2【解題思路】由an+an+2=an+1【解答過程】由an+aa1=2，a3a4a5a6a7a8故數(shù)列an是以6為最小正周期的數(shù)列，由20226=337故選：C.【變式5-2】（2024·河南·高二階段練習）已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1A．2-1 B．2 C．2【解題思路】依據(jù)遞推公式可驗證知數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，則由a【解答過程】∵a1=2>1∴a4=以此類推，可知數(shù)列an是周期為3∴a故選：A.【變式5-3】（2024·貴州·高三階段練習（文））已知數(shù)列{an}滿足a1=-3A．14 B．43 C．-【解題思路】依據(jù)已知條件及遞推關系，結合數(shù)列的周期性即可求解.【解答過程】由anan+1=因為a1所以a2=1-1-3=43所以{aa故選：A.【題型6求數(shù)列的最大項、最小項】【方法點撥】利用數(shù)列的單調性或構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性，進行轉化求解即可.【例6】（2024·山西·高三期中）已知數(shù)列an滿足a1a2a3?A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【解題思路】依據(jù)遞推公式求得an，再依據(jù){【解答過程】因為a1a2a3?a當n≥2時，a1因為函數(shù)fx=1所以當n≥2，n∈又a2=4，所以an≤4，且an≥故選：A.【變式6-1】（2024·全國·高二課時練習）已知數(shù)列an的通項公式為an=5051A．第6項 B．第12項 C．第24項 D．第36項【解題思路】作商當an+1an>1時，an+1【解答過程】因為an>0令an+1an所以當1≤n≤23時，當n≥24時，an+1>an，即故選：C.【變式6-2】（2024·福建省高二階段練習）已知數(shù)列an滿足an=2nn+1A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7