高考數(shù)學(xué)微專題集專題9圓錐曲線第二定義的應(yīng)用微點(diǎn)2圓錐曲線第二定義的應(yīng)用(二)(原卷版+解析)

專題9圓錐曲線第二定義的應(yīng)用微點(diǎn)2圓錐曲線第二定義的應(yīng)用（二）專題9圓錐曲線第二定義的應(yīng)用微點(diǎn)2圓錐曲線第二定義的應(yīng)用（二）【微點(diǎn)綜述】過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦，關(guān)于焦點(diǎn)弦問(wèn)題，除了運(yùn)用弦長(zhǎng)公式外，常利用過(guò)焦點(diǎn)的特點(diǎn)，即用圓錐曲線統(tǒng)一定義求出焦半徑，從而得到焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)，也可使與焦點(diǎn)弦相關(guān)的問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解，達(dá)到優(yōu)化解題、提高解題效率的效果.本節(jié)在上一微點(diǎn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步概述圓錐曲線第二定義的應(yīng)用.（四）求離心率（或其取值范圍）例1.已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)D，且，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____.答案：【解析】解法1：，根據(jù)題意，，，點(diǎn)D橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，假設(shè)點(diǎn)D在第一象限，帶入橢圓方程，，，.解法2：，，，，.【評(píng)注】應(yīng)用以下兩個(gè)結(jié)論，可以快速求出橢圓或雙曲線的離心率（或其取值范圍）.（1）橢圓與雙曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：（為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角）；（2）在圓錐曲線中，若，則有（為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角）.例2.（2023·重慶·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為，則雙曲線C的離心率為（）A.B.C.D.答案：A分析：根據(jù)條件求得，∴，在中，由勾股定理可得關(guān)于的等式，進(jìn)而可求得離心率.【詳解】由雙曲線定義知，則，，∴，∴的周長(zhǎng)為，∴，，由，∴，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故選A.【評(píng)注】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：由得到.（五）求最值例3.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，橢圓上不同的兩點(diǎn)，滿足條件：成等差數(shù)列，則弦的中垂線在軸上的截距的范圍是（）A.B.C.D.答案：C分析：利用焦半徑公式得，設(shè)中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可求得，進(jìn)而求得弦的中垂線方程，求得其在軸上的截距，利用在橢圓“內(nèi)”，可求得結(jié)果.【詳解】∵成等差數(shù)列，，利用焦半徑公式得：，，代入可得設(shè)中點(diǎn)，橢圓上不同的兩點(diǎn)，，兩式作差可得，，∴弦的中垂線的方程為：，當(dāng)時(shí)，，此即的中垂線在軸上的截距，在橢圓“內(nèi)”，，得，，故選C.【評(píng)注】（1）對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交.（2）用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問(wèn)題的解題步驟：①設(shè)點(diǎn)，設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)；②代入：將兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程；③作差：將兩式相減，再用平方差公式展開(kāi)；④整理：轉(zhuǎn)化為斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解.例4.(2023·新課標(biāo)Ⅰ理10）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.16B.14C.12D.10答案：A【解析】解法1：如圖，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，要使最小，則A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1，又直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，則，∴，，∴，∴的最小值為，故選A.解法2：設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小，最小為16，故選A.【評(píng)注】對(duì)于拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題，要重點(diǎn)抓住拋物線的定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上.另外，直線與拋物線方程聯(lián)立，求判別式、韋達(dá)定理是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查到最值問(wèn)題時(shí)要能想到用函數(shù)思想與方法及基本不等式進(jìn)行解決.例5.（2023·云南大理·二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B，與圓交于點(diǎn)P，Q，其中點(diǎn)A，P在第一象限，則的最小值為（）A.B.C.D.答案：D分析：根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系，利用拋物線的焦半徑公式，將表示為焦半徑與半徑的關(guān)系，然后根據(jù)坐標(biāo)的特點(diǎn)結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】如圖所示，∵圓的方程為即為，∴圓心為，即為拋物線的焦點(diǎn)且半徑，∵，∴，又∵，，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，取等號(hào)時(shí).綜上可知：.故選D.【評(píng)注】本題考查拋物線與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了拋物線的焦半徑公式的運(yùn)用，難度較難.（1）已知拋物線上任意一點(diǎn)以及焦點(diǎn)，則有；（2）當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，則有.例6.(2023江蘇南京六合月考）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，M是橢圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.答案：4【詳解】如圖，，橢圓的離心率為，由橢圓的第二定義可知，∴的最小值，就是由P作PN垂直于橢圓的準(zhǔn)線于N，為所求，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，∴的最小值為：.（六）解決存在型問(wèn)題例7.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，且原點(diǎn)到直線的距離為.（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且與圓相切.試探究的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（I）（II）是，分析：（I）由題意設(shè)、，由斜率公式、點(diǎn)到直線的距離公式列方程即可得解；（II）由直線與圓相切可得，設(shè)，，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得，由焦半徑公式可得、，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（I）設(shè)，，則，直線的方程為，即，∴原點(diǎn)到直線的距離為，解得，（負(fù)值舍去），又，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（II）∵直線與圓相切，∴，即，設(shè)，，聯(lián)立，得，∴，，，∴，又，∴，∵，同理，∴，∴的周長(zhǎng)是，則的周長(zhǎng)為定值.【評(píng)注】本題考查了橢圓方程的確定及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓中的定值問(wèn)題及運(yùn)算求解能力，合理轉(zhuǎn)化條件、細(xì)心計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.例8.設(shè)雙曲線方程為，過(guò)其右焦點(diǎn)且斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線的方程為，A，B在直線上的射影分別為C，D.（I）當(dāng)垂直于x軸，時(shí)，求四邊形的面積；（II），的斜率為正實(shí)數(shù)，A在第一象限，B在第四象限，試比較與1的大??；（III）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)滿足題意的任意，直線和直線的交點(diǎn)總在軸上，若存在，求出所有的值和此時(shí)直線和交點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（I）（II）（III）存在，，此時(shí)兩直線的交點(diǎn)為分析：（I））當(dāng)垂直于x軸，直線方程為，四邊形為矩形，將代入雙曲線方程，求出坐標(biāo)，得出，即可求解；（II）設(shè)的方程為，，設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，將的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出關(guān)系，結(jié)合，，，將根據(jù)線段長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)，再利用點(diǎn)在雙曲線上可得，由，即可得出結(jié)論.（III）設(shè)，，則，，求出直線和直線的方程，利用兩條直線相交在軸上，可得，將關(guān)系，代入，得對(duì)一切都成立，有，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（I）右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.故.聯(lián)立解得.故，又，故四邊形的面積為.（II）設(shè)的方程為，這里.將的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到，即.由知，此時(shí)，由于，故，即，故，因此.（III）由（II）得.（有兩交點(diǎn)表示）設(shè)，，則，.的絕對(duì)值不小于，故，且.又因直線斜率不為零，故.直線的方程為.直線的方程為.若這兩條直線的交點(diǎn)在軸上，則當(dāng)時(shí)，兩方程的應(yīng)相同，即.故，即.現(xiàn)，，代入上式，得對(duì)一切都成立，即，.此時(shí)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.綜上，存在，，此時(shí)兩直線的交點(diǎn)為.【評(píng)注】本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程是解題的基礎(chǔ)，應(yīng)用韋達(dá)定理設(shè)而不求是解題的關(guān)鍵，將所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于難題.【總結(jié)】通過(guò)上面幾個(gè)例子，我們對(duì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有了全面、完整、深刻的理解，也為我們利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解題提供了思考的方法，同時(shí)彌補(bǔ)了教材講得不透徹的局限.從以上各題可以看出，解決這類問(wèn)題的常規(guī)解法，是按照解析幾何問(wèn)題求解的“三部曲”，把直線和曲線方程聯(lián)立，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，最后將目標(biāo)轉(zhuǎn)化表示，運(yùn)算量往往不是一般的大，若運(yùn)用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，直達(dá)結(jié)論，起到事半功倍的效果.【針對(duì)訓(xùn)練】(2023綿陽(yáng)三模）1．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為(

)A． B． C．2 D．2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知橢圓=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（

）A． B．，C． D．，(2023·四川涼山·高二期末）5．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)取最大值時(shí)，三角形面積為（

）A． B． C．2 D．4（2023·廣州一模理）6．已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A，B，滿足，則弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．47．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的右焦點(diǎn)的直線，與的右支分別交于兩點(diǎn)，且，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．(2023四川涼山州模擬）8．已知拋物線:的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作兩條直線，，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為，則的最小值為_(kāi)__．9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為是雙曲線右支上一點(diǎn)，定點(diǎn)，求的最小值.10．如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.求四邊形面積的最小值.11．已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是它左支上一點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，雙曲線的一條漸近線為，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使成等比數(shù)列？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由.(2023·江西九江·一模）12．在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，的最小值為4.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求面積的最小值.13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，的最小值為1．（1）求的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，（，與點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)，直線，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓所過(guò)的定點(diǎn)．專題9圓錐曲線第二定義的應(yīng)用微點(diǎn)2圓錐曲線第二定義的應(yīng)用（二）專題9圓錐曲線第二定義的應(yīng)用微點(diǎn)2圓錐曲線第二定義的應(yīng)用（二）【微點(diǎn)綜述】過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦，關(guān)于焦點(diǎn)弦問(wèn)題，除了運(yùn)用弦長(zhǎng)公式外，常利用過(guò)焦點(diǎn)的特點(diǎn)，即用圓錐曲線統(tǒng)一定義求出焦半徑，從而得到焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)，也可使與焦點(diǎn)弦相關(guān)的問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解，達(dá)到優(yōu)化解題、提高解題效率的效果.本節(jié)在上一微點(diǎn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步概述圓錐曲線第二定義的應(yīng)用.（四）求離心率（或其取值范圍）例1.已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)D，且，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____.答案：【解析】解法1：，根據(jù)題意，，，點(diǎn)D橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，假設(shè)點(diǎn)D在第一象限，帶入橢圓方程，，，.解法2：，，，，.【評(píng)注】應(yīng)用以下兩個(gè)結(jié)論，可以快速求出橢圓或雙曲線的離心率（或其取值范圍）.（1）橢圓與雙曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：（為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角）；（2）在圓錐曲線中，若，則有（為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角）.例2.（2023·重慶·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為，則雙曲線C的離心率為（）A.B.C.D.答案：A分析：根據(jù)條件求得，∴，在中，由勾股定理可得關(guān)于的等式，進(jìn)而可求得離心率.【詳解】由雙曲線定義知，則，，∴，∴的周長(zhǎng)為，∴，，由，∴，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故選A.【評(píng)注】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：由得到.（五）求最值例3.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，橢圓上不同的兩點(diǎn)，滿足條件：成等差數(shù)列，則弦的中垂線在軸上的截距的范圍是（）A.B.C.D.答案：C分析：利用焦半徑公式得，設(shè)中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可求得，進(jìn)而求得弦的中垂線方程，求得其在軸上的截距，利用在橢圓“內(nèi)”，可求得結(jié)果.【詳解】∵成等差數(shù)列，，利用焦半徑公式得：，，代入可得設(shè)中點(diǎn)，橢圓上不同的兩點(diǎn)，，兩式作差可得，，∴弦的中垂線的方程為：，當(dāng)時(shí)，，此即的中垂線在軸上的截距，在橢圓“內(nèi)”，，得，，故選C.【評(píng)注】（1）對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交.（2）用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問(wèn)題的解題步驟：①設(shè)點(diǎn)，設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)；②代入：將兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程；③作差：將兩式相減，再用平方差公式展開(kāi)；④整理：轉(zhuǎn)化為斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解.例4.(2023·新課標(biāo)Ⅰ理10）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.16B.14C.12D.10答案：A【解析】解法1：如圖，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，要使最小，則A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1，又直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，則，∴，，∴，∴的最小值為，故選A.解法2：設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小，最小為16，故選A.【評(píng)注】對(duì)于拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題，要重點(diǎn)抓住拋物線的定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上.另外，直線與拋物線方程聯(lián)立，求判別式、韋達(dá)定理是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查到最值問(wèn)題時(shí)要能想到用函數(shù)思想與方法及基本不等式進(jìn)行解決.例5.（2023·云南大理·二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B，與圓交于點(diǎn)P，Q，其中點(diǎn)A，P在第一象限，則的最小值為（）A.B.C.D.答案：D分析：根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系，利用拋物線的焦半徑公式，將表示為焦半徑與半徑的關(guān)系，然后根據(jù)坐標(biāo)的特點(diǎn)結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】如圖所示，∵圓的方程為即為，∴圓心為，即為拋物線的焦點(diǎn)且半徑，∵，∴，又∵，，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，取等號(hào)時(shí).綜上可知：.故選D.【評(píng)注】本題考查拋物線與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了拋物線的焦半徑公式的運(yùn)用，難度較難.（1）已知拋物線上任意一點(diǎn)以及焦點(diǎn)，則有；（2）當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，則有.例6.(2023江蘇南京六合月考）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，M是橢圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.答案：4【詳解】如圖，，橢圓的離心率為，由橢圓的第二定義可知，∴的最小值，就是由P作PN垂直于橢圓的準(zhǔn)線于N，為所求，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，∴的最小值為：.（六）解決存在型問(wèn)題例7.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，且原點(diǎn)到直線的距離為.（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且與圓相切.試探究的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（I）（II）是，分析：（I）由題意設(shè)、，由斜率公式、點(diǎn)到直線的距離公式列方程即可得解；（II）由直線與圓相切可得，設(shè)，，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得，由焦半徑公式可得、，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（I）設(shè)，，則，直線的方程為，即，∴原點(diǎn)到直線的距離為，解得，（負(fù)值舍去），又，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（II）∵直線與圓相切，∴，即，設(shè)，，聯(lián)立，得，∴，，，∴，又，∴，∵，同理，∴，∴的周長(zhǎng)是，則的周長(zhǎng)為定值.【評(píng)注】本題考查了橢圓方程的確定及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓中的定值問(wèn)題及運(yùn)算求解能力，合理轉(zhuǎn)化條件、細(xì)心計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.例8.設(shè)雙曲線方程為，過(guò)其右焦點(diǎn)且斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線的方程為，A，B在直線上的射影分別為C，D.（I）當(dāng)垂直于x軸，時(shí)，求四邊形的面積；（II），的斜率為正實(shí)數(shù)，A在第一象限，B在第四象限，試比較與1的大??；（III）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)滿足題意的任意，直線和直線的交點(diǎn)總在軸上，若存在，求出所有的值和此時(shí)直線和交點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（I）（II）（III）存在，，此時(shí)兩直線的交點(diǎn)為分析：（I））當(dāng)垂直于x軸，直線方程為，四邊形為矩形，將代入雙曲線方程，求出坐標(biāo)，得出，即可求解；（II）設(shè)的方程為，，設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，將的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出關(guān)系，結(jié)合，，，將根據(jù)線段長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)，再利用點(diǎn)在雙曲線上可得，由，即可得出結(jié)論.（III）設(shè)，，則，，求出直線和直線的方程，利用兩條直線相交在軸上，可得，將關(guān)系，代入，得對(duì)一切都成立，有，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（I）右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.故.聯(lián)立解得.故，又，故四邊形的面積為.（II）設(shè)的方程為，這里.將的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到，即.由知，此時(shí)，由于，故，即，故，因此.（III）由（II）得.（有兩交點(diǎn)表示）設(shè)，，則，.的絕對(duì)值不小于，故，且.又因直線斜率不為零，故.直線的方程為.直線的方程為.若這兩條直線的交點(diǎn)在軸上，則當(dāng)時(shí)，兩方程的應(yīng)相同，即.故，即.現(xiàn)，，代入上式，得對(duì)一切都成立，即，.此時(shí)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.綜上，存在，，此時(shí)兩直線的交點(diǎn)為.【評(píng)注】本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程是解題的基礎(chǔ)，應(yīng)用韋達(dá)定理設(shè)而不求是解題的關(guān)鍵，將所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于難題.【總結(jié)】通過(guò)上面幾個(gè)例子，我們對(duì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有了全面、完整、深刻的理解，也為我們利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解題提供了思考的方法，同時(shí)彌補(bǔ)了教材講得不透徹的局限.從以上各題可以看出，解決這類問(wèn)題的常規(guī)解法，是按照解析幾何問(wèn)題求解的“三部曲”，把直線和曲線方程聯(lián)立，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，最后將目標(biāo)轉(zhuǎn)化表示，運(yùn)算量往往不是一般的大，若運(yùn)用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，直達(dá)結(jié)論，起到事半功倍的效果.【針對(duì)訓(xùn)練】(2023綿陽(yáng)三模）1．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為(

)A． B． C．2 D．2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知橢圓=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（

）A． B．，C． D．，(2023·四川涼山·高二期末）5．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)取最大值時(shí)，三角形面積為（

）A． B． C．2 D．4（2023·廣州一模理）6．已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A，B，滿足，則弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．47．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的右焦點(diǎn)的直線，與的右支分別交于兩點(diǎn)，且，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．(2023四川涼山州模擬）8．已知拋物線:的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作兩條直線，，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為，則的最小值為_(kāi)__．9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為是雙曲線右支上一點(diǎn)，定點(diǎn)，求的最小值.10．如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.求四邊形面積的最小值.11．已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是它左支上一點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，雙曲線的一條漸近線為，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使成等比數(shù)列？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由.(2023·江西九江·一模）12．在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，的最小值為4.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求面積的最小值.13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，的最小值為1．（1）求的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，（，與點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)，直線，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓所過(guò)的定點(diǎn)．參考答案：1．A分析：設(shè)出，，利用雙曲線的第二定義，結(jié)合直線的斜率為，建立等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，則，過(guò)A、B作雙曲線右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，過(guò)B作AD的垂線，垂足為E.根據(jù)雙曲線的第二定義可得，，，由直線的斜率為，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴，，.故選：A.2．B分析：設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過(guò)、分別作于，于，于，根據(jù)直線的斜率為，得到，再利用雙曲線的第二定義得到，又，結(jié)合求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過(guò)、分別作于，于，于，如圖所示：因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，∴，，由雙曲線的第二定義得：，又∵，∴，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3．C分析：由定義知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1|≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)=|PF1|，即|PF1|=2a時(shí)取得等號(hào).再由焦半徑公式得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由雙曲線定義可得：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1|≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)=|PF1|，即|PF1|=2a時(shí)取得等號(hào).此時(shí)由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，即可，又雙曲線的離心率，∴.故選:C.4．A分析：利用橢圓的第二定義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)闄E圓方程為=1，所以橢圓得離心率，設(shè)點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)橢圓第二定義有：，所以，所以表示橢圓上一點(diǎn)M到橢圓內(nèi)定點(diǎn)P和到橢圓右準(zhǔn)線的距離之和，當(dāng)垂直于右準(zhǔn)線時(shí)，取得最小值.此時(shí)的縱坐標(biāo)為-1，代入橢圓方程=1，求得的橫坐標(biāo)為.所以點(diǎn)M坐標(biāo)為，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.5．B分析：根據(jù)橢圓的焦半徑公式和橢圓中的的范圍可求得取最大值時(shí)，點(diǎn)在橢圓的短軸上.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的焦半徑公式可得：則有：根據(jù)橢圓的特點(diǎn)，可知：可得：當(dāng)時(shí)，取最大值此時(shí)，點(diǎn)在橢圓的短軸上，則有：故選：B6．B分析：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)以及，聯(lián)立可得，進(jìn)而可用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求的最值，進(jìn)而可求.【詳解】解法1：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，則∵，由拋物線定義可知，∴，又因?yàn)?，所以即，由①②可得：所?∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，則弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離，d最大值是.∴弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是，故選：B.解法2：弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離，根據(jù)結(jié)論，，，故選：B.7．分析：由題意易知，設(shè)，由雙曲線定義可知，，在和中由勾股定理，分別可得，，兩式聯(lián)立化簡(jiǎn)整理可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，連接，．因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以．由雙曲線定義可得，即，由雙曲線定義可得，即，在中，由勾股定理可得，即①，在中，由勾股定理可得，即②，由②得，代入①整理得，所以C的離心率為．故答案為：.8．8分析：設(shè)出兩條直線，分別和拋物線聯(lián)立，根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式得到，再由韋達(dá)定理得到，利用均值不等式得到最值.【詳解】設(shè)，設(shè)直線為,聯(lián)立直線和拋物線得到，兩根之和為：,同理聯(lián)立直線和拋物線得到由拋物線的弦長(zhǎng)公式得到代入兩根之和得到，已知，故答案為8.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．9．.分析：運(yùn)用雙曲線的第二定義，結(jié)合圖像即可得到最小值.【詳解】由題意得，則，所以，過(guò)點(diǎn)作垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)，則，即，所以顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為.10．.分析：分類討論直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求，進(jìn)而根據(jù)基本等式即可求解面積的最小值，當(dāng)無(wú)斜率時(shí)，可求面積