專題11 圓的最值問題（隱圓模型）（解析版）（人教版）

專題11圓的最值問題（隱圓模型）【知識點梳理】隱圓模型匯總固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C，則A、B、C、P四點共圓若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑固定線段AB所對動角∠C恒為90°,則A、B、C三點共圓，AB為直徑對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為()【答案】D【分析】連接BD，證明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°,由于BD的長確定，則點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值.【詳解】解：連接AD，因為∠ACB＝30°,所以∠BCD＝60°,因為CB＝CD，所以△CBD是等邊三角形，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD=∠FDC，因為∠FDC+∠BDF＝60°,所以∠EBD+∠BDF＝60°,所以∠BPD＝120°,所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，所以AP＝2當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2【點睛】求一個動點到定點的最小值，一般先要確定動點在一個確定的圓或圓弧上運動，當(dāng)動點與圓心及定點在一條直線上時，取最小值.若⊙O的半徑是4，則OC長的最小值為.【分析】延長BC交圓O于點D，連接DO,AD，過O點作OETAD交于點E，則△AOD是等邊三角形，再確定點C在以E為圓心，AE為半徑的圓上，則CO的最小值為EO一DE，再求解即可.【詳解】解：如圖，延長BC交圓O于點D，連接DO,AD，過O點作OE丄AD交于點E，∴點C在以E為圓心，AE為半徑的圓上， 【點睛】本題考查圓中的最小距離問題，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，根據(jù)定角定弦確定點C的軌跡是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是正方形ABCD內(nèi)邊上的動點，且上EAB=上EBC．連結(jié)AE，BE，PD，PE，則PD+PE的最小值為() 【答案】A【分析】先證明7AEB=90O，即可得點E在以AB為直徑的半圓上移動，設(shè)AB的中點為O，作正方形ABCD關(guān)于直線BC對稱的正方形CFGB，則點D的對應(yīng)點是F，連接FO交BC于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：PD=PF，則有：PE十PD=PE十PF，則線段EF的長即為PE十PD的長度最小值，問題隨之得解.【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴點E在以AB為直徑的半圓上移動，如圖，設(shè)AB的中點為O，作正方形ABCD關(guān)于直線BC對稱的正方形CFGB，則點D的對應(yīng)點是F，連接FO交BC于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：PD=PF，則線段EF的長即為PE十PD的長度最小值，E 故選：A.【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點E的運動路線是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，∠C＝9=3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為.【分析】先由折疊判斷出F的運動軌跡是為以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時BD、BF的長度即可.【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點的運動軌跡為：以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點B、D、F共線，且F在B、D之間時，BF取最小值，+BC2 【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點運動軌跡是解題關(guān)鍵.點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足上AMD=90。，則△MBC面積的最小值為. 【答案】634【分析】取AD的中點O，連接OM，過點M作ME丄BC交BC的延長線于點E，過點O作OF丄BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF，通過計算得出當(dāng)O,M,E三點共線時，ME有最小值，求出最小值即可.【詳解】解：如圖，取AD的中點O，連接OM，過點M作ME丄BC交BC的延長線于點E，過點O作OF丄BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF，“AC丄BC，:上B=上DAB，:四邊形ABCD為等腰梯形，:BC=AD=4，:點M在以點O為圓心，2為半徑的圓上，ABⅡCD，:DG=DO=2， :當(dāng)O,M,E三點共線時，ME有最小值3·3—2，【點睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識點，點M位置的確定是解題關(guān)鍵.課后訓(xùn)練連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是.【答案】3【分析】通過已知求得D在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運動，∵E為AD的中點，∴E在以BA中點為圓心，BD長為半徑的圓上運動，再運用圓外一定點到圓上動點距離的最大值=定點與圓心的距離+圓的半徑，求得CE的最大值.【詳解】解：∵BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，由題意可知，D在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運動，∵E為AD的中點，∴E在以BA中點為圓心，BD長為半徑的圓上運動，CE的最大值即C到BA中點的距離加上BD長.。故答案為3.【點睛】本題考查了與圓相關(guān)的動點問題，正確識別E點運動軌跡是解題的關(guān)鍵.2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=3，點E為AB中點，點F為AD邊上從A到D運動的一個動點，聯(lián)結(jié)EF，將△AEF沿EF折疊，點A落在點G處，在運動的過程中，點G運動的路徑長為()【答案】A【詳解】解：∵點E為AB中點，點F為AD邊上從A到D運動的一個動點，聯(lián)結(jié)EF，將△AEF沿EF折疊，∴AE=EB=EG，∴G點在以E為圓心，AE長為半徑的圓上運動.一當(dāng)F與D點重合時，如圖，則G點運動的路徑為AG.故選：A.的圓上一點，連接BD，M是BD的中點，則線段CM長度的最小值為()【答案】C【詳解】作AB的中點E，連接EM、CE、AD，則有AD=3，“上ACB=90°,即在Rt△ABC中，AB=5252+122“E是Rt△ABC斜邊AB上的中點，:CE= “M是BD的中點，E是AB的中點，:ME=:在△CEM中，一＜CM即5＜CM＜8；:CM最小值為5，故選：C.4．如圖，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E為AB中點，F(xiàn)為直線BC上動點，B、G關(guān)于EF【答案】21022圓周角上APB=45O的圓上要使DP最小，則點P要靠近蒂點D，即點P在AB的右側(cè)設(shè)P在線段OD上時去等號，即可求得DP的最小值.【詳解】解：“B、G關(guān)于EF對稱，:BH=GH，且EF丄BG“E為AB中點，則EH為△ABG的中位線，:EHⅡAG，∴點P在以AB為弦，圓周角上APB=45O的圓上要使DP最小，則點P要靠近蒂點D，即點P在AB的右側(cè)）又∵E為AB中點，又∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形AEOQ是正方形， 故答案為：21022.【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱形圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)上APB=上AGB=45O得知點P在以AB為弦，圓周角上APB=45O的圓上是解決問題的關(guān)鍵. 5．如圖，在銳角△ABC中，AB＝2，AC=·6，∠ABC＝60°.D是平面內(nèi)一動點，且∠ADB=30°,則CD的最小值是【答案】3/+3 【分析】作AH⊥BC于H，證明△ACH為等腰直角三角形，求得BC=3+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，根據(jù)∠ADB=30°,可得點D在⊙O上運動，當(dāng)DB經(jīng)過圓心O時，CD最小，其最小值為⊙O的直徑減去BC的長.【詳解】解：如圖，作AH⊥BC于H， ∴BH=AB=1，∴△ACH為等腰直角三角形，BC=CH+BH=3+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，∴點D在⊙O上運動，當(dāng)DB經(jīng)過圓心O時，CD最小，最小值為 故答案為：3-3.【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．解題的關(guān)鍵是得出點D在⊙O上運動.6．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是.根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠AOB=30°,由于AC⊥AP，所以∠C=60°,因為AB=2，則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°,可根據(jù)圓周角定理判斷點C在⊙D上，且∠ADB=120°,如圖2，于是當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC