2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí) 第26課時(shí) 菱　形（課件）

第26課時(shí)菱形13內(nèi)蒙古中考真題及拓展2重難點(diǎn)分層練考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】北師：九上第一章P2～P10；人教：八下第十八章P55～P58.菱形的性質(zhì)與判定概念有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形性質(zhì)1.邊：(1)四條邊______；(2)兩組對(duì)邊分別平行；2.角：兩組對(duì)角分別相等；3.對(duì)角線：對(duì)角線_______________，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線所在的直線，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)相等互相垂直且平分考點(diǎn)

判定1.有一組______相等的平行四邊形是菱形(定義)；2.____條邊都相等的四邊形是菱形；3.對(duì)角線__________的平行四邊形是菱形面積公式S＝______(m、n分別表示菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng))【知識(shí)拓展】(1)由于菱形是平行四邊形，所以菱形面積也可表示為S＝ah(a表示菱形的邊長(zhǎng)，h表示這條邊上的高)；(2)菱形的兩條對(duì)角線把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形鄰邊四互相垂直證明：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．已知：如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BD.求證：?ABCD是菱形．【自主作答】題圖證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴直線BD是線段AC的垂直平分線，∴BA＝BC，∴四邊形ABCD是菱形．

教材改編

重難點(diǎn)分層練回顧必備知識(shí)例1如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，滿足：①AB＝AD，②AC⊥BD，③BD平分∠ABC，④∠BAD＝∠BCD，⑤BC＝CD，⑥AB∥CD.一題多設(shè)問(wèn)請(qǐng)從上述幾個(gè)條件中，任意挑選三個(gè)條件，證明四邊形ABCD是菱形．【解法一】選擇條件：________(填序號(hào))；例1題圖①③④證明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.在△CBD和△ABD中，∴△CBD≌△ABD(AAS)，∴CB＝AB，CD＝AD.∵AB＝AD，∴AB＝AD＝CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形【判定依據(jù)】用到的菱形的判定定理為_(kāi)_________________________．例1題圖【判定依據(jù)】用到的菱形的判定定理為_(kāi)____________________________________．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形【解法二】選擇條件：________(填序號(hào))；證明：①②⑥∵AB＝AD，AC⊥BC，∴BO＝DO，∠AOB＝∠COD＝90°.∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．例1題圖是菱形

例2如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接OE.一題多設(shè)問(wèn)(1)若∠BAD＝150°，則∠ABD＝______；(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)___；菱形ABCD的面積為_(kāi)____，周長(zhǎng)為_(kāi)___；例2題圖15°16(3)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).①若∠ABC＝50°，則∠AOE的度數(shù)為_(kāi)_______；②若BD＝6，AC＝8，則線段OE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．115°提升關(guān)鍵能力

例3

在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)．(1)如圖①，連接OE，AC＝6，BD＝8.①若OE＝CE，則OE的長(zhǎng)為_(kāi)____；②若OE⊥BC，則OE的長(zhǎng)為_(kāi)_____；一題多設(shè)問(wèn)圖①例3題圖(2)如圖②，AE⊥BC，連接OE.①若∠ADB＝25°，則∠EAO的度數(shù)是_____；②若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______，OE的長(zhǎng)為_(kāi)___；圖②25°3例3題圖(3)如圖③，已知CE＝4BE，點(diǎn)P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE.若AC＝6，BD＝8，求△PEC周長(zhǎng)的最小值；例3題圖③解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝

BD＝4，OC＝AC＝3，∴BC＝AB＝5.∵CE＝4BE，∴BE＝1，CE＝4，∵EC為定值，∴要使△PEC周長(zhǎng)最小，則PE＋PC的值最?。缃鈭D，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，則點(diǎn)E′在AB邊上，連接CE′與BD交于點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，則PC＋PE≥CE′，例3題圖③∵AC＝6，BD＝8，∴S△ABC＝S菱形ABCD＝×AC×BD＝24.∵CF⊥AB，∴AB×CF＝24，∴CF＝，∴在Rt△CFB中，BF＝，由對(duì)稱的性質(zhì)，可知BE′＝BE＝1，∴E′F＝BF－BE′＝－1＝，F(xiàn)E`P`∴在Rt△CFE′中，CE′＝，∴△PEC周長(zhǎng)的最小值為；例3題圖③FE`P`(4)如圖④，點(diǎn)M、N分別是OB、OD上一點(diǎn)，且BM＝DN，連接AM、AN、CM、CN.①求證：四邊形AMCN是菱形；例3題圖④(4)①∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.∵BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形．∵AC⊥BD，∴四邊形AMCN是菱形；②若∠ABC＝60°，AB＝6，AM＝BM，求AM的長(zhǎng)；②解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OD，AB＝CB.∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∵AB＝6，∴AC＝6，∴OA＝3，∴在Rt△AOB中，OB＝＝3.∵AM＝BM，∴OM＝OB－BM＝3－AM.在Rt△AOM中，OA2＋OM2＝AM2，∴32＋(3－AM)2＝AM2，解得AM＝2；例3題圖④【判定依據(jù)】判定菱形的依據(jù)是

_______________________________．(5)如圖⑤，點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)，AE、AF分別與BD交于點(diǎn)P、Q，且∠EAF＝60°.若AB＝6，∠BAD＝120°.①求證：AE＝AF；例3題圖⑤對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形①證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∵∠EAF＝60°.∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF;例3題圖⑤②若BP＝2QD，求BE長(zhǎng)．②解：如解圖②，將△AQD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△AQ′B，使AD與AB重合，連接BQ′，PQ′，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)Q′作Q′I⊥BP于點(diǎn)I，例3題圖⑤Q′I∟則BQ′＝DQ，∠ABQ′＝∠ADQ，∵AB＝AD＝6，∠BAD＝120°，∴∠ABD＝∠ADB＝30°.∴∠PBQ′＝60°.∵AO⊥BD，∴AO＝AB·sin30°＝3，OB＝OD＝AB·cos30°＝3，∴BD＝6.∵∠EAF＝60°，∠QAQ′＝120°，∴∠PAQ＝∠PAQ′.在△PAQ和△PAQ′中，∴△PAQ≌△PAQ′(SAS)，∴PQ＝PQ′，∵BP＝2QD，∴BP＝2BQ′.在Rt△BIQ′中，∠Q′BI＝60°，∴BI＝BQ′·cos60°＝

BQ′，Q′I＝BQ′·sin60°＝

BQ′，∴IP＝BP－BI＝

BQ′，∴在Rt△PIQ′中，PQ′＝

＝

BQ′.例3題圖⑤Q′I∟設(shè)BQ′＝DQ＝x，∴BP＝2x，PQ′＝PQ＝

x，∴BD＝BP＋PQ＋DQ＝(2＋

＋1)x＝6，∴x＝3－3，∴DQ＝3－3，PQ＝9－3，BP＝6－6，∴DP＝DQ＋PQ＝6，∴DP＝DA，∴∠DPA＝∠DAP.∵∠DPA＝∠BPE，∠DAP＝∠BEP，∴∠BEP＝∠BPE，∴BE＝BP＝6－6.例3題圖⑤Q′I∟內(nèi)蒙古中考真題及拓展命題點(diǎn)

與菱形有關(guān)的證明與計(jì)算1.如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是(

)

A.2.5B.3

C.4

D.5第1題圖A2.已知菱形的邊長(zhǎng)為3，較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則該菱形較長(zhǎng)的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為(

)A.2B.2

C.4

D.23.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF，且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：△ABE≌△CDF；第3題圖C(1)證明：∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF(AAS)；第3題圖(2)當(dāng)四邊形ABCD分別是矩形和菱形時(shí)，請(qǐng)分別說(shuō)出四邊形BEDF的形狀．(無(wú)需說(shuō)明理由)【解法提示】如解圖①，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，連接DE、BF，同(1)可知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；圖①第3題解圖如解圖②，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，連接DE、BF，同理可知四邊形BEDF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，在△ABE和△ADE中，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE，∴四邊形BEDF是菱形．綜上所述，當(dāng)四邊形ABCD分別是矩形和菱形時(shí)，四邊形BEDF分別是平行四邊形與菱形．圖②第3題解圖(2)四邊形BEDF分別是平行四邊形與菱形．拓展訓(xùn)練4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，0)，∠BCD＝120°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)第4題圖A．(2，2)

B．(，2)C．(3，

)

D．(2，

)D5.如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、AE.(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形；(1)證明：∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，∵EF，DE分別是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF為平行四邊形；第5題圖(2)加上條件________后，能使得四邊形ADEF為菱形．請(qǐng)從①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC這3個(gè)條件中選擇1個(gè)條件填空(寫(xiě)序號(hào))，并加以證明．第5題圖(2)解：【解法一】選擇③，證明如下：∵EF＝

AB，DE＝

AC，且AB＝AC，∴DE＝EF.∵四邊形ADEF為平行四邊形，∴四邊形ADEF為菱形．