2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1導(dǎo)數(shù)6.1.1函數(shù)的平均變化率課件

第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的平均變化率主題變化率問題1.寫出氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的關(guān)系式.然后將球半徑r表示為球體積V的函數(shù).提示:體積V與半徑r之間的關(guān)系式為V(r)=πr3.將半徑r表示為體積V的函數(shù)為r(V)=基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探2.當(dāng)V從0增加到1L時,氣球半徑增加了多少?此時氣球的平均膨脹率是多少?當(dāng)V從1L增加到2L呢?提示:當(dāng)V從0增加到1L時,氣球半徑增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm).氣球的平均膨脹率為≈0.62(dm/L).當(dāng)V從1L增加到2L時,氣球半徑增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm).氣球的平均膨脹率為≈0.16(dm/L).3.若跳水運動員運動過程中的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系:h(t2+6.5t+10,則運動員在這段時間里的平均速度是多少?運動員在1≤t≤2這段時間里的平均速度是多少?提示:在這段時間里的平均速度是

在1≤t≤2這段時間里的平均速度是=-8.2(m/s).結(jié)論:若函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),則(1)自變量的改變量為Δx=____;(2)因變量的改變量為Δy=_____(或Δf=f(x2)-f(x1));(3)以x1,x2為端點的閉區(qū)間上的平均變化率為x2-x1y2-y1【對點練】1.當(dāng)自變量從x0變到x1時,函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù) (

)A.在[x0,x1]上的平均變化率B.在x0處的變化率C.在x1處的變化率D.以上都不對【解析】選A.由平均變化率的定義知當(dāng)自變量從x0變到x1時,函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)在[x0,x1]上的平均變化率.2.質(zhì)點運動規(guī)律s=t2+3,則在時間[3,3+Δt]中,相應(yīng)的平均速度等于 (

)A.6+Δt B.6+Δt+C.3+Δt D.9+Δt【解析】選A.【補(bǔ)償訓(xùn)練】嬰兒從出生到第24個月的體重變化如圖,則第二年嬰兒體重的月平均變化率是________.

【解析】由題圖可知,第二年嬰兒體重的月平均變化率為=0.25(千克/月).答案:千克/月核心互動探究探究點一求函數(shù)的平均變化率【典例1】求函數(shù)y=f(x)=3x2+2在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率,并求當(dāng)x0時平均變化率的值.【思維導(dǎo)引】利用平均變化率的定義求解.【解析】函數(shù)y=f(x)=3x2+2在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為=6x0+3Δx.當(dāng)x0時,函數(shù)y=3x2+2在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率為6×2+3×0.1=12.3.【延伸探究】在本例中,分別求函數(shù)在x0=1,2,3附近Δx取時的平均變化率k1,k2,k3,并比較其大小.【解析】由例題可知,函數(shù)在[x0,x0+Δx]上的平均變化率為6x0+3Δx.當(dāng)x0=1,Δx=時,函數(shù)在[1,1.5]上的平均變化率為k1=6×1+3×0.5=7.5;當(dāng)x0=2,Δx=時,函數(shù)在[2,2.5]上的平均變化率為k2=6×2+3×0.5=13.5;當(dāng)x0=3,Δx=時,函數(shù)在[3,3.5]上的平均變化率為k3=6×3+3×0.5=19.5.所以k1<k2<k3.【類題通法】求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解,解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量Δx與函數(shù)值的增量Δy,主要步驟是:(1)先計算函數(shù)值的改變量Δy=f(x1)-f(x0);(2)再計算自變量的改變量Δx=x1-x0;(3)得平均變化率【定向訓(xùn)練】若函數(shù)y=f(x)=x2-1,圖像上點P(2,3)及其鄰近一點Q(2+Δx,3+Δy),則

= (

)A.4 B.4Δx C.4+Δx 【解析】選C.因為Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,所以=4+Δx.探究點二平均變化率的比較【典例2】已知函數(shù)f(x)=3-x2,計算當(dāng)x0=1,2,3,Δx=時,平均變化率的值,并比較函數(shù)f(x)=3-x2在哪一點附近的平均變化率最大?【思維導(dǎo)引】先利用平均變化率的定義分別求解,然后比較大小.【解析】函數(shù)f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之間的平均變化率為當(dāng)x0=1,Δx=時,平均變化率的值為-;當(dāng)x0=2,Δx=時,平均變化率的值為-;當(dāng)x0=3,Δx=時,平均變化率的值為-,因為所以函數(shù)f(x)=3-x2在x0=1附近的平均變化率最大.【類題通法】平均變化率比較大小問題:(1)計算函數(shù)值的改變量Δy;(2)計算平均變化率(3)比較各平均變化率的大小.【定向訓(xùn)練】函數(shù)y=-x2,y=,y=2x+1,y=在x=1附近(Δx很小時),平均變化率最大的一個是 (

)=-x2

==2x+1

=

【解析】選=-x2在x=1附近的平均變化率為k1=-(2+Δx);y=在x=1附近的平均變化率為k2=;y=2x+1在x=1附近的平均變化率為k3=2;y=在x=1附近的平均變化率為k4=;當(dāng)Δx很小時,k1<0,k2<0,0<k4<1,所以最大的是k3.探究點三平均變化率的幾何意義【典例3】已知函數(shù)f(x)=x2-1圖像上兩點A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),當(dāng)Δx=-1時,求割線AB的斜率.【解析】因為Δx=-1,2+Δx=1,所以Δy==-3,kAB==3.所以割線AB的斜率為3.【類題通法】求割線斜率問題:(1)計算函數(shù)值的改變量Δy;(2)計算平均變化率(3)平均變化率即為割線的斜率.【定向訓(xùn)練】過曲線f(x)=x3上兩點P(2,8)和Q(2+Δx,8+Δy)作曲線的割線,求出當(dāng)Δx時,割線的斜率.【解析】因為Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)3-8=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx,所以割線PQ的斜率k==Δx2+6Δx+12.設(shè)Δx時割線的斜率為k1,則k12.【課堂小結(jié)】

課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在平均變化率的定義中,自變量x在x0處的增量Δx應(yīng)滿足 (

)>0 <0 =0 D.Δx≠0【解析】選D.在平均變化率的定義中,自變量x在x0處的增量Δx要求Δx≠0.2.函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x由x0改變到x0+Δx時,Δy= (

)A.f(x0+Δx) B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】選看作相對于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.3.函數(shù)y=在x=1附近,當(dāng)Δx=時,平均變化率為______.

【解析】

答案:-24.已知某質(zhì)點按規(guī)律s=2t2+2t(