高中數學選擇性必修一課件第三章 圓錐曲線的方程章末檢測試卷(三)(人教A版)

章末檢測試卷(三)(時間：120分鐘

滿分：150分)第三章

圓錐曲線的方程1.拋物線y2＝6x的焦點到準線的距離是A.1 B.2C.3 D.4√解析拋物線的焦點到準線的距離為p＝3.12345678910111213141516一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)171819202122又虛半軸長b＝1且a>0，2.已知雙曲線

－y2＝1(a>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是√解析∵y2＝8x的焦點是(2,0)，123456789101112131415161718192021223.動點到點(3,0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點的軌跡是A.橢圓 B.雙曲線C.雙曲線的一支 D.拋物線√解析已知條件可等價于“動點到點(3,0)的距離等于它到直線x＝－3的距離”，由拋物線的定義可判斷，動點的軌跡為拋物線.123456789101112131415161718192021224.如圖所示，F1，F2分別為橢圓

的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為

的正三角形，則b2的值為√12345678910111213141516171819202122解析設P(x0，y0)，依題意可知拋物線準線為x＝－1，5.從拋物線y2＝4x在第一象限內的一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|＝4，設拋物線的焦點為F，則直線PF的斜率為√123456789101112131415161718192021226.直線y＝kx＋1與橢圓

總有公共點，則m的取值范圍是A.(1，＋∞) B.(0,1)∪(1，＋∞)C.[1,5)∪(5，＋∞) D.(0,1)∪(1,5)√解析直線y＝kx＋1過定點(0,1)，只需該點落在橢圓內或橢圓上，12345678910111213141516171819202122解得m≥1，又m≠5，故選C.7.如圖，已知F是橢圓

(a>b>0)的左焦點，P是橢圓上的一點，PF⊥x軸，OP∥AB(O為原點)，則該橢圓的離心率是12345678910111213141516171819202122√解析因為PF⊥x軸，12345678910111213141516171819202122又OP∥AB，于是b2＝c2，即a2＝2c2.解析因為PF⊥x軸，12345678910111213141516171819202122又OP∥AB，于是b2＝c2，即a2＝2c2.8.如圖所示，F1，F2是雙曲線C：

(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為12345678910111213141516171819202122√解析∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由雙曲線的定義得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，123456789101112131415161718192021229.以直線2x－y－1＝0與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程為A.y2＝2x B.y2＝－4xC.x2＝－4y D.x2＝－2y√12345678910111213141516二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)171819202122√此時拋物線的標準方程是y2＝2x，與y軸的交點坐標是(0，－1)，拋物線的焦點坐標是(0，－1)，此時拋物線的標準方程是x2＝－4y.1234567891011121314151617181920212210.已知F1，F2分別是雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，且

則下列結論正確的是A.雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB.△PF1F2的面積為1C.F1到雙曲線的一條漸近線的距離為2D.以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1√12345678910111213141516171819202122√10.已知F1，F2分別是雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，且

則下列結論正確的是A.雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB.△PF1F2的面積為1C.F1到雙曲線的一條漸近線的距離為2D.以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1√12345678910111213141516171819202122√解析對于A，由x2－y2＝0得y＝±x，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，所以A正確；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122√取MN的中點P，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122當點P位于橢圓的上、下頂點時，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝此時∠F1PF2＝90°，有2個直角三角形，當PF1⊥F1F2時，∠PF1F2＝90°，此時點P位于第二或第三象限，有2個直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2時，∠PF2F1＝90°，此時有2個直角三角形，所以共有6個直角三角形，故選項D正確.1234567891011121314151617181920212213.在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，雙曲線以A，B為焦點，且經過點C，則該雙曲線的離心率為________.12345678910111213141516三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)171819202122解析因為在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，解析結合題意，繪制圖象：根據雙曲線的性質可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，得到|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，123456789101112131415161718192021226所以最小值為6.12345678910111213141516171819202122則a2＝b2＋c2＝b2＋50，

①設直線3x－y－2＝0與橢圓相交的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516171819202122∴b2(y1－y2)(y1＋y2)＋a2(x1－x2)(x1＋x2)＝0.∴b2×3×(－1)＋a2×1＝0，即a2＝3b2，

②聯立①②得a2＝75，b2＝25.1234567891011121314151617181920212216.如圖所示，已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線l與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且在x軸的上方，過點A作AB⊥l于B，|AK|＝

則△AFK的面積為______.123456789101112131415161718192021228解析由題意知拋物線的焦點為F(2,0)，準線l為x＝－2，∴K(－2,0)，設A(x0，y0)(y0＞0)，∵過點A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2,4)，1234567891011121314151617181920212217.(10分)設F1，F2分別為雙曲線

(a＞0，b＞0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，求該雙曲線的漸近線方程.12345678910111213141516171819202122四、解答題(本大題共6小題，共70分)12345678910111213141516171819202122解設PF1的中點為M，連接F2M(圖略).由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.故|PF1|＝4b.根據雙曲線的定義有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，(1)求橢圓的方程；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122解由直線MN過點B且與橢圓有兩交點，且直線MN的斜率必存在.可設直線MN方程為y＝k(x－3)，代入橢圓方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2>0，得k2<1.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122(1)當直線l與該橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍；消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0. ①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18).因為直線l與橢圓有公共點，12345678910111213141516171819202122解設直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值.1234567891011121314151617181920212220.(12分)已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，且線段AB恰好被點P(2,2)平分.(1)求直線l的方程；12345678910111213141516171819202122解由題意，可得直線AB的斜率存在，且不為0.設直線AB：x－2＝m(y－2)，代入拋物線方程可得y2－8my＋16m－16＝0.判別式Δ＝(－8m)2－4(16m－16)12345678910111213141516171819202122設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y1＋y2＝8m，所以直線l的方程為2x－y－2＝0.(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關于直線l對稱？若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.12345678910111213141516171819202122所以滿足題意的點C，D不存在.解假設存在點C，D，12345678910111213141516171819202122其中Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，則n>－4. (*)又xC＋xD＝4(n＋8)，所以CD的中點為(2(n＋8)，－8)，代入直線l的方程，(1)求橢圓C的標準方程；12345678910111213141516171819202122(2)過點(1,0)作直線l與橢圓相交于A，B兩點，試問在x軸上是否存在定點Q，使得兩條不同直線QA，QB恰好關于x軸對稱，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.12345678910111213141516171819202122解存在定點Q(4,0)，滿足直線QA，QB恰好關于x軸對稱，設直線l的方程為x＝my＋1，12345678910111213141516171819202122聯立得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，Δ＝(6m)2－4×(4＋3m2)×(－9)>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，定點Q(t,0)，由題意得t≠x1，t≠x2，因為直線QA，QB恰好關于x軸對稱，所以直線QA，QB的斜率互為相反數，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，所以y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0，即2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，12345678910111213141516171819202122即－6m(4－t)＝0，所以當t＝4時，直線QA，QB恰好關于x軸對稱，即Q(4,0).綜上，在x軸上存在定點Q(4,0)，使直線QA，QB恰好關于x軸對稱.1234567891011121314151617181920212222.(12分)已知動點P(x，y)(其中x≥0)到定點F(1,0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大1.(1)求點P的軌跡C的方程；12345678910111213141516171819202122解設P(x，y)(x≥0)，兩邊平方，整理得y2＝4x.∴所求點P的軌跡方程為C：y2＝4x.證明設過橢圓的右頂點(4,0)的直線AB的方程為x＝my＋4.代入拋物線方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.∴OA⊥OB.(2)過橢圓C1：

的右頂點作直線交曲線C于A，B兩點，其中O為坐標原點①求證：OA⊥OB；12345678910111213141516171819202122②設OA，OB分別與橢圓相交于點D，E，證明：原點O到直線DE的距離為定值.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122證明設D(x3，y3)，E(x4，y4)，直線DE的方程為x＝ty＋λ，得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.∵OD⊥OE，∴x3x4＋y3y4＝0.代入，整理得7λ2＝48(t2