人教A版高中數(shù)學(xué)第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難) (32)(有解析)

第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難)(32)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1-己知向量方=(sin(<ox),cos(a>%)),K=(cos(o>x),—Bcos((ox))且函數(shù)/'(x)=a-B的兩條對稱軸

之間的最小距離為》

(I)若方程/'(x)-m=0恰好在xG玲?］有兩個不同實根Xi，%求實數(shù)m的取值范圍及乙+%2

的值.

(II)設(shè)函數(shù)g(%)=ox+b,且｛y|y=g(x),xe[1,2]｝=卜|y=e格,朗｝,求實數(shù)a,b

的值.

2.已知函數(shù)/'(x)=Asin(3x+w)(A>0,3>0,0<s<兀)，在一周期內(nèi)，當(dāng)％=?^時，了取得最大

值3,當(dāng)％=工時，>取得最小值一3.

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶當(dāng)勺時，求函數(shù)f(x)的最值及對應(yīng)x的值.

3.已知134BC中，內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,若(2a—c)cosB—bcosC=0.

(1)求角B的大??；

(2)若b=2,求團力BC周長的取值范圍.

4.已知函數(shù)/'(x)=cos2a)x+V3sina)xsin(wx-1)(3>0)的最小正周期為兀.

(1)求/Q)的對稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求/(x)在區(qū)間［0,自上的值域.

5.已知函數(shù)/'(x)=2sin卜萬-(x€R).

X

2x--027T

3

2sin(2x—

(1)請結(jié)合所給表格，在所給的坐標系中作出函數(shù)/(X)一個周期內(nèi)的簡圖;

r

卜1I------T

：X

―?Onitn里史n1理

6；63；3：66

-1

(2)求/(x)的最大值和最小值及取得最值時的x的集合;

(3)求使/(X)>1成立的x取值的集合.

6.已知函數(shù)f(x)=Asin(3尤+w),(尤GR)(其中4>0,3>0,0<W<其的圖象與x軸的相鄰兩個

交點之間的距離為今且圖象上一個最高點為Qg,3)

(1)求“X)的解析式和單調(diào)增區(qū)間；

(2)當(dāng)尤e琮,堂,求/⑺的值域.

(3)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移。(0<0<9個單位后，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的

2倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)為偶函數(shù)，求。的值.

7.已知向量萬一(cosi,—1),77=(v/3s>nx,

⑴當(dāng)記〃和寸，求聞勺'2的值;

SIHX-V?>cosx

(2)已知在銳角△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，Vic=2asinQ4+B),函數(shù)

/(x)=(m+n)-m,求/(B)的取值范圍.

sin(a-37r)+cos(7r-a)+sin(--a)-2cos(-+a),,/士

2

8.(1)已知tan(3;r+a)=3,試求:---------：-------------2——FrJta.

-sin(-a)+cos(7r+a)

(2)求函數(shù)的值域：/(%)=2COS2X+3sinx4-3xG

eo

9.已知函數(shù)/(%)=sin2%+acosx4--a--,aG/?.

82

(1)當(dāng)Q=1時，求函數(shù)/(%)的最大值；

(2)若xe[0(],當(dāng)aCR時，求函數(shù)f(x)的最大值.

10.在直角坐標系xOy中，以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極

坐標方程為p2(5-4cos2。)=9,直線/的極坐標方程為p(cos9+V3sin0)=4-73.

(1)若射線。=壬"藪分別與/交于4,8兩點，求|4B|；

(II)若尸為曲線C上任意一點，求P到直線/的距離的最大值及此時尸點的直角坐標.

11.如圖，在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且

LABC12(),路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖陰影部分所示，已知N4CO=60。，路

寬4D=24(m),設(shè)燈柱高AB=NACB=9(30°W。445°).

(1)求燈柱的高九(用。表示)；

(2)若燈桿BC與燈柱AB所用材料相同，記所用材料長度和為S,求S關(guān)于。的函數(shù)表達式，并

求出S的最小值.

12.以平面直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系,

直線/的極坐標方程為psi"。+》=2,曲線C的參數(shù)方程為『二盥(。為參數(shù)).

(1)求直線/的直角坐標方程和曲線C的普通方程；

(2)以曲線C上的動點M為圓心、r為半徑的圓恰與直線/相切，求r的最小值.

13.如圖所示為一張邊長為1/n的正方形白紙A8C￡>,點分別在邊8c和CD上，現(xiàn)需要沿AM,

AN,MN將AADN,AABM,△CMN折起，使得折起后B,。兩點重合.

(1)若折起后點C剛好落在折痕4V上，求折成的△力MN的面積;

(2)若C點必須落在△4MN內(nèi)，求折成的44MN面積的最小值.

14.已知m-=(sinx,cosx),n-=(cosx,—cosx),設(shè)/(x)=mf-nf.

(1)當(dāng)圖時，求/(x)的值域；

(2)若銳角4/8C滿足/'(C)=0,且不等式taM4+tan2jS+mtanAtanB4-1>0恒成立，求相的

取值范圍.

15.記號"4”表示一種運算，即adb=Va2+b2+a+V3h>記/(x)=(sin2x)/(cos2久)

(1)求函數(shù)y=/(x)的表達式及最小正周期；

(2)若函數(shù)f(x)在x=出處取得最大值，若數(shù)列｛%｝滿足;“，5)(〃e.V),求/(即)+/(a2)+

「缶3)的值.

[sin(j-x)tan(x+7r)-cos(7T-x)]2-1

16.已知/(x)4sin(^+x)+cos(7r-x)+cos(27r-x)

⑴求/(1860°)；

(2)若方程產(chǎn)(x)+(1+|a)sinx+2a=0在xG邑號上有兩根，求實數(shù)?的范圍?

No4

17.已知函數(shù)/'(%)=sinx+V3cosx,xGR.

(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=[/(X)]2-2,XG[0,5，求g(x)的值域.

18.某市民公園改造規(guī)劃平面示意圖如圖，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研測定，該市民公園占地區(qū)域是半徑為R的圓

面，該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是綠化用地，經(jīng)測量得邊界AB=1百米，BC=C0=2百米，

AD=3百米.

(1)求原綠化用地ABCD的面積和市民公園的占地面積；

(2)為提高綠化覆蓋率，在保留邊界48,8c不動的基礎(chǔ)上，對邊界C￡>,AO進行調(diào)整，在圓弧

AOC上新設(shè)一點D',使改造后新的綠地ABC。'的面積最大，設(shè)乙4CD'=。(0<0<|兀),將ABCD'

的面積用。表示并求出求最大面積.

19.在△48C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mh,c,且bcos/=(Q—2c)cos(7T-8).

(1)求48的大小;

(2)若4c為鈍角，求2的取值范圍.

20.已知函數(shù)/'(x)=V3cosx-sin%.

(1)求函數(shù)f(x)的周期及最大值；

(2)將函數(shù)f(x)圖像上所有的點向左平移g個單位，向上平移1個單位，得到函數(shù)g(x)的圖像,

寫出函數(shù)g(x)的表達式.

21.已知五=(V3cosx,cosx)>b=(sinx,cosx)>函數(shù)/'(x)=a-b-

(1)求/(x)的最小正周期及對稱軸方程；

(2)當(dāng)Xe(一兀,捫時;求f(x)單調(diào)遞增區(qū)間.

22.設(shè)函數(shù)石=(2,m).

團求日〃至；

@求函數(shù)/在區(qū)間怔-3上的值域.

23.已知/⑺-6小in.《＜p3+與，將函數(shù)/(久)的圖象向左平移卷個單位得到函數(shù)

y=g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)xe［一,斗時，求函數(shù)g(x)的取值范圍.

24.已知以角B為鈍角的△ABC的內(nèi)角4、B、C的對邊分別為〃、氏c,沅=(a,2b),n=(A/3,-sin/1).

且沅1n.

(1)求角8的大小;

(2)求cosA+cosC的取值范圍.

25.函數(shù)g(%)=sin%+cos%,函數(shù)/i(%)=sin%cosX,設(shè)函數(shù)f(%)=—九(工)+ag(%)-1,(其中

a>1)

(1)當(dāng)g(%)=:時，求九。)的值；

(2)當(dāng)Q=1時，求f(x)的值域;

(3)若函數(shù)在［0,乎］內(nèi)有且只有一個零點，求a的取值范圍.

26.已知函數(shù)/(%)=sinxcosx—V3sin2x.

(1)求f(x)在區(qū)間［0片］上的最小值；

(2)設(shè)ae&jr),/(|)=i-y,求sina的值.

27.在平面直角坐標系x。)，中，已知曲線G的參數(shù)方程為｛：二溜;°儂為參數(shù)),以坐標原點為

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為p2=Spcos0+4psind-16.

(1)求曲線Ci的普通方程和圓C2的直角坐標方程；

(2)設(shè)點尸為曲線G上的點，直線/經(jīng)過圓C2的圓心，且傾斜角為牛，求點尸到直線/的最大距

離.

28.已知函數(shù)/'(x)=sinxsin-x)+-圣⑴求/'(x)的最小正周期;

(2)求/(幻的單調(diào)區(qū)間.

29.已知0為坐標原點,0A=(2asin2x,a),OB=(1,-2V3sinxcosx+1),/(%)=OA?OB+b(a<b

且aA0).

(1)求y=/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(x)的定義域為碎㈤，值域[2,5],求mb的值.

30.3知函數(shù)f(%)=2sin2Q+x)-75cos2x.

(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)若關(guān)于x的方程/(x)-6=2在x6仁用上有解，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：解：依題/(%)=a-b=sin(a)x)cos(cdx)—V3cos2(cox)

=1sin(2a)x)—乎[cos(2cox)+1]=sin(2wx——y

又因為兩條對稱軸之間的最小距離為5，

所以由「2=箸得：3=1,

?1?f(%)=sin(2x_今_*

(1)當(dāng)》6卷用時，由圖像性質(zhì)知I:

/(X)在槨，W上遞增，在售詈]上遞減，在[詈用上遞增,

當(dāng)“工，f(x)取得最大值等，當(dāng)*=詈時，/(x)取得最小值-竽,

且/?)=/?)=0，/?)=—爭

所以旌(-萼，-同U[。,等)，/+&=耕尊

(II)易知{y[y=/(*),*e[py]]=[-V3.0],

當(dāng)a>0時：g(x)在xe[l,2]上遞增，滿足：[一加=a}b,

(0=2a+b

解得：a=V3?b=-25/3.

當(dāng)a<0時：g(x)在xe[1,2]上遞減，滿足：(Y=2：+b

解得：a=—V3,b=V3

綜上所述：[a=遮或,a=-V3.

(b=-2V3(b=y/3

解析：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，y=As譏(3%+欠)

的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，屬于中檔題.

首項利用兩個向量的數(shù)量積的定義、三角函數(shù)的恒等變換，化簡函數(shù)的解析式為

sin(2cr-；)一年，由周期求出3,從而確定函數(shù)f(x)的解析式.

(/)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖像性質(zhì)可知當(dāng)久e植用時最大值和最小值，以及/《)=/(》=0,/(?)=-y

可求出m的取值范圍，再根據(jù)對稱性可得%+r的值

(〃)根據(jù)已知條件可求得y=/(%)的值域，即為y=g(%)值域，分當(dāng)a>0時和當(dāng)Qv0時，結(jié)合

y=g(x)的定義域，根據(jù)一次函數(shù)增減性列出方程組，分別求出。、b.

2.答案：解：⑴由題設(shè)知，4=3,周期;年一看=三，7=兀=3=2,

y(x)=3sin(2x4-(p)f又二工5時，y取得最大值3,\(p\<TT,

即3sin(，+,)=30,=；,

63

???函數(shù)的解析式為〃工)=蜩1>(21+:).

(2)由2fcjr--<2x+-$2kir+得Air-篇+恚，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為防:+總(4€Z).

(3)%G[―-2x+<^Jsin(2x+<3,

即函數(shù)f(x)的值域為[一|,3].

當(dāng)/⑶=舊時，工——：，當(dāng)/(%)=3時，

解析：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和閉區(qū)間上的值域，著重考查了由

y=擊譏(3X+R)的部分圖象確定其解析式等知識、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題.

(1)根據(jù)函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大、最小值及相應(yīng)的x值，可得4=3且3=2,再由函數(shù)在x=工時

取得最小值-3,列式解出3=M由此得到函數(shù)的表達式；

(2)根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)當(dāng)xe［一9用時，可得2上+16［一，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)f(x)的值

域和對應(yīng)的X的值.

3.答案：解：(1)由(2a—c)cosB=bcosC,

可得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

:.2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,可得：2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,

??,A6sinA＞0,

???可得：cosB=5

?,?由BW可得B=g.

a_c_b_4\/3

(2).?.sin/lsinCsinB3

.二

???a=473——.si.nA，c=——sinC,

33

又A+B+C=*.,..A+C=手，

?)

???可得三角形周長：a+b+c=—sinA4--sinC4-2=—sinA+—sin(如一4)+2

=W(ycosTl+|sin/l)+2=4sin(A+￡)+2,

?.?0＜力＜箓可得：sin(4+$￡(；,l］.

3666oz

???0ABC周長的范圍為(4,6].

解析：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和差的正弦函數(shù)公式，解題時注意分析角的范

圍，屬于中檔題.

(1)利用正弦正理化簡已知等式可得(2sin4-sinC)cosF=sinBcosC,再化解即可求出角B的余弦值,

從而得到角3的大小.

(2)利用正弦定理表示出八b,代入a+6+c利用兩角和與差的正弦公式化簡，根據(jù)A的范圍和正

弦函數(shù)的性質(zhì)得出a+b+c的取值范圍，即可得解.

4.答案：解:(l)/(x)=cos2cox+V3sina)xsin(&,x-

1+cos2a)x

—V3sincoxcosa)x

2

=——(—sin2o)x--cos2cox)

=1-sin(2tox—￡),

?-T=—=7T,3=1,

2co

???/W=1-sin(2x-^),

由2%—="+錄得/號+三,

6223

即f(%)的對稱軸％=等+，kEZ,

???/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為y=sin(2x-1)的單調(diào)遞減區(qū)間，

令2kn+^<2%—^<2kH+:，

解得上兀+g工無W々7T+乎，

36

f⑶的單調(diào)遞增區(qū)間為便兀+g,而+爭keZ；

(2)???o<x<p

--<2x--<—,

666

：Wsin(2x—7)<1,

No

-sin(2o)x--)<1,

226’

即/⑶在區(qū)間［0,1上的值域為［心,I］.

解析：本題主要考查了二倍角公式，兩角和的三角函數(shù)公式，正弦函數(shù)的周期性，單調(diào)性函數(shù)的值

域，屬于中檔題.

(1)利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，然后利用正弦函數(shù)的最小正周期求得

3,則函數(shù)解析式可得，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)x的范圍可確定2X-,的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的值域.

5.答案：解：(1)列表：

n7T37r

。0n2TT

22

n57r2n117T7n

X

6123126

y020-20

描點，連線可得對應(yīng)的圖象為:

(2)由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)/Xx)=2s譏(2%的最大值為2.

取得最大值2時滿足2x-g=]+2kn,

得到自變量x的集合為：{X|X=/CTT+碧,kez}.

取得最小值一2時滿足2x-g=-1+2k兀，

自變量x的集合為：{巾=久=一號+4兀#6Z}.

(3)由/'(x)=2sin(2x->1=>sin(2x-^>1,

所以g+2/OT<2x—+2kn,

636

即1+kuWxW—+kji(kGZ).

???x取值的集合卜吟+kn<x<^+kn,keZ^.

解析：本題考查丫=45出(3%+0)的圖象及性質(zhì)，五點作圖法，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)“五點法”可以列表、描點、連線.

(2)由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)/(x)=2sin(2x的最大值為2.

得到自變量x的集合為：{布="+患,卜€(wěn)2上最小值一2時，滿足0x=x=—"+k7r,k€Z}.

⑶由/(x)=2sin(2x->1=>sin(2x-|,可得x的范圍.

6.答案：解：(1)由最高點為。工,2)得4=2,

由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為9得9=p

即T=7T,<0=—=—=2,

Tn

由點Q&2)在圖象上得2sin(2x1+w)=2,sin(；+卬)=1,

故衛(wèi)+(p=2kn+-,/c6Z,<p=2kn4-/cGZ.

326

又(P6(0,：)?3=3故f(%)=2sin(2x+/),

令2kn--<2%4--<2kn+解得kji--<x<kn+-

26236f

所以函數(shù)f0)在pOTk兀+弓(kez)上單調(diào)遞增.

⑵「xe玲l2%+M曲科

當(dāng)2X+3=5,即x=?時，f(x)取得最大值2；

當(dāng)2x+?=?,即x=3時，f(x)取得最小值一1,

故/(%)的值域為

(3)/(x)=2sin(2x+9的圖象向左平移0(0<03］個單位后，

再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得g(x)=2sin(x+20+勻，

g(x)為偶函數(shù)，

5(0)=2sin(e+g=±2,即sin(6?+9=±1,

.?.9+g=/OT+2即o=也+生(kez),

6L23

XO<0<p

71

"=3-

解析：本題主要考查!/Asin(心r+⑺圖象及性質(zhì)，考查圖象的平移及伸縮變換，屬于基礎(chǔ)題.

(1)先利用題中條件結(jié)合周期公式7=誓求出3,再利用圖象過定點求出A,w，即可得單調(diào)區(qū)間

(2)2x+?e[+，?],當(dāng)2x+g=q,/(x)取得最大值2,當(dāng)2x+g=?,/(x)取得最小值一1.

(3)先求出g(x),再利用9(。)2疝皿+；)±2,結(jié)合。的取值范圍，可得答案.

7.答案：解：(l)：^〃j?,；.-：cosK+V5sinx=0,.?.tanx=晅=^.

2COSX6

.\[3stnx+cosx_y/3tanx+l_3y/3

sinx-\[3cosxtanx-V35

<-c2a

(2)vV3c=Zasin(A+8)=2asinC，：?=^=?

c,z

T7—a.A\3

ABC是銳角三角形，二A=60°,

-ff<1^-B<90-解得3°°<B<9。。，

/(%)=(m4-n)-m

=m*2+m-n

L1

=cosz9x+1+y/3sinxcosx+-

V31

=—sin2x+-cos2x+2

22

=sin(2x+300)+2,

:,f(B)=sin(2^+30°)+2,

v30°<B<90°,A90°<25+30°<210°,結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得

???f(B)</(30。)=3,/(B)>/90。)=|.

???/(B)的取值范圍是G，3).

解析：本題考查了平面向量平行與坐標的關(guān)系，三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量平行得出tanx,將式子分子分母同除以cosi得出結(jié)果;

(2)根據(jù)正弦定理得出A,求出B的范圍，代入門8),利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f(8)的范圍.

8.答案：(1)解：因為tan(3;r+c)3,則比ma=3,

sin(a—37r)+co?(7r-a)+sin(:—a)—2co?(]+a)

所以

—sin(—a)+CG?(7r+a)

—sins-cosa+co6a+2sina

siiia-CUSQ

sinntaiia3

sins-co?ntniui—13—1

(2)解：/(/)=2CO?2T+3sinr+3

=2(1—sin2J:)+Bwhur+3

=-2siirx+3siikr+5

7T27r

又因為上€y，則sin/￡1,

當(dāng)sinx=］時，函數(shù)f(x)有最大值，最大值為日，

當(dāng)sinx=：或1時，函數(shù)/(X)有最小值，最小值為6.

所以函數(shù)f(x)的值域為［6,裔.

解析：(1)本題主要考查誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的化簡，同角三角函數(shù)的關(guān)系式.

sin(a—37r)+cos(7r—a)+sdn(^—a)—2co?(—+a)

由tan(37r+a)3，則tana=3,

—sin(—a)+COS(TT+a)

siiiataiia

即可得.

sina-coKatann-1

(2)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得.

/.3V49即―/日

由/(1)=2coiS'N+3siitr+3=2(sinJ,—-1H——,即可得.

9.答案：解：(1)當(dāng)a=1時，/(上卜sin2X4-cosz-

O

](]、23

=—cos2%+cosx+-=—(COSX——)+-?

8I2/8

vcosxE[—1,1],

.?.當(dāng)cosx=g,即x=2/OT土，(kCZ)時,f(x)max=|.

51

(2)f(x)=1—co?2x+aco?xH—a--

82

/a、21251

=_(COSN--)+-a-4--a--

因為xe[0,^],cosxe[0,1]

當(dāng)5<0時，g|Ja<0,f(x)max=1a-|；

2

當(dāng)O^Wl時，B|J0<a<2,r(x)max=；a+|?-5；

當(dāng)B>1時，即a>2,fOnax=-|,

51

-5,aV()

oZ

151

所以/(1)+G。一不，()Wa42

4a2

133c

—a--,a>2

?2

解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、最值問題，考查分類討論思想，

配方法的應(yīng)用，屬中檔題.

2

(1)當(dāng)Q=1時，f(x)=—cos2x+cosx4--=—(cosx-7)+O'由二次函數(shù)即可得出最大值；

(2)先用同角三角函數(shù)關(guān)系式統(tǒng)一名，配方得到/(工)二一："2+'a-；：,對。分類a<0,

0<a<2,a>2討論，即可求函數(shù)的最值.

10.答案：解：(1)直線/：再訓(xùn)。+)，W3,

令。=得p=2-/3>令。=Y'得P=4曲.

???4(2封》,8(475,爭.

又N4OB=號-

?/?9J

|4B『=(2\/3)2+(4>/3)2-2x'[瓜x4\/3x?)?^=36.

.%\AB\=6；

(II)曲線C的極坐標方程為p2(5-4cos20)=9,即p2(cos2。+9sin20)=9,

???曲線C的直角坐標方程為菅+y2=1,

化為參數(shù)方程為｛；煞"（。為參數(shù)）.

直線/的直角坐標方程為X+V3y-4>/3=0，

P到直線I的距離“：：+Ann-44|

2

|2\/3siii（n+彳）-4gl

_____________<2________

=2\/3—\/3?in（o+力.

?J

令a+”2k7r一久k€Z）,即a=2/OT—今時，dmax=3V3.

此時cosa=co?（2A,?r——）=,sine=曲I（2*TT-^-）=.

'6'262

??加（-￥，-?

解析：本題考查了簡單曲線的極坐標方程、橢圓的參數(shù)方程、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和點到直線的

距離公式，是中檔題.

(1)令。=全得p=26，令。=g,得p=4V5.得出A、B坐標和乙4。3，再由余弦定理即可得出

\AB\-,

(H)曲線C的直角坐標方程為9+y2=i,化為參數(shù)方程為｛：為參數(shù)).直線/的直角坐

標方程為x+Wy-4b=0,則尸到直線/的距離

d=電吧土粵吧二=2仆一0sh+夕.由正弦函數(shù)性質(zhì)得出最大值及尸點的直角坐

標.

11.答案：解：(1)由已知得NBAC=60。-。，/乙4。=30。+0,

又乙4CD=60。，〃。。=90。一仇

在△ACO中,

sinZ.ACDshiZ.ADC

24”迎

1li,

siiRiO

在△ABC中,484c

sin乙4cBsin￡ABC9

ACsinO

16cin28,

sinl20

B[J/i=16sin20；

；DCACsin(60°-。)

sin120°

=8\&+8Vzi-Hsin'20，

則S=AB+BC=8b+8V3cos26?+8sin20

=8v<J+16sin(20+W)),

???30°<6?<45°,

120°<29+60°<150°,

.?.當(dāng)29+60。=150。，即0=45。時，S取到最小值(8b+8)m.

解析：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔

題.

(1)由條件求得4B4C=60。-8,ACAD=30°+6,乙4DC=90。一4C0中，利用正弦定理求得

AC的值，在△ABC中，由正弦定理求得/?的值.

(2)在AABC中，由正弦定理求得BC的值，再根據(jù)S=AB+BC=8g+16sin(2。+60。).根據(jù)

30°<0<45。，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得S的最小值.

12.答案：解：(1)由ps譏(。+，)=2,得，pstn。+[pcos。=2,

將psin。=y,pcos0=x代入上式，得直線/的直角坐標方程為x+百丫一4=0.

由曲線C的參數(shù)方程｛；:篙(。為參數(shù))，得曲線C的普通方程為9+?=1.

(2)設(shè)點M的坐標為(2cos6,V^s譏6),

則點M到直線/：%+V3y-4=0的距離為己=心+(可-=2，其中tan。=--

當(dāng)d=r時，圓M與直線/相切，

故當(dāng)sin(O+0)=l時，取最小值，且，的最小值為匕咨.

解析：本題考查了簡單曲線的極坐標方程及參數(shù)方程，屬中檔題.

⑴由ps譏(0+*)=2,得苧psinO+[pcos。=2,將psin。=y,pcosJ=x代入上式，得直線/的直

角坐標方程為x+V3y-4=0.由曲線C的參數(shù)方程;富(。為參數(shù))，得曲線C的普通方程為

(2)利用點到直線的距離以及三角函數(shù)性質(zhì)可得.

13.答案：解：(1)因為點C剛好落在折痕4N上,

所以NONA=AANM=ZCNM=1，

3

因為40=1,

所以在△AND中,

AD_1_25/3

AN=

sin60°一且—3?

2

因為8,￡)重合,

所以NN4U=

所以NA/.A3

在^AM8中，

AM=—jr=—yr=V6-V2

cos正cos-

所以S.WA，=;

=1X^X(V6-V2)X^=1-^.

23\v723

(2)設(shè)4￡MN=e,

0<0$-

6

由(1)知＜

o<￡-0wJ

46

所以日w。W6，

4D_1

在△40N中，AN

cos6cosO

…AD1

在△ABM中，4/丁j-J)，

41

所以SZUA/N=

_6I_1

」(X)?0<XJS(——0)14-v^2sin(20+—)'

44

因為。:，

所以1420+.普，

當(dāng)2。+：=:,即。:時，S-MN的最小值為a-L

4/o

解析：本題考查了正弦定理，三角形面積公式以及三角函數(shù)最值求解，屬于中檔題.

(1)因為點C剛好落在折痕4N上，所以NON'Z.4.V.UACNM:，由直角三角形邊長關(guān)系

以及正弦定理可求AM,AN,從而求△力MN的面積；

(2)由(1)求得。\，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求最值.

14.答案：解：(l)/(x)=sinico?i—C082X=sin2z—]sin(2.r--y)->

當(dāng)xe[o,||時,2X-^G[-^，Y].sin(2x-^)G[-y,l].

/(x)e卜1，與

(2)由/(C)=0可得C=W

tanA+tanF,-------------

???tan(A+B)=—1=----------------???tan4+tanB=tanAtanB—1>2Vtan/tanB

、'1-tanAtanB

注意到tanAtanB>1/.tanAtanB>3+272

設(shè)t=tanAtanB,t>34-272

不等式q(tan/+tanB)2—2tan/ltanB+mtan/ltanB+1>0

=(tarii4tanF—l)2—2tan4tan8+mtanAtanB4-1>0

<=>t2-4t4-mt4-2>0

2__

<=>-Tn<t+--4怛成立

注意到t23+2夜.?.當(dāng)t=3+2迎時，(t+4)=5-2V2

\1/min

???m>2V2-5

解析：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)，不等式恒成立問題，屬于中檔題.

(1)利用三角恒等變換化簡f(x),根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域；

(2)根據(jù)題意可知，tan(4+B)=-1=:工熬2%然后利用換元與基本不等式解決恒成立問題.

15.答案:解：(1)由題意得f(%)=(sm2x)△(cos2%)

=Vsin22x4-cos22x+sin2x+y/3cos2x=14-sin2x+\/3cos2x

=1+2(^sin2x+號cos2%)=14-2sin(2x+；),

??.最小周期丁=等=兀.

(2)若函數(shù)fQ)在％=出處取得最大值，

，2x4--=2kn+

0u32

即沏=kjr+泉fc6Z,

故斯=nx0=n(kn+治，keZf

則Qi=4--,a=2/CTT+a=3kn+

122634

則f(西)+f4)+f(%)=3+2sin(2ai+g)+2sin(2a2+$+2sin(2a3+§

=3+2,SITI—F2sin—F2sin—=3+2+V3+1=6+V3,

236

解析：(1)根據(jù)定義求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式進行求解即可

(2)求出即的通項公式，利用代入法進行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.

2

16.答案：解：(l)f(x)(cosxtanx+cosx)-1

-4cosx-cosx+cosx

2sinxcosx——1si.nx

-4cosx2f

則f(1860。)=-1sinl860°

=-|sin(5x360°+60°)=-|sm60°=-y；

(2)把f2(%)+(1+|a)sinx+2Q=0,

整理得：^sin2%4-(14-|a)smx+2a=0,

即siM%+(4+2a)sinx+8Q=0,

分解因式得:(sinx+4)(sinx+2a)=0,

???sinx=-2a或sinx=-4(舍去)，

當(dāng)Xe小拳時，

要使方程有兩根，則丫=sinx與y=-2。有兩個交點，

而％W[屋]時丫=sin%單調(diào)遞增，xwg百時，丫=$加單調(diào)遞減，

.n1.n.3n41

sin-=sin-=1d,sin一=一，

62242

V2Q1

?'?—W-2QV1?

2

解得：一工<a<-它.

24

解析：此題考查了運用誘導(dǎo)公式化簡求值，以及三角函數(shù)的最值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)

鍵.

(l)f(x)解析式利用誘導(dǎo)公式化簡，約分得到最簡結(jié)果，把x=-I860。代入計算即可求出值；

(2)由確定出的fQ)解析式，代入已知等式，整理求出sinx的值，根據(jù)sinx的范圍確定出a的范圍即

可.

17.答案：解：(I)/(x)=sinx+V5cosx=2sin(x+$.

由2kji—1工尢+g42kli+；(kEZ)

得：2/cii—些Wx￡2kn十三(kEZ),故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是：[2/CTT—旦,2/CTT+，，k6Z.

(H)g(x)=[/(x)]2—2,

=4sin2(x+；)—2,

=4x1[l-cos(2x+y)]-2,

=-2cos(2x+Y)?

=2sin(2x+J

?**2%+*E*,算

.?5(%)=2sin(2x+?)的最大值是1,最小值是一2.

o

解析：（I）利用輔助角公式化簡，將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)圖象解答;

（H）首項求得g（x）=2s譏（2x+$,利用正弦函數(shù)圖象解題.

本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)圖象.利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本

題的關(guān)鍵.

18.答案：解：（1）因為四邊形ABCO內(nèi)接于圓，則N4BC+N4DC=兀.

所以cosZTlBC+cos乙ADC=0.

在1中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos^ABC

=1+4—2x2xlxcosZ-ABC=5—4cosZ-ABC,

在^ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD?CD-cosZTlDC

=13—12cosz.ADC=13+12cos乙ABC,

由5—4cosz.ABC=13+12cos乙ABC,得coszABC=-p

因為44BCe(0,7T),所以乙4BC=

所以乙4DC=會所以4c2=7,

所以叉48c=-BC-sin^ABC=|xlx2xy=y,

St.-AD-DC-siuAADC=ix2x3x—=辿，

2222

所以s四邊形ABCD=SfBC+S〉A(chǔ)DC~2A/3,

、、，CCACV72V2I

由正弦定理得2R=—=W=—

2

所以外接圓面積s=nR2=：兀.

(2)因為乙4czy=。，(0<0<y),由乙40￡=耨4a4D'=g-0.

在AAD'C中，由正弦定理知AD'=2Rsin^ACD'=詈sin6?,CD'=2Rsin^CAD'=等sin弓-。),

所以SA4D，C=\AD'-CD'-sin乙40'C=誓sinOs譏宵-0)

7V3V3177V3.

=sind(—cosd4--sin0)=-sinOcosd+—smz0

7V3V317V3

=7"方5.2。-5cos2。)+五

ysin(28-》+等,

因為0<8<耳，所以26—年(一%?),

3666

sin(20-=)e(-i1],

oZ

當(dāng)2。*=今即。=押，S-D，C的最大值為竽?

此時5幽邊掰BCD=S4ABe+SAAD'C=曰+^=竽

答:改造后,當(dāng)為正三角形時,新的綠地4BC。’的面積最大'為竽平方百米.

解析：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是由題意列出三角函數(shù)式，由三角函數(shù)的知

識解決實際問題.

(1)由題意和余弦定理可得COSNABC=進而可得乙4DC=p由三角形的面積公式和正弦定理可

得.

(2)設(shè)乙4CC'=O,(0<0<^),由正弦定理易得SA40，C=越$也(2。一百)+型，由0<9和三

366123

角函數(shù)的值域可得答案.

19.答案：解：(1)由正弦定理，sinBeosA=sinA(—cosB)+2sinCcosB,

即sin(A+B)=2sinCcosB.

：?sinC=2sinCcosB.

,:sinCW0,

c1

???cosB=

2

:.BE

???B=g.

(2)???B=或

sinC_sin(等-4)_苧cos4+[sin4_遍

asinAsin4sin42tanA+亍

???c為鈍角,

??.46(0,"

D

tanAG(0,,

??.高E(遮,+8),

???；e(2,+oo).

解析：本題考查正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的最值，屬于中檔題.

(1)由正弦定理邊化為角，由兩角和差公式變形求解；

(2)由正弦定理以及三角函數(shù)的最值得答案.

20.答案：解：(1)函數(shù)/'(x)=geosx—sinx.

函數(shù)可化為/"(x)=2cos(%+》，

周期為2”，

最大值為2.

(2)將函數(shù)/Q)圖像上所有的點向左平移］個單位，向上平移1個單位，

得到函數(shù)g(x)=—2sinx+1.

解析：本題主要考查函數(shù)的周期、最大值，函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識，逐一分

析解答即可.

(1)函數(shù)=V3cosx-sinx.函數(shù)可化為〃x)=2cos(x+》，求函數(shù)f(x)的周期及最大值；

(2)將函數(shù)/(x)圖像上所有的點向左平移］個單位，向上平移1個單位，得到函數(shù)g(x)=-2sinx+1.

21.答案:解:(1)根據(jù)題意,a=(yf3cosx,cosx),b=(sinx,cosx)，

則函數(shù)f(x)=a-b=yficosxsinx+cos2%=-sin2x+-cos2x+工=sin(2x+-)4--,

22