西安交通大學(xué)matlab數(shù)學(xué)實驗課件4

MathematicsLaboratory阮小娥博士辦公地址：理科樓２２５ExperimentsinMathematics數(shù)學(xué)實驗西安交通大學(xué)理學(xué)院李換琴美國空軍為了保證士兵的營養(yǎng)，規(guī)定每餐的食品中，要保證一定的營養(yǎng)成份，例如蛋白質(zhì)、脂肪、維生素等等，都有定量的規(guī)定。當(dāng)然這些營養(yǎng)成份可以由各種不同的食物來提供，例如牛奶提供蛋白質(zhì)和維生素，黃油提供蛋白質(zhì)和脂肪，胡蘿卜提供維生素，等等。由於戰(zhàn)爭條件的限制，食品種類有限，又要盡量降低成本，於是在一盒套餐中，如何決定各種食品的數(shù)量，使得既能滿足營養(yǎng)成份的需要，又可以降低成本？現(xiàn)代管理問題雖然千變?nèi)f化，但大致上總是要利用有限的資源，去追求最大的利潤或最小的成本，如何解決這些問題？

解決問題的方法：線性規(guī)劃１在波斯灣戰(zhàn)爭期間，美國軍方利用線性規(guī)劃，有效地解決了部隊給養(yǎng)和武器調(diào)運(yùn)問題，對促進(jìn)戰(zhàn)爭的勝利，起了關(guān)鍵的作用。甚至有這樣的說法：因為使用炸藥，第一次世界大戰(zhàn)可說是「化學(xué)的戰(zhàn)爭」；因為使用原子彈，第二次世界大戰(zhàn)可說是「物理的戰(zhàn)爭」；因為使用線性規(guī)劃，波斯灣戰(zhàn)爭可稱為「數(shù)學(xué)的戰(zhàn)爭」。在歷史上，沒有哪種數(shù)學(xué)方法，可以像線性規(guī)劃那樣，直接為人類創(chuàng)造如此巨額的財富，并對歷史的進(jìn)程發(fā)生如此直接的影響。2實驗八線性函數(shù)極值求解3例1、生產(chǎn)計劃問題：問：A,B各生產(chǎn)多少,可獲最大利潤?

AB備用資源煤1230勞動日3260倉庫0224利潤4050一、引例某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，成本和利潤指標(biāo)如下：x1+2x2

30，

3x1

+2x2

60，2x2

24，

x1，x2

0；maxZ=40x1

+50x2解:設(shè)產(chǎn)品A,B的產(chǎn)量分別為變量x1，x2，則：s.t.

AB備用資源煤1230勞動日3260倉庫0224利潤40504

有一批長度為7.4m的鋼筋若干根?，F(xiàn)有5中下料方案，分別作成2.9m，2.1m，1.5m的鋼筋架子各100根。每種下料方案及剩余料頭如下表所示：例2、(資源配置問題)問：如何下料使得剩余料頭最少？ⅠⅡⅢⅣⅤ2.9m120102.1m002211.5m31203合計7.47.37.27.16.6料頭00.10.20.30.87解：設(shè)按第i種方案下料的原材料為xi根，則：minZ=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5

x1+2x2+x4=100，2x3+2x4+x5=100，3x1+x2+2x3+3x5=100，

xi

0(i=1,…,5)，且為整數(shù)；s.t.ⅠⅡⅢⅣⅤ2.9m120102.1m002211.5m31203合計7.47.37.27.16.6料頭00.10.20.30.88例3、(運(yùn)輸問題)

123庫存容量

1

21350

2

22430

3

34210

需求401535倉庫車間某棉紡廠的原棉需從倉庫運(yùn)送到各車間。各車間原棉需求量，單位產(chǎn)品從各倉庫運(yùn)往各車間的運(yùn)輸費以及各倉庫的庫存容量如下表所列：問：如何安排運(yùn)輸任務(wù)使得總運(yùn)費最?。?設(shè)xij為i

倉庫運(yùn)到j(luò)車間的原棉數(shù)量(i

＝1,2,3;

j＝1,2,3)。則minZ=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23

+3x31+4x32+2x33解：x11+x12+x13

50，x21+x22+x23

30，x31+x32+x33

10，x11+x21+x31=40，x12+x22+x32=15，x13+x23+x33=35，

xij

0，i＝1,2,3;j＝1,2,3;s.t.123庫存容量121350222430334210需求401535倉庫車間10例4、連續(xù)投資10萬元于4個項目。各項目投資時間和本利情況如下：項目A：從第1年到第4年每年初要投資，次年末回收本利1.15倍。項目B：第3年初投資，到第5年末回收本利1.25倍，最大投資4萬元。項目C：第2年初投資，到第5年末回收本利1.40倍，最大投資3萬元。項目D：每年初投資，每年末回收本利1.11倍。求：如何分配投資資金使得5年末總資本最大？11解：

12345Ax1A

x2A

x3A

x4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D項目年份設(shè)xik(i=1,2,3,4,5;k=A,B,C,D)表示第i年初投資第k項目的資金數(shù)。12xik(i=1,2,…,5;k=A,B,C,D)為第i年初投k項目的資金數(shù).則：maxZ=1.15x4A

+1.40x2C+1.25x3B+1.11x5Dx1A+x1D=10x2A+x2C+x2D=1.11x1Dx2C

3x3A+x3B+x3D=1.15x1A+

1.11x2Dx3B

4x4A+x4D=1.15x2A+

1.11x3Dx5D=1.15x3A+

1.11x4D

xik

0,i=1,2,…,5;k=A,B,C,D;s.t.131４以上問題的特點:2.某項任務(wù)確定后，如何安排人力、財力、物力，使之最省.1.在人力、財力、資源給定條件下，如何合理安排任務(wù)，使得效益最高.

即以上問題都是在一定條件下，求線性函數(shù)的最大值或最小值問題。這類問題稱為線性規(guī)劃LP(LinearProgramming)問題。1５線性規(guī)劃問題的一般形式max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn

(=,)b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn

(=,)b2,………am1x1+am2x2+…+amnxn

(=,)bm,xj

0(j=1,…,n);s.t.或三、線性規(guī)劃問題的求解方法二元線性規(guī)劃問題的圖解法線性規(guī)劃問題的理論解法線性規(guī)劃問題的MATLAB軟件解法１６x=linprog(f,A,b):求解minz=f’

x,

Ax

≤b求解線性規(guī)劃的MATLAB命令若沒有不等式約束,可用[]替代A和b,

若沒有等式約束,可用[]替代Aeq和beq,若某個xi下無界或上無界,可設(shè)定-inf或inf；用[x,Fval]代替上述命令行中的x，可得最優(yōu)解處的函數(shù)值Fval。x=linprog(f,A,b,Aeq,beq):求解：

minz=f’

x,Ax≤b,Aeqx=beq；x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub):

指定lb≤x≤ub;１7x1+2x2

30，

3x1

+2x2

60，2x2

24，minZ=-40x1

-50x2s.t.例1、解：程序如下c=[-40,-50];a=[1,2;3,2;0,2];b=[30;60;24];x=linprog

(c,a,b)

z=c*x18[x,Z]=linprog

(c,a,b)

x1+x2

5,-6

x1

10,

-1

x2

4;例2:minZ=4x1

+3x2s.t.解：%lp2.m%c=[4,3];a=[1,1];b=[5];vlb=[-6;-1];

%lowerboundofvector

x%vub=[10;4];%upperboundofvectorx%[X,Z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)19x1+x2

+x37,-x1

+x2

-x3

-2,x1

,x2

,x3

0;例3:minZ=-x1+2x2

–3x3s.t.20解：%lp3.m%c=[-1,2,-3];a=[1,1,1;-1,1,-1];b=[7;-2];vlb=[0;0;0];

%lowerboundofvectorx%vub=[];%upperboundofvectorx%x=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)z=c*xminZ=2x1+x2+3x3+2x4+2x5+4x6

+3x7+4x8+2x9x1

+x4

+x7

=40，

x2

+x5

+x8

=15，

x3

+x6

+x9

=35，x1+x2+x3

50，

x4+x5+x6

30，

x7+x8+x9

10，

xi

0，i＝1,2,…,9;s.t.例4:21%lp4.m%c=[2,1,3,2,2,4,3,4,2];b=[40;15;35];beq=[50;30;10];a(1,:)=[1,0,0,1,0,0,1,0,0];a(2,:)=[0,1,0,0,1,0,0,1,0];a(3,:)=[0,0,1,0,0,1,0,0,1];aeq(1,:)=[1,1,1,0,0,0,0,0,0];aeq(2,:)=[0,0,0,1,1,1,0,0,0];aeq(3,:)=[0,0,0,0,0,0,1,1,1];vlb=zeros(9,1);%lowerboundofvectorx%vub=[];%upperboundofvectorx%[x,Z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub)解：22最優(yōu)化簡介當(dāng)今，“優(yōu)化”無疑是一個熱門詞。做宏觀經(jīng)濟(jì)規(guī)劃要優(yōu)化資源配置，搞企業(yè)經(jīng)營管理要優(yōu)化生產(chǎn)計劃，作新產(chǎn)品設(shè)計要優(yōu)化性能成本比。就是在人們的日常生活中，優(yōu)化的要求也比比皆是，消費時，如何花盡可能少的錢辦盡可能多的事，出行時，如何走最短的路程到達(dá)目的地，等等。總而言之，在經(jīng)濟(jì)如此發(fā)展，競爭如此劇烈，資源日漸緊張的今天，人們做任何事，無不望求事半功倍之術(shù)，以求或提效、或增收、或節(jié)約等等之目標(biāo)。最優(yōu)化概念所有類似的這種課題統(tǒng)稱為最優(yōu)化問題，研究解決這些問題的科學(xué)一般就總稱之為最優(yōu)化理論和方法另外也可用學(xué)術(shù)味更濃的名稱：“運(yùn)籌學(xué)”。由于最優(yōu)化問題背景十分廣泛，涉及的知識不盡相同，學(xué)科分枝很多，因此這個學(xué)科名下到底包含哪些分枝，其說法也不一致。比較公認(rèn)的是：“規(guī)劃論”（包括線性和非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃等），“組合最優(yōu)化”，“對策論”及“最優(yōu)控制”等等。數(shù)學(xué)建模競賽中的優(yōu)化問題：2000B鋼管訂購和運(yùn)輸問題—二次規(guī)劃2001B公交車優(yōu)化調(diào)度2001C基金使用的最優(yōu)策略-----線性規(guī)劃2002B彩票中的數(shù)學(xué)2003B露天礦生產(chǎn)的車輛安排問題

2004A奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計問題

2004D公務(wù)員招聘工作中錄用方案—多目標(biāo)規(guī)劃2005BDVD在線租賃2006A出版社的資源配置問題

2007A乘公交，看奧運(yùn)

2008B高等教育學(xué)費探討2009B眼科病床的合理安排

從數(shù)學(xué)上來看，所謂最優(yōu)化問題可以概括為這樣一種數(shù)學(xué)模型：給定一個“函數(shù)”，F(xiàn)(X)，以及“自變量”X應(yīng)滿足的一定條件，求X為怎樣的值時，F(xiàn)(X)取得其最大值或最小值。通常，稱F(X)為“目標(biāo)函數(shù)”，X應(yīng)滿足的條件為“約束條件”。約束條件一般用一個集合D表示為：X∈D。求目標(biāo)函數(shù)F(X)在約束條件X∈D下的最小值或最大值問題，就是一般最優(yōu)問題的數(shù)學(xué)模型．無約束最優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問題的一般形式約束最優(yōu)化問題約束函數(shù)最優(yōu)解；最優(yōu)值最優(yōu)化問題分類分類1：無約束最優(yōu)化約束最優(yōu)化

非線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)中至少有一個是變量x的非線性函數(shù)；

線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)均為線性函數(shù)；分類2：線性規(guī)劃非線性規(guī)劃求解無約束最優(yōu)化問題的matlab指令求一元函數(shù)fun在區(qū)間(x1,x2)上的最小值X=fminbnd(fun,x1,x2)或[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2)求多元無約束函數(shù)fun的最小值[x,fval]==fminunc(fun,x0)

x0為初值[x,fval]=fminsearch(fun,x0)注意：fminunc不是解決平方相加函數(shù)優(yōu)化問題的最好方法

函數(shù)lsqnonlin專門解決非線性最小二乘問題：調(diào)用格式：x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)線性最小二乘問題lsqlin函數(shù)：用于解決線性最小二乘問題：調(diào)用格式：x=lsqlin(C,d,A,b)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)例.求解下面非線性最小二乘問題初始解向量為解：(1)建立函數(shù)文件example5.mfunctionF=example5(x)k=1:10;F=2+2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));x0=[0.30.4];[x,resnorm,residual]=lsqnonlin(@example5,x0)(2)調(diào)用優(yōu)化程序：(3)運(yùn)行結(jié)果為x=0.25780.2578resnorm=124.3622residual=Columns1through71.41182.65053.66544.39064.74084.60573.8428Columns8through102.2672-0.3600-4.3482residual為解x處向量f(x)的值最優(yōu)解最優(yōu)值例1

某?；@球隊準(zhǔn)備從以下隊員中選拔3名為正式隊員，并使平均身高盡可能高，這6名預(yù)備隊員情況如下表所示。預(yù)備隊員號碼身高位置

大張1193中鋒大李2191中鋒小王3187前衛(wèi)小趙4186前衛(wèi)小田5180后衛(wèi)小周6185后衛(wèi)隊員的挑選要滿足下列條件：(1)至少補(bǔ)充一名后衛(wèi)隊員；(2)大李或小田中間只能入選一名；(3)最多補(bǔ)充一名中鋒；(4)如果大李或小趙入選，小周就不能入選.試建立此問題的數(shù)學(xué)模型。解:則該問題的數(shù)學(xué)模型為:(0-1)規(guī)劃例2經(jīng)典指派問題n個員工分配做n項工作，已知第i個員工做第j項工作的成本為cij，i=1,…,n;j=1,…,n。求最佳分配方案。s.t.解綜合實例－投資的收益和風(fēng)險

市場上有n種資產(chǎn)Si(i=1,2,…,n)可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個時期的投資。財務(wù)人員分析估算出這一時期內(nèi)購買Si的平均收益率為ri

,風(fēng)險損失率為qi,投資越分散，總的風(fēng)險越小，總體風(fēng)險可用投資的Si中最大的一個風(fēng)險來度量。購買Si時要付交易費，費率pi(不買無須付費).當(dāng)購買額不超過給定值ui時，交易費按購買ui計算.另外，假定同期銀行存款利率是r0,既無交易費又無風(fēng)險。(r0=5%)已知n=4時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:SiriqipiuiS1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540

試給該公司設(shè)計一種投資組合方案，即用給定達(dá)到資金M,有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風(fēng)險盡可能小?；炯僭O(shè)1.投資數(shù)額M相當(dāng)大,為了便于計算，假設(shè)M=1;2.投資越分散，總的風(fēng)險越?。?.總體風(fēng)險Si用投資項目中最大的一個風(fēng)險來度量；4.n種資產(chǎn)Si之間是相互獨立的；5.在投資的這一時期內(nèi),ri

,pi,qi

,r0為定值，不受意外因素影響；6.凈收益和總體風(fēng)險只受ri

,pi,qi影響，不受其他因素干擾。符號規(guī)定Si——第i種投資項目，如股票，債券ri

,pi,qi

——分別為Si的平均收益率,風(fēng)險損失率，交易費率ui

——Si的交易定額,r0——同期銀行利率xi——投資項目Si的資金,a——投資風(fēng)險度Q——總體收益,?Q——總體收益的增量

模型的建立與分析1.總體風(fēng)險用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．購買Si所付交易費是一個分段函數(shù),即

pixixi>ui

交易費=

piui

xi≤ui而題目所給定的定值ui(單位:元)相對總投資M很小,piui更小,可以忽略不計,這樣購買Si的凈收益為(ri-pi)xi模型的建立與分析凈收益盡可能大建立模型總體風(fēng)險盡可能小多目標(biāo)規(guī)劃問題模型轉(zhuǎn)化

方法一:固定風(fēng)險水平，優(yōu)化收益

在實際投資中，投資者承受風(fēng)險的程度不一樣，若給定風(fēng)險一個界限a，使最大的一個風(fēng)險qi

xi/M≤a，可找到相應(yīng)的投資方案。

模型一線性規(guī)劃模型模型轉(zhuǎn)化

方法二:固定盈利水平，極小化風(fēng)險

若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。

模型二線性規(guī)劃模型模型轉(zhuǎn)化---方法3線性加權(quán)

投資者