數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)課改十個(gè)論題章建躍zhangjy1頁一、“新理念”是全新嗎?關(guān)鍵：以學(xué)生全方面、友好與可連續(xù)發(fā)展為本——教育中“科學(xué)發(fā)展觀”教學(xué)目標(biāo)——全方面關(guān)注學(xué)生認(rèn)知、能力和理性精神，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進(jìn)學(xué)生全方面、友好、可連續(xù)發(fā)展——數(shù)學(xué)育人。第2頁怎樣落實(shí)？——高立意,低起點(diǎn)許多教師“匠氣”太濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著“功利”，缺乏思想、精神追求。數(shù)學(xué)“育人”功效怎樣表達(dá)？——挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含價(jià)值觀資源，在教學(xué)中將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體。關(guān)鍵：提升思想性?！凹夹g(shù)”：加強(qiáng)“先行組織者”使用。第3頁例1不等式基本性質(zhì)“立意”比較以往做法：數(shù)軸上點(diǎn)次序定義數(shù)大小關(guān)系，再到“基本事實(shí)”（考查兩個(gè)實(shí)數(shù)大小，只要考查它們差），再由“利用比較實(shí)數(shù)大小方法，能夠推出以下不等式性質(zhì)”。第4頁人教A版教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)軸上點(diǎn)次序定義數(shù)大小關(guān)系，再到“基本事實(shí)”（考查兩個(gè)實(shí)數(shù)大小統(tǒng)一化歸為比較它們差與0大?。?；從“數(shù)及其運(yùn)算”高度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生類比等式基本性質(zhì)，在“運(yùn)算中不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”思想指導(dǎo)下，猜測(cè)不等式基本性質(zhì)；第5頁回到從“基本事實(shí)”到“基本性質(zhì)”推理過程，得出性質(zhì)，給出證實(shí)；引導(dǎo)學(xué)生用不一樣語言表述“基本性質(zhì)”（學(xué)習(xí)心理考慮）；從實(shí)例中概括基本不等式作用——明確概括出思想方法。關(guān)鍵：將等式與不等式納入到數(shù)及其運(yùn)算系統(tǒng)中，成為用運(yùn)算律推導(dǎo)出“性質(zhì)”第6頁為何這么設(shè)計(jì)既要講邏輯，更要講思想——加緊學(xué)生領(lǐng)悟思想進(jìn)程（在沒有引領(lǐng)情況下極難“悟”出思想）；要正確了解“給學(xué)生留出思維空間”——以往教學(xué)在技能方面空間太小，思想方面空間太大。第7頁教學(xué)要求——個(gè)性差異與統(tǒng)一要求辯證統(tǒng)一，但以個(gè)性差異為出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)教學(xué)設(shè)計(jì)——不但從內(nèi)容教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓(xùn)練等，而且尤其強(qiáng)調(diào)課堂“生成”，預(yù)設(shè)能引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思索、自主探究“開放性問題”，乃至強(qiáng)調(diào)“看過問題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問”教學(xué)方法——講授、問答、訓(xùn)練綜合，不再是單一講授或活動(dòng)，是教師主導(dǎo)取向講授式和學(xué)生自主取向活動(dòng)式融合，強(qiáng)調(diào)“啟發(fā)式講授”主要性第8頁學(xué)習(xí)方式——接收與探究融合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、主動(dòng)性，獨(dú)立思索和合作學(xué)習(xí)結(jié)合教學(xué)過程——知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程（自然、水到渠成）為載體學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維展開、深度參加（教學(xué)有效性）教學(xué)評(píng)價(jià)——教師依據(jù)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行教學(xué)反饋、調(diào)整，學(xué)生經(jīng)過自我監(jiān)控調(diào)整學(xué)習(xí)進(jìn)程，重視形成性評(píng)價(jià)——發(fā)展眼光教學(xué)媒體——追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實(shí)踐性”“有效性”，服務(wù)于數(shù)學(xué)概念、原理實(shí)質(zhì)了解第9頁教育領(lǐng)域中，“全新理念”是不能用來指導(dǎo)教改實(shí)踐，因?yàn)槿瞬懦砷L(zhǎng)沒有重復(fù)機(jī)會(huì)，教育要絕對(duì)防止“折騰”?！靶吕砟睢毙略趯?duì)學(xué)生全方面關(guān)注上。第10頁二、為何“內(nèi)容多課時(shí)少”但又能騰出最少一年時(shí)間高考復(fù)習(xí)內(nèi)容綱領(lǐng)課標(biāo)課標(biāo)－綱領(lǐng)集合64－2簡(jiǎn)易邏輯880函數(shù)概念682指數(shù)函數(shù)76－1對(duì)數(shù)函數(shù)76－1解三角形880第11頁冪函數(shù)11函數(shù)應(yīng)用484數(shù)列1510－5三角函數(shù)2215－7三角恒等變換108－2平面向量1512－3不等式148－6直線和圓方程13185第12頁線性規(guī)劃75－2曲線和方程32－1圓錐曲線1614－2立體幾何3630－6計(jì)數(shù)原理1514－1概率42420統(tǒng)計(jì)92213數(shù)學(xué)歸納法62－4第13頁極限7－7導(dǎo)數(shù)16248（定積分）復(fù)數(shù)74－3算法1212推理與證實(shí)66綱領(lǐng)總課時(shí)數(shù)必修280，選修Ⅱ104，共計(jì)384（含復(fù)習(xí)時(shí)間）課標(biāo)總課時(shí)數(shù)必修180，必選108，系列三36，系列四36，復(fù)習(xí)24課時(shí)，共計(jì)384第14頁立體幾何、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、極限等傳統(tǒng)內(nèi)容課時(shí)量降低；增加了新內(nèi)容，算法12課時(shí)，推理與證實(shí)6課時(shí)；概率統(tǒng)計(jì)大量增加，概率增加5倍，統(tǒng)計(jì)2.5倍，課時(shí)增加33?？傉n時(shí)量保持不變。第15頁騰出時(shí)間“智慧”在那里？增加課時(shí)（每七天增1課時(shí)，兩年最少能夠增72課時(shí)）；壓縮概念、原理教課時(shí)間。有些人說，這都是“高考要求與課標(biāo)要求脫節(jié)”惹禍。真是這么嗎？“夾生飯”再回鍋就做不成可口香米飯了。欲速則不達(dá)?！懊Α?“心亡”。第16頁三、怎樣才算“教完了”？讓學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展過程——“這么能教完嗎？”給學(xué)生吃“壓縮餅干”：基礎(chǔ)知識(shí)——“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”；解題教學(xué)——“題型教學(xué)”，解題技巧大雜燴，“一步到位”。第17頁問題在那里？不“準(zhǔn)”——或者是沒有圍繞概念關(guān)鍵，或者教錯(cuò)了；不“簡(jiǎn)”——在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化了；不“精”——讓學(xué)生在知識(shí)外圍重復(fù)訓(xùn)練，花費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間、精力卻達(dá)不到對(duì)知識(shí)深入了解。第18頁例2函數(shù)概念“注意事項(xiàng)”集合A，B都是數(shù)集；任意性；唯一性；能夠一對(duì)一、多對(duì)一，但不能一對(duì)多；y﹦f(x)是一個(gè)整體，不是f與x乘積；值域C={f(x)|x∈A}是集合B子集；函數(shù)三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定。第19頁在不適當(dāng)時(shí)候、用不適當(dāng)方法強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，把學(xué)生“教糊涂了”。“教完了”應(yīng)該以學(xué)生是否了解為準(zhǔn)，以學(xué)生是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為準(zhǔn)，尤其是學(xué)生到達(dá)數(shù)學(xué)雙基了解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)（注意，雙基包含由內(nèi)容反應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法），而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容“講完”。廣種薄收是懶漢做法。第20頁四、怎樣才是抓“基礎(chǔ)”我國(guó)“雙基”優(yōu)勢(shì)正在喪失；現(xiàn)象：（1）數(shù)學(xué)教學(xué)=題型教學(xué)=刺激—反應(yīng)（記憶、模范型學(xué)習(xí)）；（2）缺乏概念概括過程，以訓(xùn)練代替概念教學(xué)——應(yīng)用能夠促進(jìn)了解，但沒有了解應(yīng)用是盲目標(biāo)；（3）過分關(guān)注“題型”——與“題型”對(duì)應(yīng)技巧是雕蟲小技，無法窮盡，結(jié)果是“講過練過不一定會(huì)，沒講沒練一定不會(huì)”；等。第21頁怎樣改變？要強(qiáng)調(diào)知識(shí)及其蘊(yùn)含思想方法教學(xué)主要性——無知者無能；不?；氐礁拍钊ィ瑥幕靖拍畛霭l(fā)思索問題、處理問題；加強(qiáng)概念聯(lián)絡(luò)性，從概念聯(lián)絡(luò)中尋找處理問題新思緒。應(yīng)追求處理問題“根本大法”——基本概念所蘊(yùn)含思想方法，強(qiáng)調(diào)思想指導(dǎo)下操作。第22頁例3向量加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)先行組織者：類比數(shù)及其運(yùn)算，引進(jìn)一個(gè)量就要研究運(yùn)算，引進(jìn)一個(gè)運(yùn)算就要研究運(yùn)算律。回顧力合成、速度合成等物理原理。學(xué)生看書，匯報(bào)對(duì)定義和三角形法則、平行四邊形法則了解，其中尤其要注意對(duì)“關(guān)鍵詞”了解，要求用自己語言描述。第23頁已知向量a，b不共線，作出a+b，并說明作法。假如向量a，b共線，怎樣作a+b？與實(shí)數(shù)加法運(yùn)算有什么關(guān)系？第24頁五、探究式教學(xué)天時(shí)地利人和天時(shí)：建設(shè)創(chuàng)新型社會(huì)，教育“以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)”；地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于“探究”——有內(nèi)容不宜，如公理、定義名稱、要求等；但更多內(nèi)容可采取探究式教學(xué)；第25頁例4直線與平面垂直定義先讓學(xué)生“直觀感受”這種位置關(guān)系，給出定義，把主要精力放在對(duì)“合理性”認(rèn)識(shí)上，經(jīng)過正、反例了解定義關(guān)鍵詞。必須向?qū)W生交待清楚：用“說得清道得明”幾何關(guān)系（即“直線與直線垂直”）來定義“無法說清”幾何關(guān)系（即“直線與平面垂直”）是一個(gè)公理化思想，學(xué)生則只要采取接收式學(xué)習(xí)方式即可。第26頁例5適宜探究?jī)?nèi)容舉例等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式——從詳細(xì)數(shù)列求和中提煉概括思想方法：不相同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，實(shí)現(xiàn)化歸依據(jù)是等差數(shù)列性質(zhì)；平面向量基本定理——在“用向量及其運(yùn)算表示幾何元素”思想下，聯(lián)絡(luò)建立直角坐標(biāo)系方法、兩條相交直線確定一個(gè)平面等經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生探究而取得結(jié)論；誘導(dǎo)公式——在“三角函數(shù)是（單位）圓幾何性質(zhì)代數(shù)表示”思想下，探究終邊關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)以及直線y=x對(duì)稱兩個(gè)角關(guān)系，而得到全部公式。第27頁人和：師生共同營(yíng)造“探究氣氛”，有賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)心向”，也有賴于教師“探究型教學(xué)意識(shí)”。數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中相關(guān)鍵作用，需要教師啟發(fā)引導(dǎo)——注意使用“先行組織者”。探究性學(xué)習(xí)要融入日常學(xué)習(xí)，成為“長(zhǎng)期化”學(xué)習(xí)方式。第28頁例6在“聯(lián)絡(luò)與綜合”思想指導(dǎo)下探究性學(xué)習(xí)直線參數(shù)方程：平面直角坐標(biāo)系中，確定直線幾何要素；參數(shù)思想——點(diǎn)P坐標(biāo)由參數(shù)t唯一確定；有向線段；方向向量；三角函數(shù)；百分比；……第29頁不一樣聯(lián)絡(luò)方式下教學(xué)設(shè)計(jì)參數(shù)方程：坐標(biāo)x，y作為參數(shù)t函數(shù)——以確定曲線幾何要素為基點(diǎn)，考查坐標(biāo)隨哪一要素改變而改變。找一座“橋”，把任意一點(diǎn)P(x，y)與確定直線幾何要素（傾斜角α、點(diǎn)P(x0，y0)）聯(lián)絡(luò)起來。第30頁與幾何、三角聯(lián)絡(luò)將P(x，y)、α、

yP(x0，y0)在直角坐標(biāo)P系中表示出來，能夠P0M看到P0P橋梁作用。Ox第31頁與向量聯(lián)絡(luò)向量代數(shù)是坐標(biāo)幾何返璞歸真精益求精數(shù)軸：原點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度單位數(shù)軸上點(diǎn)坐標(biāo)——數(shù)乘運(yùn)算直角坐標(biāo)系中直線——與數(shù)軸沒有本質(zhì)區(qū)分：點(diǎn)P(x0，y0)——原點(diǎn)傾斜角α——方向方向向量——長(zhǎng)度單位直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)——數(shù)乘運(yùn)算第32頁純粹代數(shù)、三角變換由直線方程y－y0=tanα（x－x0）出發(fā)代數(shù)變換：這一過程無法反應(yīng)參數(shù)幾何意義第33頁“我校生源差，重復(fù)講還記不住，怎能讓學(xué)生自主探究？”——學(xué)習(xí)是知與行統(tǒng)一，只“講”必定不會(huì)；探究是深層次思維活動(dòng)，是“心動(dòng)”與“行動(dòng)”融合。生源越差越要精心組織學(xué)生探究活動(dòng)，怎樣鋪設(shè)探究臺(tái)階是對(duì)教師考驗(yàn)。比如，誘導(dǎo)公式探究，能夠從探究詳細(xì)角（如π/3和－π/3）三角函數(shù)關(guān)系開始。第34頁六、概念教學(xué)要義是什么？概念教學(xué)關(guān)鍵——概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中數(shù)學(xué)家思維打開，以經(jīng)典豐富實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念；先“舉三反一”，再“舉一反三”：先用經(jīng)典、豐富詳細(xì)事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性；再把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中。第35頁概念教學(xué)基本步驟經(jīng)典豐富詳細(xì)例證——屬性分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念本質(zhì)屬性；下定義（準(zhǔn)確數(shù)學(xué)語言描述）；概念辨析——以實(shí)例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞含義；用概念作判斷詳細(xì)事例——形成用概念作判斷詳細(xì)步驟；概念“精巧”——建立與相關(guān)概念聯(lián)絡(luò)。第36頁例7函數(shù)奇偶性教學(xué)急功近利做法（1）給出函數(shù)y=x2和y=x圖像，并提出問題：假如從圖象對(duì)稱性觀察，兩個(gè)圖像各有什么特點(diǎn)？（2）給表格并提問：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？（3）能否描述一下函數(shù)y=x2特征？第37頁學(xué)生回答：對(duì)于y=x2，當(dāng)x取任意數(shù)時(shí)y都取正數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等；……（4）對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，是否都有

f(－x)＝f(x)？（5）能否描述一下偶函數(shù)定義？——“一個(gè)函數(shù)打天下”，缺乏概括基礎(chǔ)。第38頁重視概括過程做法經(jīng)典、豐富例證——不止一個(gè)：y=x2，y=|x|，

y=x2－2……；從觀察圖像、概括共同特征入手；列表，從數(shù)角度描述特征；形、數(shù)對(duì)照——從形到數(shù)——用函數(shù)符號(hào)語言描述特征；概念精巧：內(nèi)涵、外延深加工，概念要素詳細(xì)界定；組織——建立相關(guān)知識(shí)聯(lián)絡(luò)。第39頁七、怎樣了解螺旋上升、循序漸進(jìn)？“模塊化”體系下，立體幾何、解析幾何、概率、統(tǒng)計(jì)等都采取“螺旋上升”式，怎么看？螺旋上升現(xiàn)有數(shù)學(xué)概念發(fā)展史依據(jù)，也有學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律依據(jù)；螺旋上升應(yīng)該表達(dá)“必要性”，如函數(shù)概念必須螺旋式學(xué)習(xí)，但解析幾何無須搞三個(gè)螺旋；第40頁“螺旋式”可能產(chǎn)生問題是重復(fù)學(xué)習(xí)——統(tǒng)計(jì)與概率問題；主要數(shù)學(xué)思想方法必須得到“螺旋上升地重復(fù)”——“隱性知識(shí)”，“能夠意會(huì)不可言傳”，要經(jīng)歷“滲透——概括——應(yīng)用”學(xué)習(xí)階段。第41頁例8概念多元聯(lián)絡(luò)表示表達(dá)螺旋上升百分比關(guān)系：算術(shù)——比和百分比、百分?jǐn)?shù)、百分比尺；平面幾何——線段比和百分比、相同形等；解析幾何——斜率、線性方程；統(tǒng)計(jì)與概率——統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率。當(dāng)利用基本幾何概念（如相同）和代數(shù)概念（如線性關(guān)系）引入百分比概念時(shí)，學(xué)生對(duì)百分比關(guān)系了解就會(huì)更深刻。第42頁八、怎樣了解“不是教教材，是用教材教”？現(xiàn)象：脫離教材，大量使用教輔；原因：教材內(nèi)容“簡(jiǎn)單”，不足以應(yīng)付高考；對(duì)“不是教教材，而是用教材教”、“創(chuàng)造性使用教材”意圖有誤解；有教師不善于或不愿意花大力氣研究教材。第43頁我看法“不是教教材，而是用教材教”≠“脫離教材”，是針對(duì)“照本宣科”；教材“基礎(chǔ)性”與高考“選拔性”有目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好成績(jī)前提，教師主要精力應(yīng)該放在幫助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上。第44頁了解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師前提，而“了解教材”第一要義是“了解數(shù)學(xué)”：了解數(shù)學(xué)概念背景，把握概念邏輯意義，了解內(nèi)容所反應(yīng)思想方法，挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含科學(xué)方法、理性思維過程和價(jià)值觀資源，區(qū)分關(guān)鍵知識(shí)和非關(guān)鍵知識(shí)等。書本、書本，一科之本。課堂教學(xué)應(yīng)“以書本為本”。第45頁例9函數(shù)概念概括過程設(shè)計(jì)目標(biāo)：反應(yīng)函數(shù)概念本質(zhì)，形成正確函數(shù)概念“對(duì)應(yīng)關(guān)系”了解，y=f(x)中，符號(hào)f、x、y含義，f表現(xiàn)形式多樣性、本質(zhì)一致性（三要素）——既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，尤其重視用表格、圖象表示對(duì)應(yīng)關(guān)系使用，目標(biāo)是幫助學(xué)生從“多元聯(lián)絡(luò)表示”上深入思索，為突破難點(diǎn)奠定基礎(chǔ)；第46頁（1）從經(jīng)典實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念目標(biāo)：加強(qiáng)背景，表達(dá)“函數(shù)模型”思想；加強(qiáng)概念形成過程；在學(xué)生頭腦中形成豐富函數(shù)例證。抽象概念學(xué)習(xí)要從詳細(xì)例證開始了解抽象概念需要詳細(xì)例證支持用“歸納式”構(gòu)建教學(xué)過程第47頁（2）精心選擇實(shí)例

解析式、圖象、表格目標(biāo)——形成正確函數(shù)概念：函數(shù)是刻畫變量間依賴關(guān)系法則；不一定都有解析式，即對(duì)應(yīng)關(guān)系f能夠是解析式，也能夠是圖，還能夠是表格；加強(qiáng)用集合與對(duì)應(yīng)語言描述兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系引導(dǎo)；不在細(xì)節(jié)上過分糾纏。第48頁（3）讓學(xué)生結(jié)構(gòu)詳細(xì)背景解釋抽象解析式函數(shù)y=x2，x∈R對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？請(qǐng)結(jié)構(gòu)一個(gè)詳細(xì)背景，解釋這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。結(jié)構(gòu)一個(gè)實(shí)際背景，解釋函數(shù)y=對(duì)應(yīng)關(guān)系。第49頁九、重結(jié)果輕過程危害是什么？數(shù)學(xué)是思維科學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中?！八枷搿笔歉拍铎`魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”源泉，是從技能到能力橋梁；“過程”是“思想”載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)平臺(tái)，是思維訓(xùn)練通道，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力土壤。第50頁沒有過程=沒有思想；沒有思想就難以了解概念實(shí)質(zhì)；缺乏數(shù)學(xué)思想方法紐帶，概念間關(guān)系無法認(rèn)識(shí)、聯(lián)絡(luò)也難以建立，造成學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可區(qū)分性和穩(wěn)定性等“功效指標(biāo)”都會(huì)大打折扣。沒有“過程”教學(xué)把“思維體操”降格為“刺激—反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中集中表現(xiàn)。第51頁例10“遞推數(shù)列”教學(xué)常見做法——?dú)w納題型，總結(jié)技巧：1．利用a1=S1，an=Sn－Sn-12．a(chǎn)n+1=kan+b型，分k=1和k≠1討論，

k≠1時(shí)，設(shè)an+1+m=k（an

+m），……3．a(chǎn)n+1=kan

+f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和，k≠1、f(n)=an+b，

f(n)=qn(q≠0，1)，等；4．a(chǎn)n+1=f(n)an型；5.

an+2=pan+1+qan(p、q為常數(shù))型；……題型套題型，題型何其多，沒有思想方法作為根本，雜亂無章。第52頁an+1=pan

+q型通項(xiàng)公式教學(xué)設(shè)計(jì)求an+1=pan

+q型數(shù)列通項(xiàng)公式問題，普通地，抽象問題詳細(xì)化、普通問題特殊化是研究問題基本策略。問題1已知a1=1，an+1=2an+1（n＞1），求通項(xiàng)公式。問題2已知a1=1，an+1=2an+3（n＞1），求通項(xiàng)公式。問題3已知a1=1，an+1=3an+1（n＞1），求通項(xiàng)公式。第53頁問題1、2能夠“湊”，但問題3不能，怎么辦？注意觀察前兩個(gè)問題處理過程，轉(zhuǎn)化得到結(jié)構(gòu)有什么共性？對(duì)處理問題3有什么啟發(fā)？結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為an+1+t=k(an+t)形式。問題4普通地，對(duì)于a1=a，an+1=pan+1+q，怎樣求通項(xiàng)公式？——因?yàn)橥茝V到了“同類事物”，所以要注意“完備性”，細(xì)節(jié)、特例追究。第54頁十、什么才是“數(shù)學(xué)思維教學(xué)”比較流行教學(xué)有兩種：一是數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)；二是辛勤挖掘“細(xì)枝末節(jié)”，并在細(xì)枝末節(jié)上對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，認(rèn)為這是對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練，比如，對(duì)零向量“辛勤耕耘”：怎樣表示0向量？0向量長(zhǎng)度為何為0，方向任意？a∥b，b∥c，那么a∥c嗎？零向量與零向量相等嗎？a=b

則a∥b，對(duì)嗎？a∥b，則a與b方向相同或相反，對(duì)嗎？第55頁例11“柯西不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)引入：均值不等式推廣方法為引子，指出探究方向能夠是“指數(shù)推廣”、“元數(shù)推廣”等。這些做完了，還能不能有其它方向探究。問題1：比較(a2

+b2)(c2

+d2)與(ac

+bd)2大小關(guān)系。追問：還有別方法嗎？(a2

+b2)(c2

+d2)

≥(ac

+bd)2結(jié)構(gòu)能給我們什么聯(lián)想和啟發(fā)？——結(jié)構(gòu)函數(shù)y=(a2

+b2)x2

+2(ac

+bd)x

+(c2

+d2)。第56頁問題2：你能對(duì)這一不等式作出幾何解釋嗎？問題3：將這一不等式作出推廣，給出證實(shí)和對(duì)應(yīng)幾何解釋，并說明你在推廣不等式時(shí)思緒。問題4：你認(rèn)為柯西不等式有怎樣結(jié)構(gòu)特征？第