09第九章非正弦周期電流電路和信號的頻譜

第九章

非正弦周期電流電路和信號的頻譜

§9-1非正弦周期信號

§9-2周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)

§9-3有效值、平均值和平均功率

§9-4非正弦周期電流電路的計算非正弦規(guī)律變動的電源和信號：§9-1非正弦周期信號在一個線性電路中有一個正弦電源作用或多個同頻率電源同時作用時，電路各部分的穩(wěn)態(tài)電壓、電流都是同頻的正弦量。4、如果電路存在非線性元件，即使在正弦電源作用下，電路中也將產(chǎn)生非正弦周期的電壓和電流。1、實(shí)際交流發(fā)動機(jī)發(fā)出的電壓波形，嚴(yán)格講是非正弦周期波。2、通信工程方面?zhèn)鬏數(shù)母鞣N信號，如收音機(jī)、電視機(jī)收到的信號電壓或電流，它們的波形都是非正弦的。3、在自動控制、電子計算機(jī)等技術(shù)領(lǐng)域中用到的脈沖信號都是非正弦波。非正弦電流分為：周期、非周期兩種。脈沖波形方波電壓波形鋸齒波半波整流波形

§9-2周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)周期電流、電壓、信號用一個周期函數(shù)表示為：T為周期函數(shù)f(t)的周期，k=0，1，2，……。如果f(t)

滿足狄里赫利條件，它就能展開成一個收斂的傅立葉級數(shù)，即：一、傅立葉級數(shù)展開另一種形式：兩種形式系數(shù)之間有如下關(guān)系：為周期函數(shù)f(t)的恒定分量（或直流分量）。第二項為一次諧波（或基波分量）。其周期或頻率與原周期函數(shù)f(t)相同。

其它各項統(tǒng)稱為高次諧波，即2次、3次…….諧波。將一個周期函數(shù)展開或分解為一系列諧波之和的傅立葉級數(shù)稱為諧波分析。各項系數(shù)可按下列公式計算：二、頻譜（圖）f(t)周期函數(shù)分解為傅氏級數(shù)后包含那些頻率分量以及各分量所占“比重”用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來，得到的圖形，稱為f(t)的頻譜（圖）。這種頻譜只表示諧波分量的振幅，稱為幅度頻譜。幅度頻譜各諧波的角頻率是的整數(shù)倍，這種頻譜是離散的，有時又稱為線頻譜。例：求周期性矩形信號f(t)的傅立葉級數(shù)展開式及其頻譜。矩形波解：矩形波K為偶數(shù)時：K為奇數(shù)時：取展開式中前三項，即取到5次諧波時畫出的合成曲線。取到11次諧波時畫出的合成曲線。諧波項數(shù)取得越多，合成的曲線就越接近于原來的曲線。f(t)的頻譜電工技術(shù)中遇到的周期函數(shù)具有某種對稱性，利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化。偶函數(shù)1、偶函數(shù)有縱軸對稱的性質(zhì)：三、對稱性故：2、奇函數(shù)有原點(diǎn)對稱的性質(zhì)：故：奇函數(shù)3、奇諧波函數(shù)有鏡對稱的性質(zhì)：波形移動半周期后與橫軸對稱。故：

§9-3有效值、平均值和平均功率一、有效值任一周期電流i的有效值I

定義為：假設(shè)一非正弦周期電流i

的傅立葉級數(shù)展開為：此電流i的有效值I

為：i的展開式平方后將含有下列各項：電流i的有效值I

為：即非正弦周期電流的有效值等于恒定分量的平方與各次諧波有效值的平方之和的平方根。二、平均值任一周期電流i的平均值定義為：非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對值的平均值。正弦電流的平均值為：三、平均功率一端口的電壓和電流為：（ui

取關(guān)聯(lián)參考方向）一端口的瞬時功率為：平均功率（有功功率）仍定義為：非正弦電流電路的功率為：不同頻率的正弦電壓與電流乘積的上述積分為零（即不產(chǎn)生平均功率）。同頻率的正弦電壓與電流的乘積的上述積分不為零。式中：平均功率等于恒定分量構(gòu)成的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和。

§9-4非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算步驟：1、把給定的非正弦周期電流或電壓分解為傅立葉級數(shù)，高次諧波取到哪一項為止，要根據(jù)所需準(zhǔn)確度而定。2、分別求出電源電壓或電流的恒定分量及各次諧波分量單獨(dú)作用時的響應(yīng)。對恒定分量（），求解時電容看作開路，電感看作短路。對各次諧波，采用相量法求解，但要注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系，并把計算結(jié)果換為時域形式。3、應(yīng)用疊加定理，把步驟2計算出的結(jié)果進(jìn)行疊加，從而求得所需響應(yīng)。例：求：電流何電阻吸收的平均功率。解：直流分量其它各次諧波：k=1,k=3,k=5,k=7,k=9,應(yīng)用疊加定理，把計算出的結(jié)果按時域形式疊加為：通過本例可以看出，對于電路中的，它的各次諧波的振幅與

k

成反比衰減，而電路輸入阻抗的虛部也與

k

成反比減小，所以各次諧波的電流振幅衰減非常緩慢。例：解：分解為傅立葉級數(shù)，得：列結(jié)點(diǎn)方程：直流分量k=0,k=2,k=4,直流分量k=0,k=2,k=4,電感對高頻電流的抑制作用，電容對高頻電流的分流作用，使得輸入電壓中的2次和4次諧波分量大大削弱，而負(fù)載兩端的電壓接近直流電壓。但還有的2次諧波。感抗和容抗對各次諧波的反應(yīng)不同，這種性質(zhì)在工程中廣泛應(yīng)用。濾波電路：低通濾波電路接在輸入電路和輸出電路之間，讓某些需要的頻率分量通過而抑制某些不需要的分量。電感L對高頻電流有抑制作用，而電容C對高頻電流起分流作用，輸出端中的高頻電流分量被大大削弱，低頻電流則能順利通過。高通濾波電路電感L對低頻分量有分流作用，而電容C對低頻分量有抑制作用。總結(jié):1、本章討論的非正弦周期電流電路是指非正弦周期信號作用于線性電路的穩(wěn)定狀態(tài)，電路中的激勵和響應(yīng)是周期量，但不是正弦量。2、非正弦周期電流電路的分析方法：（基于正弦交流電路的相量法和疊加定理），稱為諧波分析法。1）、把給定的非正弦周期信號分解為傅立葉級數(shù)，高次諧波取到哪一項為止，要根據(jù)所需準(zhǔn)確度而定。2）、采用相量法分別計算各次諧波單獨(dú)作用時的響應(yīng)。3）、應(yīng)用疊加定理，把計算出的結(jié)果在時域內(nèi)進(jìn)行疊加，從而求得所需響應(yīng)。注意:1、電感和電容元件對不同頻率的諧波分量表現(xiàn)出不同的感抗和容抗值，如基波頻率為ω，對k次諧波有：對直流分量，電容看作開路，電感看作短路。2、求最終響應(yīng)時，一定是在時域中疊加各次諧波的響應(yīng)，若把不同次諧波正弦量的相量進(jìn)行加減是沒有意義的。3、非正弦周期電壓、電流和平均功率與各次諧波有效值的關(guān)系：不同頻率的電壓電流不構(gòu)成平均功率。(1829年)狄里赫利提出，只有在滿足一定條件時，周期信號才能展開成傅里葉級數(shù)。這個條件被稱為狄里赫利