第15講 銳角三角函數(shù)-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講與練（滬科版 學(xué)習(xí)新知）

專題15銳角三角函數(shù)★知識(shí)點(diǎn)1：正弦的概念和求正弦值如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.1,不能寫成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.2,sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.典例分析【例1】（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【例2】（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，則（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，是斜邊上的高，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)2：已知正弦值求邊長根據(jù)三角函數(shù)的概念和特殊三角函數(shù)值，結(jié)合已知的條件求出邊長即可。典例分析【例1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，交的延長線于點(diǎn)，已知，，則的長為(

)

A． B． C． D．無法計(jì)算【例2】（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，則有（

）

A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）已知在中，，，，那么（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則（

）A．10 B．8 C．5 D．4★知識(shí)點(diǎn)3：余弦的概念和求余弦值cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.典例分析【例1】（2022秋·山東青島·九年級(jí)?？计谀┰谥校?、、對(duì)邊分別為、、，，若，則（

） B． C． D．【例2】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，若，則的值為（

）

A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2021秋·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列各式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)4已知余弦值求邊長典例分析【例1】（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，在中，，則的長為（

）

A．4.5 B．5 C． D．【例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，則的長是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9即學(xué)即練1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的長為（）A． B． C． D．2.（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．3 B．2 C． D．★知識(shí)點(diǎn)5正切的概念和求正切值tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.典例分析【例1】（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，則(

)A． B． C． D．【例2】（2023春·天津河?xùn)|·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，設(shè)，，所對(duì)的邊分別是a，b，c，則下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，如果各邊長度均擴(kuò)大3倍，則銳角A的正切值（

）A．不變化 B．?dāng)U大兩倍 C．縮小一半 D．以上都不對(duì)2．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)校考期中）已知在中，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．★知識(shí)點(diǎn)6已知正切值求邊長典例分析【例1】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）在中，，那么邊的長為（）A． B． C． D．【例2】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，若，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，則的長為（

）A．5 B．4 C．6 D．8即學(xué)即練1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，則的長為（

）

A．1 B．2 C．4 D．82．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接．若，，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．★知識(shí)點(diǎn)7求特殊角的三角函數(shù)值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)30°45°60°1正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時(shí)，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時(shí)，tan隨的增大而增大1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.典例分析【例1】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，，，則（

）

A． B． C． D．【例2】（2023春·天津·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．即學(xué)即練1．（2023春·天津北辰·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）的值等于（

）A． B． C．1 D．2．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）的值等于(

)A． B． C． D．1★知識(shí)點(diǎn)8特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀典例分析【例1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，若，，則這個(gè)三角形一定是（

）．A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【例2】（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，都是銳角，，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形即學(xué)即練1（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若的內(nèi)角滿足，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．三角不全相等的銳角三角形2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則ABC的形狀是（

）A．含有60°直角三角形 B．等邊三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形★知識(shí)點(diǎn)9已知角度比較三角函數(shù)值的大小典例分析【例1】（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）若，則的正切值的范圍是（

）A． B． C． D．【例2】．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，關(guān)于角α的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)即學(xué)即練1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）三角函數(shù)、、之間的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，那么與的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定★知識(shí)點(diǎn)10利用同角三角函數(shù)求值典例分析【例1】（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．無法確定【例2】（2022秋·山東聊城·九年級(jí)臨清市京華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，，，則值為（）A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是斜邊邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)11根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍典例分析【例1】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【例2】．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）若∠A是銳角，且sinA＝，則（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°★知識(shí)點(diǎn)12互余兩角三角函數(shù)關(guān)系典例分析【例1】（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┰谥校?，，則（

）A． B． C． D．【例2】（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．即學(xué)即練1．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谀┰谥?，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則銳角A的取值范圍是（）A． B． C． D．1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）在，，，則的值是（）A． B． C． D．2．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南益陽·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，與軸正半軸的夾角為，則的值為（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·云南楚雄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．6 B．7.5 C．8 D．105．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是嘉琪用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，圖中線段a與直尺垂直，線段b與數(shù)軸垂直，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．7．（2023春·湖北襄陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．8．（2023春·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)下列不等式成立的是（）A． B．C． D．9．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，四邊形中，，，，則（）

A． B． C． D．10．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，，則（）A． B． C． D．11．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算．12．（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．13．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：14．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在中，，，，求：的面積和的度數(shù)．15．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）（1）；（2）在中，，，求的度數(shù)．16．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知和射線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)到、的距離為、．(1)若，，，試比較、的大小；(2)若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．17．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，中，，，求、、、．18．（2019春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖1，2，3，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：____；____；____．（1）觀察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如圖4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理證明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且，求的值．19．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)D．（1）若，求的值；（2）若，求的值．20．（2021·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為矩形，，，P、Q均從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以2個(gè)單位每秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1個(gè)單位每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求的長；（2）若，求S關(guān)于t的解析式．

專題15銳角三角函數(shù)★知識(shí)點(diǎn)1：正弦的概念和求正弦值如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.1,不能寫成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.2,sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.典例分析【例1】（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角的余角相等可得，在三個(gè)直角三角形中由正弦函數(shù)的定義即可確定答案．【詳解】，，，，；故正確的是B選項(xiàng)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義，同角的余角相等，掌握正弦函數(shù)的定義是關(guān)鍵．【例2】（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦的定義即可得到答案．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦，解題的關(guān)鍵是熟知：在直角三角形中，任意一銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作．【即學(xué)即練】1．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，是斜邊上的高，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由勾股定理求出，再證出，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】解：在中，，∴，，∵是斜邊上的高，∴，∴，∴，∴，故C正確．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明∠ACD＝∠B．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，為直角三角形，且，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)的定義，熟知在一個(gè)三角形中，如果兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)2：已知正弦值求邊長根據(jù)三角函數(shù)的概念和特殊三角函數(shù)值，結(jié)合已知的條件求出邊長即可。典例分析【例1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，交的延長線于點(diǎn)，已知，，則的長為(

)

A． B． C． D．無法計(jì)算【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及已知條件，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)正弦的定義，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，正弦的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，則有（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，設(shè)，則，可得，再利用銳角的三角函數(shù)的定義逐一求解即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，，，；∴A，B，C不符合題意，D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是求解銳角的三角函數(shù)值，熟記銳角的三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）已知在中，，，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的定義，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則（

）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，∴，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)和勾股定理是正確解答的前提．★知識(shí)點(diǎn)3：余弦的概念和求余弦值cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.典例分析【例1】（2022秋·山東青島·九年級(jí)?？计谀┰谥校?、、對(duì)邊分別為、、，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得出，，即可得出答案.【詳解】解：由題知，，∴，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的考查，熟練掌握銳角三家函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.【例2】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明這兩個(gè)三角形相似，再求的值即可.【詳解】解：∵，∴這兩個(gè)三角形相似，∴∠α=∠β，∴=，故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)，三角函數(shù)證明這兩個(gè)三角形相似時(shí)解決問題的關(guān)鍵.即學(xué)即練1．（2021秋·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列各式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】正弦是對(duì)邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，正切是對(duì)邊比鄰邊，據(jù)此可判斷.【詳解】因?yàn)椤螩=90°，所以c為斜邊，根據(jù)正弦概念可得，故A錯(cuò)誤；根據(jù)余弦概念可得，故B錯(cuò)誤；根據(jù)正切概念可得，故C錯(cuò)誤，D正確.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到是直角三角形，從而求解.【詳解】解：連接，如圖所示，

由勾股定理可得：，∴∴是直角三角形，即∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握在方格中利用勾股定理求邊長，同時(shí)判斷三角形形狀是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)4已知余弦值求邊長典例分析【例1】（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在中，，則的長為（

）

A．4.5 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，再把的長代入可以計(jì)算出的長，利用勾股定理即可求得．【詳解】解：，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦．【例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，則的長是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義直接求解即可．【詳解】解：在中，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，掌握余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，的垂直平分線交于點(diǎn)，可得，根據(jù)，可求出，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，解得，，∴，在中，由勾股定理可得，，∴的長為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的綜合，掌握垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法，直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵．2.（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)余弦定義求解即可．【詳解】解：∵中，，，，∴，∴AC==2．故選B．【點(diǎn)睛】在Rt△ABC中，若∠C=90°，則∠A的正弦等于∠A的對(duì)邊比斜邊，∠A的余弦等于∠A的鄰邊比斜邊，∠A的正切等于∠A的對(duì)邊比鄰邊．★知識(shí)點(diǎn)5正切的概念和求正切值tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.典例分析【例1】（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切的定義即可求解．在直角三角形中，銳角的正切值等于這個(gè)銳角的對(duì)邊比鄰邊．【詳解】解：∵在中，，，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·天津河?xùn)|·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，設(shè)，，所對(duì)的邊分別是a，b，c，則下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意可得：，，，∴，，，，故A選項(xiàng)成立，B，C，D不成立，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，如果各邊長度均擴(kuò)大3倍，則銳角A的正切值（

）A．不變化 B．?dāng)U大兩倍 C．縮小一半 D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正切值為對(duì)邊和鄰邊的比值．一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只和角的大小有關(guān)，與角的邊的長短無關(guān)．【詳解】∵銳角的正切值為對(duì)邊和鄰邊的比值，∴各邊長度都擴(kuò)大倍，銳角的正切值不變.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.在Rt△ABC中，，，．2．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┮阎谥?，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)的定義可知，可設(shè)，由勾股定理求出，然后根據(jù)正切的定義代入求值即可．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，則，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟練掌握正弦定義：對(duì)邊與斜邊的比值；正切的定義：對(duì)邊與鄰邊的比值；是解本題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)6已知正切值求邊長典例分析【例1】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）在中，，那么邊的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，將代入即可求得．【詳解】如圖所示：在中，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，明確銳角三角函數(shù)的定義求得是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，若，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，則的長為（

）A．5 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，則的長為（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用正切的定義求得，再根據(jù)中點(diǎn)的意義即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，掌握“正切函數(shù)是直角三角形中，對(duì)邊與鄰邊的比值”是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接．若，，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩個(gè)正切值求出、，即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵，，，∴，，∵，∴，，∴，故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正切求線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一個(gè)角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊．★知識(shí)點(diǎn)7求特殊角的三角函數(shù)值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)30°45°60°1正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時(shí)，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時(shí)，tan隨的增大而增大1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.典例分析【例1】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·天津·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023春·天津北辰·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）的值等于（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）的值等于(

)A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)8特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀典例分析【例1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，若，，則這個(gè)三角形一定是（

）．A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴是鈍角三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，三角形分類，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌特殊角三角函數(shù)值求角度是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，都是銳角，，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形【答案】D【分析】．【詳解】解：∵在中，都是銳角，，∴，∴，∴是銳角三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，熟知等特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若的內(nèi)角滿足，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．三角不全相等的銳角三角形【答案】A【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出和的度數(shù)，然后可判定的形狀．【詳解】解：由題意得：，，即，，∴，∴，即的形狀是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則ABC的形狀是（

）A．含有60°直角三角形 B．等邊三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解∶∵，∴，解得：，∴，∴∠C=90°，∴ABC是含有60°直角三角形．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值，絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)9已知角度比較三角函數(shù)值的大小典例分析【例1】（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）若，則的正切值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)隨角增大而減小解答即可．【詳解】解：∵，且一個(gè)角的正切值隨角的增大而增大，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【例2】．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，關(guān)于角α的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)結(jié)合三角函數(shù)的增減性求解即可．【詳解】解：由，得，故①正確；∵，，∴，∴，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；，故④正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，記住特殊角的三角函數(shù)值和掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）三角函數(shù)、、之間的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)間關(guān)系，得出，再根據(jù)余弦值隨著角度的增大而減小進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，又，余弦值隨著角度的增大而減小，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)間關(guān)系，得出．2．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，那么與的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【答案】B【分析】，再根據(jù)正弦函數(shù)隨著角的增大而增大進(jìn)行分析即可．【詳解】∵，正弦函數(shù)隨著角的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，，即，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正弦函數(shù)值隨著角的增大而增大．★知識(shí)點(diǎn)10利用同角三角函數(shù)求值典例分析【例1】（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：是銳角，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即．【例2】（2022秋·山東聊城·九年級(jí)臨清市京華中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，，，則值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用同角三角恒等式計(jì)算出，然后根據(jù)求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：熟練掌握同角三角函數(shù)之間的關(guān)系．即學(xué)即練1．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是斜邊邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直角三角形的邊角間關(guān)系，計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：∵是斜邊邊上的高，∴都是直角三角形．在中，∵，故選項(xiàng)B不正確；在中，∵，故選項(xiàng)A、C不正確．在中，∵，∴．∴，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)sin2A+cos2A＝1，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)值的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握sin2A+cos2A＝1．★知識(shí)點(diǎn)11根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍典例分析【例1】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值得到，然后利用銳角的余弦值隨著角度的增大而減小求解．【詳解】解：，而，，，銳角的取值范圍為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：當(dāng)角度在間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅部疾榱颂厥饨堑娜呛瘮?shù)值．【例2】．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷出所給的正切值在最接近的哪兩個(gè)銳角的正切值之間，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：∵，，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的增減性知識(shí)；判斷出所給的正切值在最接近的哪兩個(gè)銳角的正切值之間是解決本題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判斷得到正確答案．【詳解】解：∵，，∴∴故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)銳角三角函數(shù)的數(shù)值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數(shù)值是關(guān)鍵．2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）若∠A是銳角，且sinA＝，則（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】A【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?，及30°、45°、60°的正弦值可求出.【詳解】解：∵∠A是銳角，且sinA＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?，正確理解銳角正弦值的增減性是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)12互余兩角三角函數(shù)關(guān)系典例分析【例1】（2022秋·安徽六安·九年級(jí)校考期末）在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，設(shè)，則，根據(jù)余弦的定義即可得到答案．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∴．故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解．【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，故此選項(xiàng)符合題意；D．，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，如：，（為銳角）．理解和掌握互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谀┰谥?，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可以求解．【詳解】解：在中，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，一個(gè)角的正弦等于它余角的余弦．2．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則銳角A的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】解：故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關(guān)系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出錯(cuò)．1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）在，，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦的定義可得，即可求出．【詳解】解：如圖，∵在中，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一個(gè)角的余弦值，解題的關(guān)鍵是掌握余弦等于鄰邊與斜邊之比，正弦等于對(duì)邊與斜邊之比．2．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接逐個(gè)判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵在中，，，∴，故A錯(cuò)誤，不符合題意，，故B錯(cuò)誤，不符合題意，，故C錯(cuò)誤，不符合題意，，故D正確，符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是判斷不同直角三角形中的直角邊與斜邊．3．（2023秋·湖南益陽·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，與軸正半軸的夾角為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過P作軸于N，軸于M，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出和，解直角三角形求出即可．【詳解】解：過P作軸于N，軸于M，則，

∵點(diǎn)，∴，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)和解直角三角形，能求出和的長是解此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·云南楚雄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．6 B．7.5 C．8 D．10【答案】A【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義求解可得．【詳解】解：在中，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正切函數(shù)的定義．5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別寫出、、中，關(guān)于的比值．【詳解】，在中，，在中，，，，，在中，．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)的比值是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是嘉琪用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，圖中線段a與直尺垂直，線段b與數(shù)軸垂直，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用等角的余弦值相等列等式即可作答．【詳解】如圖，由圖可知：，，，∵線段a與直尺垂直，∴，∵線段b與數(shù)軸垂直，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)D表示的數(shù)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的余弦值的知識(shí)，掌握余弦的定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖北襄陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：、，，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，，故本選項(xiàng)符合題意；D、，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．8．（2023春·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用特值法，取當(dāng)時(shí)，計(jì)算出各個(gè)三角函數(shù)值，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，，，符合這一結(jié)論的只有B．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特值法，特殊角的三角函數(shù)值，掌握特值法及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，四邊形中，，，，則（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明得出，再由即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，．∵，∴，．∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角的三角函數(shù)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，，根據(jù)勾股定理得到，即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴設(shè)，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正切與勾股定理表示．11．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算．【答案】/【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊銳角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊銳角的三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·山東威海·九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】1【分析】原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．13．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：【答案】1【分析】分別進(jìn)行特殊角的三角函數(shù)運(yùn)算、零指數(shù)冪運(yùn)算、絕對(duì)值運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算即可解答．【詳解】解：原式，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對(duì)值性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．14．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在中，，，，求：的面積和的度數(shù)．【答案】；【分析】根據(jù)勾股定理解答即可求出的面積，利用三角函數(shù)求出的度數(shù)．【詳解】解：過A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，DC=8-x，由勾股定理可得：即解得:x=∴AD