初中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”

“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運用

一、以數(shù)助形

“數(shù)(代數(shù))”與“形(幾何)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯(lián)系的.體

現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面.“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”.全

面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個方面來體會.此外還應(yīng)該注意體會

“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢與局限性，相互補(bǔ)充.“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百

般好，隔離分家萬事非華羅庚的這四句詩很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢互補(bǔ)”的精要，“數(shù)形結(jié)

合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位.

要在解題中有效地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點，從“以數(shù)助

形”角度來看，主要有以下兩個結(jié)合點：(1)利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化(在高中我們還將

學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化)；(2)利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：

利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等.

例1.已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點/(項，%)和8(々，8)之間的距離可以用公式

AB=X2)?+(乂一%＞計算?利用這個公式計算原點到直線y=2x+10的距離?

解：設(shè)P(x,2x+10)是直線y=2x+10上的任意一點，它到原點的距離是

OP=7(X-0)2+(2X+10-0)2=[5(X+4)2+20

當(dāng)x=—4時，。之小=2乖!.

所以原點到直線y=2x+10的距離為2指.

【說明】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問題，有時可以避免添加輔助線(這是

平面幾何的一大難點).在高中“解析幾何”里，我們將專門學(xué)習(xí)利用坐標(biāo)將幾何問題代數(shù)化.

例2.已知\ABC的三邊長分別為機(jī)2、2mn和m2+〃？(以、〃為正整數(shù)，且m〉〃).求A48C

的面積(用含爪〃的代數(shù)式表示).

【分析】已知三角形三邊求面積一般稱為“三斜求積”問題，可用“海倫公式”計算，但運用“海

倫公式”一般計算比較繁，能避免最好不用.本題能不能避免用“海倫公式”，這要看所給的三角形

有沒有特殊之處.代數(shù)運算比較過硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來：

(m2+M2)2-(m2-n2)2=(2m2)(2n2)=(2mn)2，也就是說，A48C的三邊滿足勾股定理，即A48c

是一個直角三角形.

“海倫公式”：三角形三邊長為a、b、c,0為周長的一半，則三角形的面積S為：

S=1p(p_a)(p_b)(p_c).

解：由三邊的關(guān)系:(w2-?2)2+(2mn)2=(w2+?2)2.

所以A46C是直角三角形.

所以A46C的面積=g?(m2-n2)(2mn)=mn(m2-n2).

【說明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”的手法.另外，熟練的代數(shù)運算

在這道題中起到了比較重要的作用.代數(shù)運算是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個基本功，就像武俠小說中所說的“內(nèi)

功”，沒有一定的內(nèi)功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的.

例3.直線y=bx+c與拋物線y=相交，兩交點的橫坐標(biāo)分別為X、W，直線y=bx+c與

x軸的交點的橫坐標(biāo)為七.求證：—=—+—.

x3X1x2

【分析】本題是研究拋物線和直線相交的相關(guān)問題，只是由于a、Ac的符號不確定，導(dǎo)致拋物

線和直線在坐標(biāo)系中位置不確定，考慮問題需要進(jìn)行分類討論，比較麻煩.如果將問題代數(shù)化，看成

有關(guān)方程的問題，進(jìn)行相關(guān)的計算，就省去了分類的麻煩.

解：直線y=bx+c與x軸的交點的橫坐標(biāo)為七，

hxi+c-0.

c

J___6

x3c

2

???直線y=bx+c與拋物線y=ax兩交點的橫坐標(biāo)分別為西、x2,

.??希、&為關(guān)于牙的一元二次方程ax2-bx—c=0的兩個不等實根.

._b_c

??X]+/=—，X|X=--.

a2a

b

...1?1=$+/=a=b

?%x2x,x2_￡c?

.1JI

>?----=-------1------

WX|x2

例4.將如圖的五個邊長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個正方形.

【分析】這是一類很常見的問題.如果單單從“形”的角度來思

考，恐怕除了試驗，沒有其它更好的辦法了.但是如果我們先不忙考

慮怎樣剪裁，而是先從“數(shù)”的角度來算一下，我們不難利用面積算

出剪拼出來的正方形邊長應(yīng)該是逐.現(xiàn)在我們只需要在圖中找出來

一段邊長為、行的線段，以此為一邊作一個正方形（如圖），我們就不

難設(shè)計出各種剪裁方法了.

【說明】有人把這種方法叫做“面積法”，其實“面積法”這個名

字并沒有揭示這類方法的所有本質(zhì).“面積”是剪拼問題中的一個“不變量”，幾乎所有的剪拼問題，

都可以先抓住“面積”這個不變量來進(jìn)行“數(shù)”的計算.另一方面，“面積”本身就是從“數(shù)”的角

度來刻畫“圖形”的大小特征的一個概念.因此，所謂“面積法”，實際上就是“數(shù)形結(jié)合”這種數(shù)

學(xué)思想的一種具體體現(xiàn).

二、以形助數(shù)

幾何圖形具有直觀易懂的特點，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形

助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問題，常常會產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅.幾何直觀運用于

代數(shù)主要有以下幾個方面：

（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：

正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；

將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等.

（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解

決代數(shù)問題，或者簡化代數(shù)運算.比如：

絕對值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點之間的距離；

數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實數(shù)的取值范圍；

互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱（更一般地：實數(shù)。與b在數(shù)軸上關(guān)于巴助對稱，換句話說,

2

數(shù)軸上實數(shù)。關(guān)于6的對稱點為2b）；

利用函數(shù)圖像的特點把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對稱軸、

開口、判別式、兩根之間的距離，等等；

一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與x軸的交點；

函數(shù)解析式中常數(shù)項的幾何意義是函數(shù)圖像與y軸的交點（函數(shù)在x=0時有意義）；

銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例.

例5.已知正實數(shù)x,求.=J/+4+J（2—xp+1的最小值.

分析：可以把Jf+4+7（2-X）2+1整理為J（x-Op+（0-2）2+2￥+（0—1）2,

即看作是坐標(biāo)系中一動點（x，0）到兩點（0,2）和（2,1）的距離

之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題.

解：y=7（X-0）2+（0-2）2+7（X-2）2+（0-1）2,

令P（x,0）、4（0,2）和8（2,1）,則夕=尸工+尸6.

作8點關(guān)于x軸的對稱點B\2,-1）,則y的最小值為

AB'=yl32+22=713.

tan/?=：,求證：a+4=45。.

例6.已知tana=—

2

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿足條件的角a、（3（如圖），怎樣構(gòu)造這兩個角的和

是解決這個問題的關(guān)鍵.將圖（1）中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了如圖（2）的圖形，角a+2

也就構(gòu)成了.

證明：如圖（2）,連接3C,易證：\ABD\CBE,從而A48C是等腰直角三角形，于是：

a+￡=45。.

圖(1)圖(2)

例7.求函數(shù)歹=k+1|+k-2|+卜-3|的最小值.

【分析】如圖，設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)一1、2、3、x的點分別為從B、a。(尸為動點)，則表示。到

/、B、C三點之間的距離之和，即丁=尸/+/>8+。。.

,d.4q.

-2-1Ox1234

容易看出：當(dāng)且僅當(dāng)點產(chǎn)和點6重合時，PA+PB+PC最

小，所以N最小=Z8+6C=4.

例8.若關(guān)于x的方程V+2日+3左=0的兩根都在一1

和3之間，求力的取值范圍.

【分析】令/(x)=x2+2日+3%,其圖象與x軸的橫坐

標(biāo)就是方程.〃x)=0的解.由夕=/(x)的圖象可知，要使兩

根都在一1和3之間，只須：

/(—1)>0,/(3)>0,/(—，)=/(—左)K0同時成立,

2a

由此即可解得一1<440或423.

其中，/(—1)表示x=—l時的函數(shù)值.

解：令/(刈=/+2"+3左，由題意及二次函數(shù)的圖象可知:

/(-1)>0(7)2+2左(-1)+3后〉0

/(3)>0即<，32+2k-3+3k>Q

/(一口40(一左>+2%(—左)+3440

解得：一1<左40或左23.

【說明】一元二次方程，一元二次不等式均與二次函數(shù)有密切的關(guān)系，有關(guān)二次方程、二次不等

式中較繁難的問題運用二次函數(shù)的圖象來解決常常會起到意想不到的效果.

例9.若a〉0,且b>a+c,求證：方程o?+加+。=0有兩個相異實數(shù)根.

【分析】首先可以想到的思路當(dāng)然是證明公=〃-4雙〉0,但這并不容易.注意到二次方程與

二次函數(shù)的關(guān)系，把“二次方程有兩個相異的實根”這個代數(shù)命題“翻譯”成幾何命題就是“二次函

數(shù)的圖象與x軸有兩個交點”.考慮到此時a>0,拋物線開口向上，這個幾何命題可以進(jìn)一步等價轉(zhuǎn)

化成“二次函數(shù)的圖象有一部分位于x軸的下方，再把它翻譯成代數(shù)命題就是“二次函數(shù)至少在某一

點上的函數(shù)值小于0”.

證明：考查函數(shù)y=0^2+bx+c,

；a〉0,

.??此拋物線開口向上.

又?.,b>a+c,即”-b+c<0,

.?.當(dāng)x=-l時;二次函數(shù)的值/（—1）<0.

故拋物線與x軸有兩個交點，從而方程有兩個不等實根.

例10.已知：對于滿足04244的所有實數(shù)p,不等式/+川>4》+2一3恒成立，求x的取

值范圍.

【分析】不等式》2+/^>4》+2—3可以變形為'2一4》+3>—2（》—1）.

考查二次函數(shù),=x2-4%+3=（x-2）2-1和一次函數(shù)為=-p（x-l）.

原不等式的幾何意義是“二次函數(shù)弘的圖象在一次函數(shù)必的圖象的上方原題條件的幾何意義

是“無論實數(shù)。取042<4之內(nèi)的什么實數(shù)，二次函數(shù)凹的圖象總是在一次函數(shù)外的圖象的上方”?

把原題所求的問題重新表述一下，就是：當(dāng)x取那些實數(shù)時，可以保證“無論實數(shù)。取04P44

之內(nèi)的什么實數(shù)，二次函數(shù)凹的圖象總是在一次函數(shù)為的圖象的上方”這個命題正確.

現(xiàn)在我們研究這兩個函數(shù)的圖象（如圖）：二次函數(shù),的

圖象是一條固定不變的拋物線.但是一次函數(shù)外的圖象隨之P

的變化繞（1,0）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)夕=0,必=0時，是與x軸重合

的一條直線；當(dāng)p=4,8=—4x+4是一條截距為4的直線，

它與拋物線y的交點坐標(biāo)為（-1,8）.當(dāng)實數(shù)g取遍0?p?4

之內(nèi)的所有實數(shù)時，直線M所過了圖中的陰影區(qū)域.

結(jié)合圖形，我們再一次把原問題重新表述一下：當(dāng)x取哪X

些實數(shù)時，可以保證''二次函數(shù)乂的圖象總是在圖中的陰影區(qū)域的上方”.觀察圖象，我們不難得到

x<-l或x>3,所以原問題的結(jié)論就是：x的取值范圍是x<-l或x>3.

【說明】本題一開始為什么要對不等式作這樣的變形？希望大家在完全理解這道題的解題思路后

認(rèn)真思考一下這個問題，習(xí)慣對這類問題的反思在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要.

利用函數(shù)圖象解決不等式問題是一種比較常見的數(shù)形結(jié)合的方法，這種方法的要點是把不等式變

形成兩個可以畫出圖象的函數(shù)（值）比較.

初三數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（1）

1.已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點A（xt,凹）和B（X2,8）之間的距離可以用公式

AB=/）2+（乂一%?計算?利用這個公式計算原點到直線y=2x+10的距離.

2.已知A48C的三邊長分別為加2—〃2、2加〃和加2+〃2（必、〃為正整數(shù)，且〃?〉〃）.求A46c的

面積（用含辦"的代數(shù)式表示）.

3.直線y=bx+c與拋物線y=公2相交，兩交點的橫坐標(biāo)分別為玉、%,直線夕=bx+c與x軸的

交點的橫坐標(biāo)為天.求證：-=-+—.

x3x,x2

4.將如圖的五個邊長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個正方形.

5.已知正實數(shù)x,求.=JX2+4+J(2-X)2+1的最小值.

6.已知tana=；,tany3=g,求證：a+/3=45°.

7.求函數(shù)歹=b+1|+卜一2|+卜-3|的最小值.

8.若關(guān)于x的方程彳2+2丘+3左=0的兩根都在一1和3之間，求A的取值范圍.

9.若。>0,且b>a+c,求證：方程以2+瓜+。=0有兩個相異實數(shù)根.

初三數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（2）

1.設(shè)左+6=0,則直線y=Ax+b與拋物線夕=丘2+灰的位置關(guān)系是（）.

A.有兩個不重合的交點B.有且只有一個公共點

C.沒有公共點D.無法確定

2.在下列長度的四組線段中，不能組成直角三角形的是（）.

A.3、3、3亞B.6+1、V3-1>2式

C.8、15、17D.3.5、4.5、5.5

3.文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位

于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了一60米，此時小明的位置在

（）.

A.玩具店B.文具店

C.文具店西邊40米D.玩具店東邊一60米

4.已知實數(shù)a、6在數(shù)軸上的對應(yīng)點依次在原點的右邊和左邊，那么（）.

A.ah<bB.ah>hC.。+6〉0D.a-b>0

5.函數(shù)V=卜一3|+卜+5］的最小值為（）.

A.8B.5C.3D.2

6.已知函數(shù)y=x和y=475的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.

3

7.如圖所示，在A48C中，NC=90。，點〃在以上，BD=4,AD=BC,cosZADC=~,

5

則DC=,sin5=.

8.在數(shù)軸上數(shù)a和3的對應(yīng)點分別為點｛和點6,點4到原點的距離為1.5,則點力關(guān)于點6的對稱

點所對應(yīng)的數(shù)是.

9.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米,橋下的水深為2米.為

保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18米.問水深超過多少米時就會影響過往船只在

橋下順利航行?

10.如