高考數(shù)學(xué)微專題集專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用(原卷版+解析)

專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】近年來，高考、高校自主招生考試以及各類數(shù)學(xué)競賽中都更加突出考察學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用，同時(shí)也加大了數(shù)學(xué)運(yùn)算量，而往往也是這些綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大的數(shù)學(xué)試題成為拉開我們數(shù)學(xué)成績的分水嶺．在圓錐曲線中，經(jīng)常遇到的題目有曲線方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、切線相關(guān)問題等，如果運(yùn)用一般的方法，不但計(jì)算復(fù)雜繁瑣，而且非常容易出錯(cuò)，這時(shí)就需要借助巧妙方法，結(jié)合圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)加以求解，不失為一種簡便又精確的好方法，這不僅會給改卷老師以耳目一新的感覺，還有助于我們?nèi)〉酶叻郑疚难芯亢妥C明了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，并舉例說明雙曲線光學(xué)性質(zhì)在求解雙曲線問題中的巧妙應(yīng)用．一、雙曲線光學(xué)性質(zhì)及其證明1．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：【定理】從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）．雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)在天文望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)等方面有實(shí)際應(yīng)用．二、雙曲線光學(xué)性質(zhì)及其證明1．幾個(gè)引理雙曲線光學(xué)性質(zhì)的證明，可以分幾何證法和代數(shù)證法．幾何證明需要用到以下幾個(gè)引理：【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即，得證．【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有，即，得證．【引理3】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．證明：連接交雙曲線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有；當(dāng)時(shí)，同理可證．在這里我們把雙曲線的光學(xué)性質(zhì)定理1轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)命題例1，并給出幾何證法和代數(shù)證法．2．雙曲線光學(xué)性質(zhì)的幾何證明例11．已知，如圖，雙曲線，分別其左、右焦點(diǎn)，是過雙曲線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），連接并延長，在延長線上取點(diǎn)．求證：．（人射角等于反射角）3．雙曲線光學(xué)性質(zhì)的代數(shù)證明同橢圓類似，同理可給出雙曲線光學(xué)性質(zhì)的代數(shù)證法，過程略．三、雙曲線光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)的應(yīng)用上面我們用幾何法和代數(shù)法怎么了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，實(shí)際上，如果把光源改為聲源，上述結(jié)論仍成立，即圓錐曲線也具有跟光學(xué)性質(zhì)相似的聲學(xué)性質(zhì)．1．解決入射與反射問題例22．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點(diǎn)后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．例3(2023·湖南衡陽·二模）3．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請解決下面問題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為的平分線，則下列正確的是（

）A．B．C．點(diǎn)到軸的距離為D．的角平分線所在直線的傾斜角為2．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用雙曲線的光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，下面各舉一些例子進(jìn)行說明．從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光源（或聲源），經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線（聲音）是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣（見下圖）．如果有一道雙曲線形（一支）的圍墻，一個(gè)人站在其中一個(gè)焦點(diǎn)處朝著墻壁說話，聲音由墻壁反射到你的耳朵里，你會產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，覺得聲音不是從墻這邊的這個(gè)人發(fā)出的，而是從墻外較遠(yuǎn)的一個(gè)地方（雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)）發(fā)出的．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”，就是利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)．原來使用的新聞燈個(gè)頭比較大，外號叫“大頭燈”，這種燈要在很近的距離才能照清楚，而且燈光很刺眼．而我國研制的“雙曲線電瓶新聞燈”個(gè)頭小，卻可以照得很遠(yuǎn)，光線又柔和．1972年美國總統(tǒng)訪問我國時(shí)，我國記者首次使用了這種燈，效果很好．例4(2023貴州師大附中高二月考）4．根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，連雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．請解決下列問題：已知分別是雙曲線C：的左.右焦點(diǎn)，若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．例5(2023湖南·永州市第一中學(xué)高二月考）5．智慧的人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線和反射光線互和垂直時(shí)(其中為入射點(diǎn))，的大小為（

）A． B． C． D．例66．從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣，如圖．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)，已知某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其中，分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的兩條光線（共線反向）分別經(jīng)過雙曲線右支上的點(diǎn)和點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的光線反射后經(jīng)過點(diǎn)，，若點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為______．例77．鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線?反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.（1）已知，是在直線兩側(cè)且到直線距離不相等的兩點(diǎn)，為直線上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)的位置滿足什么條件時(shí)，取最大值；（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).例88．閱讀下列材料，解決數(shù)學(xué)問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì)，被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機(jī)的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點(diǎn)F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題9．智慧的人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線和反射光線互和垂直時(shí)(其中為入射點(diǎn))，的大小為（

）A． B． C． D．10．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.如圖,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn),的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若將裝置中的去掉,此光線從點(diǎn)發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若,則與的離心率之比為A． B． C． D．11．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點(diǎn)后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．12．光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為A． B． C． D．(2023·四川省瀘縣第四中學(xué)模擬預(yù)測）13．根據(jù)圓維曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請解決下面問題：已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．(2023湖南·高二期中）14．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖，從雙曲線上焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過下焦點(diǎn)．某雙曲線方程為，為其下、上焦點(diǎn)，若從下焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（點(diǎn)、、三點(diǎn)共線），滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·河北·高三月考）15．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．16．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）17．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則(2023·廣東湛江·高二期末）18．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左?右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（，在同一直線上），滿足，則（

）A．B．C．該雙曲線的離心率的平方為D．該雙曲線的離心率的平方為三、填空題(2023·安徽·中國科技大學(xué)附屬中學(xué)三模）19．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學(xué)性質(zhì)，如：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.已知以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點(diǎn)到中心的距離為____________.(2023·福建省福州第一中學(xué)高二期末）20．圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線）圍成.光線從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.(2023湖北·大冶市第一中學(xué)高二月考）21．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)（如圖①所示）在建筑、通訊、精密儀器制造等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如圖②，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)F1發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn)F1，歷時(shí)m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)F1發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點(diǎn)F1歷時(shí)n秒，若C與的離心率之比為，則=__________(2023江蘇南通·高二月考）22．拋物線的光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線的對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上這些性質(zhì)可以應(yīng)用在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面卡塞格林式望遠(yuǎn)鏡是由兩塊反射鏡組成的望遠(yuǎn)鏡，如圖中心截面示意圖所示反射鏡中大的稱為主鏡，小的稱為副鏡，通常在主鏡的中央開孔，成像于主鏡后面.主鏡是凹拋物面鏡中心截面是拋物線，當(dāng)來自天體平行對稱軸的光線投射到主鏡上，經(jīng)過主鏡反射，將會匯聚到卡塞格林焦點(diǎn)F處，但光線尚未完全匯聚時(shí)，又受到以F為焦點(diǎn)的凸雙面鏡中心截面是雙曲線D的一支的反射，穿過主鏡中心孔后匯聚于另一個(gè)焦點(diǎn)處以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系若單位：米，則拋物線C的方程為___________凹拋物面鏡的口徑MN為，凸雙面鏡的口徑ST為，若所有被凹拋物面鏡匯聚的光線恰好都能被凸雙曲面鏡反射，則雙曲線D的離心率為___________.四、解答題23．閱讀下列材料，解決數(shù)學(xué)問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì)，被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機(jī)的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點(diǎn)F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．24．綜合應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡．這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡筒可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．例如，某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個(gè)分支．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，試根據(jù)圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】近年來，高考、高校自主招生考試以及各類數(shù)學(xué)競賽中都更加突出考察學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用，同時(shí)也加大了數(shù)學(xué)運(yùn)算量，而往往也是這些綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大的數(shù)學(xué)試題成為拉開我們數(shù)學(xué)成績的分水嶺．在圓錐曲線中，經(jīng)常遇到的題目有曲線方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、切線相關(guān)問題等，如果運(yùn)用一般的方法，不但計(jì)算復(fù)雜繁瑣，而且非常容易出錯(cuò)，這時(shí)就需要借助巧妙方法，結(jié)合圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)加以求解，不失為一種簡便又精確的好方法，這不僅會給改卷老師以耳目一新的感覺，還有助于我們?nèi)〉酶叻郑疚难芯亢妥C明了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，并舉例說明雙曲線光學(xué)性質(zhì)在求解雙曲線問題中的巧妙應(yīng)用．一、雙曲線光學(xué)性質(zhì)及其證明1．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：【定理】從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）．雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)在天文望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)等方面有實(shí)際應(yīng)用．二、雙曲線光學(xué)性質(zhì)及其證明1．幾個(gè)引理雙曲線光學(xué)性質(zhì)的證明，可以分幾何證法和代數(shù)證法．幾何證明需要用到以下幾個(gè)引理：【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即，得證．【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有，即，得證．【引理3】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．證明：連接交雙曲線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有；當(dāng)時(shí)，同理可證．在這里我們把雙曲線的光學(xué)性質(zhì)定理1轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)命題例1，并給出幾何證法和代數(shù)證法．2．雙曲線光學(xué)性質(zhì)的幾何證明例11．已知，如圖，雙曲線，分別其左、右焦點(diǎn)，是過雙曲線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），連接并延長，在延長線上取點(diǎn)．求證：．（人射角等于反射角）3．雙曲線光學(xué)性質(zhì)的代數(shù)證明同橢圓類似，同理可給出雙曲線光學(xué)性質(zhì)的代數(shù)證法，過程略．三、雙曲線光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)的應(yīng)用上面我們用幾何法和代數(shù)法怎么了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，實(shí)際上，如果把光源改為聲源，上述結(jié)論仍成立，即圓錐曲線也具有跟光學(xué)性質(zhì)相似的聲學(xué)性質(zhì)．1．解決入射與反射問題例22．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點(diǎn)后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．例3(2023·湖南衡陽·二模）3．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請解決下面問題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為的平分線，則下列正確的是（

）A．B．C．點(diǎn)到軸的距離為D．的角平分線所在直線的傾斜角為2．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用雙曲線的光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，下面各舉一些例子進(jìn)行說明．從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光源（或聲源），經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線（聲音）是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣（見下圖）．如果有一道雙曲線形（一支）的圍墻，一個(gè)人站在其中一個(gè)焦點(diǎn)處朝著墻壁說話，聲音由墻壁反射到你的耳朵里，你會產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，覺得聲音不是從墻這邊的這個(gè)人發(fā)出的，而是從墻外較遠(yuǎn)的一個(gè)地方（雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)）發(fā)出的．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”，就是利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)．原來使用的新聞燈個(gè)頭比較大，外號叫“大頭燈”，這種燈要在很近的距離才能照清楚，而且燈光很刺眼．而我國研制的“雙曲線電瓶新聞燈”個(gè)頭小，卻可以照得很遠(yuǎn)，光線又柔和．1972年美國總統(tǒng)訪問我國時(shí)，我國記者首次使用了這種燈，效果很好．例4(2023貴州師大附中高二月考）4．根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，連雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．請解決下列問題：已知分別是雙曲線C：的左.右焦點(diǎn)，若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．例5(2023湖南·永州市第一中學(xué)高二月考）5．智慧的人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線和反射光線互和垂直時(shí)(其中為入射點(diǎn))，的大小為（

）A． B． C． D．例66．從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣，如圖．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)，已知某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其中，分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的兩條光線（共線反向）分別經(jīng)過雙曲線右支上的點(diǎn)和點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的光線反射后經(jīng)過點(diǎn)，，若點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為______．例77．鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線?反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.（1）已知，是在直線兩側(cè)且到直線距離不相等的兩點(diǎn)，為直線上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)的位置滿足什么條件時(shí)，取最大值；（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).例88．閱讀下列材料，解決數(shù)學(xué)問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì)，被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機(jī)的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點(diǎn)F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題9．智慧的人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線和反射光線互和垂直時(shí)(其中為入射點(diǎn))，的大小為（

）A． B． C． D．10．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.如圖,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn),的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若將裝置中的去掉,此光線從點(diǎn)發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若,則與的離心率之比為A． B． C． D．11．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點(diǎn)后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．12．光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為A． B． C． D．(2023·四川省瀘縣第四中學(xué)模擬預(yù)測）13．根據(jù)圓維曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請解決下面問題：已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．(2023湖南·高二期中）14．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖，從雙曲線上焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過下焦點(diǎn)．某雙曲線方程為，為其下、上焦點(diǎn)，若從下焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（點(diǎn)、、三點(diǎn)共線），滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·河北·高三月考）15．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．16．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）17．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則(2023·廣東湛江·高二期末）18．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左?右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（，在同一直線上），滿足，則（

）A．B．C．該雙曲線的離心率的平方為D．該雙曲線的離心率的平方為三、填空題(2023·安徽·中國科技大學(xué)附屬中學(xué)三模）19．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學(xué)性質(zhì)，如：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.已知以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點(diǎn)到中心的距離為____________.(2023·福建省福州第一中學(xué)高二期末）20．圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線）圍成.光線從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.(2023湖北·大冶市第一中學(xué)高二月考）21．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)（如圖①所示）在建筑、通訊、精密儀器制造等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如圖②，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)F1發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn)F1，歷時(shí)m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)F1發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點(diǎn)F1歷時(shí)n秒，若C與的離心率之比為，則=__________(2023江蘇南通·高二月考）22．拋物線的光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線的對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上這些性質(zhì)可以應(yīng)用在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面卡塞格林式望遠(yuǎn)鏡是由兩塊反射鏡組成的望遠(yuǎn)鏡，如圖中心截面示意圖所示反射鏡中大的稱為主鏡，小的稱為副鏡，通常在主鏡的中央開孔，成像于主鏡后面.主鏡是凹拋物面鏡中心截面是拋物線，當(dāng)來自天體平行對稱軸的光線投射到主鏡上，經(jīng)過主鏡反射，將會匯聚到卡塞格林焦點(diǎn)F處，但光線尚未完全匯聚時(shí)，又受到以F為焦點(diǎn)的凸雙面鏡中心截面是雙曲線D的一支的反射，穿過主鏡中心孔后匯聚于另一個(gè)焦點(diǎn)處以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系若單位：米，則拋物線C的方程為___________凹拋物面鏡的口徑MN為，凸雙面鏡的口徑ST為，若所有被凹拋物面鏡匯聚的光線恰好都能被凸雙曲面鏡反射，則雙曲線D的離心率為___________.四、解答題23．閱讀下列材料，解決數(shù)學(xué)問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì)，被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機(jī)的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點(diǎn)F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．24．綜合應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡．這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡筒可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．例如，某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個(gè)分支．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，試根據(jù)圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．參考答案：1．證明見解析.分析：作關(guān)于切線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，利用同一法可得與點(diǎn)重合，進(jìn)而即得.【詳解】作關(guān)于切線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則，則要證，只需證明點(diǎn)和點(diǎn)重合，由引理2知點(diǎn)是直線上使得值最大的唯一點(diǎn)（顯然點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離不相等）；并且由引理3知點(diǎn)也是直線上使得值最大的唯一點(diǎn)，與點(diǎn)重合，所以．2．C分析：求出點(diǎn)，進(jìn)而求出，利用余弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在第一象限，，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于一般題目.3．AD分析：證明出雙曲線在其上一點(diǎn)的切線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷ABC選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出的斜率，可計(jì)算出的角平分線所在直線的斜率，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】先證明結(jié)論雙曲線在其上一點(diǎn)的切線的方程為，由已知，聯(lián)立可得，即，解得，所以，雙曲線在其上一點(diǎn)的切線的方程為.本題中，設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，將點(diǎn)代入切線方程可得，所以，即點(diǎn)到軸的距離為，C錯(cuò)；在雙曲線中，，，則，則、，所以，，，所以，，A對；，，所以，，則，B錯(cuò)；因?yàn)榈慕瞧椒志€交軸于點(diǎn)，則，所以，，，則，故的角平分線所在直線的傾斜角為，D對.故選：AD.4．D分析：顯然在第一象限，然后根據(jù)已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得軸，設(shè)角的角平分線為，求出直線的傾斜角，即可求解．【詳解】解：由已知可得在第一象限，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得：，解得，所以，又由雙曲線的方程可得，，所以，則，所以，且點(diǎn)，都在直線上，又，設(shè)過點(diǎn)與雙曲線相切的直線方程為，代入所以，設(shè)的角平分線為，則，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)?，解得所以直線的斜率為故選：D．5．D【解析】先利用雙曲線的離心率為，得到，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，利用雙曲線的定義得到的長，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則.所以，解得(已舍去).所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用雙曲線的相關(guān)知識解決實(shí)際問題.屬于較易題.6．分析：連接，，由題易知，，三點(diǎn)共線，設(shè)，，則，．再由余弦定理得到，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：如圖，連接，，由題易知，，三點(diǎn)共線，則由可知．設(shè)，，則，．由已知得，即，所以，所以，．在中，由余弦定理可得，得，故．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用．7．（1）當(dāng)?shù)奈恢檬沟脼榈钠椒志€時(shí)，取最大值；（2）證明見解析.分析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱點(diǎn)，直線與x軸的交點(diǎn)即為取最大值時(shí)的點(diǎn)P，由三角形兩邊之差小于第三邊可證；（2）設(shè)入射光線從出射，入射點(diǎn)，則點(diǎn)在（曲線在入射點(diǎn)處的）切線上，先證明是切線上唯一使得取最大值的點(diǎn)，再由結(jié)論（1）可得切線即的角平分線，即反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).【詳解】（1）不妨設(shè)點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到直線的距離大，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn).當(dāng)，，三點(diǎn)共線，即為的平分線時(shí)，有，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線，即不是的平分線時(shí)，取這樣的點(diǎn)，則，，能構(gòu)成一個(gè)三角形，故(兩邊之差小于第三邊)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奈恢檬沟脼榈钠椒志€時(shí)，取最大值.（2）不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，實(shí)半軸長為，虛半軸長為b，左右焦點(diǎn)分別為，，入射光線從出射，入射點(diǎn)，反射光線，雙曲線在點(diǎn)處的切線，在點(diǎn)處的垂線，由光的反射定律，，關(guān)于對稱，故，關(guān)于對稱，要證：反射光線過點(diǎn)，只要證：是的角平分線，定義雙曲線焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的內(nèi)部，漸近線所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的外部，由雙曲線的定義，，雙曲線上任意一點(diǎn)滿足方程為，若，滿足不等式，即與焦點(diǎn)同在雙曲線內(nèi)部；若，滿足不等式，即在雙曲線外部.故：對于雙曲線內(nèi)部的任意一點(diǎn)，有，對于雙曲線外部的任意一點(diǎn)，有，又是雙曲線在點(diǎn)處的切線，故在上有且僅有一點(diǎn)使得，上其他點(diǎn)均有，故是上唯一使得取最大值的點(diǎn)，又，到直線距離不相等，根據(jù)(1)中結(jié)論，可知是的角平分線，故反射光線過點(diǎn)，命題得證.【點(diǎn)睛】設(shè)雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，則有：若為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，且；若為雙曲線內(nèi)部任意一點(diǎn)，則，且；若為雙曲線外部任意一點(diǎn)，則，且.8．(Ⅰ)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；(Ⅱ).分析：(Ⅰ)由題意聯(lián)立直線方程與雙曲線方程確定a,b,c的值即可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(Ⅱ)由題意首先確定直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求解直線方程即可.【詳解】(Ⅰ)聯(lián)立直線方程與反比例函數(shù)可得雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，結(jié)合題意可得：，，則離心率，且，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.(Ⅱ)設(shè)入射光線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得：，整理可得：，則，很明顯，故，則，原問題等價(jià)于求解直線PF的方程，所以直線PF的方程為，即9．D【解析】先利用雙曲線的離心率為，得到，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，利用雙曲線的定義得到的長，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則.所以，解得(已舍去).所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用雙曲線的相關(guān)知識解決實(shí)際問題.屬于較易題.10．B【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義,分別列出關(guān)系式再做差,得出橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中光線路程;然后計(jì)算單橢圓光學(xué)裝置中光線路程,兩者相比可得出橢圓長半軸和雙曲線實(shí)半軸的關(guān)系,即可得兩離心率的關(guān)系,即可求得答案.【詳解】如圖,由雙曲線定義得:①,由橢圓定義得:②,②①得:;橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中,光線從出發(fā)到回到左焦點(diǎn)走過的路程為:對于單橢圓光學(xué)裝置,光線經(jīng)過次反射后回到左焦點(diǎn),路程為;由于兩次光速相同,路程比等于時(shí)間比,,..故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐曲線在實(shí)際中的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和理解題意,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.11．C分析：求出點(diǎn)，進(jìn)而求出，利用余弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在第一象限，，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于一般題目.12．D分析：根據(jù)題意，可知光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個(gè)焦點(diǎn)，從而可計(jì)算光線經(jīng)過次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．【詳解】因?yàn)楣饩€被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出所以，光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個(gè)焦點(diǎn)如圖，，所以光線經(jīng)過次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為故選：．13．B分析：顯然，在第一象限，然后根據(jù)已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得軸，設(shè)出角的角平分線為，求出直線的傾斜角，即可求解．【詳解】解：由已知可得，在第一象限，將點(diǎn)的坐標(biāo)代