第2節(jié)用樣本估計(jì)總體-高考一輪復(fù)習(xí)人教A版(適用于新高考新教材)

第2節(jié)用樣本估計(jì)總體高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.3.能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.4.能用樣本估計(jì)百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.5.會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差.掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差的計(jì)算.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.總體百分位數(shù)的估計(jì)(1)第p百分位數(shù)的定義一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中

的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有

的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計(jì)算i=n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).至少有p%

(100-p)%微點(diǎn)撥1.第0百分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的最小數(shù),第100百分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的最大數(shù);2.一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù),也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù);3.一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個(gè)數(shù).2.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

數(shù)字特征概念眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)

不一定唯一,一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在_______

位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))

唯一,不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)

=

唯一,不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)

最多

中間3.總體離散程度的估計(jì)

常用結(jié)論1.在頻率分布直方圖中:(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);(2)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等;(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(

)2.一組數(shù)據(jù)的方差越大,說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中.(

)3.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè),那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.(

)4.對(duì)一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō),平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(

)√×××題組二回源教材5.(人教A版必修第二冊(cè)9.2.2節(jié)例2改編)某機(jī)構(gòu)調(diào)查了解10種食品的卡路里含量,結(jié)果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和中位數(shù)分別是(

)A.138,160.5 B.138,146C.138,175 D.135,160.5A解析

將10個(gè)數(shù)按從小到大排列:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,而10×25%=2.5,故這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為第3項(xiàng)138;中位數(shù)為6.(人教A版必修第二冊(cè)習(xí)題9.2第3題改編)(多選題)在去年的足球聯(lián)賽上,一隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是1.1;二隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.1,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.4.則下列說(shuō)法正確的有(

)A.平均來(lái)說(shuō)一隊(duì)比二隊(duì)防守技術(shù)好B.二隊(duì)很少失球C.一隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)差,有時(shí)表現(xiàn)又非常好D.二隊(duì)比一隊(duì)技術(shù)水平更不穩(wěn)定AC解析

對(duì)于A,因?yàn)橐魂?duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5,二隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.1,所以平均來(lái)說(shuō)一隊(duì)比二隊(duì)防守技術(shù)好,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)槎?duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.1,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,所以二隊(duì)經(jīng)常失球,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)橐魂?duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1,二隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,所以一隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差,有時(shí)表現(xiàn)又非常好,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)橐魂?duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1,二隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,所以二隊(duì)比一隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定,故D不正確.題組三連線高考7.(2020·全國(guó)Ⅲ,文3)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10x1,10x2,…,10xn的方差為(

)A.0.01 B.0.1

C.1 D.10C8.(多選題)(2021·新高考Ⅱ,9)下列統(tǒng)計(jì)量中,能度量樣本x1,x2,…,xn的離散程度的是(

)A.樣本x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本x1,x2,…,xn的中位數(shù)C.樣本x1,x2,…,xn的極差D.樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)AC解析

能夠度量樣本離散程度的統(tǒng)計(jì)量有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差,故選AC.2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)例1(1)(2024·吉林白山模擬)某學(xué)習(xí)小組共有20人,在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中,得100分的有2人,得95分的有4人,得90分的有5人,得85分的有3人,得80分的有5人,得75分的有1人,則這個(gè)學(xué)習(xí)小組成員該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)是(

)A.82.5 B.85

C.90 D.92.5D解析

根據(jù)題意,20×70%=14,這個(gè)學(xué)習(xí)小組成員該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)的第14項(xiàng)為90,第15項(xiàng)為95,故第70百分位數(shù)為

=92.5,故這個(gè)學(xué)習(xí)小組成員該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)是92.5.(2)(2024·山東日照模擬)為了解學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間,某市教育部門(mén)對(duì)全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,按照時(shí)長(zhǎng)(單位:分鐘)分成6組:第一組[30,40),第二組[40,50),第三組[50,60),第四組[60,70),第五組[70,80),第六組[80,90].對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為(

)A.43.5 B.45.5C.47.5 D.49.5C解析

由頻率之和為1,得10(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=1,解得a=0.015,由10×0.01=0.1<0.25,10×0.01+10×0.02=0.3>0.25,故第25百分位數(shù)位于[40,50)內(nèi),則第25百分位數(shù)為40+10=47.5.可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為47.5.變式探究(變結(jié)論)例1(1)的條件下,求該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第66百分位數(shù).解

根據(jù)題意,20×66%=13.2,該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第14項(xiàng)為90,故第66百分位數(shù)為90.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·廣東江門(mén)模擬)某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本,數(shù)據(jù)(單位:cm)從小到大排序如下:158,165,165,167,168,169,x,172,173,175,若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170,則x=(

)A.169 B.170

C.171

D.172C考點(diǎn)二用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(多考向探究預(yù)測(cè))考向1總體集中趨勢(shì)的估計(jì)(中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))例2(1)(2024·山東濟(jì)南模擬)某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次,命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成的一組數(shù)據(jù)中,中位數(shù)為8,唯一的眾數(shù)為9,極差為3,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(

)A.7.6 B.7.8

C.8

D.8.2B解析

依題意,這組數(shù)據(jù)一共有5個(gè)數(shù),中位數(shù)為8.將數(shù)據(jù)從小到大排列,8的前面有2個(gè)數(shù),后面也有2個(gè)數(shù),又唯一的眾數(shù)為9,則有兩個(gè)9,其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次,則最大數(shù)字為9,又極差為3,所以最小數(shù)字為6,所以這組數(shù)據(jù)為6,7,8,9,9,所以平均數(shù)為

=7.8.(2)(多選題)某城市在創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中,為了解居民對(duì)“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度,組織居民給活動(dòng)打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù),滿分100分),從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本,發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40,100]內(nèi).現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖,但不小心污損了部分圖形,如圖所示.觀察圖形,則下列說(shuō)法正確的有(

)A.頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10B.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)為75分C.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)為75分D.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)為75分ABC解析

分?jǐn)?shù)在[60,70)內(nèi)的頻率為1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)=0.10,所以第三組的頻數(shù)為100×0.10=10,故A正確;因?yàn)楸姅?shù)的估計(jì)值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),從圖中可看出眾數(shù)的估計(jì)值為75分,故B正確;因?yàn)?0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+0.030)×10=0.65>0.5,所以中位數(shù)位于[70,80)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為x,則0.35+0.03(x-70)=0.5,解得x=75,所以中位數(shù)的估計(jì)值為75分,故C正確;樣本平均數(shù)的估計(jì)值為45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73(分),故D錯(cuò)誤.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·山東煙臺(tái)模擬)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第25百分位數(shù)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是(注:同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替)(

)A.x3<x1<x2 B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2 D.x1<x2<x3A解析

由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為

=2.5,即x1=2.5,平均數(shù)x2=0.2×1.5+0.24×2.5+0.2×3.5+0.16×4.5+0.12×5.5+0.04×6.5+0.04×7.5=3.54,顯然第25百分位數(shù)位于[2,3)之間,則0.2+(x3-2)×0.24=0.25,解得x3≈2.208,所以x3<x1<x2.(2)若一組數(shù)據(jù)1,x,7,7,9,10的眾數(shù)與平均數(shù)相等,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

.

7.5

解析

在這組數(shù)據(jù)中7出現(xiàn)了兩次,其他的數(shù)只出現(xiàn)了一次(x除外),因?yàn)閿?shù)據(jù)1,x,7,7,9,10的眾數(shù)與平均數(shù)相等,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只能是7,則考向2總體離散程度的估計(jì)(方差與標(biāo)準(zhǔn)差)例3(2023·全國(guó)乙,理17,文17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn),每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理,另一個(gè)用乙工藝處理,測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如下:試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536解

(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·江西南昌模擬)已知a,b,c,d的平均數(shù)和方差分別為5和10,則a,b,c,d,5的方差為(

)A.4 B.6

C.8

D.12C考向3分層隨機(jī)抽樣的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例4(2024·山西太原五中模擬)現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù),每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成,其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,方差為5,乙組數(shù)據(jù)滿足如下條件時(shí),若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組,則關(guān)于新的一組數(shù)據(jù)說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,則新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為3B.若乙組數(shù)據(jù)的方差為5,則新的一組數(shù)據(jù)方差為5C.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,方差為5,則新的一組數(shù)據(jù)方差為5D.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為3,則新的一組數(shù)據(jù)方差為5B[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·福建泉州模擬)隨著老年人消費(fèi)需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變.消費(fèi)層次不斷提升,“銀發(fā)經(jīng)濟(jì)”成為社會(huì)熱門(mén)話題之一,被各企業(yè)持續(xù)關(guān)注.某企業(yè)為了解該地老年人消費(fèi)能力情況,對(duì)該地年齡在[60,80)的老年人的年收入按年齡[60,70),[70,80)分成兩組進(jìn)行分層抽樣調(diào)查,已知抽取了年齡在[60,70)的老年人500人.年齡在[70,80)的老年人300人.現(xiàn)作出年齡在[60,70)的老年人年收入的頻率分布直方圖(如下圖所示).(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位