高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第6課時直線與橢圓學(xué)案

第6課時直線與橢圓[考試要求]1．理解直線與橢圓的位置關(guān)系，掌握其判斷方法.2．會借助方程的思想解決直線與橢圓相交的綜合問題．考點一直線與橢圓的位置關(guān)系1．點P(x0，y0)與橢圓的位置關(guān)系(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?x0(2)點P(x0，y0)在橢圓上?x(3)點P(x0，y0)在橢圓外?x02．直線與橢圓的位置判斷將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與橢圓相交?Δ>0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ<0.[常用結(jié)論]橢圓上一點處的切線方程點P(x0，y0)在橢圓x2a2+y2b2＝1(a[典例1]已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：x24+y22＝1.試問當(dāng)(1)有兩個不同的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點．[解]將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組y=2x+m將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝-8(1)當(dāng)Δ＞0，即－32＜m＜32時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個不同的公共點．(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±32時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．(3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－32或m＞32時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)．(2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點．跟進訓(xùn)練1(多選)(2024·河北邯鄲模擬)已知直線l：y＝x＋m與橢圓C：x2A．若C與l至少有一個公共點，則m≤22B．若C與l有且僅有兩個公共點，則m<22C．若m＝32，則C上到l的距離為5的點只有1個D．若m＝－2，則C上到l的距離為1的點只有3個BCD[聯(lián)立y=x+m，x26+y22=1，消去y得4x2對于A，令Δ＝128-m2≥0，則－22≤m≤對于B，令Δ＝128-m2>0，則有m對于C，令直線l與橢圓C相切，則Δ＝128-即m＝±22，直線y＝x＋32與y＝x－22的距離d＝32對于D，如圖，直線y＝x－2與y＝x－22和y＝x的距離均為1，因此，C上到l的距離為1的點只有3個，正確．故選BCD.]考點二弦長及中點弦問題設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2x1+x22-4x1x2或|AB特別地，過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑．無論焦點在x軸上還是在y軸上，橢圓的通徑長均為2b[常用結(jié)論](1)過原點的直線交橢圓于A，B兩點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則kPA·kPB＝－b2(2)若M(x0，y0)是橢圓x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行于y軸)的中點，則有kAB·kOM弦長問題[典例2](2023·黑龍江哈爾濱一模)已知橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a>(1)求橢圓E的方程；(2)若直線m過橢圓E的右焦點和上頂點，直線l過點M(2，1)且與直線m平行．設(shè)直線l與橢圓E交于A，B兩點，求AB的長度．[解](1)由題意知，e＝22，所以a＝2c，b＝c，設(shè)橢圓E的方程為x將點P(2，6)代入得b2＝8，a2＝16，所以橢圓E的方程為x2(2)由(1)知，橢圓E的右焦點坐標(biāo)為(22，0)，上頂點坐標(biāo)為(0，22)，所以直線m的斜率為k＝22因為直線l與直線m平行，所以直線l的斜率為－1，所以直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，聯(lián)立x216+y28=1，y=-x+3，可得3x2－12x＋2＝0，Δ＝120>0，x所以|AB|＝1+k2x1+【教師備用】已知M，N分別為橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右頂點，F(xiàn)為其右焦點，|FM(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，且l與以MN為直徑的圓交于C，D兩點，證明：12AB[解](1)由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c，又因為a2＝b2＋c2，所以b＝3c，因為點P1，32所以1a2+94b2＝1，解得a所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時，|AB|＝|CD|＝4，所以12AB當(dāng)l不與x軸重合時，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為x＝my＋1，由x24+y23=1，x=my+1則y1＋y2＝-6m3m2+4，y1故|AB|＝1+＝1+＝12×m2圓心O到直線l的距離為1mCD24＝4－所以12AB+CD24＝3m中點弦問題[典例3](1)(多選)直線l過點M(2，1)且與橢圓x2＋4y2＝16相交于A，B兩點，若M為弦AB的中點，則直線l的斜率為()A．－12B．1(2)已知直線x－3y＋1＝0與橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)交于A，B兩點，且線段AB的中點為A．13B．23C．3(1)A(2)D[(1)法一(方程組法)：易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y－1＝k(x－2)．由y-1=kx-2，x2+4y2=16，得(4k2＋1)x設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，于是x1＋x2＝82又M為弦AB的中點，所以x1+x解得k＝－12，且滿足Δ故選A.法二(點差法)：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為M(2，1)為弦AB的中點，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點在橢圓上，所以x12+4兩式相減，得x1即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以y1-y2x1-即kAB＝－12，滿足Δ法三(中點轉(zhuǎn)移法)：設(shè)直線l與橢圓的一個交點為A(x，y)．因為弦AB的中點為M(2，1)，所以另一個交點為B(4－x，2－y)．因為A，B兩點都在橢圓上，所以x①－②，得x＋2y－4＝0.顯然點A的坐標(biāo)滿足這個方程．代入驗證可知點B的坐標(biāo)也滿足這個方程，而過點A，B的直線只有一條，故直線l的方程為x＋2y－4＝0，kl＝－12(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點M(x0，y0)．∵x12兩式相減可得x1把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y1-y2x1-x2∴e＝1-b21.解答弦長問題及中點弦問題的注意點求弦長的前提是直線和橢圓相交，可利用弦長公式計算；對于中點弦問題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解．在用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意前提條件Δ＞0；在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交．2．設(shè)直線的兩種方式(1)正設(shè)：如果直線過y軸上一定點(0，b)，且斜率存在，可設(shè)直線方程為y＝kx＋b；(2)反設(shè)：如果直線過x軸上一定點(a，0)，且斜率不為0，可設(shè)直線方程為x＝ty＋a.這兩種方程都有自己的優(yōu)點和缺點，注意區(qū)分使用．直線反設(shè)，常用情景：①直線過x軸上一定點；②核心條件轉(zhuǎn)化后的式子含有y1＋y2或y1y2；③需要討論斜率不存在的情況．跟進訓(xùn)練2已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的焦距為42，短軸長為2，直線l過點P(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為1，求弦AB的長；(3)若過點Q1，12的直線l1與橢圓C交于E，G兩點，且Q是弦EG的中點，求直線[解](1)依題意，橢圓C的半焦距c＝22，而b＝1，則a2＝b2＋c2＝9，所以橢圓C的方程為x29＋y(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意，直線l的方程為y＝x＋3，由y=x+3，x2+9y2=9，解得x1＝－125，x2＝－3，因此，|AB|＝1+12·|x1－x2所以弦AB的長是32(3)顯然，點Q1，12在橢圓C內(nèi)，設(shè)E(x3，y3)，G(x4，y4)，因為E，G則x32+9y32=9，x42+9y42=9，兩式相減得(x3－x4)(x而Q是弦EG的中點，即x3＋x4＝2且y3＋y4＝1，則有2(x3－x4)＋9(y3－y4)＝0，于是得直線l1的斜率為y3-y4x3-x4＝－29，直線l1的方程為y－12＝－29(x考點三直線與橢圓的綜合問題[典例4]已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b，0<b<2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓上，MF2⊥F1F2，若(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F2的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于P點，設(shè)PA＝λ1AF2，PB＝λ2BF2，試判斷[解](1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，因為△MF1F2的周長為6，面積為32所以2a+2c=6聯(lián)立①②得2[(3－c)2－c2]c＝3(3－c)，所以4c2－7c＋3＝(c－1)(4c－3)＝0，所以c＝1或34當(dāng)c＝34時，a＝94，b＝a2當(dāng)c＝1時，a＝2，b＝a2-c所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)由題可得直線斜率存在，由(1)知F2(1，0)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，則聯(lián)立y=kx-1，x24+y23=1，消去y，整理得(3＋4設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8k23+4k2，x1又F2(1，0)，P(0，－k)，則PA＝(x1，y1＋k)，AF2＝(1－x1，－y由PA＝λ1AF2，可得x1＝λ1(1－x所以λ1＝x1同理可得λ2＝x2所以λ1＋λ2＝x11-x1+x21所以λ1＋λ2為定值－83(1)求解直線與橢圓的綜合問題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解．為減少計算量，在代數(shù)運算中，經(jīng)常運用設(shè)而不求、整體代入的方法．(2)涉及直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況．跟進訓(xùn)練3(2024·江蘇泰州模擬預(yù)測)已知l1，l2是過點(0，2)的兩條互相垂直的直線，且l1與橢圓Γ：x24＋y2＝1相交于A，B兩點，l2與橢圓Γ相交于C，(1)求直線l1的斜率k的取值范圍；(2)若線段AB，CD的中點分別為M，N，證明直線MN經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標(biāo)．[解](1)根據(jù)題意可知直線l1，l2的斜率均存在且不為0，設(shè)直線l1，l2分別為y＝kx＋2，y＝－1kx聯(lián)立y=kx+2，x24+y2=1，由Δ＝(16k)2－4×12(4k2＋1)>0，得4k2>3，則k<－32或k>3同理4-1k2>3，則－233所以k的取值范圍為-2(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，所以x1＋x2＝－16k4則xM＝x1+x所以yM＝kxM＋2＝－8k24則M-8k同理N8kk2+4，2k2k2化簡整理得y＝k2-15kx＋25課后習(xí)題(四十七)直線與橢圓1．(人教A版選擇性必修第一冊P114例7改編)直線y＝x＋1與橢圓x2A．相交 B．相切C．相離 D．無法判斷A[法一：聯(lián)立直線與橢圓的方程得y=x+1，x25+y24Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直線與橢圓相交．法二：直線過點(0，1)，而0＋14即點(0，1)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓相交．]2．(人教A版選擇性必修第一冊P114練習(xí)T2改編)已知斜率為1的直線l過橢圓x24＋y2＝1的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦A．45B．65C．8C[由題意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦點坐標(biāo)為(3，0)，則直線l的方程為y＝x－3，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y=x-3，x24+y2Δ＝(－83)2－4×5×8＝32＞0，則x1＋x2＝835，x1·x2＝所以|AB|＝1+k2·x1即弦AB的長為853．(人教B版選擇性必修第一冊P173習(xí)題2－8AT4改編)若直線y＝kx＋2與橢圓x23+-63，63[把y＝kx＋2代入x23+y22＝1，消去y并整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由題意得Δ＝(12k)2－4×(2＋3k2)4．(人教A版選擇性必修第一冊P116習(xí)題3.1T13改編)若點P是橢圓E：x24＋y2＝1上的動點，則點P到直線x－y－35＝0的距離的最小值是______，此時，點10455，-55[設(shè)直線l1：整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.則Δ＝64m2－4×54m2-4＝0，解得當(dāng)m＝－5時，直線l與直線l1之間的距離d＝-5+35當(dāng)m＝5時，直線l到直線l1之間的距離d＝5+352所以點P到直線l的最小距離是10.此時5x2－85x＋16＝0，解得x＝45將x＝455代入x－y－5＝0，得y＝－則點P的坐標(biāo)為455．(2023·山東濰坊一模)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線A．63 B．C．23 D．A[易知以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由圓心(0，0)到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝2abb2+a2＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e6．(多選)已知橢圓x24+y23＝1，設(shè)一個點始終在此橢圓內(nèi)運動，這個點從一個焦點出發(fā)沿直線經(jīng)橢圓壁反彈后沿直線經(jīng)過另一個焦點，再經(jīng)橢圓壁反彈后沿直線回到這個焦點，稱這個過程為一次“活動”，記此點進行n次“活動”的總路程為anA．a(chǎn)3＝14 B．a(chǎn)5＝40C．a(chǎn)10－a8＝8 D．4a4＝3a6ACD[由題意知：一次“活動”的路程為4a＝8，故n次“活動”的總路程為an＝8n，所以a3＝24，a5＝40，a10－a8＝80－64＝16，4a4＝128≠3a6＝144，故選ACD.]7．(多選)(2023·云南昆明二模)已知橢圓C：x24+y22＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，P為C上一點，且PF1⊥F1F2，若PFA．△PF1Q的周長為8 B．∠F1PF2<πC．△QF1F2的面積為24 D．|F1Q|＝AD[由題意，在橢圓C：x24+y22＝1中，a＝2，b＝c＝2，△不妨設(shè)P在x軸上方，則P(－2，1)，|PF1|＝1，|PF2|＝2a－|PF1|＝3，cos∠F1PF2＝13<1所以∠F1PF2>π3設(shè)|F2Q|＝m，|F1Q|＝4－m，在△PF1Q中，|F1P|2＋|PQ|2－2|F1P|·|PQ|·13＝|F1Q|2得1＋(m＋3)2－2×1×(m＋3)×13＝(4－m)2?m＝3所以|F1Q|＝175，故D正確；|QF2|＝15|PF所以S△QF1F2＝15S△故C錯誤．故選AD.]8．(2023·海南三模)已知橢圓C：x216+y27＝1，F(xiàn)為橢圓C的左焦點，A為橢圓C的右頂點，B為橢圓C上一點．若4|23[在橢圓C：x216+y27＝1中，a＝4，b＝則F(－3，0)，A(4，0)，所以|AF|＝7，由4|AF|＝7|BF|，得|BF|＝4，由|BF|＝a，可知B為橢圓C短軸的一個端點，所以|AB|＝a2+b2＝故答案為23.]9．(2024·湖南邵陽模擬預(yù)測)設(shè)橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為33，過左焦點F1且傾斜角為60°的直線與橢圓交于A，B54[△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a∵直線lAB：y＝3(x＋c)，∴點F2(c，0)到直線AB的距離d＝3c，設(shè)△ABF2的內(nèi)切圓半徑為r，又|AB|＝5，∵S△ABF2＝12×5×3c＝12×4a×r∴r＝54，故答案為510．直線l：x＋y－1＝0與橢圓C：x24+y22＝1交于A，B兩點，橢圓C103[將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立x24+y22=1設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝43，x1x2＝－2所以|AB|＝1+k2x1+由橢圓C的方程知點P(2，0)，故點P到直線l：x＋y－1＝0的距離d＝2+0-11所以△ABP的面積為S＝12|AB|·d＝12×4511．(2024