陜西省咸陽市2024屆高考 數(shù)學(xué)5月信息專遞試卷（理科）

2024年陜西省咸陽市高考數(shù)學(xué)信息專遞試卷（理科）（5月份）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合直線，橢圓，則集合中元素的個(gè)數(shù)為(

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.0個(gè)1個(gè)或2個(gè)2.若復(fù)數(shù)z滿足，則(

)A.1 B. C.i D.3.已知，則(

)A.0 B.1 C. D.4.如圖，點(diǎn)P是正方體面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到棱和面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線5.在中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，，，記，則(

)A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則(

)A.18 B.54 C.128 D.1927.碳是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個(gè)碳原子構(gòu)成，形似足球，又稱為足球烯.其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)正五邊形面和六元環(huán)正六邊形面組成的封閉的凸多面體，共32個(gè)面，且滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為(

)A.12 B.20 C.32 D.608.在等差數(shù)列中，，，且，是其前n項(xiàng)和，則(

)A.，都小于0，，都大于0B.，都小于0，，都大于0C.，都小于0，，都大于0D.，都小于0，，都大于09.設(shè)，分別是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓E的離心率為(

)A. B. C. D.10.數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個(gè)近似值：“約率”與“密率”它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于的近似值為弱率，大于的近似值為強(qiáng)率.由于，取3為弱率，4為強(qiáng)率，計(jì)算得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，….若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類推.已知，則(

)A.8 B.7 C.6 D.511.已知平行六面體中，棱、AB、AD兩兩的夾角均為，，，E為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A.B.C.D.12.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足，若是銳角三角形，則(

)A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，共17分。13.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則A的大小是______14.已知，則______.15.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則______.16.已知圓臺(tái)的高為6，AB，CD分別為上、下底面的一條直徑，且，，則圓臺(tái)的體積為______；若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且它們都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為______.三、解答題：本題共7小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題12分已知向量，，設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；已知在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，且，求面積的最大值.18.本小題12分某校為營造學(xué)科學(xué)、愛科學(xué)、用科學(xué)的良好氛圍，使學(xué)生掌握必要和基本的科學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)良好的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度.特舉辦以“體悟科技魅力，激發(fā)思維潛能”為主題科普知識(shí)競賽：該活動(dòng)規(guī)定每班選3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分.在競賽中，甲、乙兩班代表隊(duì)相遇，假設(shè)甲隊(duì)3人回答正確的概率均為，乙隊(duì)3人回答正確的概率分別為，，，且兩隊(duì)各人回答問題正確與否互不影響.求甲隊(duì)總得分為20分且乙隊(duì)總得分為10分的概率；求甲隊(duì)總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.本小題12分如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，，且，，將它沿對(duì)稱軸折起，使平面平面，如圖2，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上不同于A，B兩點(diǎn)，連接OE并延長至點(diǎn)Q，使證明：平面PAQ；若，求二面角的余弦值．20.本小題12分在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和D到定直線的距離的比是常數(shù)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為曲線求曲線C的方程；已知定點(diǎn)，，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線l，過點(diǎn)P作斜率大于0的直線與曲線C交于點(diǎn)G，H，其中點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)H在x軸下方.曲線C與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，直線AG，AH與直線l分別交于點(diǎn)M，N，若A，O，M，N四點(diǎn)共圓，求t的值.21.本小題15分已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，若，求a的取值范圍；設(shè)，證明：22.本小題10分在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)設(shè)與的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線寫出C的普通方程；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)：，M為與C的交點(diǎn)，求M的極徑．23.本小題12分已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求的解集；當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：已知集合直線，集合橢圓，顯然兩個(gè)集合沒有共同屬性，就是沒有相同的元素，所以中元素個(gè)數(shù)為故選由題意可知，集合直線橢圓，集合不存在共同屬性，中元素個(gè)數(shù)為本題是基礎(chǔ)題，考查集合的基本概念，集合的交集的運(yùn)算，是易錯(cuò)題，誤認(rèn)為直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．2.【答案】B

【解析】解：，則，解得，故選：根據(jù)已知條件，結(jié)合立方差公式，即可求解．本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)椋曰?，所以，所以故選：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可求值．本題考查三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】解：如圖，由正方體結(jié)構(gòu)特征，以為原點(diǎn)，、所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為a得，，，設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，即P到的距離即為線段的長，過P作，垂足為Q，易知P到面的距離為線段PQ的長，因?yàn)椋李}意有：，兩邊平方并整理得：，所以P點(diǎn)的軌跡是拋物線．故選：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，求出動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，即可求解．本題考查空間幾何體中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，屬于中檔題．5.【答案】A

【解析】解：過點(diǎn)D作，交BE于點(diǎn)Q，因?yàn)樵谥校?，，所以，可得，因?yàn)?，所以，可得，即，整理得，結(jié)合，可得，將代入，得，所以故選：根據(jù)題意作出圖形，過點(diǎn)D作，交BE于點(diǎn)Q，利用平行線的性質(zhì)證出，然后化簡為以A為起點(diǎn)的向量表達(dá)式，得到，結(jié)合得到，再將代入化簡，可得所求表達(dá)式．本題主要考查平行線的性質(zhì)、平面向量的線性運(yùn)算法則及其應(yīng)用，屬于中檔題．6.【答案】D

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，解得故選：根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合求和定義，可得答案．本題主要考查等比數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查推理的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于x、y的方程組，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為x個(gè)，正六邊形為y個(gè)，分析可得其棱數(shù)，即可得關(guān)于x、y的方程組，解可得y的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為x個(gè)，正六邊形為y個(gè)，碳的頂點(diǎn)數(shù)為60，有32個(gè)面，由頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，則棱長數(shù)為90，則有，解可得，即有20個(gè)六元環(huán)，故選：8.【答案】B

【解析】解：在等差數(shù)列中，，，且，，，，，，故選：利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解．本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，勾股定理，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．設(shè)，由，可得，，，由，可得，利用勾股定理即可得出．【解答】解：設(shè)，，，，，，，，在中，即，，，故選10.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，為強(qiáng)率，則，故，即為強(qiáng)率；由于，故，即為強(qiáng)率；由于，故，即為強(qiáng)率；由于，故，即為強(qiáng)率；由于，故，即故選：根據(jù)題意，由“調(diào)日法”的計(jì)算方法，依次迭代計(jì)算，有，即可得答案．本題考查歸納推理，注意“調(diào)日法”的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】D

【解析】解：因?yàn)镋為的中點(diǎn)，棱、AB、AD兩兩的夾角均為，，，設(shè)，則，由平行六面體的性質(zhì)可得：，，可得，，所以，，可得，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：由題意求出異面直線的方向向量和方向向量的表達(dá)式，求出這兩個(gè)向量的余弦值，進(jìn)而求出異面直線所成的角的余弦值．本題考查空間向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用及用空間向量的方法求異面直線所成的角的余弦值，屬于中檔題．12.【答案】D

【解析】解：設(shè)，則其導(dǎo)數(shù)，又由滿足，則有，則函數(shù)在上為增函數(shù)，若是銳角三角形，則有，即，即有或，對(duì)于，，，又由，則有，即，可以排除A、B，對(duì)于，，，又由，則有，即，可得D正確，故選：根據(jù)題意，設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)分析可得函數(shù)在上為增函數(shù)，又由是銳角三角形，分析可得，即有或，結(jié)合的單調(diào)性以及和分析答案．本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)并分析其單調(diào)性．13.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，即，所以，可得故答案為：由題意及正弦定理可得，再由基本不等式及正弦函數(shù)的有界性可得本題考查正弦定理及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．14.【答案】4048

【解析】解：，等號(hào)兩邊分別求導(dǎo)，得，令，得故答案為：對(duì)等號(hào)兩邊分別求導(dǎo)，再賦值，可求得答案．本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬中檔題．15.【答案】e

【解析】解：設(shè)曲線的切點(diǎn)為，曲線的切點(diǎn)為，，，由題意可知，，解得故答案為：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】

【解析】解：由題意，該圓臺(tái)，，，，，則該圓臺(tái)的體積；設(shè)球心O到圓臺(tái)上底面的距離為a，球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的球心在圓臺(tái)的軸上，所以有，解得：，，則該球的表面積為故答案為：；利用圓臺(tái)的體積公式求圓臺(tái)的體積，根據(jù)球O的球心在圓臺(tái)的軸上，得到，求得，利用球的表面積公式即可求解．本題考查了圓臺(tái)的體積公式和球的表面積公式，屬于中檔題．17.【答案】解：根據(jù)題意得，當(dāng)時(shí)，，可得，函數(shù)的值域?yàn)椋挥傻慕Y(jié)論，可知，根據(jù)，可得，結(jié)合，得，因?yàn)?，且，所以，結(jié)合基本不等式，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立．因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積最大值為

【解析】利用三角恒等變換公式化簡得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出的值域；由算出，利用勾股定理得出，然后根據(jù)三角形的面積公式與基本不等式求出面積最大值．本題主要考查三角恒等變換公式、正弦函數(shù)的最值求法及其應(yīng)用、三角形的面積公式與基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題．18.【答案】解：由題設(shè)，甲隊(duì)得20分，即2人答對(duì)1人答錯(cuò)，概率為，乙隊(duì)得10分，即1人答對(duì)2人答錯(cuò)，概率為，所以甲隊(duì)總得分為20分且乙隊(duì)總得分為10分的概率；由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，所以甲隊(duì)總得分X的分布列如下：X0102030所以

【解析】利用獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲隊(duì)總得分為20分且乙隊(duì)總得分為10分的概率；由題意有X的所有可能取值為0，1，2，3，利用二項(xiàng)分布概率公式求各可能值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而寫出X的分布列，再根據(jù)分布列求期望即可．本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．19.【答案】解法一幾何法證明：取的中點(diǎn)為F，連接AF，PF；，，，、F、A、Q四點(diǎn)共面，又由圖1可知，平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，在直角梯形中，，，≌，，，，且平面PAQ，平面PAQ，平面解法二向量法由題設(shè)知OA，OB，兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長度為m，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，，，，，，，，，且與不共線，平面，，，則，，設(shè)平面CBQ的法向量為，，，令，則，，則，又顯然，平面ABQ的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，則

【解析】解法一幾何法：取的中點(diǎn)為F，連接AF，PF；推出，證明，得到平面，證明平面，即可證明然后證明得到結(jié)果平面解法二向量法：由題設(shè)知OA，OB，兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長度為m，求出相關(guān)的坐標(biāo)，證明，然后證明平面求出平面CBQ的法向量，平面ABQ的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的平面角的余弦函數(shù)值即可．本題考查向量法求解二面角的平面角的大小，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．20.【答案】解：由已知得：，兩邊平方得去分母得：，化簡得：即為曲線C的方程．設(shè)點(diǎn)，直線GH：與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得由韋達(dá)定理：，由條件，直線AG的方程為，直線AH的方程為，于是可得，因?yàn)锳，O，M，N四點(diǎn)共圓，所以，，，所以，所以，于是即，化簡得，，又，，代入整理得：，將韋達(dá)定理代入得，，化簡得：

【解析】根據(jù)題意列方程化簡求解即可；設(shè)直線GH的方程，聯(lián)立曲線方程，利用韋達(dá)定理建立方程，從而求得t的值．此題考查了直線與圓錐曲線關(guān)系問題，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．令，，在上恒成立，又，令，則，，①當(dāng)，即，存在，使得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．，在內(nèi)遞增，，這與矛盾，故舍去；②當(dāng)，即，，若，則，在上單調(diào)遞減，，符合題意．若，則，在上單調(diào)遞減，，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

證明：由可知，當(dāng)時(shí)，，令得，，整理得，，，，，即

【解析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；令，對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論，求出時(shí)a的取值范圍，即可得解；由可知，當(dāng)時(shí)，，令，進(jìn)而可得，從而可證明不等式成立．本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．22.【答案】解：直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，消掉參數(shù)t得：直線的普通方程為：①；又直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，同理可得，直線的