2022年江蘇省南京師大附中特長生選拔數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022年江蘇省南京師大附中特長生選拔數(shù)學(xué)試卷一、解答題1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．3．解方程組．4．如圖△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，則∠EDC＝．5．△ABC中，AB＝，AC＝，AD為∠BAC的平分線，則AD＝．6．方程的正整數(shù)解（x，y）有組．7．如圖，B，C的坐標分別為（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝6，則M的橫坐標為．8．在直角三角形中，三邊長均為兩位正整數(shù)，其中一條直角邊長的十位與個位交換位置后9．已知．（其中x＞1）．（1），求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）求y的最大值．10．已知，b為a的小數(shù)部分的相反數(shù)，求a3+b3+18ab．11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整數(shù)解（x，y）．

2022年江蘇省南京師大附中特長生選拔數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、解答題1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．【解答】解：x3﹣2x8﹣5x+6＝x6﹣3x2+（x7﹣5x+6）＝x8（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣6）＝（x﹣3）（x2+x﹣7）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）．2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．【解答】解：∵，∴＝，∴（2﹣2x）2＝8﹣4x+4x4＝2022，∴4x2﹣5x＝2021，∴原式＝[（4x3﹣7x2）+（4x6﹣4x）﹣2021x﹣2022]3＝（2021x+2021﹣2021x﹣2022）2＝（﹣1）3＝﹣4．3．解方程組．【解答】解：，②+3×①，得x3+6x2y+3xy2+y3＝﹣19+18．∴（x+y）3＝﹣3．∴x+y＝﹣1．由x+y＝﹣1得x＝﹣5﹣y③．把③代入①，得﹣（﹣1﹣y）×y＝6．∴y2+y﹣6＝0．解這個方程得y6＝﹣3，y2＝3．把y1＝﹣3，y4＝2代入③，得x1＝5，x2＝﹣3．∴原方程組的解為，．4．如圖△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，則∠EDC＝20°．【解答】解：設(shè)∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y(tǒng)，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x+y，則∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴2x+y＝y(tǒng)+40，解得：x＝20，∴∠EDC＝20°．故答案為：20°．5．△ABC中，AB＝，AC＝，AD為∠BAC的平分線，則AD＝．【解答】解：如圖，過D作DE⊥AB于點E，CG⊥AB于點G，則∠DEA＝∠CFA＝∠CGA＝90°，∵∠BAC＝60°，AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴DE＝ADAC＝×＝，在Rt△ACG中，sin∠GAC＝，∴CG＝AC＝×，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴AB?DE+AB?CG，∴AB?DE+AD?CF＝AB?CG，即×AD+×1，解得：AD＝，故答案為：．6．方程的正整數(shù)解（x，y）有3組．【解答】解：∵，去分母得：8y+xy＝2x，∴（x+8）（y﹣8）＝﹣64，又∵x與y是正整數(shù)，兩整數(shù)之積為﹣64，∴存在三種情況：①，解得：；②，解得：；③，解得：．故方程的正整數(shù)解（x．故答案為：3．7．如圖，B，C的坐標分別為（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝6，則M的橫坐標為3．【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、AB分別相切于點D、Q、P，∵AP＝AQ，BP＝BD，∴AB﹣AC＝AP+BP﹣（AQ+CQ）＝AQ+BD﹣AQ﹣CD＝BD﹣CD，且AB﹣AC＝6，∴BD﹣CD＝6，∴BD＝CD+6，∵B（﹣5，0），5），∴BD+CD＝BC＝5﹣（﹣5）＝10，OC＝5，∴BD＝10﹣CD，∴CD+6＝10﹣CD，∴CD＝7﹣3，∴OD＝OC﹣CD＝5﹣（5﹣3）＝3，∴D（5，0），∵MD⊥x軸，∴M的橫坐標為5，故答案為：3．8．在直角三角形中，三邊長均為兩位正整數(shù)，其中一條直角邊長的十位與個位交換位置后【解答】解：設(shè)斜邊為10a+b，則有一直角邊為10b+a，其中a，m為兩位正整數(shù)，由勾股定理得，m2＝（10a+b）2﹣（10b+a）4＝（11a+11b）（9a﹣9b）＝72×11（a+b）（a﹣b），由3≤a+b≤17，2≤a﹣b≤8（奇偶性要相同），解得，∴斜邊的長為65．9．已知．（其中x＞1）．（1），求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）求y的最大值．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝，∵，x＞4，∴（t＞4）；（2）∵＝（t＞0），∴≥＝20，即t＝，∴y≤，即y的最大值為．10．已知，b為a的小數(shù)部分的相反數(shù)，求a3+b3+18ab．【解答】解：＝．∵6＜，∴6＜a＜7．∴a的小數(shù)部分是a﹣5．∴b＝6﹣a．∴a+b＝6．∴a3+b3+18ab＝（a+b）3﹣7ab（a+b）+18ab＝63﹣18ab+18ab＝216．11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整數(shù)解（x，y）．【解答】