基礎知識檢測291向量概念-9

高一下學期數(shù)學基礎知識檢測（2）

考查知識點：蘇教版必修第二冊第一章

§9.1《向量概念》、§9.2《向量運算》、§9.3《向量基本定理及坐標表示》

一、單選題

1.已知向量2=（-3,4），則與￡方向相反的單位向量是（）

.34、（34>（34、（34'

2.下列關于空間向量的命題中，正確命題的個數(shù)是（）

（1）長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；

（2）平行且模相等的兩個向量是相等向量；

-?—?

（3）若Mwb，則。Wb；

（4）兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.

A.0B.1C.2D.3

3.己知同=3,忖=4,則“卜+可=7”是響量不與5共線”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；

②若萬,5都是單位向量，則。=5；

③向量而與前相等.

則所有正確命題的序號是（）

A.①B.③

C.①③D.@@

5.下列關于向量的結論:

(1)若|a|=|B|,則a=石或&=—b；

(2)向量￡與石平行，則Z與石的方向相同或相反；

(3)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

(4)若向量°與B同向，且,則a〉五.

其中正確的序號為()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)

6.在三角形ABC中，。是A3邊的中點，點E在3C邊上且BE=2EC,則而=

()

1—.2—?1--2—.

A.-AB——ACB.-AB+-AC

6363

1―.1—.1―.?—?

C.——AB+-ACD.——AB+-AC

6363

7.我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，

后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正

方形，如圖所示.在“趙爽弦圖''中，

A

若BC=a,BA=b,BE=3EF，則B尸二()/、

D.—a+—b

55

8.在□ABC中，點。在邊上，點E在AC邊上，且BZ）=LC￡>,CE=—AE,

23

若AB=a，BC=b?則DE=（）

-2-

士+L3-1-

c.D.-a--b

412412

二、多選題

9.數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，

且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理

則被稱為歐拉線定理.設點0、G、H分別是口43。的外心、重心、垂心，且M為的

中點，則（）

A-GA+GB+GC=6B.AB+AC^2HM-4MO

.網(wǎng)啊=|網(wǎng)

c.AH=3OMD

10.A4BC是邊長為3的等邊三角形,已知向量3、加滿足品=3=AC=3a+h>

則下列結論中正確的有（）

A.Z為單位向量B.b//BCC.albD.(6a+h^±BC

11.下列命題不正確的是（）

A.單位向量都相等

B.若￡與石是共線向量，B與2是共線向量，則Z與"是共線向量

c.忖+耳叩一耳，則￡_1_3

D.若％與石是單位向量，則）=|力|

7F

12.已知是平面上夾角為§的兩個單位向量，2在該平面上，且（￡-c）<b-"）=0,

則下列結論中正確的有（）

rr

A..+q=1B.a-b-\

c.p|<75D.￡+"的夾角是鈍角

第II卷(非選擇題)

三、填空題

13.向量Z=(T,3)，則與1同向的單位向量7=

14.在四邊形4BCC中，若衣+而+函=。，且|福/T1的體，則△￡?

的面積為.

15.設向量Z石不平行，向量/IZ+B與Z+2B平行，則實數(shù)/.=.

16.已知|，1=2,|5|=1，|a+2^|=V6,則cos位,石〉=.

四、解答題

17.已知單位向量q,02的夾角60°，向量萬=4+02，b-e2-teetcR.

(1)若刃區(qū)，求/的值；

(2)若t=2,求向量乙5的夾角.

18.(1)己知平面向量￡、h＞其中。=(君,一2),若慟=3及，且Z//B，求向量坂

的坐標表示；

(2)已知平面向量￡、B滿足時=2,忖=1,a與坂的夾角為g,且(a+九石)J.

(五一5)，求力的值.

-4-

高一下學期數(shù)學基礎知識檢測（2）

考查知識點：蘇教版必修第二冊第一章

§9.1《向量概念》、§9.2《向量運算》、§9.3《向量基本定理及坐標表示》

總分100分時間60分鐘

參考答案與試題解析

【分析】

,計算一由即得.

【詳解】

3_4

由題意同=正3）2+42=5,a

35，-5

故選：C.

2.B

【分析】

根據(jù)相等向量的有關概念判斷.

【詳解】

由相等向量的定義知（1）正確；

平行且模相等的兩個向量也可能是相反向量，（2）錯;

方向不相同且長度相等的兩個是不相等向量，（3）錯;

相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個向量的有向線段的起點不要求相同，（4）

錯，

所以正確答案只有一個.

故選：B.

3.A

【分析】

根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由向量數(shù)量積運算法則，以及向量的線性運算法則，即可

得出結果.

【詳解】

若向量萬與B同向共線，由同=3,|可=4,可得k+同=7：

若向量6與B反向共線，由同=3,|可=4,可得k+同=1；

所以由“向量方與5共線”不能推出"忖+可=7"；

若卜+.=7,同=3,問=4,

-rr2rfa-h.

則r向r+A=49,所以小方=12,所以85＜。/＞=網(wǎng)彳=1,

因為向量方與5夾角為所以＜三力＞=0,即響量1與B共線；

所以由“K+閘=7”能推出“向量乙與5共線”；

因此，“K+可=7”是“向量1與b共線''的充分而不必要條件.

故選：A.

4.A

【分析】

根據(jù)零向量和單位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不僅要長度相等，方向要相同，

-2-

可否定③.

【詳解】

根據(jù)零向量的定義可知①正確；

根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定

相等，故②錯誤；

向而與麗互為相反向量，故③錯誤?

故選：A.

【點睛】

本題考查零向量和單位向量的概念，相等向量的概念，屬概念辨析，正確掌握概念即可.

5.D

【分析】

根據(jù)向量的定義可判斷（1）（4）錯誤，向量￡）都是零向量時，由向量工石平行得不出方向

相同或相反，從而判斷（2）錯誤，根據(jù)相等向量的定義可判斷（3）正確.

【詳解】

（1）若|￡|=|月|,由于的方向不清楚，故不能得出2=5或a=一6，故（1）不正確.

（2）由零向量與任何向量平行，當向量2與坂平行時，不能得出［與B的方向相同或相反，

故（2）不正確.

（3）由向量的相等的定義，起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正

確.

（4）向量不能比較大小，故（4）不正確.

故選:D.

6.A

【分析】

利用平面向量的減法進行計算可得答案.

【詳解】

ED=BD-BE=--AB--BC=--AB--（AC-AB}=-AB--AC,

2323、>63

故選:A

7.B

【分析】

利用平面向量的加法法則和數(shù)乘向量求解.

【詳解】

f->-?f3TfT、73，3T

由題得BF=BC+CF=BC+^EA=BC+HEB+BAI=BF+BAI

ft3（3-—16T12ft16fl2f

即=2一巳8E+84,解得BF=吧8。+匕BA,即8尸=二4+*6,

414）25252525

故選：B

【點睛】

方法點睛：向量的線性運算，一般主要考查平面向量的加法、減法法則、平行四邊形法則和

數(shù)乘向量，要根據(jù)已知條件靈活運算這些知識求解.

8.A

【分析】

利用平面向量加法、減法以及數(shù)乘運算即可求解.

【詳解】

-4-

UUU1UUUUUUlfll

DE=DB+BA+AE

1—.―.3--

=——BC-AB+-AC

34

=--b-a+—(a+b)=-■-a+—b.

34、)412

故選：A

9.ABD

【分析】

向量的線性運算結果仍為向量可判斷選項A；由而=(否可得旃=］而，利用向量

23

的線性運算通+/=2戒=6就'=6(而■一百日)，再結合而=再必+而集合判

斷選項B；利用屈=而一不存=2說7-2前=2麗故選項C不正確，利用外心的性

質可判斷選項D,即可得正確選項.

【詳解】

因為G是DABC的重心，。是□ABC的外心，”是□ABC的垂心，

--1—.

且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以GO=-"G,

2

對于選項A：因為G是□ABC的重心，M為的中點，所以而=26必，

又因為骸+GC=2G而，所以9+3仁=而，即仄宙a:。，故選項A正確;

對于選項B：因為G是口A5c的重心，M為3C的中點，所以而=2臣0，

_________.1____2__

AM=3GM>因為GO=Q”G,所以HG=§〃0,

AB+AC=2AM=6GM=6

=6HM-47id=6HM-4（HM+Md）=2HM-4Md,^AB+AC^UfM-4MO,

故選項B正確；

對于選項C：AH=AG-HG=2GM-2Gd=2OM'故選項C不正確；

對于選項D：設點。是□ABC的外心，所以點。到三個頂點距離相等，即

|O4|=|OB|=|OC|,故選項D正確；

故選：ABD.

【點睛】

--1—.—.2—■

關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用已知條件GO=「HG得"G=w”。，利用向量的線

23

性運算結合AG=2GM可得出向量間的關系.

10.ABD

【分析】

求出口可判斷A選項的正誤；利用向量的減法法則求出b，利用共線向量的基本定理可判

斷B選項的正誤；計算出￡出，可判斷C選項的正誤；計算出（6Z+1）?胚，可判斷D選

項的正誤.綜合可得出結論.

【詳解】

對于A選項，...而=37，,a=gAB,則|d=g|A8=l,A選項正確；

-6-

對于B選項,.前=32+石=通+石,=前一通=配,.?％〃覺,B選項正確:

一一1—?■I,24

對于C選項，a/?=-A5-5C=-x32xcos—^0,所以［與坂不垂直，C選項錯誤；

對于D選項，（6￡+可?配=（而+/）?（前一通）=恁2—通2=0,所以，

（6a+b^±BC,D選項正確.

故選：ABD.

【點睛】

本題考查向量有關命題真假的判斷，涉及單位向量、共線向量的概念的理解以及垂直向量的

判斷，考查推理能力，屬于中等題.

11.AB

【分析】

根據(jù)向量的有關知識逐項判斷即可.

【詳解】

解：對A,D由單位向量的定義知：單位向量的模為1,方向是任意的，故A錯誤，D正確；

對B,當B時，￡與之可以不共線，故B錯誤；

對D,忖+囚=歸-0,即對角線相等，此時四邊形為矩形，鄰邊垂直，故D正確.

故選：AB.

12.BC

【分析】

在平面上作出礪=7,麗=石，|。4|=|。即=1，ZAOB=y,作/W，則可得出。

點在以A5為直徑的圓上，這樣可判斷各選項，特別是CD.由向量加法和減法法則判斷

AB.

【詳解】

rr

如圖，OA=a<OB=b<\O^=\OB\=1,NAOB=0,則|圖|沖|=1,即a-b=\,

B正確；

反=",由c-c)<b-2)=0得8C，AC,點。在以AB直徑的圓上(可以與A,8重

合).AB中點是M,

則忖+@=|2^7卜百，A錯；

p|=\oc\的最大值為QM+Mq=#+g<3c正確；

Z+B與兩同向‘由圖,兩與"的夾角不可能為鈍角.D錯誤.

故選：BC.

【點睛】

思路點睛:本題考查向量的線性運算，考查向量數(shù)量積.解題關鍵是作出圖形，作出OA=a'

OB=b^OC=c^確定。點軌跡，然后由向量的概念判斷.本題也可以放到平面直角坐

標系中用坐標解決.

43

-8-

【分析】

a

根據(jù)與向量萬同向的單位向量是F計算即可.

\a\

【詳解】

?.?向量彳=(-4,3),

萬小小(-4)2+32=5,

一(43、

...與萬同向的單位向量4=，

\55yz

43

故答案為:

14.4若

【分析】

由向量的加減運算可得四邊形ABC。為平行四邊形，再由條件可得四邊形ABCD為邊長為

4的菱形，由三角形的面積公式計算可得所求值.

【詳解】

在四邊形ABC。中，AC+CB+CD=^,即為荏+而=。，即通=皮，

可得四邊形ABC。為平行四邊形，又|通|=|而|=|也|=4，

可得四邊形ABC。為邊長為4的菱形,

則△8CO的面積為正EMBC的面積，即為火x4?=46，

4

故答案為：4G.

1

15.一

2

【分析】

利用共線向量定理可求4的值.

【詳解】

由于向量；與Z+2B平行且Z+M為非零向量（否則平行），

所以存在〃GR,使得癡+萬=〃（。+2石），即（丸一〃"+（1-2〃）五=0,

_-/力-〃=022

因為向量a2不平行，所以二。，解得.

"r2

故答案為：p

1

16.——

4

【分析】

先把|G+〃|=遙轉化為了+必行+0？=6，利用夾角公式求cos〈4,B〉

【詳解】

:\a+2b|=>/6,.-.(?+2^=6,即+4-5+奶？=6，

-10-

4+4x2xlxcos^,/?y+4xl=6

一1

COS〈。/?〉=--

故答案為：-5.

【點睛】

求向量夾角通常用cos(￡?=一,還要注意角的范圍.

2TT

17.(1)Z=-1；(2)—.

3

【分析】

(1)根據(jù)題意，設a=kh＞又￡最不共線，根據(jù)系數(shù)關系，列出方程，即可求出f的值;

(2)根據(jù)題意，設向量乙方的夾角為6；由數(shù)量積的計算公式可得慟、口以及2%，又由

a-h

cos6=,即可求出結果.

【詳解】

1UU1UU

(1)根據(jù)題意，向量a=e1+e2,b=e2—tex

若allb,設a-kb'

ITIT、

則有e[+e2]=k

則有〈,解可得r=-l；

\l=K

(2)根據(jù)題意，設向量第5的夾角為。;

若則

z=2,b=e0—2e],

內(nèi)叫

2zir2ir2|UTiiir.ur2

所以

\h\=le2-2elj=e2-4e,?\e2cos60°4-4e