廣東省江門市2024屆高三一?？荚?數(shù)學試卷

江門市2024年高考模擬考試數(shù)學本試卷共5頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.做選擇題時，必須用2B鉛筆將答題卷上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.3.答非選擇題時，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將答案寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.5.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．某市高三年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)隨機選擇一名本市高三年級男生，則該男生身高不高于170cm的概率是（

）參考數(shù)據(jù)：A．0.6827 B．0.34135 C．0.3173 D．0.158652．在中，，，則角A的大小為（

）A． B．或 C． D．或3．已知是等比數(shù)列，，且，是方程兩根，則（

）A． B． C． D．4．已知角α的終邊上有一點，則=（

）A． B． C． D．5．設，為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的漸近線于、兩點，且點、分別在第一、三象限，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知，則的值是（

）A．680 B． C．1360 D．7．已知9名女生的身高平均值為162(單位：cm)，方差為26，若增加一名身高172(單位：cm)的女生，則這10名女生身高的方差為（

）A．32.4 B．32.8 C．31.4 D．31.88．物理學家本·福特提出的定律：在b進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為.應用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤.若，則k的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．，B．C．若，，則的最小值為1D．若是關于x的方程的根，則10．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．若相鄰兩條對稱軸的距離為，則B．當，時，的值域為C．當時，的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)解析式為D．若在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則11．已知曲線，則下列結論正確的是（

）A．隨著增大而減小B．曲線的橫坐標取值范圍為C．曲線與直線相交，且交點在第二象限D．是曲線上任意一點，則的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，若與垂直，則=.13．某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的(如圖)，則該幾何體共有個面；若被截正方體的棱長是60cm，那么該幾何體的表面積是cm2.14．函數(shù)的定義域為，對任意的，，恒有成立.請寫出滿足上述條件的函數(shù)的一個解析式.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接矩形，是圓柱的母線.(1)證明：在側棱上存在點，使平面；(2)在（1）的條件下，設二面角為，，，求三棱錐的體積.16．在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，且傳輸相互獨立.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為：發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1.的概率為.假設發(fā)送信號0和1是等可能的.(1)已知接收的信號為1，且，求發(fā)送的信號是0的概率；(2)現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).已知發(fā)送1，若采用三次傳輸方案譯碼為1的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為1的概率，求β的取值范圍.17．己知橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當直線與軸垂直時，直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在與點不同的定點，使得恒成立?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.18．已知關于的方程有三個根，分別為，，，且.(1)求的取值范圍；(2)設，證明：隨著的增大而減小.19．將2024表示成5個正整數(shù)，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數(shù)組為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組，當時，若，則稱是密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù)；若不存在，請說明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問是否存在最小值?若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.1．D【分析】由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.【詳解】由題意，，且，所以.故選：D2．D【分析】利用正弦定理求得角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.【詳解】由題意知中，，，故，即，由于，故，則或，故A的大小為或，故選：D3．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標和性質(zhì)計算可得.【詳解】在是等比數(shù)列，，，又，所以，又，是方程兩根，所以.故選：C4．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用誘導公式，即可求得答案.【詳解】由題意知角α的終邊上有一點，則，故，則，故選：A5．C【分析】先求出點，的坐標，再利用余弦定理求出之間的關系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意得圓的方程為，不妨設雙曲線的漸近線為．設點的坐標為，則點的坐標為，由，又，解得或，∴，．又，∴，，在中，，由余弦定理得即，化簡得，∴．故選：C．6．B【分析】利用賦值法，分別令和，將得到的兩式相加，結合等比數(shù)列的求和，即可求得答案.【詳解】令，則，即令，則，即，兩式相加可得，故選：B7．A【分析】根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)、方差的計算公式計算得解.【詳解】令9名女生的身高為，依題意，，，因此增加一名女生后身高的平均值為，所以這10名女生身高的方差為.故選：A8．C【分析】結合條件及對數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，而，故．故選：C．9．ACD【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算結合復數(shù)的模的計算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷B；設，根據(jù)復數(shù)的模的計算公式，可得，以及，結合x的范圍可判斷C；將代入方程，結合復數(shù)的相等，求出p，即可判斷D.【詳解】對于A，，設復數(shù)，則，，故，A正確；對于B，由于，故，B錯誤；對于C，，設，由于，則，故，由，得，則，故當時，的最小值為1，C正確；對于D，是關于x的方程的根，故，即，故，D正確，故選：ACD10．BCD【分析】利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再結合各選項的條件及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，對于A：若相鄰兩條對稱軸的距離為，即，所以，則，解得，故A錯誤；對于B：當時，又，所以，所以，則的值域為，故B正確；對于C：將的圖象向左平移個單位長度得到，故C正確；對于D：由，，所以，又在區(qū)間上有且僅有兩個零點，所以，解得，故D正確.故選：BCD11．AD【分析】首先對、分類討論分別得到曲線方程，畫出曲線圖形，數(shù)形結合判斷A、B，由雙曲線的漸近線與的關系判斷C，由點到直線的距離公式得到，即點到直線的距離的倍，求出直線與曲線相切時的值，再由兩平行線將的距離公式求出的最大值，即可判斷D.【詳解】因為曲線，當，時，則曲線為橢圓的一部分；當，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；當，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；可得曲線的圖形如下所示：由圖可知隨著增大而減小，故A正確；曲線的橫坐標取值范圍為，故B錯誤；因為，所以曲線與直線相交，且交點在第四象限，故C錯誤；因為，即點到直線的距離的倍，當直線與曲線相切時，由，消去整理得，則，解得（舍去）或，又與的距離，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：AD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是分析出曲線的圖形，D選項的關鍵是轉化為點到直線的距離.12．##【分析】首先求出的坐標，再依題意可得，即可得到方程，解得即可.【詳解】因為，，所以，又與垂直，所以，解得.故答案為：13．14【分析】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；再根據(jù)面積公式即可求出表面積.【詳解】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是.故答案為：14，.14．（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性問題，只需找到符合題意的函數(shù)解析式即可，不妨令，根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導公式證明即可.【詳解】依題意不妨令，則，又，所以，故符合題意.同理可證明，，，也符合題意.故答案為：（答案不唯一）15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接交于，連接，即可證明，從而得證；（2）設，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可求出，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】（1）取的中點，連接交于，連接，因為為矩形，所以為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，（2）設，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，又平面的法向量可以為，設平面的法向量為，則，取，因為二面角為，所以，解得（負值舍去），所以，所以，又點到平面的距離，所以.16．(1)(2)【分析】（1）由題意確定發(fā)送的信號為0、1的概率以及接收信號為0、1的概率，根據(jù)全概率公式可求出已知接收的信號為1的概率，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案；（2）分別求出采用三次傳輸方案譯碼為1的概率和采用單次傳輸方案譯碼為1的概率，由題意列出不等式，解不等式，即可求得答案.【詳解】（1）設A：發(fā)送的信號為1，B：接收到的信號為1，則：發(fā)送的信號為0，：接收到的信號為0，則，故，故；（2）采用三次傳輸方案譯碼為1的概率為，采用單次傳輸方案譯碼為1的概率為，由題意得而，故，故.17．(1)(2)存在定點，使得恒成立【分析】（1）由離心率及過點列方程組求解.（2）先討論直線水平與豎直情況，求出，設點關于軸的對稱點，證得三點共線得到成立.【詳解】（1）依題意可得點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）當垂直于軸時，設直線與橢圓相交于，兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，所以點在軸上，設，當與軸重合時，設直線與橢圓相交于，兩點，不妨設，，則由，即，解得或，所以若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標為；下面證明：對任意的直線，均有，當不平行于軸且不垂直于軸時，設直線方程為，，，聯(lián)立，消去，得，因為直線恒過橢圓內(nèi)定點，故恒成立，所以，，所以，易知點關于軸的對稱點的坐標為，又，，所以，則三點共線，所以；綜上：存在與點不同的定點，使恒成立.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再利用導數(shù)分別求出函數(shù)在各段的單調(diào)性，即可畫出函數(shù)圖象，從而求出的取值范圍；（2）由（1）可知，且，使得，則，再由，得到，令，則，從而得到，，再令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）令，當時，所以在上單調(diào)遞增，當時，所以時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，且時，當時，則的圖象如下所示：因為關于的方程有三個根，即與有三個交點，由圖可知，即實數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）可知，又，，且在上單調(diào)遞增，所以，使得，所以，由，所以，即，令，則，所以，，令，，則，令，，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，又，即，所以，即，所以，所以在上單調(diào)遞減，即隨著的增大而減小.【點睛】關鍵點點睛：第一問關鍵是由導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的圖象，第二問關鍵是得到，.19．(1)不存在，理由見解析(2)(3)存在，最小值為.【分析】（1）若等于同一常數(shù)，則構成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)得到，推出矛盾即可得解；（2）依題意時，即當時，，則，，即可求出，，，，中有個，個，從而得解；（3）由方差公式得