決勝2021高考數(shù)學(xué)中高檔題分項(xiàng)演練03 三角函數(shù)與解三角形【解析版】

決勝2021高考數(shù)學(xué)中高檔題分項(xiàng)演練

專題03三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.（2021?山東淄博市?高三一模）己知〃x）=cosx（cosx+石sinx）在區(qū)間-％,m上的最大值是g,

則實(shí)數(shù)〃?的最小值是（）

7Cc冗71r兀

A.—B.—C.----D.-

123126

【答案】D

【解析】

rr

利用了（X）在區(qū)間一上的最大值，結(jié)合的單調(diào)性求得機(jī)的最小值.

【詳解】

/(x)=cosMcosx+石sinx)=cos?X+6sinxcosx

=1+COS2X+—sin2x=—sin2x+-cos2x+l=sin[2^+y]+1.

22222V6；2

由于-14sin2x+^|<l,-^-<sin|2x+^|+即/(x)的值域?yàn)?/p>

、OJ乙\O/NNL/乙

即/（x）在x=-。處取得最小值，

r\

,,,717171

而/（X）的最小正周期為手=不，其一半為T，貝IJ-----1---=—,

326

所以/（力在-!，?上遞增，且在x=2處取得最大值口,

故加的最小值為5.

6

故選：D

2.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））在口48。中，A=120。，BC=6,則口至。的面積的最大值為（）

A.—B.1C.獨(dú)^D.3上

22V

【答案】D

【解析】

由余弦定理得到）2+/=36—bc，應(yīng)用不等式求。c范圍，即可求出面積的最值.

【詳解】

由余弦定理，cos120=----------

2hc

即〃+c?=36-從'22%，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,

所以SC）M=12,

所以5］皿='〃csinA='x立xl2=36，

max222

故選：D

a

1?+tan—

3.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））若sina+cosa=g,ae(°，%)，貝IJ-----1=()

1a

I—tan一

2

II

A.—3B.——c.一D.3

33

【答案】A

【解析】

a1a

I?+tan—I+tan—

432-<o,再求出(-----2)2=9,即得解.

先求出sina=—,COS6Z=——

1a1a

55l-tan—I-tun—

22

【詳解】

1

由己知得sina+cosaaG(0,4),聯(lián)立sin2a+cos2tz=I，

5

43丘713萬a3a，

Wsina=—,cosa->-—,——<a<一兀,—<—<一H、「.tan—>1?

552244282

1i+,tan—a

所以------2-<0.

Ia

1-tan—

2

1aaa.a

1+tan—cos—cos—+sm—

2=2_22

.a.aa.a

1-tan—sin—cos-----sm—

2j222

1+tan—

1+sina八

所以(?2----------=9

1i-tan—a1一sina

2

?a

1+tan—

所以-------1

=—3.

1a

I-tan—

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

1+tana—

JI3

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過已知分析出一va〈一〃,得到-------2-<0,解答三角函數(shù)求值時(shí)，如

241-tana—

2

果出現(xiàn)多解，經(jīng)常要挖掘題目中的隱含范圍解答.

4.(2021?河南高三月考(文))函數(shù)/(x)=2jisinxcosx-2sin2x+l的圖象向右平移或個(gè)單位長(zhǎng)度后

得到函數(shù)g(x)的圖象，對(duì)于函數(shù)g(x),下列說法不正確的是()

57r

A.g(x)的最小正周期為乃B.g(x)的圖象關(guān)于直線尢=——對(duì)稱

24

jr7T(137r|

c.g(X)在區(qū)間-丁，丁上單調(diào)遞增D.g(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)一寸,0對(duì)稱

44I24J

【答案】C

【解析】

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=2sin(2x+看)，再由平移變換得到g(x)=2sin(2x+1),然后逐項(xiàng)判斷.

【詳解】

因?yàn)?(x)=2石sinxcos尤一2sin2x+l=2sinf2x+.其圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)

g(x)=2sin2x-—\+-=2sin2x+=的圖象.所以g(x)的最小正周期為萬，故A正確；

_I24J6JI12J

\冗TTTT57r

當(dāng)x=—時(shí)，2xH---=一,所以g(x)的圖象關(guān)于直線尤=—對(duì)稱，故B正.確；

2412224

JIJIJI57r7乃7t7t

當(dāng)XE一二，7時(shí)，2x4--G,所以g(x)在問一二.上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；

44J12L1212JL44_

當(dāng)工=一些時(shí)，2x+±=-),所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一號(hào)對(duì)稱，故D正確.

2412\24y

故選：C

二、多選題

5.(2021?聊城市?山東聊城一中高三一模)已知函數(shù)/。)=5缶(5+0)(0>0,0<0<%),將y=/(x)

的圖象上所有點(diǎn)向右平移整個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短為原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)

的圖象.若g(x)為偶函數(shù)，且最小正周期為則下列說法正確的是()

A.y=/(x)的圖象關(guān)于,0)對(duì)稱

B./(X)在(0,署)上單調(diào)遞減

C.g(x)27的解為7++V(/eZ)

2o232

D.方程/(x)=g1)在0,今)上有2個(gè)解

【答案】AC

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移變換原則求出g(x),再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出公夕，由三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即

可.

【詳解】

將>=/(x)的圖象上所有點(diǎn)向右平移整個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得y=sin+(p,

橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍，縱坐標(biāo)不變,

,/、.(c4乃]

可得g(x)=sin2o)x----+夕,

<3)

由g(x)為偶函數(shù)，艮最小正周期為

,..4萬.TCj_2萬7T八

則----&(P=k.7VH—,keZ,11,———,0<0<7T

322a)2

5萬

解得。=2,(p——,

所以/(x)=sin

對(duì)于A,當(dāng)x=2時(shí)，2x+—=71

126

故y=/(x)的圖象關(guān)于［5，0)對(duì)稱，故A正確;

對(duì)于B,由0cxe苗，則2x+若e5TT5乃

126

JI3冗

正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k7T+-,2U+—,keZ,

5萬5萬JI3冗

由不是2k7t+—,2k7i+——,ZGZ的了一集，故B不正確;

22

對(duì)于C,^(x)>—,EP^(x)=-cos4x>—,即cos4x<一,

222

27r4yr

即——+2k7v<4x<----F2k兀,kGZ,

33

..兀k.TVTCkjrr....

解得—I-----<xW—I-----,kteZ,故C正確；

6232

對(duì)于D,〃x)=g]),即sin(2x+54

=-cos2x,

~6

作出函數(shù)圖象y=/(x)與y=g(x)的圖象，如下:

故D不正確.

故選：AC

6.(2021?廣東廣州市?高三一模)已知函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x,則()

A./(x)的最大值為3B.的圖像關(guān)于直線x=g對(duì)稱

8

C./(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-對(duì)稱R兀

D.在-上單調(diào)遞增

kO7

【答案】BC

【解析】

7T

化簡(jiǎn)得出/(幻二0sin|2x+—+1,即可根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分別判斷.

4

【詳解】

71

f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=^sin|2x+:|+l,

4

則/(力的最大值為a+1，故A錯(cuò)誤;

TT

公卜向n9吟+撲］=牛|,則於)的圖像關(guān)于直線x=7對(duì)稱，故B正確;

848

〃q)=&sin2x(一￡)+?+1=1,則f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故C正確;

\O7

nn713〃Jl7t7t

當(dāng)xe時(shí),2x+則可得2x+丁e-,-時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)

r442

汽7r「乃3乃],

2x+—e—,——時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

424

故選：BC.

7.(2021?廣東深圳市?高三一模)已知函數(shù)/(x)=cos2x-2sin]/-xjcos(/+xj,貝ij()

A./(x)的最大值為3B.f(x)的最小正周期為萬

C./(X)的圖象關(guān)于直線x=I對(duì)稱D./(X)在區(qū)間一二上單調(diào)遞減

【答案】BC

【解析】

首先利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)/(X)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)的正誤

即可求解.

【詳解】

/(x)=cos2x_2sin]、-x)cos[]+%)=cos2x_2cosx?(一sinx)

=cos2x+2cosx?sinx=cos2x+sin2x=>/2sin2x+—

I4

所以/(x)的最大值為企,故選項(xiàng)A不正確;

/(元)的最小正周期為T=亍=萬，故選項(xiàng)B正確;

因?yàn)?x—71+7—1=7代c+%%，解得：左=0,所以宜線x=T￡T是/(x)的圖象的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)C正確;

8428

.71_,,-71,37r

十—F2k71W2xH—W—+2k7T^kGZ),解得:—l-k,7iWxK---Fk兀(kGZ),

214288

jr57r347t

所以/(x)在區(qū)間--和豆，丁單調(diào)遞減，在一弁，豆上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D不正確,

OoOOO

故選：BC.

8.(2021?山東黃澤市?高三一模)已知函數(shù)/1(*)=25而(3犬+0)3>0,0<|同<$/=;|為函數(shù)的一條

對(duì)稱軸，且?若/a）在卜?上單調(diào)，則⑷的取值可以是（

）

481632

A.-B.-C.—D.—

3333

【答案】BC

【解析】

1T

由，=萬為對(duì)稱軸,求出口的取值集合，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求出①的范圍,即可求

出0的值;

【詳解】

解：》=2為對(duì)稱軸=>0工+9=&%+工，k&Z：

222

37r13兀c]-5）r

-1=>co----F（p=2m冗4—或2〃1兀H-----,meZ；

866

QQ

聯(lián)立解之得：。=8（攵—2加）+§或0=8（攵-2/〃）—屋keZ,m^Z-.

3兀71

乂在T,-7上單調(diào),

冗兀71

---&—

.??<416CD,所以0v口48

>0

??.H或3

33

故選：BC

9.（2021?山東煙臺(tái)市?高三一模）已知函數(shù)/（x）=2kinx|+|cosx|—l,則（）

A./（X）在0,y上單調(diào)遞增B.直線x=1是/（x）圖象的一條對(duì)稱軸

C.方程/（x）=l在［0,句上有三個(gè)實(shí)根D.“X）的最小值為一1

【答案】BC

【解析】

利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；當(dāng)工€［0,乃］時(shí)，解方程

/(x)=l，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用最小值的定義結(jié)合反證法可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

=1，則/圖>/(￡)，

對(duì)于A選項(xiàng)，f述.1

■JT

所以，函數(shù)/(X)在0,y上不是增函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤：

對(duì)于B選項(xiàng)，

/(%一x)=2卜in("一x)卜|cos(%—-1=2卜in+卜cos乂-1=2卜inx|+|cosx|-l=/(x),

所以，直線x='是/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由/(X)=2卜inx|+|cosx|-l=2,可得|cosM=2-2卜in^,

顯然2-2卜inx|>0,等式|cos可=2-2|sin才兩邊平方得cos2x=4+4sin2x-8|sinx|,

整理可得Ssin2x-8|sinx|+3=0,解得卜inx|='或卜inx|=1.

當(dāng)尤w[(),%]時(shí)，OWsinxWl,則sinx=y或sinx=l.

3

方程sinx=《在xe[0,?]時(shí)有兩解，方程sinx=l在xe[0,乃]時(shí)只有一解.

所以，方程/(x)=l在[0,句上有三個(gè)實(shí)根，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)/(力的最小值為—1，EP/(x)>-l,即2kinH+|cosx|iO,

且存在XGR,使得2卜inx|+|cosx|=0,此時(shí)sinx=cosx=0,

這與sin2x+cos2_x=l矛盾，假設(shè)不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=Asin(s+9)形式，再求

y=Asin(a)x+8)的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意

要先把出化為正數(shù).

10.(2021?山東濟(jì)寧市?高三一模)將函數(shù)/(x)=sin[2x-g)的圖象向左平移,個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)

g(x)的圖象，則下列說法正確的是()

B.信0是函數(shù)g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.函數(shù)g(x)在0,；上單調(diào)遞增

D.函數(shù)g(x)在一:三上的值域是一

【答案】BC

【解析】

首先求得函數(shù)g(x)=sin(2x-。)，再根據(jù)選項(xiàng)，整體代入，判斷函數(shù)的性質(zhì).

【詳解】

/\一?\o('乃12兀_.不、

g(x)=sm|2x+—―--=sin2x---,

I\673I3)

兀入"TCTCTCTC/\7^

XE0,-時(shí)，2%---G-y?—三一于耳，所以函數(shù)g(無)在0,—上單調(diào)遞增，故C正確；

x一時(shí)，2x-^e，當(dāng)2%一［=一］時(shí)，函數(shù)取得最小值?1,當(dāng)=f時(shí)，函

_63」3L33J3233

數(shù)取得最大值也，所以函數(shù)的值域是

2

故選：BC

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查y=Asin(cox+。的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：

(1)對(duì)于函數(shù)丫=4豆!1(5+8),其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函

數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線X=/或點(diǎn)(毛,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí)，可通過驗(yàn)證了(%)的值進(jìn)

行判斷；(2)判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求。x+9的范圍，驗(yàn)證此區(qū)間是否是函數(shù)

y=sinx的增或減區(qū)間.

11.(2021?全國高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=2j5sinxcosx—Zsir^x+l,下列結(jié)論正確的是()

A./(x)在區(qū)間一7,看上單調(diào)遞增

B./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(丑)成中心對(duì)稱

C.將/(X)的圖象向左平移五個(gè)單位后與y=-2sin2x的圖象重合

D.若肛則/(%)=/(%)

【答案】ACD

【解析】

由二倍角公式、兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷.

【詳解】

/(%)=>J3sin2x+cos2x-2sin2x+^-cos2x=2sin(2x+^),

xe時(shí)，t-2x+—G,此時(shí)y=sinf遞增，A正確;

36622

2sinkx^-+^-)=2*0

B錯(cuò)誤;

將/(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得解析式y(tǒng)=2sin2(》+泠+看=2sin(2x+/r)=-2sin2x,C

正確；

易知函數(shù)周期為7=5=萬，因此當(dāng)不一々=肛則/(%)=/(%)，D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).解題方法是利用二倍角公式、兩角和與差的正弦公式化函數(shù)

為f(x)=Asin(a)x+e)+/z形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)求/(幻的性質(zhì)，此時(shí)有兩種思路：一

種是根據(jù)'二疝^1無的性質(zhì)求出/"（X）的性質(zhì)，然后判斷各選項(xiàng)，另一種是由％的值或范圍求得妙+夕的值或

范圍，然后由y=sinf的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

12.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）已知:=（241141，?）$41-/（*））,若萬與方共線，則下

列說法正確的是（）

A.將/（x）的圖象向左平移g個(gè)單位得到函數(shù)y=；cos（2x+T+5的圖象

B.函數(shù)/（X）的最小正周期為兀

37T

C.直線X=半是/（X）的一條對(duì)稱軸

（jrjr\

D.函數(shù)“X）在卜萬,一^上單調(diào)遞減

【答案】BC

【解析】

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出/（%），由三角函數(shù)的平移變換原則可判斷A；由T=絲可判斷B；將x=/

CD2

代入，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷C；利用余弦的單調(diào)遞減區(qū)間為（2%/萬+2%4）/eZ可判斷D.

【詳解】

則44

因?yàn)槿f與B共線,2sinj-cos+/(x)=0,

所以/(%)=cos4-1+sin4y=c吟+s嗚-2Cco，Xs?si?n2—X

22

=1—sin~x=1—(1—cos2x)=-cos2xH—.

24V744

對(duì)于A,將/(x)的圖象向左平移三個(gè)單位得到函數(shù)

?/27r?3

y=：1cos2x+J+：3的圖象，故A錯(cuò)誤;

413J44

對(duì)于B,7=2三=2工=乃，故B正確;

co2

3兀3萬

對(duì)于C,當(dāng)x=H時(shí)，則2XH.=3萬，

22

由余弦函數(shù)的對(duì)稱軸為x=hr,左wZ,故C正確;

對(duì)于D,xe[-],—w),則2xe1一犯一,)

由余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2左〃一〃,2匕1),攵eZ,

當(dāng)Z=0時(shí)，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一乃,0)，

(jr7T)

所以函數(shù)/(x)在一萬,一^上單調(diào)遞增.

故選：BC

三、填空題

13.(2021?全國高三專題練習(xí))某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位，制作了一批獎(jiǎng)杯,

獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形。48的半徑為10,ZPBA=ZQAB=60°,AQ=QP=PB,若按此

方案設(shè)計(jì)，工藝制造廠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長(zhǎng)時(shí)，該獎(jiǎng)杯比較美觀，此時(shí)NA03=.

【答案】!

2

【解析】

作OMJ_QP交QP于M，交A3于C,且OCJ_AB，設(shè)NAOC=6,求HlAB、OC-設(shè)

AQ=QP=BP=x,作QELAB交AB于E，交AB于尸，可得出x=10sin，，

ON=OC+CM=10cos0+56sine，由勾股定理可得

OP2=。用2+Mb=(1Ocos。+56sin+(5sin0^然后求最值可得答案.

【詳解】

o

作OMJ_QP交。尸于M，交AB于C，且設(shè)NAOC=e，

則AB=20sin8,OC—10cos6，

設(shè)AQ=QP=8P=x,作交A3「￡,尸尸，AB交43于F,

因?yàn)镹P8A=NQAB=60°,所以AE=,CM=PF=—x.

22

EF=QP=x,所以AB=2x，所以AB=20sin6=2x,即x=10sin。，

OM=OC+CM=10cos^+^-x=10cos^+5\/3sin^?

所以O(shè)P?=0加2+加尸=0ocose+5括sine『+（5sine『

=100cos2夕+75sin26+100石sincos04-25sin26=100+50由sin20，

因?yàn)閟in26￡[—1,1],所以當(dāng)sin26=1即6=5時(shí)0尸最大，

TT

也就是。尸最長(zhǎng)時(shí)/495=—.

2

7t

故答案為：一.

2

四、雙空題

14.（2021?河北張家口市?高三一模）已知函數(shù)/（尤）=$山4%+。?05"龍圖象的一條對(duì)稱軸為尤=！，則。=

6

___________,函數(shù)/（X）在區(qū)間-），!上的值域?yàn)開__________.

_63_

【答案】+[1,2]

【解析】

（1）由題可得=J1+/,由此即可解出a；

(2)可得/*)=2sin(G+g],即可由xe求出值域.

I3JL63.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)的對(duì)稱軸為x=!,

6

角公式可得/(x)=J1+。2sin(7rx+￡

2

(I=Jl+Q,即.7T71

sin—+4ZC0S—

66

H-----

2bc

CECEtanA_BE

（2）作AB邊上的高CE，垂足為E，因?yàn)閠anA=——,tanB=——，所

AEBEtanBAE

funA

乂-----=4,所以5￡=44石，因?yàn)辄c(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)且AB=10,所以BD=5,AE=2,DE3,

tan3

再根據(jù)勾股定理即可得解.

【詳解】

3

(1)因?yàn)閍cosB-6cos4二1。

2

所以c'-+a__"忙上二a3

a.一=—c

2ca2bc5

即

=2C2

a2^c2-b2

tanAsinAcosBa---------------

又-----=-----------_____2cle

tan3cosAsinBb2+c2-a2.

_________b

2hc

tanAa2+c2-b28c25

所以--------=-------X--------T4.

tanBb2+c2-a252c2

（2）如圖，作A3邊上的高CE,垂足為E,

tanABE

因?yàn)閠anA=,tanB=,所以

AEBEtanBAE

又鬻=4,所以班=4心

因?yàn)辄c(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，AB=10,所以BD=5,AE=2,DE=3.

在直角三角形CDE中，8=5,所以CE=&2—3?=4?

在直角三角形BCE中，BE=8,所以8C="7F=46.

371

16.（2021?湖南高二月考）如圖，在平面四邊形［8CZ）中，ADVCD,ZBAD=一，2AB=BD=4.

4

(1)求cosZADB；

(2)若BC=伍，求CD

【答案】(1)cosZADB=—：(2)C￡>=30

4

【解析】

(1)△AB￡)中,利用正弦定理可得sinZADB,進(jìn)而得出答案;

(2)△BCD中,利用余弦定理可得CO.

【詳解】

2二4廠

.…"rn，即sinZADB0，解得sinZADB=—

(1)△A8O中,

sinZADBsin/BAD——4

2

cosZADB----；

4

（2）sinNADB=也=cosNCDB

4

△BCD中，cosZCDB=BD+CD~BC-,即&=。"+'-（二）,

2BDCD4-2-4CD

化簡(jiǎn)得（。。一3戊）（。。+夜）=0,解得C￡>=3&.

17.（2021?山東青島市?高三一模）如圖，在口46c中，AB1AC,AB=AC=2,點(diǎn)E，產(chǎn)是線段BC

兀一

（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的右下方，在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終保持NE4b=t不變,設(shè)NE43=e

弧度.

（1）寫出。的取值范圍，并分別求線段AE，A尸關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式:

（2）求F面積S的最小值.

垃

【答案】（1）0<0<-,AE

sin仿+巴、sAF—:（2）2（'^2—1].

cos。'

4I4J

【解析】

（1）依據(jù)直角三角形直接寫出。的范圍，然后根捌正弦定理可得AE,AF關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式.

（2）根據(jù)（1）的條件可得$△以「，并結(jié)合輔助角公式，簡(jiǎn)單計(jì)算以及判斷即可.

【詳解】

7T

（1）由題意知owew—,

4

AE

-=>4E

.71sin（6+；）sinf（9+-

sin—

4l4

AFAC=>AF=^-

.兀sin《-6cos0-

sin—

4

qJ應(yīng)672_72]

、

⑵2sin（e+.cos。22

sin（9+—cos。cos。

2

7

_________12?"陽）

1.cc1+COS20&sin（26+：）+l

-sin26+--------------

22

IT

當(dāng)且僅當(dāng)。=一時(shí)，取

8

18.（2021?全國高三專題練習(xí)）在□ABC中，”，匕，。分別為角A,B,C的對(duì)邊，且bcos-A=c-3

2

（1）求角3;

(2)若口相。的面積為26，BC邊上的高AH=1，求。，c.

【答案】(1)7；(2)b=2幣,c=2.

6

【解析】

(1)化角為邊，化簡(jiǎn)得/+/一/=瘋七，再利用余弦定理求角3：

(2)由正弦定理算出C,由面積公式算出。，由余弦定理計(jì)算。中即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)閎cosA=c-^^a，所以(----=c-^-a>

22bc2

所以〃+。2-/=2c2—下ac>即c2+a2-h2=百理.

由余弦定理可得cosB=b+"-*=且，

2ac2

TT

因?yàn)锽e(0,?),所以8=上.

6

AHsinZAHBAHsin2.

(2)由正弦定理可得。=-----———=-------幺=2.

sin.兀

Bsin—

6

因?yàn)镈ABC的面積為2JL所以gacsinB=；a=2ji,解得”=46.

由余弦定理可得力2=a2+c2-2accos8=48+4-2x2x45^x曰=28,

則b=2".

19.(2021?山東煙臺(tái)市?高三一模)將函數(shù)/(x)=sinx+Gcosx圖象上所有點(diǎn)向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度,

然后橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

2

(2)在口43。中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為凡上c,若sin

4

c=g國…,求DABC的面積.

一工+壯，工+丘］(ZeZ)；⑵息巫或

【答案】(1)g(x)=2sin2》+看，單調(diào)遞增區(qū)間為:

36」2

2日

【解析】

(1)由題可得g(x)=2sin2x+-,令——+2&7《2x+—W—+2版■即可解得單調(diào)遞增區(qū)間：

V6y262

TT7T

(2)由題可得c=2,8=—或8=一，由余弦定理可求得4,即可求出面積.

62

【詳解】

(1)/(x)=sinx+-^cosx=2sinx+—,

、3/

圖象向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin［x+V］的圖象，

橫坐標(biāo)縮短為原來的g(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2sin(x+()圖象，

所以g(x)=2sin(2x+/),

TT77TTJi

令---\-2k7C<2x+—<——卜2k兀，解得----\-k7r<x<——\-k7r,

26236

jrjr

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：一§+左肛％?+&九(&EZ)

因?yàn)閟in-B^cos仁+3)=cos2仁+5)=；,所以cos仁+5)=±g

乂因?yàn)?￡(0,4)，所以8

當(dāng)cos尋q巨時(shí),B+消,B=&

此時(shí)由余弦定理可知，4+“—-2x2xacos——12,解彳號(hào).=^^+^/仃，

所以SA8c=qx2x（6+ViT）xsiq=^^,

當(dāng)cos（2+§]=一，時(shí)，B+—=—,B=—,

16）2632

此時(shí)由勾股定理可得，a=J12-4=2四,

所以限2"

20.（2021?山西高三一模（理））在口45。中，。也。分別是角A,民C的對(duì)邊.若b-c=2,cosC="

再從條件①與②中選擇一個(gè)作為已知條件，完成以下問題：

（1）求力,c的值；

（2）求角力的值及口45c的面積.

條件①：acosB+hcosA-^-ac：條件②：2Z?cosC=2a-^-c-

147

【答案】（1）h=6,c=4；（2）A=。，S=6后

【解析】

（1）選用條件①：由正弦定理求得a=2"，利用余弦定理和b-c=2,即可求解；

選用條件②：由正弦定理求得cosB=—，得出sinB=2叵，再山cosC=-，求得得sinC=迫

141477

結(jié)合正弦定理，即可求解；

（2）由余弦定理求得A的值，結(jié)合面積公式，即可求解.

【詳解】

（1）選用條件①：因?yàn)閍cos6+/?cosA=^^ac，

14

由正弦定理得sinAcosB+sin6cosA=^^asinC，可得sinC=^/sinC，

1414

又因?yàn)镃e（0,7）,所以sinCVO,可得a=2百,

又由cosC=2互，由余弦定理得a2+b2-c22幣

72ab7

將b—c=2代入上式，解得/?=6,c=4.

選用條件②：因?yàn)?bcosC=2a-^-c，

7

由正弦定理得2sin8cosc=2sinA--^-sinC=2sin(5+C)--^-sinC

77

=2(sinBcosC+cosBsinC)一sinC

即2cosBsinC-也^sinC=0，

7

又因?yàn)镃w(O,%),所以sinCwO,可得cosB二也，則sinB二之叵

1414

又由cosC=2審?可得sinC=-cos2C=

77

b,口hsin53

由正弦定理,得一二-----=一，

sinBsinCcsinC2

乂由b—c=2,可得b=6,c=4.

⑵由余弦定理得8sA=

7T

因?yàn)?<A<%,所以A=一

3

所以□ABC的面積為S=—Z>csiny4=—x6x4x

22

21.(2021?河南高三一模(理))在DABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a",理若在sinC

a

tanA-cosC.

(1)求角力的大??；

(2)若〃=3&，C=2,點(diǎn)。在邊BC上，且CD=2/M,求4及AO.

【答案】(1)A=￡；(2)a=Vio.AO=3.

43

【解析】

(1)由正弦定理化邊為角，可得J5sinC-sinB=sinA(sinCtanA-cosC),再化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出

cosA=也，得他所求；

2

(2)