人教版高中數(shù)學(xué)全冊(cè)教案-09-直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體-20

兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)(二)

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

(-)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1.兩個(gè)平面平行的性質(zhì).

2.兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義.

(-)能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.利用轉(zhuǎn)化的思維方法掌握和應(yīng)用兩個(gè)平面平行的性質(zhì).

2.應(yīng)用類比的方法理解并掌握兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段、距離的

定義.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面平行的性質(zhì)及其應(yīng)用；掌握兩平行平面間的距

離的概念，會(huì)求兩個(gè)平行平面間的距離.

2.教學(xué)難點(diǎn)：掌握兩個(gè)平行平面的性質(zhì)及其應(yīng)用.

3.教學(xué)疑點(diǎn)：正確掌握如何將兩個(gè)平面平行的性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為線線平行、

線面平行、線面垂直的研究.

三、課時(shí)安排

1.12兩個(gè)平面的位置關(guān)系及1.13兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)這兩個(gè)課題

調(diào)整安排為2課時(shí).本節(jié)課為第二課時(shí)，主要講解兩個(gè)平面平行的性質(zhì).

四、教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(-)復(fù)習(xí)兩個(gè)平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行的判定

(-)復(fù)習(xí)兩個(gè)平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行的判定

師：兩個(gè)平面的位置關(guān)系有哪幾種？

生：平行或相交.

師：兩個(gè)平面平行的判定方法有哪幾種？

生：第一種可根據(jù)定義（一般用反證法）.

第』可何熱定定理，即，MI-W9,若au。，bua,an

b=0,a〃B,b〃B,則a〃B.

第三種可根據(jù)例1的結(jié)論，即：如圖1—110,若a，AA',BLAA',則a

//B.

（二）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

師：今天我們研究?jī)蓚€(gè)平面平行的性質(zhì).根據(jù)兩個(gè)平面平行直線和平面平行的定義可

知：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面.因此，在解決實(shí)際問(wèn)題

時(shí)，常常把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行.這個(gè)結(jié)論可作為兩個(gè)平面平行的性質(zhì)1：

若a//

B,auQ,Maf除了這外，聒一皿.

1.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.

已知：a〃B,Yna=a,YAp=b.

求證：a〃b.

p

圖1-111

師：要證明這個(gè)定理，有兩種證法：直接證法和間接證法（即反證法）.下面請(qǐng)同學(xué)

們書寫直接證法，口述反證法.

生：（直接證法.）

；a〃B,

a與B沒(méi)有公共點(diǎn).

X,.ac7,baT,

...a〃b.

（反證法.）

假設(shè)直線a不平行于直線b,因?yàn)橹本€a、b在同一個(gè)平面Y內(nèi)，

所以a與b相交，設(shè)交點(diǎn)力P.又因?yàn)閍uG,buB,所好面d.5有

公共點(diǎn)P,即a,B相交，這與“a〃B”矛盾，所以假設(shè)不成立，即a〃b.

師：這個(gè)結(jié)論可作為性質(zhì)2：若&〃8,aAy=a,BCY=b,則a〃b.下

面我們?cè)倏匆粋€(gè)例題.

2.例題

例2一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平

面.

已知：a〃B,1±a,1Da=A.

求證：1J.B.

圖1-112

師提問(wèn)：證明直線與平面垂直的方法有幾種？

師與生共同回憶：方法一，證明直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直；方法二，證明

直線與平面內(nèi)兩條相交的直線垂直；方法三，證明直線的一條平行線與平面垂直.

比較幾種方法，我們可以試著用第??種方法來(lái)證明.

證明：在平面6內(nèi)任取一條直線b,平面Y是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與直線b的平面，設(shè)Y

nQ=a.

:二卜“b

PCI7=b>=Mib

aua'

=>lla

IJL。

因?yàn)橹本€b是平面B內(nèi)的任意一條直線，所以

師：這個(gè)例題的結(jié)論可與定理”?個(gè)平面垂直于兩條平行直線中的?條直線，它也垂

直于另一條直線.”聯(lián)系起來(lái)記憶，它也可作為性質(zhì)3：若a〃0,l±a,則.

3.兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段和距離

師：象性質(zhì)3這樣的，和兩個(gè)平行平面a,B同時(shí)垂直的直線1,叫做這兩個(gè)

平行平面a,8的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分叫做這兩個(gè)平行平面

的公垂線段.

如圖1—113,a〃(3.如果AA'、BB7都是它們的公垂線段，那么AA'//

BB',根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理有A'B'〃AB,所以四邊形ABB'A'是平

行四邊形，AA'=BB'.

圖1-113

由此，我們得到，兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等，公垂線段的長(zhǎng)度具有唯一性.與

兩平行線間的距離定義相類似，我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離.兩個(gè)平行

平面間距離實(shí)質(zhì)上也是點(diǎn)到面或兩點(diǎn)間的距離，求值最后也是通過(guò)解三角形求得

4.練習(xí)(幻燈顯示)

(1)如圖平面a//B,aABC在B內(nèi)，P是a、B

間的一點(diǎn),線段PA、PB、PC分別交a于A'、B'、C',若BC=12cm,AC=50cm,

AB=13cm,且PA'：PA=2：3,則4

A，B，C的面枳為與cm，

圖1-114

師提示：AABC^AA7B'C',且相似比為3：2.

C2)MBt—115,ABca,dEP,AA，iB于A，，

BB'J.B于B',若AC±AB,AC與B成60°角，AC=8cm,B'

C=6cm,。異面直線AC與BB'閏的距離為2』.

師提示：可求A'C=4cm,又可證ABJ_平面AA'C,且四邊形AAZB'B為矩

形，I.AB=A'B',AB〃A'B'.：.N'B'，平面AA'C,從而A'B'±AZ

C.在RtZXA，BzC中，

進(jìn)一步可求得弁面直線M與BB'間的距離AB=24.

（3）（P.38中練習(xí)3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.

已知：如圖1—116,a〃B,AB〃CD,AGa,CEa,BCB,DEp.

求證：AB=CD.

證明：???AB〃CD,

.?.過(guò)AB、CD的平面Y與平面a和B分別交于AC'和BD.

；a〃B,

.??BD〃AC.

四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB=CD.

師：這個(gè)練習(xí)的結(jié)論可作為性質(zhì)4：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.

（三）總結(jié)

這節(jié)課，我們不僅學(xué)習(xí)了兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段和距離的定義，還學(xué)習(xí)了

兩個(gè)平行平面的四個(gè)性質(zhì).此外，兩平行平面的第五個(gè)性質(zhì)：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面

和已知平面平行.它的證明作為今天的作業(yè)