2022-2023南京航空航天大學附屬某中學高三10月月考卷

2022-2023南京航空航天大學附屬高級中學高三10月月考卷-?選

擇題(共8小題)

1.已知復數(shù)z=(l+i)帽為虛數(shù)單位)，則其共軌復數(shù)5=()

A?l+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

2.設集合A={x|(x+2)(x-3)<0},B={x|x>l),則()

A.AQB=0B.A|JB=R

C.Ap|B={x|l<x<3)D.AjB={x|x>l)

3.已知a,b&R,貝(I"\[a>班"是"Ina>Inb"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1,1,

2,3,5,…為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90。的圓弧，

這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例

如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對應的扇形

做圓錐的側面，則該圓錐的底面半徑為()

131313

A舊RCn

2842

5.設函數(shù)則函數(shù)/a)的圖象可能為()

6.等差數(shù)列｛%｝中，S“為其前幾項和,2nH—④=10,則品,的值為（）

A.18B.19C.180D.190

7.已知雙曲線C：5-方=1（"＞。力＞0）的左、右焦點分別6、尸2，以線段片鳥為直徑的

圓與雙曲線C在第一象限交于點P,且|PO|=|「乙則雙曲線的離心率為（）

A.x/3+1B.—C.V5D.2

2

8.關于函數(shù)/（x）=Asin（2x+e）,有下列四個命題：

甲：/（x）在（5肛等）單調(diào)遞增；

乙：-2是/（x）的一個極小值點；

6

丙：?是/（X）的一個極大值點；

T：函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移?個單位后所得圖象關于y軸對稱.

其中只有一個是假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

二.多選題（共5小題）

9.已知甲、乙兩個水果店在“十一黃金周”七天的水果銷售量統(tǒng)計如圖所示，則下列說法

B.若甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,,兀，則1＞兀

C.若甲，乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s；,其，則s；＞s；

D.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

10.已知互不重合的直線a,b互不重合的平面a,0,7給出下列四個命題，正確的命題

是（）

A.若a//a,a///7,ap]/?=h,貝!]a//6B.若a_L￡,a±a,bA.0,則a_L〃

C.若a_L/?,al/,=a,貝lJa_LaD.若a//￡,alia,則a///

11.己知正四棱柱ABCD-A與CQi的底面邊為1，側棱長為。，M是CC1的中點，則(

)

A.任意a>0,VBD

B.存在a>0,直線4cl與直線相交

C.平面48M與底面交線長為定值手

D.當a=2時，三棱錐筋-A8M外接球表面積為3萬

X4-1

12.已知函數(shù)=e則()

e+k

A.當左=0時，/(%)是R上的減函數(shù)

B.當％=1時，/(幻的最大值為上乎

C./(x)可能有兩個極值點

D.當4=-1時，存在實數(shù)a,b,使得/(x)關于點3")對稱

13.已知函數(shù)f(x)="L,則()

e+k

A.當％=0時;f(x)是R上的減函數(shù)

B.當々=1時，/(x)的最大值為上半

C..f(x)可能有兩個極值點

D.若存在實數(shù)a,h,使得g(x)=/(x+a)+b為奇函數(shù)，則攵=一1

三.填空題(共4小題)

14.若隨機變量X~N(3,4),且p(X>5)=0.2,則尸(掇腥5)等于.

15.已知非零向量1，B滿足5-日|=|加，al(a-b)f則值與5夾角為.

16.已知直線/:y=3x+2,函數(shù)/(x)=/〃x-辦+g,若/(x)存在切線與/關于直線y=不對

稱，則a=.

17.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+g),給出下列判斷：

①函數(shù)/(幻的最小正周期為萬；

②函數(shù)y=/*+芻是偶函數(shù)；

③函數(shù)/(x)關于點(竺一C,0)(左eZ)成中心對稱；

26

④函數(shù)f(x)在區(qū)間弓，弓］上是單調(diào)遞減函數(shù).

其中正確的判斷是.(寫出所有正確判斷的序號)

四.解答題(共6小題)

18.已知數(shù)列｛凡｝中,4=1,a?>0,其前〃項和為S“，%=血+反(〃wN*,n..2).在

數(shù)列｛2｝中，偽=2,&=4,且當〃..2時，片也也+、,neN*.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛〃,｝的通項公式；

(2)記c,=*,求數(shù)列｛%｝的前〃項和7；.

19.在A45C中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知：b=&c=^2,ZB=45°.

(1)求邊BC的長和三角形ABC的面積；

4

(2)在邊8C上取一點。，使得cosZAOB=-,求tanND4c的值.

5

20.某企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產(chǎn).在試產(chǎn)初期，該款芯片的生產(chǎn)有四道工序，

前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能臼動檢測與人工抽檢.已知

該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為［=l，B=LP,=~.

1098

(1)求該款芯片生產(chǎn)在進入第四道工序前的次品率；

(2)如果第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線

并由工人進行人工抽查檢驗.在芯片智能自動檢測顯示合格率為90%的條件下，求工人在

流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率.

21.如圖，在四棱錐P—MCE>中，Q4_L平面ABC。，AD±CD,AD//BC,

PA=AD=CD=2,E為PD的中點，F(xiàn),M分別在PC和尸8上，JI.—

PCPB3

(1)若N在PC上，且DV//平面求證：MN//平面ABCD；

7

(2)若直線P5與平面A8CD所成角的正弦值為求二面角F-AE-D的余弦值.

3

BC

22

22.在平面直角坐標系X。)，中，己知橢圓C：W+斗=1(。>方>0)的右焦點為尸(GO)，。為

坐標原點，若橢圓上存在一點A,使Q4_LAF,延長AO,AF分別交橢圓于B,C.

(1)求橢圓C離心率的最小值：

(2)當橢圓C的離心率取最小值時，求直線8C的斜率.

23.已知函數(shù)f(x)=x?其中〃z>0.

(1)若%=2,求函數(shù)f(x)的極值；

(2)設g(x)=#(x)-l,若g(x)>0在(l,+oo)上恒成立，求實數(shù)w的取值范圍.

2022-2023南京航空航天大學附屬高級中學高三10月月考卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.已知復數(shù)z=(l+i)源為虛數(shù)單位)，則其共聊復數(shù)5=()

A.l+iB.1—/C.—1+/D.—1—i

【解答】解：???z=(l+i)i=—l+i,

z=-l-z.

故選：D.

2.設集合A={x|(x+2)(x—3)<0},B={x\x>\],貝lj()

A.AQB=0B.A|jB=RC.AQe={x|l<x<3}

D.A|JB={X|X:>1}

【解答】解:?.-A={x|(x+2)(x-3)<O}={x|-2<x<3},

又；3={》|*>1},

/.A0|B={x|1<x<3},

A|jB={x|x>-2},

故選：C.

3.已知a,b&R>貝！I"&"是"/w>”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若口>口,取a=l,=0,但是/獻>無意義，

所以由“血>揚”推不出“Ina>lnb”,

若"Ina>Inb",則a>6>0,所以可得揚，

所以由“l(fā)na>lnb”可推出“&>亞“，

所以“血>斯”是“?？?gt;加6”的必要不充分條件，

故選：B.

4.斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1,1,

2,3,5,…為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90。的圓弧，

這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例

如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對應的扇形

做圓錐的側面，則該圓錐的底面半徑為(）

13

A.叵B.巨C.D.12

28T2

【解答】解：由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項起，每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)之和，

即接下來的圓弧所在扇形的半徑是5+8=13,對應的弧長/=2t*13x1=史，

42

設圓錐底面半徑為r,則2夕=也，

2

得,」，

4

故選：C.

5.設函數(shù)=■七，則函數(shù)的圖象可能為()

1-X

【解答】解：函數(shù)/=工的定義域為(-1,1),

1-X

由/(_x)=-x/〃上W=x/〃9=/(x),得為偶函數(shù)，排除A,C;

l+x1-x

X/（1）=1/?—2.=1/?3>0,排除。.

22.12

1------

2

故選：B.

6.等差數(shù)列伍“｝中，5”為其前〃項和，2%-%=10,則幾的值為（）

A.18B.19C.180D.190

【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛%｝中,2%-%=1°，即4+3%=4。=10,

則s=（4+/"19=2t7l0xl9=19（）；

1922

故選：D.

22

7.已知雙曲線C:=-與=1（。>08>0）的左、右焦點分別6、居，以線段為直徑的

a~b~

圓與雙曲線C在第一象限交于點尸，且|PO|=|尸馬|,則雙曲線的離心率為（）

A.6+1B.—C.炳D.2

2

【解答】解：\PO\=\PF2\,

可得AOP6為等邊三角形,

設|P6|=c,|百6|=2c,

PF,1PF2,可得|P6I=75C,

由雙曲線的定義可得

IP/^|-|p/s|=&_c=2a,

可得e=￡=-72—=6+1.

aV3-1

故選：A.

8.關于函數(shù)/（x）=Asin（2x+⑺,有下列四個命題:

甲：/（x）在（5巴半）單調(diào)遞增；

乙:-2是/（x）的一個極小值點；

6

丙：?是一（X）的一個極大值點；

T：函數(shù)y=〃x）的圖象向左平移?個單位后所得圖象關于y軸對稱.

其中只有一個是假命題，則該命題是（）)

A.甲B.乙C.丙D.J

【解答】解：函數(shù)f(x)=Asin(2x+e)的最小正周期為7=4=萬，半周期為

717T71

362

?.?四個命題中只有一個是假命題，.??乙丙都是真命題；

由丙知，/(x)關于x對稱，

，y=/(x)的圖象向左平移(個單位后所得圖象關于y軸對稱，故丁正確；

由丙可知f(x)關于X=(對稱，/(X)的最小正周期為萬，

，/(x)關于直線x=5+5;r=9%對稱，今三€(5%,2^),

???/(X)在區(qū)間(5耳等)不單調(diào)，故甲是假命題.

故選：A.

二.多選題(共5小題)

9.已知甲、乙兩個水果店在“十一黃金周”七天的水果銷售量統(tǒng)計如圖所示，則下列說法

A.甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差

B.若甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為京石，則工〉石

C.若甲，乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s：,s；,則s：＞s；

D.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

【解答】解：由折線圖得：

對于A,甲組數(shù)據(jù)的極差小于乙組數(shù)據(jù)的極差，故A錯誤;

對于3,甲組數(shù)據(jù)除第二天數(shù)據(jù)圖低于乙組數(shù)據(jù)，

其它天數(shù)數(shù)據(jù)都高于乙組數(shù)據(jù)，可知用＞可，故8正確；

對于C,甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，^＜V，故C錯誤;

對于。，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故。正確.

故選：BD.

10.已知互不重合的直線a,b互不重合的平面a,p,/給出下列四個命題，正確的命題

是（）

A.若a//ar,alIp,crQ/?=h,貝ija//bB.若c_L￡,aVa,bA./3,則a_LZ>

C.若a_L/?,al/,/?Qy=iz,則〃_1。D.若a///?,alia,則“//力

【解答】解：對于A選項：由題意知，若a//a,all/3,a^=b,則由線面平行的性質(zhì)

定理得a//6,故A正確；

對于8選項：若a_L￡,,b工。,則由線面垂直的性質(zhì)定理得a_LZ?,故8正確；

對于C選項：若a_L￡,al/,/「|丫=。，則線面垂直的判定定理得，故C正確；

對于。選項：若a//￡,alia,則得au4或a//￡,故￡）不正確.

故選：ABC.

11.己知正四棱柱ABC￡）-A3CR的底面邊為>>側棱長為。，M是CG的中點，則（

）

A.任意a>0,VBD

B.存在a>0,直線4cl與直線相交

C.平面ABM與底面交線長為定值手

D.當a=2時，三棱錐筋外接球表面積為3萬

【解答】解：BDLAC,BDLAA.,A41nAe=A,A4,,ACu平面ACJA，

.?.8￡>1_平面4（7￡4，AMu平面ACGA，BDV,A對；

Be平面A8G，M任平面ABG，平面48G；

與異面不相交，8錯；

延長BM,B?交于N點,M為CG中點，△NC、M=ABCM,

:.CtN=BC,B、N=2,4與=1,A、N=5

平面ABMC平面AB￡R=AN,平面A.BM與底面交線為\P,

其中「為。1口中點，"=叵,C對；

。=2,AA田B是直角三角形，外接圓是以A8為直徑的圓，

圓心設為P,半徑純=@>@,

222

取中點Q,則平面PQ=；,

OP'2+-=R2「

，4,R2=-,

,I,4

(1-OP')2+—=R2

4

4萬戶=5乃*3%,。錯；

故選：AC.

12.已知函數(shù)=貝11()

e+k

A.當A=0時，f(x)是R上的減函數(shù)

B.當人=1時，,f(x)的最大值為匕，

C./(x)可能有兩個極值點

D.當&=-1時，存在實數(shù)a,b,使得/(x)關于點(a,-b)對稱

【解答】解；對于A,當攵=0時，/，。心/一〈。=人勸在區(qū)上單調(diào)遞

ee

減，故A正確；

對于8,當％=1時，〃幻=鼻二，r(X)=一，'(：；+：：;一1),令廣(》)=0=d=近一1，

ex+1(e、+1)

且，=0-1時，函數(shù)f(x)取得極大值，為二后,—=也土、故5正確；

(0-1)2+12

對于C,/(x)=n尸(x)=-e、(e；：j2e；二k),由人可知，當％=。時，f(x)在R上單

ez+k(e"+ky

調(diào)遞減，函數(shù)f(x)不可能有兩個極值點;

無<0時，函數(shù)/(X)在(-8,；/〃(-%))上單調(diào)遞減，在(?〃(一幻，+8)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(X)

不可能有兩個極值點；

%>0時，r⑶=—1)埠12^21),此時函數(shù)/(X)也只有一個極值點，

(e2+k)~

綜上可得函數(shù)人幻最多只有一個極值點，故。不正確；

對于。，％=-1時，/(x)=；+1=—-—,取a=0,b=—)

e2x-le'-l2

則/W+f(-x)=-r—+J,=-l-

所以/(x)關于點(0,-3對稱，故D正確；

故選：ABD.

13.已知函數(shù)/(x)="^,則()

e+k

A.當氏=0時，f(x)是R上的減函數(shù)

B.當々=1時，/(x)的最大值為上手

C./(x)可能有兩個極值點

D.若存在實數(shù)。，b,使得g(x)=/(x+a)+b為奇函數(shù)，則攵=一1

/+1一/_2

【解答】解；A.當攵=0時，=f\x)=—r—<0,

ee

.?./(x)在尺上單調(diào)遞減，因此正確.

口%7［口寸r(x/+1、-e"(e'+1+&)(e"+1-夜)

B?當R=1時，/(X)=-T—,/(%)=-------------,2、八2-----------,

e2x+1(X+iy

可得：e*=0-1時，函數(shù)f(x)取得極大值為：/T：1因此正確.

(V2-l)2+l2

ex+]-e'(e2'+2e*-%)

C.fM=

e2x+k(e2x+k)2

2=0,1時，，由45可知，函數(shù)f(x)不可能有兩個極值點.

么<0時，函數(shù)f(x)在(-00,9〃(-&))上單調(diào)遞減，在(g/w(-Q,+8)上單調(diào)遞減;

k>0時，f\x)=+,此時函數(shù)f㈤也只有一個極值點,

(e+ky

綜上可得函數(shù)f(x)最多只有一個極值點，因此不正確.

D.A=-l時，f(x)=：+I=—-—，取a=0,b=~>貝Ug(x)=—----pl為奇函數(shù)；

e2x-\ex-l2e'-l2

%x-1時，結合C中的f(x)的圖象及其單調(diào)性即可判斷出：

不存在實數(shù)a,6,使得g(x)=/(x+a)+6為奇函數(shù).因此正確.

可以理解成函數(shù)g(x)有對稱中心就可以平移變成奇函數(shù)，因此只要g(x)+g(m-x)=c恒成

立就行，

得到％=-1.

故選：ABD.

三.填空題(共4小題)

14.若隨機變量X~N(3,(T2),且尸(X>5)=0.2,則P(1轟腥5)等于0.6.

【解答】解：?.?隨機變量X~N(3Q2),且尸(X>5)=0.2,

.-.P(X<l)=P(X>5)=0.2,

P(啜k5)=1-P(X<1)-P(X>5)=l-o.4=0.6.

故答案為：0.6.

15.已知非零向量a,5滿足Ia-b|=|4|,cil(d-b),則4與B夾角為_工_.

-4-

【解答】解：根據(jù)題意，設萬與5的夾角為e,|。-方|=|a|=/,

則有3-5)2=a2+斤一2無5=/，變形可得:b2=2ab,

又由少_L3-5),^}]a-(,a-b)=a2-d-b=0,BPa2=a'6,

綜合可得：\h\=y/2\a\=y/2t,

川有.=——=立，

\d\\h\txy/2t2

又由砥R4，則e=工；

4

故答案為：

4

函數(shù)+；,若存在切線與/關于直線對

16.已知直線/:y=3%+2,/(x)=/(x)y=x

稱，則a=—.

一3一

【解答】解：在直線/:y=3x+2上任取兩點(0,2),(1,5),

點(0,2),(1,5)關于y=x的對稱點為(2,0),(5,1),

則切線方程為匕9=主心，即x—3y—2=0.

1-05-2

由/(x)=/m;-ar+LW/r(x)=--aiXG(0,-FW),

3x

1

fW=--a

%3%=】

11

設切點(%)，％),則<%=/叫-嵇+§，解得

七-3笫-2=02

a=—

3

故答案為：-

3

17.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+?),給出下列判斷:

①函數(shù)“X)的最小正周期為萬；

②函數(shù)y=/(x+自是偶函數(shù)；

③函數(shù)關于點(竺-至，0)(AeZ)成中心對稱；

26

④函數(shù)“X)在區(qū)間仔，募］上是單調(diào)遞減函數(shù).

其中正確的判斷是①②③.(寫出所有正確判斷的序號)

【解答】解：對于函數(shù)/(x)=sin(2x+g),由于它的周期為券=萬，故①正確；

由于函數(shù)y=f(x+C)=sin［2(x+C)巴|=sin(2x+^+工)=cos2x是偶函數(shù)，故②正確；

1212363

由于當x=—~—時，sin(2x+—)=sin(k^-—+—)=sin(Z;^)=0,故函數(shù)f(x)關于點

26333

仔蘭，°)(%eZ)成中心對稱，故③正確；

在區(qū)間弓，yj±,2x+^e［y,等］,故函數(shù)/(x)在區(qū)間號，等］上不是單調(diào)函數(shù),

故④錯誤，

故答案為：①②③.

四.解答題(共6小題)

18.已知數(shù)列｛4｝中，4=1,an>0,其前〃項和為S“，4=叵+反(nwN*，n..2)?在

數(shù)列電｝中，6=2,4=4,且當九.2時，也+1，〃GN*.

(1)求數(shù)列｛〃“｝,｛%｝的通項公式;

(2)記cn=a也,求數(shù)列｛g｝的前"項和7；.

【解答】解：(1)在數(shù)列｛4｝中,4=￥-5"〃..2)①,

=四+E7②且4>0，，①式+②式得：后-67=1(〃-2),

，數(shù)列｛￡｝是以后=口=1為首項，公差為1的等差數(shù)列，

2

=1+(n-1)=n>Sn=n,

22

當”..2時,an=5?-S,,.1=n-(n-1)=2n-1,

當〃=1時，4=1,也滿足上式，

數(shù)列｛。“｝的通項公式為a“=2〃-1；

當〃..2時，片.?.數(shù)列電｝是等比數(shù)列,

又,:b、=2,瓦=4,.,.公比q=/=2,

，數(shù)列｛0“｝是首項、公比均為2的等比數(shù)列，

.??其通項公式"=2X2"T=2"；

(2)由(1)可知q,=(2"-1)-2”,

則7；=卜2+3、22+5、23+...+(2〃-1)*2",

21=1X22+3X23+-一+(2〃-3)X2"+(2〃-1)X2"+',

兩式相減，得：-7；,=2+2X22+2X23+...+2X2,'-(2?-1)X2,,+I

22(1-2"T)

=2+2x-(2n-l)x2"+l=-6-(2n-3)x2"+l,

-1^2~

7；,=6+(2n-3)x2,,+l.

19.在AA8C中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知：b=石，c=0，ZB=45°.

(1)求邊BC的長和三角形AfiC的面積：

4

(2)在邊BC上取一點D,使得cosNAZ>8=_,求tan4MC的值.

5

【解答】解：(1)在AABC中，由余弦定理知，b2=cr+c2-2ac-cosB,

歷

:.5=a2+2-2yf2ax—,解得。=3或一1(舍)，

2

BC=3，

AABC的面積S=—6zc-sinB=—x3x>/2x^^=—.

2222

(2)在AABC中，由正弦定理知，/_=一仁，

sinBsinC

.x/5V2..

..------=-----,..sinC=—,

sin45°sinC5

2/s

?/Z?=\/5>c=>/2,「.C為銳角，cosC=—,

43

cosZADB=—,sinZADB=—,

55

/.sinZ.DAC=sin(ZADB-ZC)=sinZADB-cosZC-cosZADB-sinZC=—x--x—=

555525

由圖可知，〃4C為銳角,

cosZD/4C=^^

25

sinNDAC2

tanZ.DAC=

cosZDACIT

20.某企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產(chǎn).在試產(chǎn)初期，該款芯片的生產(chǎn)有四道工序,

前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知

該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為A=2.

1102938

(1)求該款芯片生產(chǎn)在進入第四道工序前的次品率；

(2)如果第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線

并由工人進行人工抽查檢驗.在芯片智能自動檢測顯示合格率為90%的條件下，求工人在

流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率.

【解答】解：(1)該款芯片生產(chǎn)在進入第四道工序前的次品率

1113

尸=1-(1——)x(1一一)x(1—一)=—.

109810

(2)設該批次智能自動檢測合格為事件A,人工抽檢合格為事件3,

o37

則P(A)=—,P(AB)=1--=—,

101010

則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率

7

P(A8)

P(8|A)=

P⑷

10

21.如圖，在四棱錐P-MCD中，F(xiàn)4JL平面ABC。，ADA.CD,AD//BC,

PFMB

PA=AD=CD=2,E為PD的中點，F(xiàn),“分別在PC和P3上，且

（1）若N在尸C上，且。N//平面W,求證：MTV//平面/WCD；

7

（2）若直線與平面ABCZ）所成角的正弦值為-，求二面角尸-AE-。的余弦值.

3

【解答】解：（1）?.?￡W〃平面DVu平面PC。，平面P8C平面=

:.DNHEF,

???E為PD的中點，

:.F為PN中點、,

PF1

,/---=—,

PC3

PN2

---=—,

PC3

MB1

*/=—,

PB3

.PMPN2

..-------——，

PBPC3

：.MN//BC,

?.?腦7仁平面ABCD,BCu平面438,

.?.加7//平面筋8；

（2）由于平面ABCD,則以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

224

則A(0,0,0),C(2,2,0),E(0,l,l),F(-,-,-)，

333

—,—224

AE=(0,1,>

m-AE=y+z=0

設平面AM的法向量為沅=Q,y,z),則,_.224，則可取沆=(1,1,一1),

tn-AF=—x+—y+—z=0

333

???CD_LA￡>,CD±PA,AD^\PA=AfADu平面Q4D,B4u平面RU),

「.CO_L平面PAD,

???平面Q4O的一個法向量為”=(1,0,0),

設二面角尸―AE—。的平面角為。，則|cosJ|=|cos<”>|=|"|=/'

|/n||n|3

?.?二面角尸-AE-3的平面角為鈍角，

二面角尸—AE—D的平面角的余弦值為-走.

3

22.在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓C:=+4=l(a>10)的右焦點為尸(c,0),。為

a'b-

坐標原點，若橢圓上存在一點A,使。4_LAF,延長AO,AF分別交橢圓于8,C.

(1)求橢圓C離心率的最小值；

(2)當橢圓C的離心率取最小值時，求直線8c的斜率.

【解答】解：(1)設點A的坐標為(x,y),F(c,0)

/.OA=(x,y),FA=(x-c,y),

???Q4_LAF,

OA"FA=x2-cx+y2=0,①

22

?.號+方=1,②，

由①②消y可得三產(chǎn)—cx+從=（）,

a-

若橢圓上存在一點A,使。4LAF,

--cx+kr=0在(0,c)上有解,

a

21

△..0b

27,'4c23

0?—<c>.a2,,2c2了4即

2c，n即，，即《

b2>012

/(0)>0C

/(c)>0--c2+b2>0

a

又“<1,