八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《菱形》同步練習(xí)題及答案

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《菱形》同步練習(xí)題及答案

一.選擇題

1.下列命題正確的是（）

A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形

C.對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是菱形

D.對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形是菱形

2.菱形有一個(gè)內(nèi)角是120。，且較短的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為6c773則菱形的邊長(zhǎng)為（）

A.6cmB.2-5/3c/nC.D.\2cm

3.若菱形A8CD的周長(zhǎng)是12,ZBCD=60°,那么這個(gè)菱形的對(duì)角線(xiàn)8。的長(zhǎng)是（

A.473B.2A/3C.3D.4

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中、四邊形OABC為菱形，O為原點(diǎn)，4點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）,ZAOC=60°,

則對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

5.如圖，四邊形ABCD為菱形，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-蓊，2）,（-1,-V3）.對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)

O,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

6.小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了如圖1所示能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，并測(cè)得/B=60°,AC=f)cm9接

著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，則圖2中對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)為（）

7.如圖，△A8C中，DE//BC,EF//AB,要判定四邊形08五E是菱形，還需要添加的條件可以是（)

A.AB=ACB.AD=BDC.BE平分/48CD.BELAC

8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E、F分別在邊AB、BC、CA±,且OE〃C4,DF//BA.

下列四種說(shuō)法：①四邊形AEZJF是平行四邊形：②如果NBAC=90°,那么四邊形AEZ邛是矩形；③如

果AD平分N84C,那么四邊形尸是菱形；

④如果ACBC且A8=AC,那么四邊形AEQF是菱形.其中，正確的有（）個(gè)

9.如圖，在菱形ABCO中，ND4B=45°,DE，8c于點(diǎn)E,交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作PFLC。于

點(diǎn)F.若APDF的周長(zhǎng)為8.則菱形ABCD的面積為（）

A.16B.16&C.32D.32&

10.兩張全等的矩形紙片ABCD,AECF按如圖方式交叉疊放在一起，AB=AF,AE=BC.若AB=2,BC

=6,則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）

A.此B.275C.皎D.A/12

33

11.如圖，在菱形ABCQ中，ZB=60°.△4￡：/的兩頂點(diǎn)E,尸分別落在邊BC,CD上.從給出的四個(gè)條

件中任選一個(gè)：①/E4尸=60°；②/AE廣=60°；③AE=A凡?EA=EF,能夠推出為等邊三

角形的有（）

A.①②B.②④C.①②④D.①③④

12.已知菱形。48c在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A(5,0),。8=4遙，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D(0,1),當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(0,0)B.(1,2)C(1D.

2

二.填空題

13.已知菱形ABCO中，對(duì)角線(xiàn)AC與交于點(diǎn)O,NBAO=120°,AC=4,則該菱形的面積是.

C

14.如圖，在NMON的兩邊上分別截取04、08,使0A=08；分別以點(diǎn)A、B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧,

兩弧交于點(diǎn)C；連接AC、BC、A8、OC.若AB=2cm,四邊形OACB的面積為業(yè)蘇.則OC的長(zhǎng)為cm.

15.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCC中，NB=45°,AE為BC邊上的高，將△ABE沿AE所在直線(xiàn)翻折得

△ABiE,則AABiE與四邊形AECO重疊部分的面積是.

16.如圖，菱形ABCO的周長(zhǎng)為40,P是對(duì)角線(xiàn)BO上一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)到直線(xiàn)AB、的垂線(xiàn)段PE、PF,

若PE+PF=8,則菱形ABCD的面積為

17.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、4c的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱

形，四邊形4BCQ還應(yīng)滿(mǎn)足的一個(gè)條件是

三.解答題

18.如圖，菱形A8CD的對(duì)角線(xiàn)AC、BO相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)力作力E〃4C且￡>E=OC,連接CE、0E,連

接AE交。。于點(diǎn)尸.

(1)求證：OE=CD；

(2)若菱形ABC/)的邊長(zhǎng)為6,N4BC=60°,求AE的長(zhǎng).

19.如圖，團(tuán)ABCD的對(duì)角線(xiàn)4C、8力相交于點(diǎn)0,BD=12cm,4c=6加，點(diǎn)E在線(xiàn)段8。上從點(diǎn)8以\cmls

的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸在線(xiàn)段0D上從點(diǎn)。以2cmls的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).

(1)若點(diǎn)E、尸同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形AEC尸是平行四邊形.

(2)在(1)的條件下，當(dāng)4B為何值時(shí)，回AEC尸是菱形；

(3)求(2)中菱形AEC尸的面積.

20.已知：如圖，在團(tuán)ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BO相交于點(diǎn)。，點(diǎn)G、，分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、0、

F分別是對(duì)角線(xiàn)8。上的四等分點(diǎn)，順次連接G、E、H、F.

(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；

(2)若四邊形GE//F是菱形.

①線(xiàn)段4B和有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②若AB=2,8D=2AB時(shí)，求四邊形GE/""的面積.

AGD

上

BHC

21.如圖，在四邊形48CD中，AB//DC,AB=AD,對(duì)角線(xiàn)AC,交于點(diǎn)0,4C平分NBA。，過(guò)點(diǎn)C

作CELAB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接?！?/p>

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若0E=2j§,ZDAB=60a,求四邊形ABCD的面積.

2___________c

BE

22.如圖，在RtZsABC中，ZACB=90Q,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)。為48邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作￡>E_L

BC,交直線(xiàn)MN于E,垂足為凡連接C。、BE.

(1)求證：CE=AD；

(2)當(dāng)。在A(yíng)B中點(diǎn)時(shí)，四邊形BEC。是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由

Mg￡N

7W

23.菱形ABC。中，NB=60°,點(diǎn)E在邊8c上，點(diǎn)F在邊CD上.

(1)如圖1,若E是BC的中點(diǎn)，ZAEF=60°,求證：BE=DF；

(2)如圖2,若/E4尸=60°,求證：是等邊三角形.

ADAD

BECBEC

圖1圖2

24.如圖，平行四邊形ABC￡>中，ABLAC,AB=\,BC=45-對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)0,將直線(xiàn)AC

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC,AO于點(diǎn)E,F.

(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形4BEF是平行四邊形；

(2)試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段4F與EC總保持相等；

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BE。尸可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由;如果能，說(shuō)明理由并求出此

時(shí)AC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

參考答案與解析

一.選擇題

1.解：A、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原命題是假命題；

8、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題；

C、對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形是菱形，原命題是假命題；

。、對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題；

故選：D.

2.解：：四邊形A8CD是菱形；

J.AD//BC-,

:菱形的一個(gè)內(nèi)角為120°；

；.NB=180°-120°=60°；

又；菱形的邊AB=2C；

.?.△ABC是等邊三角形；

，8C=AC=6(cm)；

故選：A.

3.解：:四邊形A3CO是菱形，是對(duì)角線(xiàn);

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC；

'：ZBCD=60°；

???△BCD是等邊三角形；

：.CB=BD=CD；

???菱形A3。的周長(zhǎng)是12；

：.CB=3；

：.BD=3；

故選：C.

4.解：過(guò)點(diǎn)E作ERLx軸于點(diǎn)尸;

;四邊形0ABe為菱形，ZAOC=60°；

ZAOE=—ZAOC=30°,ZME=60°；

2

VA(8,0)；

?\OA=8；

.'.AE=—AO=4；

2

22

-'>AF=^AE=2,EF=VAE-AF=742-22=2\/3;

AOF=AO-AF=S-2=6；

(6,2V3)：

故選：D.

5.解：：四邊形ABC。是菱形；

."O=CO,BO=DO；

???A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-蓊，2),(-1,-V3);

.?.點(diǎn)C(2愿，-2),點(diǎn)。(1,M)；

故選反

6.解：如圖1,圖2中，連接4c.

圖1圖2

圖1中，?..四邊形ABC。是菱形；

：.AB=BC；

???/8=60°；

:?△ABC是等邊三角形；

.\AB=BC=AC=6cm；

在圖2中，:四邊形A8CO是正方形；

：.AB=BC,NB=90°；

???△ABC是等腰直角三角形；

AC=—6^2cm；

故選：C.

7.解：當(dāng)5E平分N4?。時(shí)，四邊形O8FE是菱形;

理由：VDE//BC；

：.ZDEB=ZEBC；

■:NEBC=/EBD；

：.ZEBD=ZDEB；

：.BD=DE；

,:DE〃BC,EF//AB；

???四邊形DBFE是平行四邊形；

■:BD=DE；

???四邊形DBFE是菱形.

其余選項(xiàng)均無(wú)法判斷四邊形DBFE是菱形;

故選：C.

8.解：*：DE//CA,DF//BA；

???四邊形4ED尸是平行四邊形，選項(xiàng)①正確;

若NBAC=90°；

???平行四邊形4EQ尸為矩形，選項(xiàng)②正確；

若AO平分N84C；

：.ZEAD=ZFAD；

5LDE//CA,：.ZEDA=ZFAD-,

:.NEAD=NEDA；

：.AE=DE；

.??平行四邊形AEQF為菱形，選項(xiàng)③正確；

若AB=AC,ADLBCi

.?.A￡>平分NBAC；

同理可得平行四邊形AED尸為菱形，選項(xiàng)④正確；

則其中正確的個(gè)數(shù)有4個(gè).

故選：D.

9.解：???四邊形ABCD是菱形；

：.BC=CD,NBCD=NBAD,ZACB=ZACD,AD//BC；

.,.ZBAD+ZB=180°；

"：ZDAB=45°；

.,./BC￡)=Na4O=45°；

VDE±BC；

...△CQE是等腰直角三角形；

/.ZCDE=45°,CD=?DE；

\'PF±CD；

??.△OPF是等腰直角三角形；

：.PF=DF,PD=?PF；

設(shè)PF=DF=x,則PD=?x；

;△P。尸的周長(zhǎng)為8；

；.x+x+V^x=8；

解得：x=8-4A/25

VZACB^ZACD,DEIBC,PFLCD-,

：.PE=PF=x；

:?DE=x+?*=(1+V2)X(8-472)=4&；

：.BC=CD=42DE=S；

菱形ABC。的面積=8CX￡)E=8X4圾=32加；

故選：D.

10.解：設(shè)BC交AE于G,AO交CF于4,如圖所示：

?.?四邊形4BC。、四邊形AEC尸是全等的矩形；

：.\B=CE,ZB=ZE=90°,AD//BC,AE//CF；

/.四邊形AGCH是平行四邊形；

在△ABG和ACEG中；

，ZB=ZE

，NAGB=/CGE；

AB=CE

:.△ABG9XCEG(A45)；

：.AG=CGx

四邊形AGC”是菱形；

設(shè)AG=CG=x,則8G=8C-CG=6-x；

在RtZXABG中，由勾股定理得：22+(6-%)2-?；

解得：尸獨(dú)；

3

二菱形AGCH的面積=CGXAB=』^X2=2^；

33

即圖中重疊(陰影)部分的面積為致；

3

11.解：①/EAF=60。；

?..四邊形ABC。是菱形;

：.AB=BC,AB//CD；

連接AC；

VZB=60°；

AZ￡CF=Z180°-ZB=120°:

...△ABC為等邊三角形；

：.AB±CAfZACB=ZBAC=6^°；

：.ZACF=ZECF-Z￡CA=120°-60°=60°；

VZEAF=60°；

：.ZEAF-ZEAC=ZBAC-NE4G

：?NCAF=NBAE；

在△ABE和△AC/中；

2B=NACF

,AB=AC；

ZBAE=ZCAF

A/XABE^AACF(ASA)；

：.AE=AF；

\*AE=AFf/EAF=60°；

ZAEF=ZAFE=180°~60°=60°；

2

...可以推出結(jié)論，△4EF為等邊三角形；

②/AEF=60°:

作EG〃AB交4c于點(diǎn)G,如圖3所示：

則NGEC=NB=60°；

:四邊形ABC。是菱形；

：.AB=BC=CD=DA,ZD=ZB=60°,ZACB=ZACD；

.?.△ABC是等邊三角形，ZBCF=120°；

AZACB=60°；

.?./AC8=NGEC=60°:

...△GEC是等邊三角形；

：.EG=EC,Z￡GC=60°；

/EGA=120°；

VZAEF=60°=NGEC；

,,.Z1=Z2；

在△4EG和△FEC中；

'N1=N2

>EG=EC；

ZEGA=ZECF=120°

AAAEG^AFEC(ASA)；

：.AE=EF-,

VZA￡F=60°；

...△AEF為等邊三角形.

③條件太少，不能推出尸為等邊三角形；

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN，C￡>,交。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M在A(yíng)8匕截取8H=BE,連接防，過(guò)點(diǎn)A作AM,

EH,交E”的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M；

:BH=BE,ZB=60°；

是等邊三角形；

；?NBHE=/B=60°=NAHM；

'：AB=BC,BH=BE；

:.AH=EC；

又,；NM=NN=90°,NAHM=NECN=60°；

:.LAHM冬AECN(AAS)；

:.AM=EN；

又；AE=EF；

.,.RtAAEM^RtAEFN(HL)；

：.NAEM=4EFN；

：.NAEM+NCEF=ZEFN+CEF=NECN=60°；

/.Z/lEF=60o；

又：AE=EF；

...△AE尸是等邊三角形；

故選：C.

12.解：如圖連接AC,AD,分別交08于G、P,作BK_LOA于K.

?..四邊形043c是菱形；

：.AC1,OB,GC=AG,0G=BG=2娓,A、C關(guān)于直線(xiàn)08對(duì)稱(chēng);

，PC+PD=PA+PD=DA；

,此時(shí)PC+P￡＞最短；

在RtAAOG中，AG=JOA2_0G2=yl52-(245)2=遙；

，AC=2遙；

；OA?BK=1?AC?O2；

2

：.BK=4,AK={AB2-BK2=3；

二點(diǎn)8坐標(biāo)(8,4)；

二直線(xiàn)08解析式為丫=上.直線(xiàn)4。解析式為夕=-Lx+1；

25

_110

y=yxx-y

由，1解得＜

.5

y=-rx+i

0y~7

...點(diǎn)p坐標(biāo)（蛇，$）.

77

故選：D.

二.填空題

13.解：?.?四邊形ABCQ是菱形;

J.ACLBD,OA=OC=2AC=LX4=2,ZBAC=—ZBAD=^X120°=60°；

2222

；.AC=4,ZAOB=90°；

...乙48。=30°；

.?.48=204=4,08=2我；

，8。=208=4收；

,該菱形的面積是：a4小80=94義4y=8歷

故答案為：873.

14.解：根據(jù)作圖，AC=BC=OA；

'：OA=OB；

：.OA=OB=BC=AC；

四邊形OACB是菱形；

\'AB=2cm,四邊形OACB的面積為4a￡

.?工8?OC=』X2XOC=4；

22

解得0C=4a%.

故答案為：4.

15.解：如圖，設(shè)CD與AB1交于點(diǎn)O；

???在邊長(zhǎng)為2的菱形A8CD中，ZB=45°,AE為邊上的高;

；.AE=&；

由折疊易得△ABBi為等腰直角三角形；

.".SMBB\——BA,AB\—2,S^ABE—1；

2

:.CBi=2BE-BC=2?-2；

；.NOCBi=NB=45°；

又由折疊的性質(zhì)知，ZBi=ZB=45°；

：.CO=OB\=2-&.

：.S^COB\=—OC-OB\=3-2&；

2

,重疊部分的面積為：2-1-(3-2A/2)=242-2.

?..四邊形A8C。是菱形；

：.AB=AD-,

?.?菱形ABC。的周長(zhǎng)為40；

：.AB=AD=Wx

PELAB,PFLAD-,

；?菱形ABCD的面積=2SAABO=2X(S^ABP+SAADP)=2(AxiOPE+Ax1OPF)=10(PE+PF)=10

22

X8=8O；

,:EH、G尸分別是△ABC、△BCD的中位線(xiàn)；

：.EH//=^BC,GF//=Age；

22

:.EH"=GF；

：.四邊形EFGH是平行四邊形.

要使四邊形EFG”是菱形，則要使AO=8C,這樣，GH=1AD；

2

:.GH=GF；

四邊形EFG〃是菱形.

三.解答題

18.(1)證明：?..四邊形A8CO是菱形，DE=^AC；

2

：.ACLBD,DE=OC.

'：DE//AC-,

：.四邊形OCED是平行四邊形；

,JACVBD,四邊形OCED是平行四邊形；

二四邊形OCE。是矩形；

:.OE=CD.

(2)解：*.?菱形ABC。的邊長(zhǎng)為6；

：.AB=BC=CD=AD=6,BD1AC,AO=CO=-^AC.

2

VZABC=6Qa,AB=BC；

?**/\ABC是等邊三角形；

.\AC=AB=6；

:△AO。中3O_LAC,AD=6,AO=3；

0D=22

VAD-AO=3代；

:四邊形OCE￡＞是矩形；

：.CE=OD=3y/3；

?.?在RtZviCE中，AC=6,CE=3?：

:AE=22

-VAC-K:E=Ve2+(3V3)2=3v7?

19.解：(1)若四邊形4EC尸為平行四邊形；

，AO=OC,EO=OF；

?；四邊形ABCD為平行四邊形；

:?BO=OD=6cm、

：.E0=6-tf0F=2t；

???6-t=2t；

?'?l=2s；

...當(dāng)，為2秒時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形;

(2)若四邊形AEC尸是菱形；

J.ACLBD-,

：.AO2+BO2=AB2；

22

?'-AB-^g+3=35/5;

...當(dāng)AB為3遙時(shí)，EL4ECF是菱形；

(3):四邊形AECF是菱形：

：.BOLAC,OE=OF；

?：四邊形ABCD是平行四邊形；

：.BO=OD；

：.BE=DF；

.?./=6-2r；

r=2；

.BE=DF=2；

：.EF=S；

菱形AECF的面積=LAC?EF=LX6X8=24.

22

20.證明：(1)?..四邊形A8co是平行四邊形；

：.OA=OC,OB=OD.

V￡,0,F分別是對(duì)角線(xiàn)8。上的四等分點(diǎn);

：.E,尸分別為。8,0。的中點(diǎn)；

；G是AO的中點(diǎn)；

；.GF為△AOD的中位線(xiàn)；

：.GF//OA,GF=—OA；

2

同理EH〃OC,EH=』OC；

2

:.EH//GF,EH=GF；

...四邊形GEHF是平行四邊形；

(2)①ABLBO,理由如下：

如圖，連接GH；

：.AD=BC,AD//BC；

?.?點(diǎn)G、H分別是A￡＞、8c的中點(diǎn);

：.AG^—AD,BH=LBC；

22

...四邊形AGHB是平行四邊形；

C.AB//HG-.

?.?四邊形GEHF是菱形;

:.GHLEF；

J.ABVEF,BPABA.BD；

@'：AB=2,BD=2AB-,

：.BD=4-,

?.?點(diǎn)E、。、F分別是對(duì)角線(xiàn)8。上的四等分點(diǎn)；

：.EO=OF^\-,

:.EF=2；

???四邊形AGHB是平行四邊形；

，GH=AB=2；

??,四邊形GEHF是菱形；

四邊形GEHF的面積=2XEFXGH=^X2X2=2.

22

21.(1)證明：?:AB//CD；

：.ZACD=NBAC；

：AC平分/BAD；

，ZBAC=ZDAC；

C.AD^CD-,

\'AB=AD；

：.AB=CD；

'JAB//CD；

/.四邊形ABCD是平行四邊形；

：AB=A。；

???平行四邊形A8CQ是菱形；

(2)解：由(1)可知，四邊形ABC。是菱形：

J.AC