人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3課后習(xí)題解答

新逐怒行海教孽選僧2—3第一專得.石習(xí)題繇答

第一章計(jì)數(shù)原理

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

練習(xí)（P6）

1、（1）要完成的“一件事情”是“選出1人完成工作”，不同的選法種數(shù)是5+4=9；

（2）要完成的“一件事情”是“從A村經(jīng)8村到。村去”，不同路線條數(shù)是3X2=6.

2、（1）要完成的“一件事情”是“選出1人參加活動(dòng)”，不同的選法種數(shù)是3+5+4=12；

（2）要完成的“一件事情”是“從3個(gè)年級的學(xué)生中各選1人參加活動(dòng)”，不同選法種

數(shù)是3X5X4=60.

3、因?yàn)橐_定的是這名同學(xué)的專業(yè)選擇，并不要考慮學(xué)校的差異，

所以應(yīng)當(dāng)是6+4—1=9（種）可能的專業(yè)選擇.

練習(xí)（P10）

1、要完成的“一件事情”是“得到展開式的一項(xiàng)”.由于每一項(xiàng)都是。也q的形式，所以可

以分三步完成：第一步，取為，有3種方法；第二步，取鳥，有3種方法；第三步，取q,

有5種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，展開式共有3X3X5=45（項(xiàng)）.

2、要完成的“一件事情”是“確定一個(gè)電話號碼的后四位”.分四步完成，每一步都是從

0?9這10個(gè)數(shù)字中取一個(gè)，共有10X10X10X10=10000（個(gè)）.

3、要完成的“一件事情”是“從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名”.第一步選正組長，

有5種方法；第二步選副組長，有4種方法.共有選法5義4=20（種）.

4、要完成的“一件事情”是“從6個(gè)門中的一個(gè)進(jìn)入并從另一個(gè)門出去”.分兩步完成：

先從6個(gè)門中選一個(gè)進(jìn)入，再從其余5個(gè)門中選一個(gè)出去.共有進(jìn)出方法6X5=30（種）.

習(xí)題1.1A組（P12）

1、“一件事情”是“買一臺(tái)某型號的電視機(jī)”.不同的選法有4+7=11（種）.

2、“一件事情”是“從甲地經(jīng)乙地或經(jīng)丙地到丁地去”.所以是“先分類，后分步”，不同

的路線共有2X3+4X2=14（條）.

3、對于第一問，“一件事情”是“構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)”.由于1,5,9,13是奇數(shù)，4,8,12,

16是偶數(shù)，所以I,5,9,13中任意一個(gè)為分子，都可以與4,8,12,16中的任意一個(gè)構(gòu)成

分?jǐn)?shù).因此可以分兩步來構(gòu)成分?jǐn)?shù)：第一步，選分子，有4種選法；第二步，選分母，也有4

種選法.共有不同的分?jǐn)?shù)4X4=16（個(gè)）.

對于第二問，“一件事情”是“構(gòu)成一個(gè)真分?jǐn)?shù)”.分四類：分子為1時(shí)，分母可以從4,8,

12,16中任選一個(gè)，有4個(gè)；分子為5時(shí)，分母可以從8,12,16中選一個(gè)，有3個(gè)；分子

為9時(shí)，分母從12,16中選一個(gè)，有2個(gè)；分子為13時(shí)，分母只能選16,有1個(gè).所以共有

真分?jǐn)?shù)4+3+2+1=10（個(gè)）.

4、“一件事情”是“接通線路”.根據(jù)電路的有關(guān)知識，容易得到不同的接通線路有3+1

+2X2=8（條）.

5、（1）“一件事情”是“用坐標(biāo)確定一個(gè)點(diǎn)”.由于橫、縱坐標(biāo)可以相同，因此可以分兩步

完成：第一步，從A中選橫坐標(biāo)，有6個(gè)選擇；第二步，從A中選縱坐標(biāo)，也有6個(gè)選擇.所

以共有坐標(biāo)6X6=36（個(gè)）.

（2）“一件事情”是“確定一條直線的方程”.由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、

斜率相同截距不同的直線都是互不相同的，因此可分兩步完成：第一步，取斜率，有4種取法;

第二步，取截距，有4種取法.所以共有直線4義4=16（條）.

習(xí)題1.1B組（P13）

1、“一件事情”是“組成一個(gè)四位數(shù)字號碼”.由于數(shù)字可以重復(fù)，最后一個(gè)只能在0?5

這六個(gè)數(shù)字中撥，所以有號碼10X10X10X6=6000(個(gè)).

2、(1)“一件事情”是“4名學(xué)生分別參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)中的一個(gè)，每人限報(bào)一個(gè)，可以報(bào)同

一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)”.應(yīng)該是人選運(yùn)動(dòng)隊(duì)，所以不同報(bào)法種數(shù)是3，

(2)“一件事情”是“3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽”.應(yīng)該是人選風(fēng)景點(diǎn)，故

不同的選法種數(shù)是53.

1.2排列與組合

練習(xí)(P20)

1、(1)ab,ac,ad,ba,he,hd,ca,cb,cd,da,db,de；

(2)ah,ac,ad,ae,ba,be,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,de,de,ea,eb,ec,ed.

2、(1)《=15x14x13x12=32760；(2)A；=7!=5040；

(3)8-24=8x7x6x5—2x8x7=1568；(4)受=冷=5.

A2

2345678

2624120720504040320

履一8%+7&=8A；—8A；+得=礙

5、用=60(種).6、禺=24(種).

練習(xí)(P25)

1、(1)甲、乙,甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁;

(2)

冠軍甲乙甲丙甲乙丙乙丙

2TTT

亞軍乙甲丙甲丙乙乙丙

AABC甲TT「

/\ABD,AACD,A5CZ).

3、域=20(種).4、C：=6(個(gè)).

5、(1)。：="=15；(2)C；=8x7x6=56；

61x281x2x3

(3)=35-15=20；(4)3C；—2C；=3x56—2x10=148.

6"?+1cn,+,='"+1_______(〃+1)!_______="！=c”,

n+\，，+ln+\(/?2+l)![(?+l)-(m+l)]!機(jī)！(〃-〃?)！"

習(xí)題1.2A組(P27)

1、(1)5封+4&=5x60+4x12=348；(2)A：++&+A：=4+12+24+24=64.

2

2、(1)C：=455；(2)C￡=C蒜=1313400；(3)

（4）C3.C；2=C3c=5+?.

3、（I）孀-4=（〃+1）4-4=砒；=〃2端；

（2）（〃+1）！加_5+1）!--左+1）〃！

~k\（Jt-l）!~~k\~~k\*

4、由于4列火車各不相同，所以停放的方法與順序有關(guān)，有蜀=1680（種）不同的停法.

5、A：=24.

6、由于書架是單層的，所以問題相當(dāng)于20個(gè)元素的全排列，有題種不同的排法.

7、可以分三步完成：第一步，安排4個(gè)音樂節(jié)目，共有國種排法；第二步，安排舞蹈節(jié)

目，共有A；種排法；第三步，安排曲藝節(jié)目，共有耳種排法.所以不同的排法有

A：.A，A；=288（種）.

8、由于〃個(gè)不同元素的全排列共有”!個(gè)，而〃!所以由〃個(gè)不同的數(shù)值可以以不同的

順序形成其余的每一行，并且任意兩行的順序都不同.

為使每一行都不重復(fù)，機(jī)可以取的最大值是〃!.

9、（1）由于圓上的任意3點(diǎn)不共線，圓的弦的端點(diǎn)沒有順序，所以共可以畫Gj=45（條）

不同的弦；

（2）由于三角形的頂點(diǎn)沒有順序，所以可以畫的圓內(nèi)接三角形有G%=120（個(gè)）.

10、（1）凸五邊形有5個(gè)頂點(diǎn)，任意2個(gè)頂點(diǎn)的連線段中，除凸五邊形的邊外都是對角線,

所以共有對角線-5=5（條）；

（2）同（1）的理由，可得對角線為第-"=若2（條）.說明：本題采用間接法更方便.

11、由于四張人民幣的面值都不相同，組成的面值與順序無關(guān)，所以可以分為四類面值，

分別由1張、2張、3張、4張人民幣組成，共有不同的面值C：+C：+C：+C：=15（種）.

12、（1）由“三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面”，所確定的平面與點(diǎn)的順序無關(guān)，所以共可確

定的平面數(shù)是=56；

（2）由于四面體由四個(gè)頂點(diǎn)唯一確定，而與四個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān)，所以共可確定的四面體個(gè)

數(shù)是Gi=2io.

13、（1）由于選出的人沒有地位差異，所以是組合問題，不同的方法數(shù)是C：=10.

（2）由于禮物互不相同，與分送的順序有關(guān)系，所以是排列問題，不同方法數(shù)是￡=60；

（3）由于5個(gè)人中每個(gè)人都有3中選擇，而且選擇的時(shí)間對別人沒有影響，所以是一個(gè)''可

重復(fù)排列”問題，不同方法數(shù)是3,=243；

（4）由于只要取出元素，而不必考慮順序，所以可以分兩步取元素：第一步，從集合A中

取，有〃?種取法；第二步，從集合8中取，有〃種取法.所以共有取法〃皿種.

說明：第（3）題是“可重復(fù)排列”問題，但可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決.

14、由于只要選出要做的題目即可，所以是組合問題，另外，可以分三步分別從第1,2,3

題中選題，不同的選法種數(shù)有C1C；C；=24.

15、由于選出的人的地位沒有差異，所以是組合問題.

（1）C；=60；

（2）其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有C；=21（種）選法；

（3）用間接法，在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內(nèi)的去掉，就得到符合條

件的選法數(shù)為C；-C；=91；

如果采用直接法，則可分為3類：只含男甲；只含女乙；同時(shí)含男甲女乙，得到符合條件

的方法數(shù)為C+《+C；=91；

（4）用間接法，在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選

法總數(shù)為C；-C；-C：=120.

也可以用直接法，分別按照含男生1,2,3人分類，得到符合條件的選法數(shù)為

C；C；+C；C：+C：C：=120.

16、按照去的人數(shù)分類，去的人數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,而去的人大家沒有地位差異,

所以不同的去法有C；+C；+C：+C；+C：+C：=63（種）.

17、（1）C,g8=1274196；（2）Cj-C,t8=124234110；（3）C*=2410141734；

（4）解法1：G\=C；y3=125508306.解法2：-C,g8=125508306.

說明：解答本題時(shí)，要注意區(qū)分“恰有”“至少有”等詞.

習(xí)題1.2B組（P28）

1、容易知道，在Cl注彩票中可以有一個(gè)一等獎(jiǎng).

在解決第2問時(shí)，可分別計(jì)算37選6及37選8中的一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，它們分別是

---=--------和---=---------

/2324784C；?38608020

1

要將一等獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)提高到一--以上且不超過

6000000500000

即500000<C；7<6000000,

用計(jì)算機(jī)可得，〃=6,或〃=31.

所以可在37個(gè)數(shù)中取6個(gè)或31個(gè).

2、可以按照I,II,III,IV的順序分別著色：分別有5,4,3,3種方法，所以著色種數(shù)有

5X4X3X3=180(種).

3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，從1,3,5,7,9中取3個(gè)數(shù)，有C；種取

法；第二步，從2,4,6,8中取2個(gè)數(shù)，有種取法；第三步，將取出的5個(gè)數(shù)全排列，有

川種排法.共有符合條件的五位數(shù)C，C：?6=7200(個(gè)).

4、由于甲和乙都沒有得冠軍，所以冠軍是其余3人中的一個(gè)，有A：種可能；乙不是最差的，

所以是第2,3,4名中的一種有A；種可能；上述位置確定后，甲連同其他2人可任意排列，

有A:種排法.所以名次排列的可能情況的種數(shù)是A；??國=54.

5、等式兩邊都是兩個(gè)數(shù)相乘，可以想到分步乘法計(jì)數(shù)原理，于是可得如下分步取組合的方

法.

在〃個(gè)人中選擇加個(gè)人搞衛(wèi)生工作，其中女個(gè)人擦窗，，”-左個(gè)人拖地，共有多少種不同的

選取人員的方法？

解法1：利用分步計(jì)數(shù)原理，先從〃個(gè)人中選加個(gè)人，然后從選出的加個(gè)人中再選出上個(gè)人

擦窗，剩余的人拖地，這樣有c："C種不同的選取人員的方法；

解法2：直接從〃個(gè)人中選女個(gè)人擦窗，然后在剩下的《個(gè)人中選機(jī)-女個(gè)人拖地，這樣,

由分步計(jì)數(shù)原理得，共有cact/種不同的人員選擇方法.

所以，;&成立.

說明：經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)排列組合的運(yùn)算結(jié)果或等式出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)實(shí)際問題加以解釋,

有助于學(xué)生對問題的深入理解，檢查結(jié)果，糾正錯(cuò)誤.

1.3二項(xiàng)式定理

練習(xí)(P31)

1、p1+7p6q+21p，2+35p%3+35p3q4+2lp2q5+7pq"+".

42

2、T3=Cg(2a)-(3b)=2160aV.

3、心=￡；(瓶)"，(-志)，=空0號.

4、D.理由是Qi=。拉也“_1)5=一％》5.

練習(xí)(P35)

n〃一1

1、(i)當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，最大值C，；當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，最大值cj.

(2)C：|+G；++C,1,1=1-2"=1024.(3)

2、:C：+C；+C；++C/++C；；=2",

2、:C：：+C；+C：++C++C"=2",

.Y+C：+C；++C：++C：

；.C；+C：++C：=5=2"T.3、略.

習(xí)題1.3A組(P36)

i,(1)c：：P"+c；pi(i-P)+c；p-2(i-py++c：pr(i-py++c"(i-py；

,、2n

(2)-c^°+-c!'L+^cL++jc.

2"2"2"2"

2、(1)(?+V^)9=?9+9a8+36?7+84rz6/7+126a5b^b+126a4+84a3b2+

2I-7221-35--------

(2)(--^)7=—x2--x5+—x2-—%2+70%2-168%2+224x2-128x2.

2?1283282

3、(1)(1+Vx)5+(1-Vx)5=2+20x+10x2；

_L」1_1

(2)(2"+3-)4-(2--3-)4=192x+432戶.

4、(1)前4項(xiàng)分別是1,—30x,420/,-3640%3；

(2)7；=-2099520a9/714；(3)7；=924；

(4)展開式的中間兩項(xiàng)分別為(，T9,其中

5、(1)含二的項(xiàng)是第6項(xiàng)，它的系數(shù)是C*(—Ly=—

x28

(2)常數(shù)項(xiàng)是第6項(xiàng)，(=。於2叱5(_$5=—252.

6、⑴酊=。；,廿-,(_%=(—1)匕,廿2

X

6、(1)乙=6“-一(_與=(_1)匕,廿2

X

由2〃-2r=0得r=〃，即(工-，))"的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

x

(2)(l+x)2"的展開式共有2〃+1項(xiàng)，所以中間一項(xiàng)是

7、略.

8、展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是C：與C〉

由C；=C：7,得3=〃_7,即〃=10.

所以，這兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)分別是與C1,即120.

習(xí)題1.3B組(P37)

wn222

1、(1),/(?+1)"-1=?+C'?n-'+C；tn"-++C"~n+C^'n+\-\

+1能被/整除；

(2)V9910-1=(100-I)10-1

991°—1能被1000整除.

2、由(2—1)“=C>2"—C；?2""+Q.232++(_i)"T.c：i.2+(—1)“C；；,

得2"-C'?-+C；-2n_2++2+(-1)"=1.

第一專裒習(xí)參老題A組(P40)

1、(1)/；

說明：這里的“一件事情”是“得到展開式中的一項(xiàng)”.由于項(xiàng)的形式是《斗,而I,/都有〃

種取法.

(2)C^-Cl=525；

(3)A：.父=480,或&?《=480；

說明：第一種方法是先考慮有限制的這名歌手的出場位置，第二種方法是先考慮有限制的

兩個(gè)位置.

⑷C；;

說明：因?yàn)樽闱蚱睙o座，所以與順序無關(guān)，是組合問題.

(5)35；

說明：對于每一名同學(xué)來說，有3種講座選擇，而且允許5名同學(xué)聽同一個(gè)講座，因此是

一個(gè)“有重復(fù)排列”問題，可以用分步乘法原理解答.

(6)54；

說明：對角線的條數(shù)等于連接正十二邊形中任意兩個(gè)頂點(diǎn)的線段的條數(shù)G：，減去其中的正

十二邊形的邊12條：G$T2="F—12=54.

(7)第〃+1項(xiàng).

說明：展開式共有2〃+1項(xiàng)，且各系數(shù)與相應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同.

2、⑴4+4+《+4+反+父=1956；

說明：只要數(shù)字是1,2,3,4,5,6中的，而且數(shù)字是不重復(fù)的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、

四位數(shù)、五位數(shù)和六位數(shù)都符合要求.

(2)2&=240.

說明：只有首位數(shù)是6和5的六位數(shù)才符合要求.

3、(1)C：=56；(2)C；+C；+C；+C；=30.

4、C；+C：=98.

說明：所請的人的地位沒有差異，所以是組合問題.按照“其中兩位同學(xué)是否都請”為標(biāo)準(zhǔn)

分為兩類.

5、(1)說明：任意兩條直線都有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)各不相同.

2

(2)戲=見曰.說明：任意兩個(gè)平面都有一條交線，而且交線互不相同.

2

6、⑴Cg7=64446024；(2)C1-C^=442320；(3)C；+C；=446976.

7、■?蜀?禺=103680.

說明：由于不同類型的書不能分開，所以可以將它們看成一個(gè)整體，相當(dāng)于是3個(gè)元素的

全排列.但同類書之間可以交換順序，所以可以分步對它們進(jìn)行全排列.

8、(1)—26x~；

說明：第三項(xiàng)是含/的項(xiàng)，其系數(shù)是C：.32+C：.C；(-2x3)+C；(-2尸-26.

(2)7；+1=C；8(9x)i8T(—十)',由題意有

解得廠=12,5=18564；

(3)由題意得2C：=C：+C；°,即

化簡得〃2—37〃+322=0,解得“=14,〃=23；

(4)解法1：設(shè)是(l-x尸展開式的第r+1項(xiàng)，由題意知，所求展開式中/的系數(shù)為

%也與耳?的系數(shù)之和.

TY（r）4,3,鞏=此（-幻2,

因此,/的系數(shù)=Gi-G^+Gi=135.

解法2：原式=(1一/)(1一幻9

因此,丁的系數(shù)=C；+9=135.

9、55"+9=(56-1產(chǎn)+9

由于5655-C*56M++得-56+8中各項(xiàng)都能被8整除，因此55、5+9也能被8整除.

第一章裒習(xí)參老巡B組（P41）

1、（1）C：：：=C,3=21,即:（〃+1）?〃=21，解得〃=6；

（2）心心）=4x2x24=192；

說明：先排有特殊要求的，再排其他的.

（3）3x3x3x3=3。4x4x4=4%

說明：根據(jù)映射定義，只要集合A中任意一個(gè)元素在集合B中能夠找到唯一對應(yīng)的元素,

2、（1）先從1,3,5中選1個(gè)數(shù)放在末位，有A；種情況；再從除0以外的4個(gè)數(shù)中選1

個(gè)數(shù)放在首位，有A：種情況；然后將剩余的數(shù)進(jìn)行全排列，有禺種情況.所以能組成的六位

奇數(shù)個(gè)數(shù)為A；.41.4：=288.

（2）解法1：由0,1,2,3,4,5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是4?&,

其中不大于201345的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)首位數(shù)字是2時(shí)，只有201345這1個(gè)；當(dāng)首位數(shù)字是

1時(shí)，有￡個(gè).因此，所求的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是-（1+6）=479.

解法2：由0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)中，大于201345的數(shù)

分為以下幾種情況：

前4位數(shù)字為2013,只有201354,個(gè)數(shù)為1；

同理，前3位數(shù)字為201,個(gè)數(shù)為4?國；前2位數(shù)字為20,個(gè)數(shù)為

首位數(shù)字為2,個(gè)數(shù)為首位數(shù)字為3,4,5中的一個(gè)，個(gè)數(shù)為A；.￡；

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所求的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是1+A；?8+&-A；+A：?/+4?反=479.

3、（1）分別從兩組平行線中各取兩條平行線，便可構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，所以可以構(gòu)成的

平行四邊形個(gè)數(shù)為mn（m一1）（〃一1）；

（2）分別從三組平行平面中各取兩個(gè)平行平面，便可構(gòu)成一個(gè)平行六面體，所以可以構(gòu)

成的平行六面體個(gè)數(shù)為?C：-Cf=-mnl(m-l)(n-1)(/-1).

8

4、(1)先排不能放在最后的那道工序，有A：種排法；再排其余的4道工序，有4種排法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，排列加工順序的方法共有96(種)；

(2)先排不能放在最前和最后的那兩道工序，有A；種排法；再排其余的3道工序，有A；

種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，排列加工順序的方法共有A[A；=36(種).

5、解法1：由等比數(shù)列求和公式得(l+x)3+(l+x)4++(1+X)"+2=(1+X)M—(1+XJ,

X

上述等式右邊分子的兩個(gè)二項(xiàng)式中含/項(xiàng)的系數(shù)分別是C；+3，Cl，

因此它們的差C±3-C；="5+6"+"),就是所求展開式中含1項(xiàng)的系數(shù).

6

解法2：原式中含一項(xiàng)的系數(shù)分別是C；,C；,…,Cl，因此它們的和就是所求展開式

中含/項(xiàng)的系數(shù).與復(fù)習(xí)參考題B組第2題同理，可得

作2—3第二章彥君句題儒答

第二章隨機(jī)變量及其分布

2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列

練習(xí)(P45)

1>(1)能用離散型隨機(jī)變量表示.可能的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

(2)能用離散型隨機(jī)變量表示.可能的取值為0,1,2,3,4,5.

(3)不能用離散型隨機(jī)變量表示.

說明：本題的目的是檢驗(yàn)學(xué)生是否理解離散型隨機(jī)變量的含義.在(3)中，實(shí)際值與規(guī)定

值之差可能的取值是在0附近的實(shí)數(shù)，既不是有限個(gè)值，也不是可數(shù)個(gè)值.

2,可以舉的例子很多，這里給出幾個(gè)例子：

例1某公共汽車站一分鐘內(nèi)等車的人數(shù)；

例2某城市一年內(nèi)下雨的天數(shù)；

例3一位跳水運(yùn)動(dòng)員在比賽時(shí)所得的分?jǐn)?shù)；

例4某人的手機(jī)在1天內(nèi)接收到電話的次數(shù).

說明：本題希望學(xué)生能觀察生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，知道哪些量是隨機(jī)變量，哪些隨機(jī)變量又

是離散型隨機(jī)變量.

練習(xí)(P49)

1、設(shè)該運(yùn)動(dòng)員一次罰球得分為X,X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為

01

0.30.7

說明：這是一個(gè)兩點(diǎn)分布的例子，投中看作試驗(yàn)成功，沒投中看作試驗(yàn)失敗.通過這樣的例

子可以使學(xué)生理解兩點(diǎn)分布是一個(gè)很常用的概率模型，實(shí)際中大量存在.雖然離散型隨機(jī)變量

的分布列可以用解析式的形式表示，但當(dāng)分布列中的各個(gè)概率是以數(shù)值的形式給出時(shí)，通常用

列表的方式表示分布列更為方便.

2、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，其全部可能的結(jié)果為｛正正，正反，反正，反反｝.正面

向上次數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，

因此X的分布列為012

說明：這個(gè)離散型0.250.50.25隨機(jī)變量雖然簡單，但卻是幫助學(xué)生理解

隨機(jī)變量含義的一個(gè)很好的例子.試驗(yàn)的全部可能的結(jié)果為

｛正正，正反，反正，反反｝,隨機(jī)量X的取值范圍為｛0,1,2),對應(yīng)關(guān)系為

正正f2正反一1反正一1反反一0

在這個(gè)例子中，對應(yīng)于1的試驗(yàn)結(jié)果有兩個(gè)，即“正反”和“反正”，因此用隨機(jī)變量X不

能表示隨機(jī)事件｛正反｝.這說明對于一個(gè)具體的隨機(jī)變量而言，有時(shí)它不能表示所有的隨機(jī)事

件.

可以通過讓學(xué)生們分析下面的推理過程存在的問題，進(jìn)一步鞏固古典概型的知識.如果把

X所有取值看成是全體基本事件，即。=｛0,1,2｝.

根據(jù)古典概型計(jì)算概率的公式有P(X=1)=P(｛1｝)=4.

這與解答的結(jié)果相矛盾.原因是這里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一個(gè)等

號不成立.詳細(xì)解釋下：雖然。中只含有3個(gè)基本事件，但是出現(xiàn)這3個(gè)基本事件不是等可能

的，因此不能用古典概型計(jì)算概率的公式來計(jì)算事件發(fā)生的概率.

3、設(shè)抽出的5張牌中包含A牌的張數(shù)為X,則X服從超幾何分布，其分布列為

P(X=i)=i=0,I,2,3,4.

G

因此抽出的5張牌中至少3張A的概率為

P(X>3)=P(X=3)+P(X=4)?0.002.

說明：從52張牌任意取出5張，這5張牌中包含A的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.把52

張牌看成是52件產(chǎn)品，把牌A看成次品，則X就成為從含有四件次品的52件產(chǎn)品中任意抽

取5件中的次品數(shù)，因此X服從超幾何分布.

本題的目的是讓學(xué)生熟悉超幾何分布模型，體會(huì)超幾何分布在不同問題背景下的表現(xiàn)形式.

當(dāng)讓本題也可以用古典概型去解決，但不如直接用超幾何分布簡單.另外，在解題中分布列是

用解析式表達(dá)的，優(yōu)點(diǎn)是書寫簡單，一目了然.

4、兩點(diǎn)分布的例子：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布；射擊一次命

中目標(biāo)的次數(shù)服從兩點(diǎn)分布.

超幾何分布的例子：假設(shè)某魚池中僅有鯉魚和鞋魚兩種魚，其中鯉魚200條，鞋魚40條，

從魚池中任意取出5條魚，這5條魚包含鞋魚的條數(shù)X服從超幾何分布.

說明：通過讓學(xué)生舉例子的方式，幫助學(xué)生理解這兩個(gè)概率模型.

習(xí)題2.1A組(P49)

1、(1)能用離散型隨機(jī)變量表示.

設(shè)能遇到的紅燈個(gè)數(shù)為X,它可能的取值為0,1,2,3,4,5.

事件｛X=0｝表示5個(gè)路口遇到的都不是紅燈；事件｛X=1｝表示5個(gè)路口其中有1個(gè)路

口遇到紅燈，其他4個(gè)路口都不是紅燈；事件｛X=2｝表示5個(gè)路口其中有2個(gè)路口遇到紅燈,

其他3個(gè)路口都不是紅燈；事件｛X=3｝表示5個(gè)路口其中有3個(gè)路口遇到紅燈，剩下2個(gè)路

口都不是紅燈；事件｛X=4｝表示5個(gè)路口其中有4個(gè)路口遇到紅燈，另外1個(gè)路口都不是紅

燈；事件｛X=5｝表示5個(gè)路口全部都遇到紅燈.

(2)能用離散型隨機(jī)變量表示.

1,成績不及格

2,成績及格

定義X=<3,成績中

4,成績良

5,成績優(yōu)

則X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，可能的取值為1,2,3,4,5.

事件｛X=1｝表示該同學(xué)取得的成績?yōu)椴患案?；事件｛X=2｝表示該同學(xué)取得的成績?yōu)榧?/p>

格；事件｛X=3｝表示該同學(xué)取得的成績?yōu)橹?；事件｛X=4｝表示該同學(xué)取得的成績?yōu)榱?；?/p>

件｛X=5｝表示該同學(xué)取得的成績?yōu)閮?yōu).

說明：本題是考查學(xué)生是否理解離散型隨機(jī)變量的含義.在(2)中，需要學(xué)生建立一個(gè)對

應(yīng)關(guān)系，因?yàn)殡S機(jī)變量的取值一定是實(shí)數(shù)，但這個(gè)對應(yīng)關(guān)系不是唯一的，只要是從五個(gè)等級到

實(shí)數(shù)的意義映射即可.

2、某同學(xué)跑1km所用時(shí)間X不是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.如果我們只關(guān)心該同學(xué)是否能夠

取得優(yōu)秀成績，可以定義如下的隨機(jī)變量：

它是離散型隨機(jī)變量，且僅取兩個(gè)值：0或L

事件｛丫=1｝表示該同學(xué)跑1km所用時(shí)間小于等于4min,能夠取得優(yōu)秀成績；事件｛7=0｝

表示該同學(xué)跑1km所用時(shí)間大于4min,不能夠取得優(yōu)秀成績.

說明：考查學(xué)生在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中能否根據(jù)關(guān)心的問題不同定義不同的隨機(jī)變量，以簡化

問題的解答.可以與教科書中電燈泡的壽命的例子對比，基本思想是一致的.

3,一般不能.比如擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，用隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，則不

能用隨機(jī)變量X表示隨機(jī)事件｛第1次出現(xiàn)正面且第2次出現(xiàn)反面｝和｛第1次出現(xiàn)反面且第2

次出現(xiàn)正面｝.因?yàn)椋鸛=l｝=｛第1次出現(xiàn)正面且第2次出現(xiàn)反面｝U｛第1次出現(xiàn)反而且第2

次出現(xiàn)正面｝,所以這兩個(gè)事件不能分別用隨機(jī)變量X表示.

說明：一個(gè)隨機(jī)變量是與一個(gè)事件域相對應(yīng)的，一個(gè)事件域一般是由部分事件組成，但要

滿足一定的條件.對離散型隨機(jī)變量，如果它取某個(gè)值是由幾個(gè)隨機(jī)變量組成，則這幾個(gè)隨機(jī)

事件就不能用隨機(jī)變量表示，比如從一批產(chǎn)品中依次取出幾個(gè)產(chǎn)品，用X表示取出的產(chǎn)品中

次品的個(gè)數(shù)，這時(shí)我們不能用X表示隨機(jī)事件｛第i次取出次品，其他均為合格品｝.

4、不正確，因?yàn)槿∷兄档母怕屎筒坏扔?.

說明：考查學(xué)生對分布列的兩個(gè)條件的理解，每個(gè)概率不小于0,其和等于1,

即(1)/?,>0,i=l,2,,〃；

⑵之2=1.

i=l

5、射擊成績優(yōu)秀可以用事件｛X>8｝表示，因此射擊優(yōu)秀的概率為

P｛X28｝=尸(X=8)+P(X=9)+尸(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79

說明：本題知識點(diǎn)是用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，并通過分布列計(jì)算隨機(jī)事件的概率.

6、用X表示該班被選中的人數(shù)，則X服從超幾何分布，其分布列為

尸(X=i)=K停z=0,1,2,3,4.

該班恰有2名同學(xué)被選到的概率為

4!26!

-----x------

C2c8理a0.312.

P(X=2)=學(xué)2!x2!8!xl8!

5o30!609

10!x20!

說明：本題與49頁練習(xí)的第3題類似,希望學(xué)生在不同背景下能看出超幾何分布模型.

習(xí)題2.1B組(P49)

1、(1)設(shè)隨機(jī)抽出的3篇課文中該同學(xué)能背誦的0123

篇數(shù)為X,則X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能的

取值為0,1,2,3,且X服從超幾何分布，分布列

為

即

0123

(2)該同學(xué)能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率為

119

P(XN2)=P(X=2)+P(X=3)=-+-=一=0.667.

263

說明：本題是為了讓學(xué)生熟悉超幾何分布模型，并能用該模型解決實(shí)際問題.

2、用X表示所購買彩票上與選出的7個(gè)基本號碼相同的號碼的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分

布，其分布列為

P(X=i)=z=0,1,2,3,4,5,6,7.

至少中三等獎(jiǎng)的概率為

Q7

P(XN5)=+=aO.OOl.

C；76C；C；692752

說明：與上題類似同樣是用超兒何分布解決實(shí)際問題，從此題的結(jié)算結(jié)果可以看出至少中

三等獎(jiǎng)的概率近似為1/1000.

2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

練習(xí)(P54)

1、設(shè)第I次抽到A的事件為8,第2次抽到A的事件為C,則第1次和第2次都抽到A

的事件為8C.

解法1：在第1次抽到A的條件下，撲克牌中僅剩下51張牌，其中有3張A,所以在第1

次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

3

P(C|B)=—.

解法2：在第1次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

「用=喘=焉4

解法3：在第1次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

4x3

小忸)=-=沔=』.

1P⑻4x5151

52x51

說明：解法1是利用縮小基本事件范圍的方法計(jì)算條件概率，即分析在第1次抽到A的條

件下第2次抽取一張牌的隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，利用古典概型計(jì)算概率的公式直接得到結(jié)

果.解法2實(shí)際上是在原來的基本事件范圍內(nèi)通過事件的計(jì)數(shù)來計(jì)算條件概率.第3種方法是

利用條件概率的定義來計(jì)算.這里可以讓學(xué)生體會(huì)從不同角度求解條件概率的特點(diǎn).

2、設(shè)第1次抽出次品的時(shí)間為8,第2次抽出正品的事件為C,則第1次抽出次品且第2

次抽出正品的事件為8c.

解法1：在第1次抽出次品的條件下，剩下的99件產(chǎn)品中有4件次品，所以在第1次抽出

次品的條件下第2次抽出正品的概率為

Q5

P(CB)=—.

199

解法2：在第1次抽出次品的條件下第2次抽出正品的概率為

尸印)='=篝晦

解法3：在第1次抽出次品的條件下第2次抽出正品的概率為

5x95

一(8O_100x99-95

1—P(B)5x99~99-

100x99

說明：與上題類似，可以用不同方法計(jì)算條件概率.

3、例1箱中3張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3人無放回地任意抽取，在已知第一

個(gè)人抽到獎(jiǎng)券的條件下，第二個(gè)人抽到獎(jiǎng)券的概率或第三個(gè)人抽到獎(jiǎng)券的概率，均為條件概率,

它們都是0.

例2某班有45名同學(xué)，其中20名男生，25名女生，依次從全班同學(xué)中任選兩名同學(xué)

代表班級參加知識競賽，在第1名同學(xué)是女生的條件下，第2名同學(xué)也是女生的概率.

說明：這樣的例子很多，學(xué)生舉例的過程可以幫助學(xué)生理解條件概率的含義.

練習(xí)(P55)

1、利用古典概型計(jì)算的公式，可以求得

P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,

P(AB)=0.25,P(BC)=0.25,P(AC)=0.25,

可以驗(yàn)證

尸(AB)=P(A)P(3),尸(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).

所以根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義，有事件A與5相互獨(dú)立，事件8與C相互獨(dú)立，事件A與C

相互獨(dú)立.

說明：本題中事件A與8相互獨(dú)立比較顯然，因?yàn)閽仈S的兩枚硬幣之間是互不影響的.但

事件5與。相互獨(dú)立，事件A與C相互獨(dú)立不顯然，需要利用定義驗(yàn)證，從該習(xí)題可以看出，

事件之間是否獨(dú)立有時(shí)根據(jù)實(shí)際含義就可做出判斷，但有時(shí)僅根據(jù)實(shí)際含義是不能判斷，需要

用獨(dú)立性的定義判斷.

2、(1)先摸出1個(gè)白球不放回的條件下，口袋中剩下3個(gè)球，其中僅有1個(gè)白球，所以在

先摸出1個(gè)白球不放回的條件下，再摸出1個(gè)白球的概率是1/3.

(2)先摸出1個(gè)白球后放回的條件下，口袋中仍然有4個(gè)球，其中有2個(gè)白球，所以在

先摸出1個(gè)白球后放回的條件下，再摸出1個(gè)白球的概率是1/2.

說明：此題的目的是希望學(xué)生體會(huì)有放回摸球與無放回摸球的區(qū)別，在有放回摸球中第2

次摸到白球的概率不受第1次摸球結(jié)果的影響，而在無放回摸球中第2次摸到白球的概率受第

1次摸球結(jié)果的影響.

3、設(shè)在元旦期間甲地降雨的事件為A,乙地降雨的事件為3.

(1)甲、乙兩地都降雨的事件為所以甲、乙兩地都降雨的概率為

(2)甲、乙兩地都不降雨的事件為了萬，所以甲、乙兩地都不降雨的概率為

(3)其中至少一個(gè)地方降雨的事件為(AB)(AB)(而)，由于事件AB,A萬和M兩兩

互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，其中至少一個(gè)地方降雨的概率為

P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.06+0.2x0.7+0.8x0.3=0.44.

說明：與例3類似，利用事件獨(dú)立性和概率的性質(zhì)計(jì)算事件的概率，需要學(xué)生復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)3

(必修)》中學(xué)過的概率性質(zhì).

4、因?yàn)锳=(A3)(AB),而事件AB與事件A豆互斥，

利用概率的性質(zhì)得到P(A)=P(AB)+P(A初

所以P(AB)=P(A)-P(AB).

又因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立.

故P(AB)=P(A)-P(A)P(5)=P(A)(1-P(5))=P(A)P(B).

由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義知A與否相互獨(dú)立.

類似可證明久與8,可與否也都是相互獨(dú)立的.

說明：證明此題要求學(xué)生掌握概率的性質(zhì).此題的結(jié)論是十分有用的，也是比較好理解的，

比如事件A與8發(fā)生沒有關(guān)系，當(dāng)然與B不發(fā)生也應(yīng)該沒有關(guān)系.

5、例1同時(shí)擲甲、乙兩枚骰子，事件A表示甲骰子出現(xiàn)的是4點(diǎn)，事件3表示乙骰子出

現(xiàn)的是4點(diǎn)，則事件A與事件B相互獨(dú)立.

例2從裝有5個(gè)紅球3個(gè)白球的袋子中有放回地依次任意摸出兩個(gè)球，事件A表示第

1次摸到紅球，事件B表示第2次摸到白球，則事件4與事件B相互獨(dú)立.

說明：要求學(xué)生不但能判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，而且能舉例說明什么樣的兩個(gè)事件是

相互獨(dú)立的，特別掌握在有放回抽樣中，兩次抽樣的結(jié)果是相互獨(dú)立的，這是二項(xiàng)分布的基礎(chǔ).

練習(xí)(P58)

1、用A表示抽到的這件產(chǎn)品的為合格品，A,表示這件產(chǎn)品在第i道工序中質(zhì)量合格，,?=1,

2,3,4,5.則A=A&A4&,

P(a)=0.96,尸(4)=0.99,P(4)=0.98,P(A4)=0.97,P(4)=0.96,

且A，4,4,4,4相互獨(dú)立.所以

P(A)=尸(A)P(&)P(4)P(4)P(4)=0.96X0.99X0.98x0.97x0.96?0.867.

說明：本題主要考查學(xué)生應(yīng)用教科書56頁的公式(1)解決實(shí)際問題的能力.這里的難點(diǎn)是

如何把這件產(chǎn)品合格用各道工序的合格表達(dá)出來.實(shí)際上，各道工序都合格等價(jià)于產(chǎn)品合格，

因此事件“各道工序合格之交”就是產(chǎn)品合格.

2、將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，其分布列為

p(X=k)=C；(g)5,k=0,1,2,3,4,5.

用表格的形式表示如下：

012345

說明：本題是最基本的二項(xiàng)分布的例子.在寫分布列時(shí)，如果是用第一種方式表示，一定要

標(biāo)出左的取值范圍.

3、用事件3表示僅第1次未擊中目標(biāo)，事件A,表示該射手第i次射擊擊中目標(biāo)，i=0,1,

2,3,4,則B=AA2A3A4,因?yàn)?次射擊可以看成4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以可以用56頁的公

式(1)計(jì)算8發(fā)生的概率：

P(B)=P(A)P(4)P(A)P(A)=(1-0.9)X0.9X0.9X0.9=0.0729.

說明：本題的關(guān)鍵是把4次射擊看成4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后利用56頁的公式(1)計(jì)算

概率.該題還可以修改成求4次射擊都沒有命中目標(biāo)的概率，或者4次射擊至少擊中一次目標(biāo)

的概率.

4、例1某同學(xué)投籃命中率為0.6,他在6次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，X?

5(6,06).

例2在一次考試中有10道單選題，某同學(xué)一道題都不會(huì)，隨機(jī)地選擇答案，這10道

單選題中答對的個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，X?5(10,0.25).

說明：希望學(xué)生不但能判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，而且能舉出二項(xiàng)分布的例子,

以加深對二項(xiàng)分布的理解.

習(xí)題2.2A組(P59)

1、因?yàn)?個(gè)燈泡是并聯(lián)，各燈泡是否能正常照明是彼此獨(dú)立的，不受其他燈泡的影響，所

以可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).設(shè)這段時(shí)間內(nèi)能正常照明的燈泡個(gè)數(shù)為X,X服從二項(xiàng)分布.

這段時(shí)間內(nèi)吊燈能照明表示3個(gè)燈泡至少有1個(gè)燈泡能正常照明，即X>0,則吊燈能照明的

概率為

P(X>0)=l-P(X=0)=l-(1-0.7)3=0.973.

說明：可以讓學(xué)生思考：如果這3