第16講 成比例線段-2024年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義(北師大版 學(xué)習(xí)新知)_第1頁
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第16講成比例線段模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1.知道線段的比的概念,會(huì)計(jì)算兩條線段的比;2.理解成比例線段的概念,并掌握成比例線段的判定方法;3.理解并掌握比例的基本性質(zhì)和等比性質(zhì);4.能運(yùn)用比例的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算,能通過比例變形解決一些實(shí)際問題。知識(shí)點(diǎn)一線段的比線段的比:求線段的比時(shí),首先要檢查單位是否一致,不一致的應(yīng)先統(tǒng)一單位,再求比.知識(shí)點(diǎn)二成比例線段1.成比例線段概念:對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等,如a:b=c:d,我們就說這四條線段是成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.2.判斷四條線段是否成比例的方法:(1)把四條線段按從小到大順序排好,計(jì)算前兩條線段的比和后兩條線段的比,看是否相等做出判斷;(2)把四條線段按從小到大順序排好,計(jì)算前后兩個(gè)數(shù)的積與中間兩個(gè)數(shù)的積,看是否相等作出判斷.知識(shí)點(diǎn)三比例的性質(zhì)(1)基本性質(zhì):若a:b=c:d,則ad=bc;(2)合比性質(zhì):如果如果(3)等比性質(zhì):如果(4)比例中項(xiàng):若a:b=b:c,則=ac,b稱為a、c的比例中項(xiàng).要點(diǎn):通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致,但有時(shí)為了計(jì)算方便,a,b的單位一致,c,d的單位一致也可以??键c(diǎn)一:求線段的比例1.(23-24九年級(jí)上·安徽六安·期中)若線段,,則(

)A. B.5 C. D.2【答案】B【分析】本題考查的是線段比例問題,解題的關(guān)鍵是要統(tǒng)一單位再代入求值.【詳解】解:,,故選:B.【變式1-1】(23-24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí))若線段,,則(

)A.2 B. C. D.50【答案】C【分析】先把轉(zhuǎn)化為,然后根據(jù)線段的比的意義,把,直接代入,即可求出的值.【詳解】解:∵,,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的比的意義:在同一單位下,兩條線段長(zhǎng)度的比,叫做這兩條線段的比.注意線段的比是一個(gè)沒有單位的正數(shù).【變式1-2】(22-23九年級(jí)上·廣西賀州·期末)如果線段,那么的值為()A. B. C. D.2【答案】B【分析】根據(jù)線段的比的定義,按照題中條件直接求解即可得到結(jié)論.【詳解】解:∵,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線段的比,熟記線段的比的定義是解決問題的關(guān)鍵.【變式1-3】(23-24九年級(jí)上·安徽六安·期中)如果線段,,那么的值為.【答案】8【分析】單位統(tǒng)一后根據(jù)比的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵線段,,∴,答案為:8【點(diǎn)睛】此題考查了比,熟練掌握比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二:由比例尺求距離例2.(2023九年級(jí)上·廣東茂名·競(jìng)賽)在比例尺為的地圖上量得A、B兩地相距,則A、B兩地的實(shí)際距離是.【答案】【分析】本題主要考查了比例尺的應(yīng)用,根據(jù)比例尺圖上距離實(shí)際距離進(jìn)行求解即可.【詳解】解:,∴A、B兩地的實(shí)際距離是,故答案為:.【變式2-1】(23-24九年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí))已知,在一張比例尺為的地圖上,測(cè)得、兩地的距離為4厘米,則、兩地的實(shí)際距離為.【答案】/20千米【分析】本題考查了比例線段,能夠根據(jù)比例尺的定義正確地列出比例式是解題的關(guān)鍵,注意單位之間的轉(zhuǎn)換.根據(jù)比例尺圖上距離:實(shí)際距離,列比例式即可求得實(shí)際距離.【詳解】解:設(shè)、兩地間的實(shí)際距離為,由題意,得:,解得.,即、兩地的實(shí)際距離為.故答案為:.【變式2-2】(23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末)在比例尺為的揚(yáng)州旅游地圖上,某條道路的長(zhǎng)為,則這條道路實(shí)際長(zhǎng).【答案】【分析】本題考查了成比例線段,設(shè)這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為,則:,解方程,最后統(tǒng)一單位,即可求解.【詳解】解:設(shè)這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為,則:.解得,這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為.故答案為:.【變式2-3】(23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí))在此例尺為的地圖上,如果A,B兩地的距離是10厘米,那么這兩地的實(shí)際距離是千米.【答案】5【分析】此題主要考查圖上距離、際距離和比例尺之間的關(guān)系,解答時(shí)要注意單位的換算.根據(jù)比例尺的含義求解即可.【詳解】解∶∵比例尺為,,兩地的距離是10厘米,設(shè),兩地的實(shí)際距離為,∴,∴,故答案為:5考點(diǎn)三:判斷四邊是否成比例線段例3.(2024九年級(jí)下·全國·專題練習(xí))下列各組中的四條線段成比例的是()A. B.C. D.【答案】C【分析】此題考查了成比例線段,若,則a,b,c,d成比例,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷即可.【詳解】解:A、,故此選項(xiàng)中四條線段不成比例,不符合題意;B、,故此選項(xiàng)中四條線段不成比例,不符合題意;C、,故此選項(xiàng)中四條線段成比例,符合題意;D、,故此選項(xiàng)中四條線段不成比例,不符合題意,故選:C.【變式3-1】(23-24九年級(jí)上·海南海口·階段練習(xí))下面四條線段成比例的是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】本題考查比例線段,理解成比例線段的概念,判斷四條線段是否成比例,必須將所給線段按照一定的順序重排,通常按照從小到大即可,在線段兩兩相乘的時(shí)候,要讓最小的和最大的相乘,中間兩條相乘,看它們的積是否相等即可確定.【詳解】解:A、按照從小到大排列:,,,,則,故本選項(xiàng)符合題意;B、按照從小到大排列:,則,故本選項(xiàng)不符合題意;C、按照從小到大排列:,則,故本選項(xiàng)不符合題意;D、按照從小到大排列:,則,故本選項(xiàng)不符合題意;故選:A.【變式3-2】下列四組線段中,不是成比例線段的是()A. B.C. D.【答案】C【分析】本題考查了成立比例的線段,在四條線段中,如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)分析即可.【詳解】解:A.∵,故選項(xiàng)A中的線段成比例;B.∵,故選項(xiàng)B中的線段成比例;C.∵,故選項(xiàng)C中的線段不成比例;D.∵,故選項(xiàng)D中的線段成比例;故選:C.【變式3-3】(22-23九年級(jí)下·甘肅張掖·階段練習(xí))下列長(zhǎng)度的四條線段中,不能成比例的是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】本題考查了成比例線段,根據(jù)成比例的線段的定義逐一判斷即可求解,熟記:“在四條線段中,如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段”是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:A、,則四條線段能成比例,故不符合題意;B、,則四條線段能成比例,故不符合題意;C、,則四條線段不能成比例,故符合題意;D、,則四條線段能成比例,故不符合題意.故選:C.考點(diǎn)四:已知成比例線段求其中一邊長(zhǎng)例4.(23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末)已知線段,,如果線段是線段的比例中項(xiàng),那么線段等于.【答案】4【分析】本題主要考查了成比例線段,根據(jù)成比例線段的定義得到,據(jù)此可得答案.【詳解】解:∵線段是線段的比例中項(xiàng),線段,,∴,∴或(舍去),故答案為:4.【變式4-1】(23-24九年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí))線段、、、是成比例線段,,,,則的長(zhǎng)為.【答案】9【分析】本題考查線段成比例的問題,解方程等知識(shí)點(diǎn),根據(jù)線段成比例,可以列出方程,代入數(shù)值求解即可,根據(jù)線段成比例的性質(zhì),列方程求解即可.【詳解】∵線段成比例線段,∴,∵,∴解得.故答案為:9.【變式4-2】(23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·階段練習(xí))四條線段,,,成比例,其中,,,則線段的長(zhǎng)為.【答案】【分析】本題考查了比例線段的定義.由四條線段a、b、c、d成比例,根據(jù)比例線段的定義,即可求解.【詳解】解:∵四條線段,,,成比例,,,,∴解得:故答案為:.【變式4-3】(23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí))已知線段a、b、c,其中c是a、b的比例中項(xiàng),若,,則線段.【答案】6【分析】本題主要考查線段的比例中項(xiàng)定義,根據(jù)比例中項(xiàng)的定義,列出方程,代值計(jì)算即可.【詳解】解;∵c是a、b的比例中項(xiàng),∴,∵,,∴,∴(負(fù)值舍去),故答案為:6.考點(diǎn)五:利用比例的性質(zhì)進(jìn)行求解例5.(23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·期中)若,a,c不為零則下列等式中不一定成立的是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題主要考查比例性質(zhì)的變形,根據(jù)比例的性質(zhì),對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行整理,找到不一定成立的選項(xiàng)即可【詳解】解:A.∵,∴,正確,不符合題意;B.∵,∴,∴,正確,不符合題意;C.∵,∴,∴,∴,∴,正確,不符合題意;D.當(dāng)時(shí),原式不成立,故選項(xiàng)D符合題意,故選:D【變式5-1】(23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末)如果,那么下列各式中不成立的是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)比例式的性質(zhì)得出的關(guān)系,分別代入四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案,也可用特殊值法求出;此題主要考查了比例式的性質(zhì),利用特殊值法進(jìn)行排除更為簡(jiǎn)單,也是數(shù)學(xué)中的重要思想.【詳解】解:設(shè)A、,該選項(xiàng)成立;B、,該選項(xiàng)成立;C、,該選項(xiàng)成立;D、,該選項(xiàng)不成立;故選:D.【變式5-2】(2024·寧夏銀川·一模)已知,則的值是.【答案】【分析】本題考查比例的性質(zhì),設(shè),代入原式即可得出答案.【詳解】解:設(shè),,則原式.故答案為:.【變式5-3】(22-23八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中)已知,則.【答案】4【分析】本題考查了利用等比性質(zhì)和等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求分式的值,明確等比性質(zhì)和等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.設(shè),利用等比性質(zhì)和等式的性質(zhì)化簡(jiǎn),可得,,再代入要求得式子計(jì)算即可.【詳解】解:設(shè),則,,,∴,故答案為:4.考點(diǎn)六:利用比例中的等比性質(zhì)進(jìn)行求解例6.(23-24九年級(jí)上·貴州六盤水·階段練習(xí))已知,且.(1)的值為______;(2)若,求的值.【答案】(1)(2)8【分析】此題考查了比例的性質(zhì),熟練掌握比例的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)等比性質(zhì)求解即可;(2)根據(jù)給出的條件得出,,,再代入,然后進(jìn)行整理即可得出答案.【詳解】(1)解:∵,∴,故答案為:;(2)∵,且,∴,,,∵,則,∴的值為8.【變式6-1】(23-24九年級(jí)上·寧夏銀川·期中)求值:(1)已知,求;(2)已知,且,求的值.【答案】(1)(2)-1【分析】本題考查比例的性質(zhì),熟練掌握比例的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.(1)先由,可設(shè),進(jìn)而代入待求式中計(jì)算即可;(2)先由,且,得,再代入所求的式子中計(jì)算即可.【詳解】(1)解:∵,∴設(shè),∴;(2)解:∵,且,∴,∴.【變式6-2】(22-23九年級(jí)上·寧夏銀川·期中)求值:(1)已知,求的值;(2)已知,若,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)先根據(jù)已知條件得到,然后把代入所求式子中進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)比例的性質(zhì)得到,再把代入求解即可.【詳解】(1)解:∵,∴,∴;(2)解:∵,∴,∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì),熟知比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,一般地,若有,則.【變式6-3】(22-23九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí))我們知道:選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段,的長(zhǎng)度分別是,,那么就說兩條線段的比,如果把表示成比值,那么或.請(qǐng)完成以下問題:(1)四條線段,,,中,如果,那么這四條線段,,,叫做成比例線段.(2)已知,那么成立嗎?請(qǐng)說明理由.(3)如果,求的值.【答案】(1)(2)如果,那么成立,詳見解析(3)或【分析】(1)根據(jù)成比例線段的定義即四條線段,,,中,如果,那么這四條線段,,,叫做成比例線段,解答即可.(2)根據(jù)等式的性質(zhì),或設(shè)比值k的方法求解即可.(3)分和兩種情況求解.【詳解】(1)根據(jù)題意,得四條線段,,,中,如果,那么這四條線段,,,叫做成比例線段.故答案為:.(2)解法1:如果,那么成立.理由:,,∴,.解法2:如果,那么成立.理由:,,即,.(3)①當(dāng)時(shí),,,,為其中任何一個(gè)比值,即;②時(shí),.所以或.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì),等比的性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用解題是解題的關(guān)鍵.一、單選題1.(24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·期末)已知,則的值為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了比例的性質(zhì),利用內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積進(jìn)行判斷即可,熟練掌握比例的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.【詳解】解:,,,故選:D.2.(23-24九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí))在一幅比例尺為的地圖上,量得某段高速公路長(zhǎng)5.5厘米,則這段高速公路的實(shí)際長(zhǎng)度是(

)A.55米 B.550米 C.5500米 D.55千米【答案】D【分析】本題主要考查了比例線段,、比例尺的定義等知識(shí)點(diǎn),根據(jù)比例尺的定義列出算式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)比例尺的定義列式計(jì)算,然后再把單位換算為千米即可.【詳解】解:這段高速公路的實(shí)際長(zhǎng)度是.故大橋的實(shí)際長(zhǎng)度是55千米.故選:D.3.(23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末)下列各組數(shù)中,不成比例的是(

)A. B.1,2,3,4 C. D.【答案】B【分析】本題考查了比例線段:對(duì)于四條線段、、、,如果其中兩條線段的比(即它們的長(zhǎng)度比)與另兩條線段的比相等,如

(即,我們就說這四條線段是成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段,由此逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解:A.,成比例,故不符合題意;B.,不成比例,故符合題意;C.,成比例,故不符合題意;D.,成比例,故不符合題意.故選:B.4.(23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末)若,且,則的值為(

)A.10 B.4 C. D.【答案】B【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì),根據(jù)題意得到,,,再代入,即可求解.【詳解】解:,,,,又,,,故選:B.5.(23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末)已知,則(

)A.1 B. C.1或 D.2【答案】C【分析】本題考查了比例的性質(zhì),熟悉等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)時(shí),根據(jù)等比性質(zhì)計(jì)算得出結(jié)果;②當(dāng)時(shí),則,代入計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】解:分兩種情況:①當(dāng)時(shí),得;②當(dāng)時(shí),則,;綜上所述,k的值為1或.故選:C.二、填空題6.(2024·浙江·三模)已知?jiǎng)t代數(shù)式的值為.【答案】【分析】本題考查比例的性質(zhì),先由題意得到,然后代入代數(shù)式化簡(jiǎn)解題即可.【詳解】解:∵∴,∴,故答案為:.7.(23-24九年級(jí)上·山東青島·期末)已知,則的值是.【答案】/0.8【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì),利用“設(shè)法”表示出、、是解題的關(guān)鍵.設(shè)比值為,然后用表示出、、,再把、、的值代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【詳解】解:設(shè),則有,,,∴.故答案為:.8.(23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí))若,則.【答案】或2【分析】本題考查的是比例的基本性質(zhì),分兩種情況討論:當(dāng),當(dāng),再進(jìn)行計(jì)算即可.掌握“比例的等比性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵.【詳解】解:若,則,,,即:則,此時(shí),,若,則,∴或2.故答案為:或2.9.(23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·階段練習(xí))已知,且,若,則.【答案】【分析】本題考查了比例的性質(zhì),代數(shù)式求值,由可得,,,再根據(jù)可得,即可求解,掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵,∴,,,∵,∴,∴,∴,故答案為:.10.(23-24九年級(jí)上·四川成都·期中)已知a,b,c為非零實(shí)數(shù),且滿足,則一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過象限.【答案】第一、第四【分析】本題考查了比例的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.直線所在的位置與、的符號(hào)有直接的關(guān)系.時(shí),直線必經(jīng)過一、三象限;時(shí),直線必經(jīng)過二、四象限;時(shí),直線與軸正半軸相交;時(shí),直線過原點(diǎn);時(shí),直線與軸負(fù)半軸相交.根據(jù)比例的性質(zhì)求得值,然后根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】解:由得:,①,②,③由①②③,得,(1)當(dāng)時(shí),;一次函數(shù)的解析式是:,該函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限;(2)當(dāng)時(shí),,④將④代入②,得;又,,,一次函數(shù)的解析式是:,該函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限;綜上所述,一次函數(shù)一定經(jīng)過的象限是第一、四象限.故答案為:第一、第四.三、解答題11.(23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末)已知,求下列各式的值.(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】本題考查了比例的性質(zhì),熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,即可解答;(2)利用(1)的結(jié)論,以及設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算,即可解答.【詳解】(1)解:∵,∴;(2)∵;∴設(shè),∴.12.(23-24九年級(jí)上·上?!て谥校┮阎€段、、滿足,且,求線段、、的長(zhǎng).【答案】【分析】此題主要

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