8.1-統(tǒng)計量及其分布

授課建議1、理解總體、個體、簡單隨機樣本和統(tǒng)計量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計算；了解分布、t分布和F分布的定義及性質，的概念并會查表計算；了解正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計了解分布分位數量的分布。2、理解點估計的概念；掌握矩估計法和極大似然估計法；了解估計量的評選標準（無偏性、有效性、一致性）。3、理解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間。4、了解單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設檢驗。建議授課時數：約12學時8.1.1總體、樣本、統(tǒng)計量1.總體與樣本在數理統(tǒng)計中，常把所研究對象的全體稱為總體，用隨機變量X表示.總體中的每一元素稱為個體，用

表示.從總體中抽取n個相互獨立，且與總體X同分布的個體

稱為總體X的一個樣本.樣本所含個體的數目n稱為樣本容量，n個觀測值

稱為樣本值.樣本的例8.1.1

為了檢查倉庫里鋼管的質量情況，里任取100根鋼管進行質量檢測，從倉庫以此作為對倉庫里鋼管的質量的估計.那么，倉庫里全部鋼管的質量是一個總體，每一根鋼管的質量是一個個體，從總體中抽取出來的100根鋼管的質量構成樣本，樣本數量是100，100根鋼管的質量具體數值x1,x2,…,x100就是樣本值.樣本具有以下兩個性質:

(1)獨立性：在樣本

中，各個隨機變量的取值互不影響；

(2)代表性：在樣本

中的每一個體都與總體X有相同的概率分布.注：有放回地隨機抽取，得到的是樣本.在實際工作中，如果樣本容量相對于總體容量而言是很小的，既使是無放回地抽取，也可以近似地認為所得到的是一個樣本.2.統(tǒng)計量為了對總體分布中的未知參數進行估計、推斷，就需要針對不同的問題利用樣本構造出某些函數作為推斷的基礎，這種由樣本構造出來的函數稱為統(tǒng)計量.設

～X,

是一個連續(xù)函數，如果

中不含任何未知參數，則稱

為一個統(tǒng)計量.當

取定一組觀測值

時，

就是統(tǒng)計量的一個觀測值.設

是總體X的一個樣本，常用的統(tǒng)計量有：（1）樣本均值（2）樣本方差（3）樣本標準差例8.1.2

從某總體中抽取一個容量為5的樣本，其樣本值為12.6，12.0，12.2，12.8，12.5，求樣本均值和樣本方差.解樣本均值為樣本方差為8.1.2抽樣分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.在探討抽樣分布之前，先介紹分布的分位點或臨界值.設隨機變量X服從某一分布，對給定的滿足條件的點稱為該分布的上分位點或上側臨界值.件的點

稱為該分布的雙側

分位點或雙側臨界值.

滿足條1.樣本均值的分布設

是取自正態(tài)總體X~N

的一個樣本，則與相互獨立.例8.1.3

設X~N

，取p{X>1.28}=0.10，所以X0.10=1.28.又由于p{∣X∣>1.645}=0.10，所以=1.645.由于2.

分布

設

是取自標準正態(tài)總體X~N(0,1)的一個樣本，稱統(tǒng)計量服從自由度為n的

分布，記作

~.的概率密度為其中是函數在處的函數值，“自由度”是指獨立的隨機變量的最大個數.其圖形如圖8.1.3所示.對于給定的正數稱滿足條件的點為分布的上分位點或上側臨界值.分布性質:（1）設~~獨立，則且兩隨機變量相互（2）圖8.1.3

圖8.1.4

設

是取自正態(tài)總體X~N

的一個樣本,樣本均值為樣本方差為.則（1）與

相互獨立；（2）例8.1.4

設樣本容量n=8，則于是自由度為8–1=7，若3.t分布設X與Y是兩個相互獨立的隨機變量，且X~N(0,1)，Y~稱統(tǒng)計量服從自由度為n的t分布，記作t~t(n).t

分布的概率密度為對于給定的正數稱滿足的點為t分布上的分位點或上側臨界值，如右上圖所示

.稱滿足的點為t分布上的分位點或雙側臨界值.t分布性質:（2）當n＞45時，（1）~，其中是N(0,1)的上分位點.設

是取自正態(tài)總體X~N

的一個樣本，則統(tǒng)計量

~t(n–1)其中和S分別是樣本均值和樣本標準差.設X與Y是相互獨立的兩個隨機變量，取自正態(tài)總體X~N

的一個樣本，正態(tài)總體X~N

取自的一個樣本，則統(tǒng)計量~其中分別是兩總體的樣本均值，分別是兩總體的樣本方差，分別是兩總體的樣本容量.特別地，當n1=n2=n時，有4.F分布設隨機變量~~且U與V相互獨立，稱統(tǒng)計量服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，記作F~F(n1,n2).F分布的概率密度為對于給定的正數稱滿足的點為F分布的上分位點或上側臨界值.其幾何意義如右上圖所示。

例8.1.5

設F~F(10,20)，F0.10(10，20)=1.94.又若求F0.90(20，10)，由F分布性，查附表可得質得