第16講 成比例線段-2024年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義（北師大版 學(xué)習(xí)新知）

第16講成比例線段模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．知道線段的比的概念，會(huì)計(jì)算兩條線段的比；2．理解成比例線段的概念，并掌握成比例線段的判定方法；3.理解并掌握比例的基本性質(zhì)和等比性質(zhì)；4．能運(yùn)用比例的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，能通過比例變形解決一些實(shí)際問題。知識(shí)點(diǎn)一線段的比線段的比：求線段的比時(shí)，首先要檢查單位是否一致，不一致的應(yīng)先統(tǒng)一單位，再求比.知識(shí)點(diǎn)二成比例線段1.成比例線段概念：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．2.判斷四條線段是否成比例的方法：（1）把四條線段按從小到大順序排好，計(jì)算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相等做出判斷；（2）把四條線段按從小到大順序排好，計(jì)算前后兩個(gè)數(shù)的積與中間兩個(gè)數(shù)的積，看是否相等作出判斷.知識(shí)點(diǎn)三比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：若a:b=c:d，則ad=bc；（2）合比性質(zhì)：如果如果（3）等比性質(zhì)：如果（4）比例中項(xiàng)：若a:b=b:c，則=ac，b稱為a、c的比例中項(xiàng)．要點(diǎn)：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以?？键c(diǎn)一：求線段的比例1．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期中）若線段，，則（

）A． B．5 C． D．2【答案】B【分析】本題考查的是線段比例問題，解題的關(guān)鍵是要統(tǒng)一單位再代入求值．【詳解】解：，，故選：B．【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）若線段，，則（

）A．2 B． C． D．50【答案】C【分析】先把轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)線段的比的意義，把，直接代入，即可求出的值．【詳解】解：∵，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的比的意義：在同一單位下，兩條線段長(zhǎng)度的比，叫做這兩條線段的比．注意線段的比是一個(gè)沒有單位的正數(shù)．【變式1-2】（22-23九年級(jí)上·廣西賀州·期末）如果線段，那么的值為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)線段的比的定義，按照題中條件直接求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段的比，熟記線段的比的定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期中）如果線段，，那么的值為．【答案】8【分析】單位統(tǒng)一后根據(jù)比的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵線段，，∴，答案為：8【點(diǎn)睛】此題考查了比，熟練掌握比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：由比例尺求距離例2.（2023九年級(jí)上·廣東茂名·競(jìng)賽）在比例尺為的地圖上量得A、B兩地相距，則A、B兩地的實(shí)際距離是．【答案】【分析】本題主要考查了比例尺的應(yīng)用，根據(jù)比例尺圖上距離實(shí)際距離進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，∴A、B兩地的實(shí)際距離是，故答案為：．【變式2-1】（23-24九年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）已知，在一張比例尺為的地圖上，測(cè)得、兩地的距離為4厘米，則、兩地的實(shí)際距離為．【答案】/20千米【分析】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺的定義正確地列出比例式是解題的關(guān)鍵，注意單位之間的轉(zhuǎn)換．根據(jù)比例尺圖上距離：實(shí)際距離，列比例式即可求得實(shí)際距離．【詳解】解：設(shè)、兩地間的實(shí)際距離為，由題意，得：，解得．，即、兩地的實(shí)際距離為．故答案為：．【變式2-2】（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）在比例尺為的揚(yáng)州旅游地圖上，某條道路的長(zhǎng)為，則這條道路實(shí)際長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了成比例線段，設(shè)這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為，則：，解方程，最后統(tǒng)一單位，即可求解．【詳解】解：設(shè)這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為，則：．解得，這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為．故答案為：．【變式2-3】（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在此例尺為的地圖上，如果A，B兩地的距離是10厘米，那么這兩地的實(shí)際距離是千米．【答案】5【分析】此題主要考查圖上距離、際距離和比例尺之間的關(guān)系，解答時(shí)要注意單位的換算．根據(jù)比例尺的含義求解即可．【詳解】解∶∵比例尺為，，兩地的距離是10厘米，設(shè)，兩地的實(shí)際距離為，∴，∴，故答案為：5考點(diǎn)三：判斷四邊是否成比例線段例3.（2024九年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）下列各組中的四條線段成比例的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了成比例線段，若，則a，b，c，d成比例，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意；B、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意；C、，故此選項(xiàng)中四條線段成比例，符合題意；D、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意，故選：C．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·海南海口·階段練習(xí)）下面四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查比例線段，理解成比例線段的概念，判斷四條線段是否成比例，必須將所給線段按照一定的順序重排，通常按照從小到大即可，在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，中間兩條相乘，看它們的積是否相等即可確定．【詳解】解：A、按照從小到大排列：，，，，則，故本選項(xiàng)符合題意；B、按照從小到大排列：，則，故本選項(xiàng)不符合題意；C、按照從小到大排列：，則，故本選項(xiàng)不符合題意；D、按照從小到大排列：，則，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【變式3-2】下列四組線段中，不是成比例線段的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了成立比例的線段，在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)分析即可.【詳解】解：A.∵，故選項(xiàng)A中的線段成比例；B.∵，故選項(xiàng)B中的線段成比例；C.∵，故選項(xiàng)C中的線段不成比例；D.∵，故選項(xiàng)D中的線段成比例；故選：C．【變式3-3】（22-23九年級(jí)下·甘肅張掖·階段練習(xí)）下列長(zhǎng)度的四條線段中，不能成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了成比例線段，根據(jù)成比例的線段的定義逐一判斷即可求解，熟記：“在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，則四條線段能成比例，故不符合題意；B、，則四條線段能成比例，故不符合題意；C、，則四條線段不能成比例，故符合題意；D、，則四條線段能成比例，故不符合題意．故選：C．考點(diǎn)四：已知成比例線段求其中一邊長(zhǎng)例4.（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）已知線段，，如果線段是線段的比例中項(xiàng)，那么線段等于．【答案】4【分析】本題主要考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵線段是線段的比例中項(xiàng)，線段，，∴，∴或（舍去），故答案為：4．【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）線段、、、是成比例線段，，，，則的長(zhǎng)為．【答案】9【分析】本題考查線段成比例的問題,解方程等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)線段成比例，可以列出方程，代入數(shù)值求解即可，根據(jù)線段成比例的性質(zhì)，列方程求解即可．【詳解】∵線段成比例線段，∴，∵，∴解得．故答案為：9．【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·階段練習(xí)）四條線段，，，成比例，其中，，，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了比例線段的定義．由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可求解．【詳解】解：∵四條線段，，，成比例，，，，∴解得：故答案為：．【變式4-3】（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項(xiàng)，若，，則線段．【答案】6【分析】本題主要考查線段的比例中項(xiàng)定義，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出方程，代值計(jì)算即可．【詳解】解；∵c是a、b的比例中項(xiàng)，∴，∵，，∴，∴（負(fù)值舍去），故答案為：6．考點(diǎn)五：利用比例的性質(zhì)進(jìn)行求解例5.（23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·期中）若，a，c不為零則下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查比例性質(zhì)的變形，根據(jù)比例的性質(zhì)，對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行整理，找到不一定成立的選項(xiàng)即可【詳解】解：A.∵，∴，正確，不符合題意；B.∵，∴，∴，正確，不符合題意；C.∵，∴，∴，∴，∴，正確，不符合題意；D.當(dāng)時(shí)，原式不成立，故選項(xiàng)D符合題意，故選：D【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例式的性質(zhì)得出的關(guān)系，分別代入四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案，也可用特殊值法求出；此題主要考查了比例式的性質(zhì)，利用特殊值法進(jìn)行排除更為簡(jiǎn)單，也是數(shù)學(xué)中的重要思想．【詳解】解：設(shè)A、，該選項(xiàng)成立；B、，該選項(xiàng)成立；C、，該選項(xiàng)成立；D、，該選項(xiàng)不成立；故選：D．【變式5-2】（2024·寧夏銀川·一模）已知，則的值是．【答案】【分析】本題考查比例的性質(zhì)，設(shè)，代入原式即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，，則原式．故答案為：．【變式5-3】（22-23八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）已知，則．【答案】4【分析】本題考查了利用等比性質(zhì)和等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求分式的值，明確等比性質(zhì)和等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，利用等比性質(zhì)和等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，可得，，再代入要求得式子計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，∴，故答案為：4．考點(diǎn)六：利用比例中的等比性質(zhì)進(jìn)行求解例6.（23-24九年級(jí)上·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知，且．(1)的值為______；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)8【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等比性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)給出的條件得出，，，再代入，然后進(jìn)行整理即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：；（2）∵，且，∴，，，∵，則，∴的值為8．【變式6-1】（23-24九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）求值：(1)已知，求；(2)已知，且，求的值．【答案】(1)(2)-1【分析】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．（1）先由，可設(shè)，進(jìn)而代入待求式中計(jì)算即可；（2）先由，且，得，再代入所求的式子中計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴設(shè)，∴；（2）解：∵，且，∴,∴．【變式6-2】（22-23九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）求值：(1)已知，求的值；(2)已知，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)已知條件得到，然后把代入所求式子中進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得到，再把代入求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟知比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，一般地，若有，則．【變式6-3】（22-23九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）我們知道：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段，的長(zhǎng)度分別是，，那么就說兩條線段的比，如果把表示成比值，那么或．請(qǐng)完成以下問題：(1)四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．(2)已知，那么成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)如果，那么成立，詳見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)成比例線段的定義即四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段，解答即可．（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，或設(shè)比值k的方法求解即可．（3）分和兩種情況求解．【詳解】（1）根據(jù)題意，得四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．故答案為：．（2）解法1：如果，那么成立．理由：，，∴，．解法2：如果，那么成立．理由：，，即，．（3）①當(dāng)時(shí)，，，，為其中任何一個(gè)比值，即；②時(shí)，．所以或．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，等比的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用解題是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，利用內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積進(jìn)行判斷即可，熟練掌握比例的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）在一幅比例尺為的地圖上，量得某段高速公路長(zhǎng)5.5厘米，則這段高速公路的實(shí)際長(zhǎng)度是（

）A．55米 B．550米 C．5500米 D．55千米【答案】D【分析】本題主要考查了比例線段，、比例尺的定義等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)比例尺的定義列出算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例尺的定義列式計(jì)算，然后再把單位換算為千米即可．【詳解】解：這段高速公路的實(shí)際長(zhǎng)度是．故大橋的實(shí)際長(zhǎng)度是55千米．故選：D．3．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）下列各組數(shù)中，不成比例的是（

）A． B．1，2，3，4 C． D．【答案】B【分析】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段、、、，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如

（即，我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段，由此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.，成比例，故不符合題意；B.，不成比例，故符合題意；C.，成比例，故不符合題意；D.，成比例，故不符合題意．故選：B．4．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）若，且，則的值為（

）A．10 B．4 C． D．【答案】B【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，根據(jù)題意得到，，，再代入，即可求解．【詳解】解：，，，，又，，，故選：B．5．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）已知，則（

）A．1 B． C．1或 D．2【答案】C【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟悉等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)等比性質(zhì)計(jì)算得出結(jié)果；②當(dāng)時(shí)，則，代入計(jì)算得出結(jié)果．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，得；②當(dāng)時(shí)，則，；綜上所述，k的值為1或．故選：C．二、填空題6．（2024·浙江·三模）已知?jiǎng)t代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題考查比例的性質(zhì)，先由題意得到，然后代入代數(shù)式化簡(jiǎn)解題即可．【詳解】解：∵∴，∴，故答案為：．7．（23-24九年級(jí)上·山東青島·期末）已知，則的值是．【答案】/0.8【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)法”表示出、、是解題的關(guān)鍵．設(shè)比值為，然后用表示出、、，再把、、的值代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，則有，，，∴．故答案為：．8．（23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）若，則．【答案】或2【分析】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，分兩種情況討論：當(dāng)，當(dāng)，再進(jìn)行計(jì)算即可．掌握“比例的等比性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：若，則，，，即：則，此時(shí)，，若，則，∴或2．故答案為：或2．9．（23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知，且，若，則．【答案】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，代數(shù)式求值，由可得，，，再根據(jù)可得，即可求解，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．10．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期中）已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且滿足，則一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過象限．【答案】第一、第四【分析】本題考查了比例的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．直線所在的位置與、的符號(hào)有直接的關(guān)系．時(shí)，直線必經(jīng)過一、三象限；時(shí)，直線必經(jīng)過二、四象限；時(shí)，直線與軸正半軸相交；時(shí)，直線過原點(diǎn)；時(shí)，直線與軸負(fù)半軸相交．根據(jù)比例的性質(zhì)求得值，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】解：由得：，①，②，③由①②③，得，（1）當(dāng)時(shí)，；一次函數(shù)的解析式是：，該函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限；（2）當(dāng)時(shí)，，④將④代入②，得；又，，，一次函數(shù)的解析式是：，該函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限；綜上所述，一次函數(shù)一定經(jīng)過的象限是第一、四象限．故答案為：第一、第四．三、解答題11．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論，以及設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）∵；∴設(shè)，∴．12．（23-24九年級(jí)上·上?！て谥校┮阎€段、、滿足，且，求線段、、的長(zhǎng)．【答案】【分析】此題主要