統(tǒng)計(jì)學(xué)教程：第8章 方差分析

《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第8章方差分析

2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第8章方差分析8.1方差分析的一般問(wèn)題

8.1.1方差分析的基本原理

8.1.2方差分析的基本假定8.2單因素方差分析

8.2.1單因素方差分析的步驟

8.2.2方差分析表

8.2.3方差分析中的多重比較8.3雙因素方差分析

8.3.1無(wú)交互作用的雙因素方差分析

8.3.2有交互作用的雙因素方差分析

第8章方差分析

8.1方差分析的一般問(wèn)題《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

第8章方差分析

8.1方差分析的一般問(wèn)題8.1.1方差分析的基本原理方差分析可以用來(lái)分析和判斷多個(gè)樣本的特征數(shù)值之間有無(wú)顯著差異。以均值為例，當(dāng)多個(gè)樣本為來(lái)自某一受控因素不同水平的觀察數(shù)值時(shí)，若該多個(gè)樣本的各自均值之間不存在顯著差異，即表明這一受控因素的不同水平對(duì)變動(dòng)的影響是不顯著的，屬于隨機(jī)因素引起的隨機(jī)變動(dòng)；反之，若該多個(gè)樣本的各自均值之間存在著顯著差異，即表明這一受控因素的不同水平對(duì)變動(dòng)的影響是顯著的，屬于受控因素引起系統(tǒng)性的變動(dòng)。

因素（Factor）是指方差分析所要檢驗(yàn)的對(duì)象，也稱為因子。水平（Level）是指方差分析因素的具體表現(xiàn)，也稱為處理（Treatment）。觀察值（ObservationalValue）是指在具體的因素水平下的樣本數(shù)據(jù)。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.1方差分析的一般問(wèn)題

例8.1某企業(yè)為了分析研究成品車間的產(chǎn)品質(zhì)量控制問(wèn)題，對(duì)該車間的5個(gè)班組的產(chǎn)品優(yōu)等品率進(jìn)行了一次抽查，在每個(gè)班組獨(dú)立地抽取了5個(gè)優(yōu)等品率數(shù)據(jù)構(gòu)成了隨機(jī)樣本。表8.1某企業(yè)成品車間5個(gè)班組優(yōu)等品率抽查情況%

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8.1方差分析的一般問(wèn)題

因此，方差分析是依據(jù)具體的因素水平下的觀察值，對(duì)因素進(jìn)行顯著性假設(shè)檢驗(yàn)的方法和過(guò)程。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.1方差分析的一般問(wèn)題

在方差分析中，各樣本觀察值之間的差異稱之為總差異，用總離差平方和來(lái)表示?？傠x差平方和（SumofSquares）是每一觀察值與其總均值的離差的平方的總和。根據(jù)因素的不同水平，方差分析將觀察值之間的差異以及總離差平方和分解為兩部分。一部分是同一水平下觀察值之間的差異，稱之為組內(nèi)離差，通常用組內(nèi)離差平方和來(lái)度量（SumofSquaresWithinGroups）；另一部分是不同水平觀察值之間的差異，稱之為組間離差，通常用組間離差平方和（SumofSquaresBetweenGroups）來(lái)度量，例如表8.1中5個(gè)班組觀察值均值之間的差異，就是組內(nèi)離差，采用每一班組觀察值的樣本均值與總均值之間離差的平方和來(lái)度量。方差分析是將具體的因素水平下觀察值的差異分解為不受因素水平影響的組內(nèi)離差，和受到因素水平影響的組間離差，并通過(guò)顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，來(lái)判斷所研究的因素是否具有顯著的系統(tǒng)性變動(dòng)特征的方法和過(guò)程。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.1方差分析的一般問(wèn)題8.1.2方差分析的基本假定方差分析基本假定的一般性的表述為，設(shè)因素A有個(gè)k水平，在每個(gè)具體水平下，總體分布為。注意這里個(gè)總體方差均相等，并且在每個(gè)水平下抽取一個(gè)樣本，所取得的個(gè)樣本相互獨(dú)立。顯然，以上表述規(guī)定了方差分析的3項(xiàng)基本假定。

1．每個(gè)總體均服從正態(tài)分布。對(duì)應(yīng)于具體因素的每一個(gè)水平，其觀測(cè)值都是來(lái)自正態(tài)總體。

2．每個(gè)總體具有同等方差，即方差齊性要求。對(duì)應(yīng)于具體因素的每一個(gè)水平，其觀測(cè)值都是來(lái)自具有同等的方差的正態(tài)總體。

3．觀測(cè)值都是相互獨(dú)立的。每一觀測(cè)值都是來(lái)自具有同等方差的正態(tài)總體的獨(dú)自同分布樣本。第8章方差分析

8.2單因素方差分析《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析8.2.1單因素方差分析的步驟1．提出假設(shè)方差分析的第一步就是建立假設(shè)。按照具體的水平，針對(duì)所檢驗(yàn)的對(duì)象提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，當(dāng)因素有個(gè)k水平時(shí)，需要提出如下假設(shè)。

不全相等原假設(shè)表示在不同的下的各個(gè)總體均值相等，即不同的水平對(duì)總體均值沒(méi)有顯著影響；備擇假設(shè)表示在不同的下的各個(gè)總體均值不全相等，至少有一個(gè)總體均值與其它總體均值不等，即該因素的不同的水平對(duì)總體均值存在顯著影響。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析2．計(jì)算均值（1）水平均值水平均值（LevelMean）是指根據(jù)具體水平下的觀察值的均值。一般將第項(xiàng)水平的水平均值記為，有計(jì)算公式為

（8.1）（2）總均值總均值（TotalMean）是指全部觀察值的均值，也為水平均值的均值?？偩狄话阌洖?，有

（8.2）2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析

按照式（8.1），由表8.1的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出例8.1中各組的水平均值。表8.2某企業(yè)成品車間5個(gè)班組優(yōu)等品率水平均值%

按照式（8.2），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出例8.1的中該企業(yè)成品車間5個(gè)班組優(yōu)等品率的總均值為86.04%。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析3．計(jì)算離差平方和（1）總離差平方和總離差平方和（SumofSquaresforTotal,SST）是指全部觀察值與總均值的離差的平方和，反映了全部觀察值離散程度的總規(guī)模。有

（8.3）按照式（8.3），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出例8.1的總離差平方和SST為286.96。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析（2）水平項(xiàng)差平方和水平項(xiàng)離差平方和（SumofSquaresforFactorA,SSA）是指各項(xiàng)水平的水平均值與總均值的離差的平方和，反映了各項(xiàng)水平代表性數(shù)值——各項(xiàng)水平均值之間離散程度的規(guī)模。有

（8.4）

按照式（8.4），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出例8.1的水平項(xiàng)離差平方和SSA為183.76。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析（3）誤差項(xiàng)離差平方和誤差項(xiàng)離差平方和（SumofSquaresforError，SSE）是指各項(xiàng)水平的觀察值與其水平均值的離差的平方和之和，反映了各項(xiàng)水平內(nèi)部觀察值離散程度的總和。有

（8.5）按照式（8.5），由表8.2的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出例8.1的誤差項(xiàng)離差平方和SSE為103.20。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析（4）離差平方和之間的關(guān)系從方差分析的角度，在三項(xiàng)離差平方和中，總離差平方和SST所度量的離散程度包括了全部觀察值的所有變異；水平項(xiàng)離差平方和SSA是對(duì)各項(xiàng)水平之間的差異程度進(jìn)行度量的測(cè)度，即包括了隨機(jī)離差，又包括了系統(tǒng)離差；誤差項(xiàng)離差平方和SSE反映的是各個(gè)水平內(nèi)部的離散程度，僅僅包括隨機(jī)離差。這三項(xiàng)離差平方和存在著水平項(xiàng)離差平方和SSA與誤差項(xiàng)離差平方和SSE之和等于總離差平方和SST的數(shù)量對(duì)等關(guān)系。即

（8.6）因此，可以通過(guò)比較水平項(xiàng)離差平方和SSA與誤差項(xiàng)離差平方和SSE數(shù)值，對(duì)所設(shè)定的因素的不同水平對(duì)總體均值沒(méi)有顯著影響的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，最終作出接受還是拒絕原假設(shè)的判斷。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析4．計(jì)算均方均方（MeanSquare）是指離差平方除以其自由度的商。計(jì)算均方的關(guān)鍵是正確地確定各離差平方的自由度。（1）SSA的均方MSA

水平項(xiàng)離差平方和SSA的自由度為k-1，則有其均方MSA為

（8.7）按照式（8.7），可計(jì)算出例8.1的MSA為45.94。（2）SSE的均方MSE

誤差項(xiàng)離差平方和SSE的自由度為n-k，則有其均方MSE為

（8.8）按照式（8.8），可計(jì)算出例8.1的MSE為5.16。

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8.2單因素方差分析（3）SST的均方MST

總離差離差平方和SST的自由度為n-1，則有其均方MST為

（8.9）總離差平方和SST是由個(gè)觀察值計(jì)算的離差平方和，并含有1個(gè)線性約束條件，所以總離差平方和SST的自由度為n-1。顯然有水平項(xiàng)離差平方和SSA與誤差項(xiàng)離差平方和SSE兩者的自由度之和，等于總離差平方和SST的自由度，即n-1=(k-1)+(n-k)。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析5．計(jì)算F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量誤差項(xiàng)離差平方和SSE與總體方差之比服從自由度為的卡方分布，即

（8.10）水平項(xiàng)離差平方和SSA與總體方差之比服從自由度為的卡方分布，即

（8.11）有式（8.9）和式（8.10）的比值服從第一自由度為k-1，第二自由度為n-k的F分布，即

（8.12）由式（8.12），可計(jì)算出例8.1的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值為8.9031。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析6．統(tǒng)計(jì)判斷在計(jì)算出F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值之后，將F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值與給定的顯著性水平的F分布臨界數(shù)值相比較，作出接受還是拒絕原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)判斷。若F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值落在由F分布臨界數(shù)值界定的接受域內(nèi)，則接受原假設(shè)；反之，便拒絕原假設(shè)。

例8.1的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為8.9031，在顯著性水平為0.05時(shí)，有F檢驗(yàn)臨界值為2.8661。顯然，F(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值8.9031大于F分布的臨界數(shù)值。因此，作出拒絕原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)判斷，認(rèn)為不同的班組是該企業(yè)成品車間產(chǎn)品質(zhì)量的顯著性影響因素。

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8.2單因素方差分析8.2.2方差分析表表8.3方差分析表表8.4Excel單因素方差分析表2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析8.2.3方差分析中的多重比較當(dāng)方差分析得出拒絕原假設(shè)時(shí)，不能由此推斷該因素各水平兩兩之間都存在顯著差異。在方差分析中，將解決這類問(wèn)題的方法稱為方差分析中的多重比較。多重比較方法（MultipleComparisonProcedures）是指通過(guò)不同水平均值之間的兩兩配對(duì)比較，來(lái)檢驗(yàn)各個(gè)總體均值之間是否存在顯著差異的假設(shè)檢驗(yàn)方法和過(guò)程。最小顯著性差異法是一種使用比較普遍的多重比較方法。最小顯著性差異法（LeastSignificantDifference,LSD）是指在方差分析中，采用T統(tǒng)計(jì)量對(duì)各水平是否存在顯著差異進(jìn)行逐一兩兩配對(duì)比較的假設(shè)檢驗(yàn)方法。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析

在第7章中，討論了在兩個(gè)服從正態(tài)分布總體的方差和為未知且相等的場(chǎng)合，對(duì)總體均值假之差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，采用統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，可以在方差分析關(guān)于方差勻性（方差相等）的前提下，引申出對(duì)于多個(gè)個(gè)總體均值的統(tǒng)計(jì)量假設(shè)檢驗(yàn)方法。有

（8.14）當(dāng)各水平的觀測(cè)值個(gè)數(shù)相等時(shí)。則式（8.14）又可簡(jiǎn)約地寫為

（8.15）2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.2單因素方差分析

例8.2采用例8.1中各組觀測(cè)值表8.1和表8.2中各組水平均值數(shù)據(jù)，采用最小顯著性差異法，檢驗(yàn)各組總體均值之間的差異是否顯著。解要求檢驗(yàn)各組總體均值之間的差異是否顯著，意味著需要進(jìn)行5個(gè)水平的成對(duì)組合數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，即進(jìn)行10項(xiàng)假設(shè)檢驗(yàn)?？梢詫⒋思僭O(shè)檢驗(yàn)依次分為4組。在顯著性水平為0.05，自由度為20的雙側(cè)檢驗(yàn)臨界值為2.08596。表8.5采用最小顯著性差異法計(jì)算的例8.1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第8章方差分析

8.3雙因素方差分析《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析

雙因素方差分析（Two-WayAnalysisofVariance）是指所要檢驗(yàn)的對(duì)象為兩個(gè)的情況下的方差分析。根據(jù)因素之間的效應(yīng)是否獨(dú)立，可以將雙因素方差分析分為兩種類型。一種是假定A因素與B因素之間是相互獨(dú)立，無(wú)交互作用的雙因素方差分析；另一種是假定A因素與B因素之間是有交互作用的雙因素方差分析。

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8.3雙因素方差分析8.3.1無(wú)交互作用的雙因素方差分析無(wú)交互作用的雙因素方差分析也被稱為無(wú)重復(fù)雙因素方差分析。所謂無(wú)交互作用強(qiáng)調(diào)的是A因素與B因素之間相互獨(dú)立的特征；所謂無(wú)重復(fù)強(qiáng)調(diào)的是由A因素與B因素交互構(gòu)成的任一組合，僅包含一項(xiàng)觀測(cè)值，不能進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)的這一特征。在不能進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)的場(chǎng)合，也就不能分析因素與因素之間的交互作用。1．?dāng)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在無(wú)交互作用的雙因素方差分析中，一般將一個(gè)因素安排在數(shù)據(jù)表的“行（Row）”的位置上，例如表8.6中的因素，稱之為行因素，并用序號(hào)1到s表示；將另一個(gè)因素安排在數(shù)據(jù)表的“列（Column）”的位置上，例如表8.6中的因素，稱之為列因素，并用序號(hào)1到k表示。行因素和列因素的每一個(gè)水平都可以構(gòu)成一項(xiàng)觀察值，一共有項(xiàng)觀察值，通過(guò)觀察值來(lái)反映這兩個(gè)因素對(duì)的共同影響。雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表8.6所示。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析表8.6雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析2.分析步驟（1）提出假設(shè)在雙因素方差分析中，需要對(duì)兩個(gè)因素分別提出假設(shè)。對(duì)排列在行上的因素提出假設(shè)，為

不全相等同時(shí)對(duì)排列在列上的因素提出假設(shè)，為

不全相等2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析（2）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量仍然從總離差平方和SST出發(fā)，有

（8.20）式（8.20）中等號(hào)右邊第一項(xiàng)為列因素（ColumnFactor）的水平均值與總均值的離差平方和，記為SSC。有

（8.21）其自由度為k-1，則SSC的均方為MSC。有

（8.22）2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析

第二項(xiàng)為行因素（RowFactor）的水平均值與總均值的離差平方和。記為SSR。有

（8.23）其自由度為s-1，則SSR的均方為MSR。有

（8.24）第三項(xiàng)是除掉列因素和行因素之外的剩余因素影響形成的離差平方和。記為SSE。有

（8.25）其自由度為(s-1)(k-1)，則SSE的均方為MSE。有

（8.26）2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析

由以上三項(xiàng)均方MSC、MSR和MSE,可以構(gòu)成兩項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。其中，檢驗(yàn)列因素是否具有顯著性影響的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

（8.27）檢驗(yàn)行因素是否具有顯著性影響的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

（8.28）在無(wú)交互作用的雙因素方差分析中，有總離差平方和SST的自由度仍為n-1。同時(shí)，水平項(xiàng)離差平方SSA和、誤差項(xiàng)離差平方和SSE，與剩余因素影響離差平方和SSE三者的自由度之和，應(yīng)等于總離差平方和SST的自由度，在這里有n=ks。2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析（3）統(tǒng)計(jì)判斷將由式（8.27）和式（8.28）計(jì)算出來(lái)的兩項(xiàng)F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，分別與給定的顯著性水平的F分布的臨界數(shù)值相比較，作出接受還是拒絕原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)判斷。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值樓在落在由F分布的臨界數(shù)值界定的接受域內(nèi)，則接受原假設(shè)；反之，則拒絕原假設(shè)。

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第8章方差分析

例8.3在一次職工收入水平調(diào)查中，采集了甲、乙、丙、丁四個(gè)城市的A、B、C、D、E五類職業(yè)月收入數(shù)據(jù)。采用無(wú)交互作用的雙因素方差分析方法判斷城市和職業(yè)類型這兩個(gè)因素對(duì)職工收入是否有顯著影響。解計(jì)算出各行各列的水平均值，和全部觀測(cè)值的總均值。表8.8職業(yè)月收入情況雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表元8.3雙因素方差分析2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析（1）提出原假設(shè)行因素（職業(yè)）列因素（城市）備擇假設(shè)可以省略，不用列出。（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量按照有關(guān)公式，逐一計(jì)算出各項(xiàng)離差平方和、自由度、均方、檢驗(yàn)值，并將這些數(shù)據(jù)依照計(jì)算的次序列在方差分析表中。表8.9職業(yè)月收入情況雙因素方差分析表2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

第8章方差分析

8.3雙因素方差分析8.3.2有交互作用的雙因素方差分析在雙因素方差分析中，若A、B兩個(gè)因素不相互獨(dú)立，因素之間的組合還會(huì)產(chǎn)生一種新的效應(yīng)時(shí)，就需要采用有交互作用的雙因素方差分析方法，不僅分析A、B兩個(gè)因素本身各自的獨(dú)立的效應(yīng)，還要對(duì)雙因素的組合所產(chǎn)生的交互作用進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。為了進(jìn)行針對(duì)交互作用的顯著性檢驗(yàn)，需要對(duì)、兩個(gè)因素的任一組合進(jìn)行多次觀測(cè)，獲得多項(xiàng)觀測(cè)值。因此,有交互作用的雙因素方差分析也被稱為可重復(fù)雙因素方差分析,它強(qiáng)調(diào)了由、兩個(gè)因素構(gòu)成的每一組合均包含有多項(xiàng)觀測(cè)值，即對(duì)其進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)的這一特征。在有交互作用的雙因素方差分析中，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造?？傠x差平方，仍記為SST。（8.29）2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析

列因素（ColumnFactor）的水平均值與總均值的離差平方和，仍記為SSC。有

（8.30）其自由度仍為k-1，則SSC的均方為

（8.31）行因素（RowFactor）的水平均值與總均值的離差平方和。仍記為SSR。有

（8.32）其自由度仍為s-1，則SSR的均方為

（8.33）2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

第8章方差分析

8.3雙因素方差分析

列因素和行因素的交互作用的離差平方和。記為SSRC。有

（8.34）其自由度為(s-1)(k-1)，則有SSRC的均方為

（8.35）將除掉列因素和行因素，以及列因素和行因素的交互作用之外的剩余因素影響形成的離差平方和，記為SSE。有

（8.36）其自由度為ks(m-1)，則有SSE的均方為

（8.37）2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

第8章方差分析

由以上四項(xiàng)均方MSC、MSR、MSRC和MSE,可以構(gòu)成三項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。其中，檢驗(yàn)列因素是否具有顯著性影響的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（8.38）檢驗(yàn)行因素是否具有顯著性影響的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（8.39）檢驗(yàn)列因素和行因素的交互作用是否具有顯著性影響的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（8.40）8.3雙因素方差分析2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

第8章方差分析

8.3雙因素方差分析

例8.4

某化工企業(yè)為了提高其產(chǎn)品收率，對(duì)生產(chǎn)工藝進(jìn)行改造，在現(xiàn)有配方中投入了、兩種新原料，并對(duì)、兩種新原料都設(shè)定了高、中、低三個(gè)水平，對(duì)其水平的每一大搭配進(jìn)行了3次測(cè)試，測(cè)試的數(shù)據(jù)如。試采用有交互作用的雙因素方差分析方法，判斷原料、原料，以及、兩種原料的交互作用對(duì)該化工產(chǎn)品的收率是否有顯著影響。表8.10兩種新原料對(duì)收率的影響情況%2024年7月9日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)》

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8.3雙因素方差分析表8.11職業(yè)月收入情況雙因素方差分析表表8.11中“F臨界值*”是在顯著性水平為0.05下，根據(jù)相關(guān)檢驗(yàn)量的自由度確定假設(shè)檢驗(yàn)的臨界值；“F臨界值**”是在顯著性水平為0.01下，根據(jù)相關(guān)檢驗(yàn)量的自由度確定假設(shè)檢驗(yàn)的臨界值?？梢哉J(rèn)為原料A、原料B，以及A、B兩種原料的交互作用對(duì)該化工產(chǎn)品的收率均具有顯著影響。其中，A、B兩種原料的交互作用對(duì)該化工產(chǎn)品的收率的影響特別顯著，該企業(yè)在產(chǎn)生工藝改造時(shí)務(wù)必要注意