專題07 函數(shù)圖像的作法及其應(yīng)用-滬教版高一《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末復(fù)習(xí)課專題（解析版）

第第頁P(yáng)AGE專題07函數(shù)圖像的作法及其應(yīng)用函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)的定義域、分段函數(shù)、函數(shù)圖像的識(shí)別與應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）的綜合應(yīng)用；命題規(guī)律：高考對(duì)函數(shù)圖像的考查，通常涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等，考查考生靈活應(yīng)用知識(shí)、分析函數(shù)圖像與性質(zhì)的能力，體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)側(cè)重于理解和應(yīng)用的考查的要求；一、教材相關(guān)第5章函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用【課本目錄】5.1.2函數(shù)的表示方法；本章內(nèi)容提要1.函數(shù)的概念：（3）函數(shù)的圖像是表示函數(shù)性質(zhì)的直觀而又形象的工具；2.函數(shù)的性質(zhì)：（1）如果對(duì)定義域中的任一給定的，均成立，則稱，是一個(gè)偶函數(shù)；如果對(duì)定義域中的任一給定的，均成立，則稱，是一個(gè)奇函數(shù)；函數(shù)的奇、偶性分別刻畫了函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)及軸的對(duì)稱性；（3）設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值是.如果對(duì)于定義域內(nèi)任意給定的，都成立不等式,那么叫做函數(shù)的最小值；如果對(duì)于定義域內(nèi)任意給定的，都成立不等式，那么叫做函數(shù)的最大值.最大值與最小值分別為函數(shù)圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)；3.函數(shù)的應(yīng)用：（2）零點(diǎn)是指函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)于圖像是連續(xù)曲線的函數(shù)，二分法是求近似零點(diǎn)的有效手段；（3）依靠函數(shù)，可以用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來考察方程的求解，以及不等式的求解；二、對(duì)教材的理解1、作函數(shù)圖像有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖像變換法，其中圖像變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換；描點(diǎn)法①確定定義域；②化簡(jiǎn)解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對(duì)稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性；④特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線（對(duì)稱軸、漸近線等）.圖像變換法（1）平移變換①函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個(gè)單位得到的；②函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位得到的；③函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向上平移個(gè)單位得到的；④函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向下平移個(gè)單位得到的；（2）對(duì)稱變換①函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意都有或（實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即為常數(shù)）；若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意都有③的圖像是將函數(shù)的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關(guān)于軸對(duì)稱翻折上來得到的（如圖（a）和圖（b））所示④的圖像是將函數(shù)的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于軸對(duì)稱得到函數(shù)左邊的圖像即函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)（如圖（c）所示）.注：的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關(guān)于軸對(duì)稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；而的圖像是先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后做出軸右方的圖像關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.⑤函數(shù)與的圖像關(guān)于對(duì)稱；2、函數(shù)圖像的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合；利用函數(shù)圖像可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等圖像的特點(diǎn)；借助于函數(shù)圖像的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問題．求解兩個(gè)函數(shù)圖像在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，可以先畫出已知函數(shù)完整的圖像，再觀察；提醒：圖像平移與整體放縮不改變圖像的對(duì)稱性，求解較復(fù)雜函數(shù)圖像的對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)可先平移；題型1、函數(shù)圖像的作法例1、作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域．（1）y＝2x＋1，x∈[0，2]；（2）y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；（3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2]；（4）y＝x＋2|x|≤3；（5）y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2；【提示】注意：先研究函數(shù)的性質(zhì)再作圖；【解析】（1）列表：x0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)2y12345當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，圖像是直線的一部分，觀察圖像可知，其值域?yàn)閇1，5]．(2)列表：x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…（2）當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，圖像是反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的一部分，觀察圖像可知其值域?yàn)?0,1]．（3）列表：x－2－1012y0－1038畫圖像，圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分，由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]．（4）因?yàn)閨x|≤3，所以函數(shù)的圖像為線段，而不是直線，如圖：(5）因?yàn)閤∈Z且|x|≤2，所以函數(shù)的圖像是五個(gè)孤立的點(diǎn)，如圖：【說明】作函數(shù)圖像的基本步驟：列表：取自變量的若干個(gè)數(shù)，求出相應(yīng)的函數(shù)值；描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)；連線：用光滑的曲線將描好點(diǎn)連接起來，得到函數(shù)的圖像；題型2、結(jié)合圖像變換作函數(shù)圖像例2、（1）若函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖像大致為（）ABCD【答案】C；【解析】要想由y＝f(x)的圖像得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖像，需要先將y＝f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)＝－f(x)的圖像，然后再向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖像，根據(jù)上述步驟可知C正確；（2）作出下列函數(shù)的大致圖像：①；②)；③．【提示】根據(jù)圖像的變換性質(zhì)，結(jié)合所畫函數(shù)圖像的解析式與解析式之間的關(guān)系進(jìn)行畫圖即可.【詳解】①第一步：作函數(shù)的圖像；第二步：把函數(shù)的圖像位于x軸下方的部分沿x軸翻折（位于x軸和x軸上方的不變），即得的圖像，如下圖：

②第一步和第二步同（1）；第三步：把的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即得的圖像如下圖所示：

③第一步：作函數(shù)的圖像；第二步：把函數(shù)的圖像沿y軸翻折，得的圖像；第三步：把的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)的圖像；第四步：把的圖像位于x軸下方的部分沿x軸翻折（x軸上及x軸上方的不變），即得的圖像如下圖所示：

題型3、由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖像例3、（1）函數(shù)f(x)＝x·ln|x|的圖像可能是（）【答案】D【解析】函數(shù)f(x)＝x·ln|x|是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，C；當(dāng)x＝eq\f(1,e)時(shí)，y＝－eq\f(1,e)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸下方，排除B；（2）函數(shù)y＝eq\f(ln|x|,x2＋2)的圖像大致為（）【答案】B；【解析】設(shè)y＝f(x)＝eq\f(ln|x|,x2＋2)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又f(－x)＝eq\f(ln|－x|,（－x）2＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除A，C；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，ln|x|＜0，x2＋2＞0，所以f(x)＜0，排除D；故選B；【說明】由解析式確定函數(shù)圖像的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特征點(diǎn)排除不符合要求的圖像；題型4、會(huì)根據(jù)實(shí)際問題“建模”作函數(shù)圖像例4、（1）直角梯形如圖，直線左邊截得面積的圖像大致是（）A．B． C． D．【提示】根據(jù)圖形的面積求得的表達(dá)式，進(jìn)而確定正確答案；【答案】C；【解析】直線的方程為，當(dāng)，.當(dāng)時(shí)，.所以，對(duì)應(yīng)的圖像為C選項(xiàng)；故選：C；（2）“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)；用分別表示烏龜和兔子經(jīng)過的路程，t為時(shí)間，則與故事情節(jié)相吻合的是（

）A． B．C． D．【提示】關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷關(guān)于的函數(shù)的性質(zhì)以及其圖像；【答案】B【解析】由題意可得始終是勻速增長(zhǎng),開始時(shí),的增長(zhǎng)比較快,但中間有一段時(shí)間停止增長(zhǎng)，在最后一段時(shí)間里,的增長(zhǎng)又較快,但的值沒有超過的值,結(jié)合所給的圖像可知，B選項(xiàng)正確;故選：B；題型5、函數(shù)圖像像的變換例5、（1）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【提示】直接根據(jù)函數(shù)的平移法則得到答案.【答案】B【解析】函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位得到，再將得圖像向上平移1個(gè)單位得到；故選：B；（2）若函數(shù)的圖像如下圖所示，函數(shù)的圖像為（

）

A．

B．

C．

D．

【提示】利用函數(shù)圖像的對(duì)稱變換和平移變換，判斷選項(xiàng)；【答案】C【解析】函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱可得函數(shù)的圖像，再向右平移2個(gè)單位得函數(shù)，即的圖像；故選：C；題型6、依據(jù)函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)例6、（1）已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，1)D．f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)【答案】C【解析】將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖所示，觀察圖像可知，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調(diào)遞減；（2）已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________.【答案】(2，8]【解析】當(dāng)f(x)>0時(shí)，函數(shù)g(x)＝logeq\r(2)f(x)有意義，由函數(shù)f(x)的圖像知滿足f(x)>0時(shí)，x∈(2，8]；題型7、根據(jù)函數(shù)的圖像解不等式例7、（1）已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)＞0的解集是（）A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0，1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【答案】D；【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的圖像如圖；由圖像得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)和(1，2)；又f(x)＞0等價(jià)于2x＞x＋1，結(jié)合圖像，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)；（2）設(shè)函數(shù)y＝f(x＋1)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù)，且圖像過點(diǎn)(1，0)，則不等式(x－1)f(x)≤0的解集為_____________________________【答案】{x|x≤0或1＜x≤2}【解析】畫出f(x)的大致圖像如圖所示.不等式(x－1)f(x)≤0可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞1，,f（x）≤0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜1，,f（x）≥0.))由圖可知符合條件的解集為{x|x≤0或1＜x≤2}；【說明】當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖像的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解；題型8、根據(jù)函數(shù)的圖像確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)例8、（1）函數(shù)F(x)＝ln(x＋1)－x2＋4x－4的零點(diǎn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由題意，等價(jià)為：函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；由于函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖像是由函數(shù)y＝lnx的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，開口向上，所以作出f(x)，g(x)的圖像如圖所示，故函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))則函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是【答案】5【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝eq\f(1,2)或1；作出y＝f(x)的圖像，由圖像知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5；題型9、元素與集合的含義例9、（1）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)；若對(duì)任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(1,2)，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10－\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10＋\r(2),4)))【答案】B【解析】∵當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，∴當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍；當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如圖所示，令4(x－2)(x－3)＝－eq\f(1,2)，解得x1＝eq\f(10－\r(2),4)，x2＝eq\f(10＋\r(2),4)，∴要使對(duì)任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(1,2)，則m≤eq\f(10－\r(2),4)，∴m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10－\r(2),4))).（2）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤0，,ln(x＋1)，x>0，))若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．[－3,0]C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤0，,ln(x＋1)，x>0))的圖像如圖，直線y＝ax－1恒過定點(diǎn)(0，－1)，若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，則函數(shù)f(x)的圖像在直線y＝ax－1下方有圖像或與直線有交點(diǎn)，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的圖像恒在y＝ax－1圖像的上方，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，直線y＝ax－1經(jīng)過第一、三、四像限，與函數(shù)f(x)的圖像必有交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)a<0時(shí)，直線y＝ax－1經(jīng)過第二、三、四像限，若直線y＝ax－1與f(x)有交點(diǎn)，必然相交于第二像限．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－x，,y＝ax－1，))即ax－1＝x2－x，變形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，則有a≤－3，綜上可得，a的取值范圍為(－∞，－3]∪(0，＋∞)．【說明】函數(shù)圖像的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖像的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問題．求解兩個(gè)函數(shù)圖像在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，可以先畫出已知函數(shù)完整的圖像，再觀察；題型10、與函數(shù)圖像相關(guān)的新穎題例10、若直角坐標(biāo)系內(nèi)A，B兩點(diǎn)滿足：（1）點(diǎn)A，B都在f(x)圖像上；（2）點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)(A，B)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“和諧點(diǎn)對(duì)”，(A，B)與(B，A)可看作一個(gè)“和諧點(diǎn)對(duì)”；已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x(x<0)，,\f(2,ex)(x≥0)，))則f(x)的“和諧點(diǎn)對(duì)”有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】作出函數(shù)y＝x2＋2x(x<0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像(如圖中的虛線部分)，看它與函數(shù)例11、設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0可化為eq\f(f(x),x)<0，即xf(x)<0，f(x)的大致圖像如圖所示，所以原不等式的解集為(－1,0)∪(0,1)．例12、給定min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b,b，b＜a))，已知函數(shù)f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若動(dòng)直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．【答案】(4，5)；【解析】設(shè)g(x)＝min{x，x2－4x＋4}，則f(x)＝g(x)＋4，故把g(x)的圖像向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，可得f(x)的圖像，函數(shù)f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的圖像如圖所示，由于直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍為(4,5)．題型10、與函數(shù)圖像相關(guān)的綜合題例13、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x≤0，,2－x，x>0，))若存在x1，x2，x3(x1<x2<x3)，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，則f(x1＋x2＋x3)的取值范圍是()A．(0,1] B．[0,1]C．(－∞，1] D．(－∞，1)【答案】B【解析】作出f(x)的大致圖像如圖，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，自左向右依次排列，由圖可知，x1，x2關(guān)于直線x＝－1軸對(duì)稱，即x1＋x2＝－2，又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2.由圖像知，當(dāng)x>－2時(shí)，f(x)∈[0,1]，∴f(x1＋x2＋x3)∈[0,1]．例14、已知函數(shù)f(x)＝|3－2x－x2|的圖像和直線2x＋ay＋7＝0有三個(gè)交點(diǎn)，則a＝________.【答案】－1【解析】畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖所示.因?yàn)橹本€2x＋ay＋7＝0過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，0))，所以當(dāng)直線2x＋ay＋7＝0與f(x)＝3－2x－x2(－3＜x＜1)的圖像相切時(shí)，符合題意.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3－2x－x2，,2x＋ay＋7＝0，))得ax2＋2(a－1)x－(3a＋7)＝0，由Δ＝4(a－1)2＋4a(3a＋7)＝4(4a＋1)(a＋1)＝0，得a＝－1或a＝－eq\f(1,4).當(dāng)a＝－1時(shí)，方程－x2－4x－4＝0的解為x＝－2，滿足條件－3＜x＜1；當(dāng)a＝－eq\f(1,4)時(shí)，方程－eq\f(1,4)x2－eq\f(5,2)x－eq\f(25,4)＝0的解為x＝－5，不滿足條件－3＜x＜1.所以a＝－1.例15、已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,－x2＋2x，x≥0))是定義在R上的奇函數(shù)．（1）請(qǐng)畫出f(x)的大致圖像并在圖像上標(biāo)注零點(diǎn)；（2）已知a>1，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）根據(jù)題意，列表如下，x－2－1012f(x)0－1010f(x)的大致圖像如圖所示，其中有A，O，B三個(gè)零點(diǎn)，（2）由（1）的函數(shù)圖像可知，要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，則－1<a－2≤1，即1<a≤3，故a的取值范圍為1<a≤3.（3）φ(x)＝f(x)－ex的零點(diǎn)即為f(x)與y＝ex圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又y＝ex在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)?0，＋∞)，結(jié)合(1)的圖像，易知f(x)與y＝ex的圖像在(－∞，0)有一個(gè)交點(diǎn)，即φ(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；例16、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,\f(1－x,x)，x>0.))（1）畫出函數(shù)f(x)的圖像；（2）當(dāng)f(x)≥2時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【解析】（1）由題得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,\f(1,x)－1，x>0，))其圖像如圖所示，（2）由題可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,\f(1－x,x)≥2，))解得x≤－eq\r(2)或0<x≤eq\f(1,3)，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－eq\r(2)]∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).【說明】1、確定函數(shù)圖像的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特殊點(diǎn)排除不符合要求的圖像；2、函數(shù)圖像的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖像的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問題；一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、已知函數(shù)y＝f(－x)的圖像過點(diǎn)(4，2)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像一定過點(diǎn)________．【答案】(－4，2)【解析】y＝f(－x)與y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故y＝f(x)的圖像一定過點(diǎn)(－4，2)；2、若函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－2,x－1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a＝________.【答案】1【解析】f(x)＝eq\f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq\f(a－2,x－1)，關(guān)于點(diǎn)(1，a)對(duì)稱，故a＝1；3、已知函數(shù)f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，則b的取值范圍是【答案】(1，eq\r(2)) ；【解析】作出函數(shù)f(x)＝|x2－1|在區(qū)間(0，＋∞)上的圖像如圖所示，作出直線y＝1，交f(x)的圖像于B點(diǎn)，由x2－1＝1可得xB＝eq\r(2)，結(jié)合函數(shù)圖像可得b的取值范圍是(1，eq\r(2))；4、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,－\f(3,x)，x>0.))若關(guān)于x的方程f(x)＋ax－a＝0有2個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且x1x2<0，則a的取值范圍是【答案】(0，2]；【解析】關(guān)于x的方程f(x)＋ax－a＝0有2個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于直線y＝－a(x－1)與f(x)的圖像有2個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出f(x)的圖像，由圖可知－2≤－a<0，即0<a≤2；5、如圖，已知函數(shù)f(x)的圖像為折線ACB(含端點(diǎn)A，B)，其中A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，則不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是________．【答案】[－4，2)；【解析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)和y＝log2(x＋2)的圖像，易知當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)＝log2(x＋2)＝2，∴不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是[－4,2)．答案：[－4,2)6、設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＋a的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且f(3)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝4，則實(shí)數(shù)a＝________.【答案】－2【解析】設(shè)(x，y)是y＝f(x)圖像上任意一點(diǎn)，則(y，x)在函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＋a的圖像上．所以x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))y＋a，則.因此.由f(3)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝4，得－1＋1－2a＝4，所以a＝－2.7、函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,x)的圖像與直線y＝kx＋1交于不同的兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＋y2＝________.【答案】2【解析】因?yàn)閒(x)＝eq\f(x＋1,x)＝eq\f(1,x)＋1，所以f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，而直線y＝kx＋1過(0,1)點(diǎn)，故兩圖像的交點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，所以eq\f(y1＋y2,2)＝1，即y1＋y2＝2.8、設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是【答案】(－∞，0)【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2－x是減函數(shù)，則f(x)≥f(0)＝1；作出f(x)的大致圖像如圖所示，結(jié)合圖像可知，要使f(x＋1)<f(2x)，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))所以x<0，；9、若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是【答案】[－1，0]∪[1，3]【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖像如圖(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x＞0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].10、已知函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m的零點(diǎn)有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】{－1}∪(0，＋∞)【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝x2－2|x|的圖像和直線y＝m，可知當(dāng)m>0或m＝－1時(shí)，直線y＝m與函數(shù)y＝x2－2|x|的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m有兩個(gè)零點(diǎn)．二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、函數(shù)y＝eq\f(4x,x2＋1)的圖像大致為()ABCD【答案】A；【解析】因?yàn)閒(－x)＝eq\f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，排除C，D；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(4,1＋1)＝2＞0，排除B．故選A；12、設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(4x2,3|x|)，則函數(shù)f(x)的圖像大致為()【答案】A【解析】觀察函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)，x是以平方、絕對(duì)值的形式出現(xiàn)的，所以f(x)為偶函數(shù)，排除B；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\f(4x2,3x)，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→0，排除C.因?yàn)閒(2)＝eq\f(4×22,32)＝eq\f(16,9)<2，選項(xiàng)D中f(2)>2，所以D不符合題意．13、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)．若對(duì)任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，則m的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(8,3)))【答案】B；【解析】∵f(x＋1)＝2f(x)，∴f(x)＝2f(x－1)．∵x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))；∴x∈(1,2]時(shí)，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))；∴x∈(2,3]時(shí)，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1,0]，如圖：當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，由4(x－2)(x－3)＝－eq\f(8,9)，解得x1＝eq\f(7,3)，x2＝eq\f(8,3)，若對(duì)任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，則m≤eq\f(7,3).則m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3))).故選B．]14、已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－2)2，0<x≤4，,\f(1,2)f(x－4)，x>4，))則方程f(x)＝1的解的個(gè)數(shù)為()A．4B．6C．8D．10【答案】D【解析】由題意知，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－2)2，0<x≤4，,\f(1,2)f(x－4)，x>4，))作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖所示，又由方程f(x)＝1的解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可知，當(dāng)x>0時(shí)，結(jié)合圖像，函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖像有5個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖像也有5個(gè)交點(diǎn)，綜上可得，函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖像有10個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝1的解的個(gè)數(shù)為10.三、解答題（共4小題，滿分44分）15.（本題8分）如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖像由曲線段OA和直線段AB構(gòu)成．（1）寫出函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)解析式；（2）提出一個(gè)能滿足函數(shù)y＝f(x)的圖像變化規(guī)律的實(shí)際問題．【解析】（1）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，曲線段OA類似指數(shù)函數(shù)y＝2x，由O(0,0)，A(2,3)可知f(x)＝2x－1，當(dāng)2<x≤5時(shí)，設(shè)直線段AB的解析式為y＝ax＋b，將A(2,3)，B(5,0)代入直線段AB的解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2a＋b，,0＝5a＋b，))解得eq\b\lc\