高中數(shù)學(xué)講義100微專題085幾何概型

1-微專題85幾何概型一、基礎(chǔ)學(xué)問：1、幾何概型：每個事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2、對于一項試驗，假如符合以下原則：（1）基本領(lǐng)件的個數(shù)為無限多個（2）基本領(lǐng)件發(fā)生的概率相同則可通過建立幾何模型，利用幾何概型計算事務(wù)的概率3、幾何概型常見的類型，可分為三個層次：（1）以幾何圖形為基礎(chǔ)的題目：可干脆找尋事務(wù)所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率。（2）以數(shù)軸，坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的題目：可將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線段（或坐標(biāo)平面的可行域），從而可通過計算長度（或面積）的比例求的概率（將問題轉(zhuǎn)化為第（1）類問題）（3）在題目敘述中，推斷是否運(yùn)用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個數(shù)。從而可依據(jù)變量個數(shù)確定幾何模型：通常變量的個數(shù)與幾何模型的維度相等：一個變量→數(shù)軸，兩個變量→平面直角坐標(biāo)系，三個變量→空間直角坐標(biāo)系。從而將問題轉(zhuǎn)化成為第（2）類問題求解二、典型例題：例1：已知函數(shù)，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使的概率是（）A.B.C.D.思路：先解出時的取值范圍：，從而在數(shù)軸上區(qū)間長度占區(qū)間長度的比例即為事務(wù)發(fā)生的概率，所以答案：C例2：如圖，矩形內(nèi)的陰影部分是由曲線及直線與軸圍成，向矩形內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則的值是（）A.B.C.D.思路：落在陰影部分的概率即為陰影部分面積與長方形面積的比值長方形的面積，陰影面積，所以有，可解得，從而答案：B例3：已知正方形的邊長為2，是邊的中點(diǎn)，在正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則滿意的概率為（）A.B.C.D.思路：可理解為以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部，通過作圖可得概率為陰影部分面積所占正方形面積的比例?？蓪㈥幱安糠植馂橐粋€扇形與兩個直角三角形，可計算其面積為，正方形面積，所以答案：B小煉有話說：到某定點(diǎn)的距離等于（或小于）定長的軌跡為圓（或圓的內(nèi)部），所以從和為定點(diǎn)便可確定所在的圓內(nèi)例4：一個多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由翱翔，由它飛入幾何體內(nèi)的概率為（）A.B.C.D.思路：所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值。由三視圖可得，且兩兩垂直，可得，棱錐體積，而，所以。從而答案：D例5：如圖，點(diǎn)等可能分布在菱形內(nèi)，則的概率是（）A.B.C.D.思路：對聯(lián)想到數(shù)量積的投影定義，即乘以在上的投影，不妨將投影設(shè)為，則，即即可，由菱形性質(zhì)可得，取中點(diǎn)，有，所以且垂足四等分，點(diǎn)位置應(yīng)當(dāng)位于內(nèi)。所以答案：D例6：某人睡午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報時，則他等待時間不多于15分鐘的概率為（）A.B.C.D.思路：所涉及到只是時間一個變量，所以考慮利用數(shù)軸協(xié)助解決。在一個小時中，符合要求的線段長度所占的比例為，所以概率答案：B例7：已知函數(shù)，若都是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，則使成立的概率是（）A.B.C.D.思路：題目中涉及兩個變量，所以考慮利用直角坐標(biāo)系解決。設(shè)為“在區(qū)間內(nèi)”，則要滿意的條件為：，設(shè)事務(wù)為“成立”，即，所以要滿意的條件為：，作出各自可行域即可得到答案：C例8：在區(qū)間上隨機(jī)取兩個數(shù)，記為事務(wù)“”的概率，為事務(wù)“”的概率，為事務(wù)“”的概率，則（）A.B.C.D.思路：分別在坐標(biāo)系中作出“”，“”，“”的區(qū)域，并視察或計算其面積所占單位長度正方形的比例，即可得到的大?。捍鸢福築例9：小王參與網(wǎng)購后，快遞員電話通知于本周五早上7:30-8:30送貨到家，假如小王這一天離開家的時間為早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到郵件的概率為（）A.B.C.D.思路：本題中涉及兩個變量，一個是快遞員到達(dá)的時刻，記為，一個是小王離開家的時刻，記為，由于雙變量所以考慮建立平面坐標(biāo)系，利用可行域的比值求得概率。必定事務(wù)所要滿意的條件為：，設(shè)“小王走之前拿到郵件”為事務(wù)，則要滿意的條件為：，作出和的可行域，可得答案：D例10：已知一根繩子長度為，隨機(jī)剪成三段，則三段剛好圍成三角形的概率為______思路：隨機(jī)剪成三段，假如引入3個變量，則需建立空間坐標(biāo)系，不易于求解。考慮削減變量個數(shù)，由于三段的和為，設(shè)其中兩段為，