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拋物線[考試要求]1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.4.理解數(shù)形結(jié)合的思想.1.拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y=0x=0焦點(diǎn)FpF?F0F0離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R[常用結(jié)論]1.與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論如圖,傾斜角為α的直線AB與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則有(1)x1x2=p24,y1y2=-p(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng):|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α(3)通徑:過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p;(4)焦半徑:|AF|=p1?cosαF特別地1AF+1(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;(7)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上;(8)焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積:S△AOB=p22sinα=12|OF|·|y12.若A,B為拋物線y2=2px(p>0)上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),則OA⊥OB是直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0)的充要條件.一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線. ()(2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),則直線與拋物線一定相切. ()(3)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是a4,0,準(zhǔn)線方程是x=-a(4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材經(jīng)典衍生1.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P133練習(xí)T2改編)拋物線y=14x2A.y=-1 B.y=-2C.x=-1 D.x=-2A[∵y=14x2,∴x2=4y,∴準(zhǔn)線方程為y=-1.2.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P133練習(xí)T3改編)若拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.1716 B.15C.78 B[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離,又準(zhǔn)線方程為y=-116,設(shè)M(x,y),則y+116=1,∴y=3.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P135例4改編)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,則|PQ|等于()A.9 B.8C.7 D.6B[拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.根據(jù)題意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.]4.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P134例3改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,-4),則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.y2=-8x或x2=-y[設(shè)拋物線方程為y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0).將P(-2,-4)代入,分別得方程為y2=-8x或x2=-y.]考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用動(dòng)點(diǎn)軌跡的判定[典例1](1)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到直線x=1的距離比它到定點(diǎn)(-2,0)的距離小1,則P的軌跡方程為()A.y2=2x B.y2=4xC.y2=-4x D.y2=-8x(2)動(dòng)圓與定圓A:(x+2)2+y2=1外切,且和直線x=1相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡是()A.直線 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線(1)D(2)D[(1)由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)到直線x=2的距離與定點(diǎn)(-2,0)的距離相等,由拋物線的定義知,P的軌跡是以(-2,0)為焦點(diǎn),x=2為準(zhǔn)線的拋物線,所以p=4,軌跡方程為y2=-8x.故選D.(2)設(shè)動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為r,則點(diǎn)C到定圓A:(x+2)2+y2=1的圓心的距離等于r+1.又動(dòng)圓的圓心到直線x=1的距離等于r,所以動(dòng)圓的圓心到直線x=2的距離為r+1.根據(jù)拋物線的定義知,動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線.故選D.]拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值[典例2](1)(2023·北京高考)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,若M到直線x=-3的距離為5,則|MF|=()A.7 B.6C.5 D.4(2)已知點(diǎn)M(20,40)不在拋物線C:y2=2px(p>0)上,拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P,|PM|+|PF|的最小值為41,則p的值等于________.(1)D(2)42或22[(1)如圖所示,因?yàn)辄c(diǎn)M到直線x=-3的距離|MR|=5,所以點(diǎn)M到直線x=-2的距離|MN|=4.又拋物線上點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-2的距離和到焦點(diǎn)F的距離相等,故|MF|=|MN|=4.故選D.(2)當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線內(nèi)時(shí),如圖1,過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為D,則|PF|=|PD|,|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.當(dāng)點(diǎn)M,P,D三點(diǎn)共線時(shí),|PM|+|PF|的值最?。勺钚≈禐?1,得20+p2=41,解得p=4當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線外時(shí),如圖2,當(dāng)點(diǎn)P,M,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),|PM|+|PF|的值最小.由最小值為41,得402解得p=22或p=58.當(dāng)p=58時(shí),y2=116x,點(diǎn)M(20,40)在拋物線內(nèi),故舍去.綜上,p=42或p=22.]拋物線定義的應(yīng)用規(guī)律[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.(1)(2024·廣東珠海模擬)已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)N,M是拋物線上一點(diǎn),若|FN|=|FM|,則△FMN的面積為()A.4 B.23C.22 D.2(2)已知P為拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是________.(1)D(2)17-1[(1)由x2=4y,得p=2,則|FN|=|FM|=2,根據(jù)拋物線的定義知|MF|=y(tǒng)M+p2=y(tǒng)M解得yM=1,代入x2=4y,得xM=±2,所以△FMN的面積為12×2×2=2.故(2)由題可知,拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),圓x2+(y-4)2=1的圓心坐標(biāo)為E(0,4),半徑為R=1,設(shè)點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP′|,則|PP′|=|PF|,故|PP′|+|PQ|=|PF|+|PQ|,所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q,P位于線段EF上時(shí),點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小,此時(shí)|PP′|+|PQ|=|EF|-R=17-1.]【教師備選資源】(2024·浙江金麗衢十二校模擬)已知直線l1:3x-4y-6=0和直線l2:y=-2,則拋物線x2=4y上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1、直線l2的距離之和的最小值是()A.2 B.3C.115 D.B[拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線l:y=-1,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l,l1,l2的距離分別為d,d1,d2,點(diǎn)F到直線l1的距離為d3=3×0?4×1?63則d2=d+1=|PF|+1,可得d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F到直線l1的垂線上且P在F與l1之間時(shí),等號(hào)成立,動(dòng)點(diǎn)P到直線l1、直線l2的距離之和的最小值是3.故選B.]考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)[典例3](1)(多選)過(guò)點(diǎn)(1,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()A.y2=4x B.y2=-4xC.x2=-12y D.x2=1(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.(1)AC(2)x=-32[(1)點(diǎn)(1,-2)滿足y2=4x,x2=-12所以過(guò)點(diǎn)(1,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是y2=4x,x2=-12y(2)法一(解直角三角形法):由題易得|OF|=p2,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,所以O(shè)FPF=PFFQ,即p2p=p6,解得p=3,所以法二(應(yīng)用射影定理法):由題易得|OF|=p2,|PF|=p,PF2=|OF|·|FQ|,即p2=p2×6,解得p=3或p=0(舍去),所以C1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法.(2)待定系數(shù)法:當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),為避免過(guò)多的討論,通常依據(jù)焦點(diǎn)所在的位置,將拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用要樹(shù)立兩個(gè)意識(shí)(1)轉(zhuǎn)化意識(shí):“見(jiàn)準(zhǔn)線想焦點(diǎn),見(jiàn)焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”.(2)圖形意識(shí):借助平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.(1)(2023·湖北武漢二模)設(shè)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),過(guò)P作l的垂線,垂足為Q,若直線QF的傾斜角為120°,則|PF|=()A.3 B.6C.9 D.12(2)如圖所示,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,則拋物線的方程為()A.y2=8x B.y2=4xC.y2=2x D.y2=x(3)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為_(kāi)_______.(1)B(2)B(3)3[(1)設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)H(圖略),依題意∠QFH=60°,|HF|=3,|QH|=33,|QF|=6,又|PF|=|QP|,∠PQF=60°,則△PQF為等邊三角形,|PF|=6.故選B.(2)如圖,分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)G,設(shè)|BF|=a,則由已知得|BC|=2a,由定義得|BD|=a,故∠BCD=30°,則在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|,又|AF|=4,∴|AC|=4+3a,|AE|=4,∴4+3a=8,從而得a=43.∵AE∥FG,∴FGAE=CFAC,即p4=48,p=2,∴拋物線的方程為(3)法一(通性通法):由y2=4x可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,如圖,過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足為點(diǎn)M,根據(jù)拋物線的定義可知|PM|=|PF|=4,設(shè)P(x,y),則x-(-1)=4,解得x=3,將x=3代入y2=4x,可得y=±23,所以△POF的面積為12|y|·|OF|=12×23×1=法二(巧用結(jié)論):設(shè)∠PFx=θ,則|PF|=p1?cosθ=21?cosθ=4,∴cos設(shè)P(x,y),則|y|=|PF|sinθ=4×32=23∴S△POF=12×|OF|×|y|=12×1×23=【教師備選資源】(2023·廣東佛山二模)已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中A≥B≥C≥D≥E≥F.現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行判斷,提出了四個(gè)命題:甲:可以是圓的方程;乙:可以是拋物線的方程;丙:可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中真命題有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)C[因?yàn)榉匠藺x2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中A≥B≥C≥D≥E≥F,所以當(dāng)A=B=1≥C=D=E=0≥F=-1時(shí),方程為x2+y2-1=0,即x2+y2=1是圓的方程,故方程可以是圓的方程;當(dāng)A=1≥B=C=D=0≥E=-1≥F=-2時(shí),方程為x2-y-2=0,即y=x2-2是拋物線的方程,故方程可以是拋物線的方程;當(dāng)A=2≥B=1≥C=D=E=0≥F=-1時(shí),方程為2x2+y2-1=0,即y2+x2若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,則有AB<0,C=D=E=0,F(xiàn)<0,這與A≥B≥C≥D≥E≥F矛盾,故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.所以真命題有3個(gè).故選C.]考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系[典例4](1)(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-3(x-1)過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則()A.p=2B.|MN|=8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形(2)拋物線E:y2=2x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=k(x-2)對(duì)稱,則k的取值范圍是________.(1)AC(2)(-2,2)[(1)由題意,易知直線y=-3(因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),所以易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以p2=1,即p不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1<x2,聯(lián)立方程y=?3x?1,y2=4x,消去y并整理得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.由拋物線的定義得,|MN|=x1+xl的方程為x=-1,以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為53,?233,半徑r=12|MN|=8由兩點(diǎn)間距離公式可得|OM|=133,|ON|=21,又|MN|=16(2)當(dāng)k=0時(shí),顯然成立.當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)為B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中點(diǎn)為M(x0,y0),由y12=2x1,y22=2x2,兩式相減得(y1+y2)·(y1-y2)=2(x1-x2),則直線BC的斜率kBC=y(tǒng)1?y2x1?x2=2y1+y2=22y0=1y0,由對(duì)稱性知kBC=-1k,點(diǎn)M在直線y=k(x-2)上,所以y0=-k,y0=k(綜上,k的取值范圍為(-2,解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題,要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系,采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí),一般用“點(diǎn)差法”求解.(3)重視在選擇、填空題中有關(guān)結(jié)論的靈活應(yīng)用.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3.(1)(2024·廣東深圳模擬)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),直線l:y=k(x+1)與C交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊),則4|AF|+|BF|的最小值是()A.10 B.9C.8 D.5(2)(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過(guò)點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則()A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2(1)B(2)BCD[(1)由題知C的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1,如圖,作AM⊥準(zhǔn)線,BN⊥準(zhǔn)線,l:y=k(x+1)過(guò)定點(diǎn)(-1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y得k2(x2+2x+1)-4x=0,即k2x2+(2k2-4)x+k2=0,∴x1x2=k2k又∵|AF|=|AM|=x1+1,|BF|=|BN|=x2+1,∴4|AF|+|BF|=4x1+4+x2+1=4x1+x2+5≥24x1x當(dāng)且僅當(dāng)4x1=x2時(shí)取等號(hào).故選B.(2)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程得1=2p,所以拋物線方程為x2=y(tǒng),故準(zhǔn)線方程為y=-14kAB=1??11?0=2,所以直線AB的方程為y=2聯(lián)立y=2x?1,x2=y,可得x2-2x+1=0,解得x=1,即直線AB設(shè)過(guò)B的直線為l,若直線l與y軸重合,則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn),所以直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=kx?1,x2=y,得所以Δ=所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,又|OP|=x12+y12=y(tǒng)1所以|OP|·|OQ|=y(tǒng)1y21+y11+y2因?yàn)閨BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2所以|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正確.故選BCD.]如圖,假設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),過(guò)拋物線準(zhǔn)線y=-p2上一點(diǎn)P(x0,y0)向拋物線引兩條切線,切點(diǎn)分別記為A,B,其坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),則以點(diǎn)P和兩切點(diǎn)A,B圍成的△PAB(1)拋物線在A處的切線方程:x1x=p(y+y1),拋物線在B處的切線方程:x2x=p(y+y2),直線AB的方程:x0x=2py0+y2=p(y0(2)直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn);(3)過(guò)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),以A,B分別為切點(diǎn)作兩條切線,則這兩條切線的交點(diǎn)P(x0,y0)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線;(4)PF⊥AB;(5)AP⊥PB;(6)直線AB的中點(diǎn)為M,則PM平行于拋物線的對(duì)稱軸.[典例1](多選)阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).若拋物線上任意兩點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P,則稱△PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F,過(guò)拋物線上兩點(diǎn)A,B的直線的方程為x-y+2=0,弦AB的中點(diǎn)為C,則關(guān)于“阿基米德三角形”PAB,下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)P(3,-2) B.PC⊥x軸C.PA⊥PB D.PF⊥ABBCD[由x2=8y,y=x+2,消去y可得x令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=8,x1x2=-16,∵y=x28,∴y′=x4,kPA∴PA:y=x14x?x1+x12聯(lián)立y=x1即P(4,-2),A錯(cuò)誤;xC=x1+x22=4,kPF=?2?24?0=-1,kAB=1,kPF·kAB=-1,∴PF⊥AB,D正確;kPA·kPB=x1x216=-1,∴[典例2](2021·全國(guó)乙卷)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p的值;(2)若點(diǎn)P在圓M上,PA,PB是拋物線C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.[解](1)由題意知M(0,-4),F(xiàn)0,p2,圓M的半徑r=1,所以|MF|-r=4,即p2(2)由(1)知,拋物線方程為x2=4y,由題意可知直線AB的斜率存在,設(shè)Ax1,x124,Bx2,x聯(lián)立y=kx+b,x2=4y,消去y得x2則Δ=16k2+16b>0,(※)x1+x2=4k,x1x2=-4b,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k因?yàn)閤2=4y,即y=x24,所以y′=x2,則拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為x12,在點(diǎn)A處的切線方程為y?x124=x1同理得拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為y=x2聯(lián)立y=x1即P(2k,-b).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓M上,所以4k2+(4-b)2=1,①且-1≤2k≤1,-5≤-b≤-3,即-12≤k≤12,3≤b≤5,滿足(設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,則d=2k所以S△PAB=12|AB|·d=4k由①得,k2=1?4?b24令t=k2+b,則t=?b2+12b?154,且3因?yàn)閠=?b2+12b?154在[3,5]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)b=5時(shí),t取得最大值,tmax=5,此時(shí)k=0,所以△課時(shí)分層作業(yè)(五十八)拋物線(一)一、單項(xiàng)選擇題1.(2024·廣東中山模擬)拋物線y=-12x2A.(-1,0) B.?C.(0,-1) D.0D[拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2y,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2.(2024·新疆模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y2=x B.y2=2xC.y2=4x D.y2=8xC[根據(jù)題意,拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2,與y軸平行,若拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,則該拋物線上任意一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,故p2=1,解得p=2,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=43.(2023·江西南昌一模)“米”是象形字.?dāng)?shù)學(xué)探究課上,某同學(xué)用拋物線C1:y2=-2px(p>0)和C2:y2=2px(p>0)構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字形的圖案,如圖所示,若拋物線C1,C2的焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在拋物線C1上,過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)Q,若|PF1|=2|PQ|=4,則p=()A.2 B.3C.4 D.6D[因?yàn)?|PQ|=4,即|PQ|=2,由拋物線的對(duì)稱性知xP=-1,由拋物線定義可知,|PF1|=p2-xP,即4=p2-(-1),解得p=4.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l,交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|FA|=3|FB|,則直線l的傾斜角等于()A.30°或150° B.45°或135°C.60°或120° D.與p值有關(guān)C[如圖所示,拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為x=-p2,分別過(guò)A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A′,B′,直線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)C,作BM⊥AA′,垂足為M則AA'=AF,BB'=BF,又|FA|=3|FB|,所以所以∠ABM=30°,即直線l的傾斜角等于∠AFx=60°,同理可得直線l的傾斜角為鈍角時(shí)即為120°,故選C.]5.已知點(diǎn)P為拋物線x2=4y上任意一點(diǎn),點(diǎn)A是圓x2+(y-6)2=5上任意一點(diǎn),則|PA|的最小值為()A.5 B.25C.35 D.6-5A[圓x2+(y-6)2=5的圓心為C(0,6),半徑r=5.設(shè)Px0,x024,則|PC|2當(dāng)x02=16時(shí),|PC|2有最小值20,數(shù)形結(jié)合可知PAmin=|PC|min-5=26.如圖所示,點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是()A.(6,10) B.(8,12)C.[6,8] D.[8,12]B[拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程l:x=-2,焦點(diǎn)F(2,0),由拋物線的定義可得|AF|=xA+2,圓(x-2)2+y2=16的圓心(2,0),半徑R=4,所以△FAB的周長(zhǎng)為|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,聯(lián)立y2=8x,x2+y2?4x?12=0,消去y即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,所以xB∈(2,6),所以6+xB∈(8,12),所以△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是(8,12).故選B.]7.(2024·河北張家口模擬)設(shè)拋物線E:y2=8x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線與E相交于A,B兩點(diǎn),與E的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C,點(diǎn)B在線段AC上,|BF|=3,則△BCF與△ACF的面積之比S△BCFA.14 B.1C.16 D.C[如圖,過(guò)點(diǎn)B作BD垂直準(zhǔn)線x=-2于點(diǎn)D,則由拋物線定義可知:|BF|=|BD|=3,設(shè)直線AB的方程為x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),C(-2,yC),不妨設(shè)m>0,則y1>0,y2<0,所以x2+2=3,解得x2=1,則y22=8x2=8,解得y2=-22,則B(1,-2所以-22m+4=1,解得m=32則直線AB的方程為x=324所以當(dāng)x=-2時(shí),即324解得yC=-42,則C(-2,-42),聯(lián)立x=324y+4,y2=8x,消去x得y2所以y1=82,其中S△BCFS△ACF=BCAC=y(tǒng)2故選C.]8.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()A.16 B.14C.12 D.10A[由題意知,拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),l1,l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k,則直線l2的斜率為-1k,故l1:y=k(x-1),l2:y=-1k(由y2=4x,y=kx?1,消去y得k2x2-(2k2+4)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=2k2+4由拋物線定義可知,|AB|=x1+x2+2=4+4k同理得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+4k2+4k2≥8+216當(dāng)且僅當(dāng)1k2=k2,即故|AB|+|DE|的最小值為16.]二、多項(xiàng)選擇題9.(2024·黑龍江大慶模擬)已知拋物線y=2x2的焦點(diǎn)為F,M(x1,y1),N(x2,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為1B.若直線MN過(guò)點(diǎn)F,則x1x2=-1C.若MF=λNF,則|MN|的最小值為1D.若|MF|+|NF|=32,則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為BCD[拋物線y=2x2,即x2=12y由拋物線方程知其焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)為F0,依題意,直線MN斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+18由x2=12y,y=kx+18,消去所以x1x2=-116,x1+x2=12若MF=λNF,則直線MN過(guò)焦點(diǎn),所以|MN|=|MF|+|NF|=y(tǒng)1+18+y2+18=kx1+18+kx2+18+14所以當(dāng)k=0時(shí)|MN|min=12所以|MN|的最小值為拋物線的通徑長(zhǎng)12因?yàn)閨MF|+|NF|=y(tǒng)1+18+y2+18=32,所以y1+y2=54,即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為所以P到x軸的距離為5810.(2024·廣東揭陽(yáng)模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l繞點(diǎn)P(-2,1)旋轉(zhuǎn),點(diǎn)Q為C上的動(dòng)點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則()A.以Q為圓心,|QF|為半徑的圓與直線x=-1相切B.若直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則這樣的直線l有兩條C.線段PF的垂直平分線方程為3x-y+2=0D.過(guò)點(diǎn)F的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線有2條AC[由拋物線C:y2=4x可知,C的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由拋物線的定義可知以Q為圓心,|QF|為半徑的圓與直線x=-1相切,A正確;當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l與拋物線無(wú)公共點(diǎn);當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則過(guò)點(diǎn)P(-2,1)的直線方程為l:y=k(x+2)+1,當(dāng)k=0時(shí),直線l:y=1與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)k≠0時(shí),聯(lián)立y=kx+2+1,y2=4x,整理可得k2x2+(4k2+2k-4)所以Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,化簡(jiǎn)得2k2+k-1=0,解得k=-1或k=12所以此時(shí)直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條,B錯(cuò)誤;線段PF的中點(diǎn)為?12,12,又kPF=1?0?2?1=-13,所以線段PF的中垂線方程為y-1因?yàn)閨AB|=4=2p,此時(shí)線段AB為拋物線的通徑,所以這樣的直線只有一條,D錯(cuò)誤.故選AC.]11.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)2,A.p=1B.當(dāng)AB⊥y軸時(shí),|AB|=4C.1AFD.若AF=2FB,則直線AB的斜率為±2BCD[將點(diǎn)2,12代入焦點(diǎn)F(0,1),當(dāng)AB⊥y軸時(shí),點(diǎn)(-2,1),點(diǎn)(2,1)在拋物線上,可得|AB|=4,B正確;由題意知,直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程x消去y后整理得x2-4kx-4=0,可得x1+x2=4k,x1x2=-4,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,y1y2=x12x2216=1,|AF|=y(tǒng)1有1AF+=y(tǒng)1+yC正確;由(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1),可得2x2=-x1,由x得?x2=4k,?212.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于B,C兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,則下列說(shuō)法正確的是()A.∠OMB的最大值為πB.若點(diǎn)A(4,2),則|PA|+|PF|的最小值為6C.無(wú)論過(guò)點(diǎn)F的直線l在什么位置,總有∠OMB=∠OMCD.若點(diǎn)C在拋物線準(zhǔn)線上的射影為D,則B,O,D三點(diǎn)共線ACD[設(shè)直線MB的方程為x=-1+my,與拋物線的方程y2=4x聯(lián)立,可得y2-4my+4=0,當(dāng)且僅當(dāng)MB與拋物線相切時(shí),∠OMB取得最大值.由Δ=16m2-16=0,即m=±1,直線MB的斜率為±1,此時(shí)∠OMB取得最大值π4設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線x=-1上的射影為A′(-1,2),設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,則|PA|+|PF|=|PA|+d≥|AA′|=5,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,A′三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,B錯(cuò)誤;M(-1,0),設(shè)直線BC的方程為x=ny+1,代入拋物線的方程y2=4x,可得y2-4ny-4=0,設(shè)By124,y1,Cy224,y2,可得y1+y2=4n,y1y2=-4,則kMB+kC正確;由C的分析可知D(-1,y2),kOB=y(tǒng)1y124=4y1,kOD=-y2,由于y1y2=-4,則kOB=kOD故選ACD.]三、填空題13.(2023·北京豐臺(tái)二模)在水平地面豎直定向爆破時(shí),在爆破點(diǎn)炸開(kāi)的每塊碎片的運(yùn)動(dòng)軌跡均可近似看作是拋物線的一部分.這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分(如圖中虛線所示),稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40m,碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80m,則這次爆破中,安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______m.80[以拋物線最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于地面為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意得A(80,-40),將其代入拋物線方程得6400=80p,解得p=80,故安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為80m.]14.(2023·江蘇南通、泰州等八市二模)已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=2px(p>0)上,過(guò)P作C的準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,點(diǎn)F為C的焦點(diǎn).若∠HPF=60°,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,則p=________.23[如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)P聯(lián)立y2=2px,x=1,可得x=1易知PH⊥y軸,則PH∥x軸,則∠x(chóng)FP=∠HPF=60°,所以直線PF的傾斜角為60°,易知點(diǎn)Fp2所以kPF=2p1?p2=3,整理可得22p=3(2-p),且有2-p等式22p=3(2-p)兩邊平方可得3p2-20p+12=0,即(3p-2)(p-6)=0,解得p=23(p15.設(shè)F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn),A,B,C為拋物線上三點(diǎn),若F為△ABC的重心,則|FA|+|FB|+|FC|=________.3[由題意可知,點(diǎn)F的坐標(biāo)為12又F為△ABC的重心,故xA+x即xA+xB+xC=32.又由拋物線的定義可知|FA|+|FB|+|FC|=xA+xB+xC+32=3216.(2024·湖北七市(州)模擬)已知M(1,2)為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T(0,1)的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且直線MA與MB的傾斜角互補(bǔ),則|TA|·|TB|=________.2[由點(diǎn)M(1,2)在拋物線C:y2=2px上得:22=2p,即p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x,由題意知,直線AB的斜率存在,且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由直線MA與MB的傾斜角互補(bǔ)得kMA+kMB=0,即y1?2x1?1+y2?2x2聯(lián)立y=kx+1,y2=4x,得所以y1+y2=4k,y1y2=4所以4k=-4,即k=-1,所以y1y2所以|TA|·|TB|=x12+y1?12·x22+y2?12=x四、解答題17.(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F
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