2022屆廣東省湛江市高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022屆廣東省湛江市高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接求出.【詳解】因為集合，集合，所以.故選：C.2．已知，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則化簡復(fù)數(shù)，即可判斷；【詳解】解：因為，所以，所以的虛部是，故選：B.3．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角的范圍，求得，再根據(jù)兩角和的正弦公式求得答案.【詳解】由，，得，所以，故選:B.4．下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性且判斷函數(shù)值的范圍，可判斷A;利用函數(shù)的奇偶性可判斷B,C;用特殊值驗證，可判斷D.【詳解】因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)；因為，又，所以，故A正確；因為，故是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；函數(shù)滿足為偶函數(shù)，故C錯誤；因為，故D錯誤，故選：A.5．下圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm?底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為r，再分別利用三棱錐體積與圓柱體積公式即可求出總體積.【詳解】因為正三棱錐的底面邊長為1，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法，可得：，解得：，所以其內(nèi)切圓半徑為.由三棱錐體積與圓柱體積公式可得：.故選：D.6．為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲?乙?丙三地進行為期一年的支教活動，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（

）A．18種 B．12種 C．72種 D．36種【答案】D【分析】先將4名教師分為3組，然后再分別派到甲?乙?丙三地，即可得解.【詳解】解：4名教師分為3組，有種方法，然后再分別派到甲?乙?丙三地，共有種方案，所以共有36種選派方案.故選：D.7．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，得.故選：C.8．已知當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立，消去，得到等式，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的正實根，根據(jù)這個等式運用常變量分離法，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由題設(shè)，當時，，令，則，所以當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減.又，，所以當時，直線與的圖象有兩個交點，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用常變量分離法構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．若，則下列不等式中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)作差法，判斷A;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷B;舉反例可說明C的正誤；同樣據(jù)反例，判斷D.【詳解】對于A選項，因為，所以，故A正確；對于B選項，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對于C選項，當時，不成立，故C不正確；對于D選項，當，時，，故D不正確,故選:AB.10．某市為了研究該市空氣中的PM2.5濃度和濃度之間的關(guān)系，環(huán)境監(jiān)測部門對該市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和濃度（單位：），得到如下所示的2×2列聯(lián)表：PM2.564161010經(jīng)計算，則可以推斷出（

）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．該市一天空氣中PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值是0.64B．若2×2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴大到原來的10倍，的觀測值不會發(fā)生變化C．有超過99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)D．在犯錯的概率不超過1%的條件下，認為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)【答案】ACD【分析】對于A選項，根據(jù)表格，進行數(shù)據(jù)分析，直接求概率；對于B，C，D選項，進行獨立性檢驗，計算后對照參數(shù)下結(jié)論.【詳解】補充完整列聯(lián)表如下：PM2.5合計641680101020合計7426100對于A選項，該市一天中，空氣中PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值為，故A正確；對于B選項，，故B不正確；因為7.4844>6.635，根據(jù)臨界值表可知，在犯錯的概率不超過1%的條件下，即有超過99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)，故C，D均正確.故選：ACD.11．已知正方體的棱長為1，點P是線段上（不含端點）的任意一點，點E是線段的中點，點F是平面內(nèi)一點，則下面結(jié)論中正確的有（

）A．平面B．以為球心?為半徑的球面與該正方體側(cè)面的交線長是C．的最小值是D．的最小值是【答案】ABD【分析】對于A選項：利用線面平行的判定定理證明出平面，即可判斷；對于B選項：先作出球面與側(cè)面的交線為弧，再求弧長；對于C，D選項：將沿翻折到與在同一平面作于點G，交于P.利用幾何法判斷出最小.解三角形求出最小值，即可判斷C、D.【詳解】對于A選項：因為平面即為平面，又因為，且平面，平面，所以平面，故A正確；對于B選項：該球面與側(cè)面的交線為弧，是以為圓心，圓心角為的弧，所以弧長為，故B正確；對于C，D選項：將沿翻折到與在同一平面且點，D在直線的異側(cè)，作于點G，交于P.由兩點之間，直線最短.可得G、F重合時，最小.此時，設(shè)，則,所以.在中，,所以，則的最小值是，故C不正確，D正確.故選:ABD.12．已知F是拋物線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于E，D兩點，M為A，B中點，N為E，D中點，直線l為拋物線C的準線，則（

）A．點M到直線l的距離為定值 B．以為直徑的圓與l相切C．的最小值為32 D．當最小時，【答案】BCD【分析】設(shè)直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，求得點M的橫坐標，結(jié)合拋物線定義，可判斷A;利用拋物線定義推得,由此判斷B;計算出弦長，可得的表達式，利用基本不等式求得其最小值，判斷C;求出的表達式，采用換元法，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，判斷D.【詳解】設(shè)，，，，，直線的方程為，則直線的方程為,將直線的方程代入，化簡整理得，則，，故,所以，,因為點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，點M到直線l的距離，又，所以，故A錯誤；因為，所以以為直徑的圓的圓心M到l的距離為，即以為直徑的圓與l相切，故B正確；同理，，所以，，，則，當且僅當時等號成立，故C正確；.設(shè)，則，，.當時，即時，最小，這時，故D正確,故選:BCD.【點睛】本題考查了拋物線的焦點弦的性質(zhì)，具有較強的綜合性，要求學(xué)生有較好的計算能力和思維能力，解答時要注意直線方程的設(shè)法，以及聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式的化簡，涉及到焦半徑以及弦長和距離的計算，比較繁雜，要細心運算.三、填空題13．已知向量，，若，則________．【答案】-1.5【分析】由向量平行的坐標表示進行計算．【詳解】由題意，．故答案為：14．已知函數(shù)，，用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)，若恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】分析函數(shù)的零點情況，可確定符合題意的情況，從而得到不等式組，解得答案.【詳解】函數(shù)恒過點，且其圖象開口向上，的零點為1，當?shù)牧泓c至少有一個大于或等于1時，如圖示：函數(shù)的零點至多有兩個，不符合題意，故要使恰有3個零點，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點，如圖示，故解得，故答案為：15．已知橢圓的左焦點為F，過原點O的直線l交橢圓C于點A，B，且，若，則橢圓C的離心率是___________.【答案】【分析】設(shè)右焦點為，連接，.判斷出四邊形為矩形.在中，解三角形求出，，利用橢圓的定義得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)右焦點為，連接，.因為，即，可得四邊形為矩形.在中，，.由橢圓的定義可得，所以，所以離心率.故答案為：.16．已知函數(shù)，，，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為___________.【答案】8.25【分析】根據(jù)題意列出方程組，求出的表達式，求出符合條件的，再根據(jù)在區(qū)間上有且只有一個極大值點，分類討論確定的值是否適合題意，可得答案.【詳解】由題意知，,，，則,，，其中，,當時，，，；當時，，，.又在區(qū)間上有且只有一個極大值點，所以，得，即，所以.當時，，，此時，此時有2個極大值點，舍去；當時，，，此時，此時有1個極大值點，成立，所以的最大值為，故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并證明：.【答案】(1)；(2)，證明見解析.【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）運用裂項相消法進行運算證明即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比是q，首項是.由，可得.由，可得，所以，所以；(2)證明：因為，所以.又，所以.18．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求角A的大??；(2)若，求周長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，角化邊，結(jié)合余弦定理求得，即可得答案;（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,從而求得三角形周長的最大值.【詳解】(1)由正弦定理，得,即，由余弦定理得，，又，所以.(2)由和（1）可知，則，得，即，所以（當且僅當時，取得等號），所以周長的最大值為.19．如圖，在三棱柱中，平面平面，，，四邊形是菱形，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，證明出平面，可得出，由可得出，由已知條件結(jié)合線面垂直的判定定理可證得平面，由此可得出平面；（2）連接，證明出平面，設(shè)，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：連接，因為四邊形是菱形，則，因為，故為等邊三角形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以.因為，所以.又，且，所以平面，所以平面.(2)解：連接，因為，，是的中點，所以.又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.設(shè)，因為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，.設(shè)平面的法向量是，則，取，可得.設(shè)平面的法向量是，則，取，可得.所以，由圖可知，二面角為鈍角，因此，二面角的余弦值是.20．中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人的幾率.對改善發(fā)熱?咳嗽?乏力等癥狀，中藥起效非?？欤瑢Ψ尾垦装Y的吸收和病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護人員對確診患者進行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為，B組3人康復(fù)的概率分別為，，.(1)設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復(fù)，事件D表示B組中恰好有1人康復(fù)，求；(2)若服藥一個療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認定：積分期望值越高藥性越好，請問甲?乙兩種中藥哪種藥性更好？【答案】(1)(2)甲種中藥藥性更好【分析】（1）分別計算出示A組中恰好有1人康復(fù)，B組中恰好有1人康復(fù)的概率，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率的計算方法，求得答案;（2）根據(jù)二項分布的期望公式求得A組中服用甲種中藥康復(fù)人數(shù)積分的期望值，再計算出B組中服用乙種中藥康復(fù)人數(shù)積分的期望值，比較可得答案.【詳解】(1)依題意有，，.又事件C與D相互獨立，則，所以.(2)設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則，所以.設(shè)A組的積分為，則，所以.設(shè)B組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則的可能取值為：0,1,2,3,，，，，故的分布列為0123所以,設(shè)B組的積分為，則，所以,因為，所以甲種中藥藥性更好.21．已知雙曲線的離心率是，實軸長是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A和B，若直線l上存在不同于點P的點D滿足成立，證明：點D的縱坐標為定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式、實軸長的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式進行求解證明即可.【詳解】(1)依題意得，解得所以雙曲線C的方程是.(2)證明：設(shè)，，，直線l的方程為.將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，則，.要使直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點A和B，則應(yīng)滿足即解得.由，得，故，所以.又，所以點D的縱坐標為定值.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次不等式的根與系數(shù)的關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.22．已知函數(shù)，.(1)當時，證明：當時，；(2)若對，都，使恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明、，