人教A版必修第二冊631平面向量基本定理學案

6.3平面對量根本定理及坐標表示

6.3.1平面對量根本定理

新課程標準新學法解讀

平面對量根本定理是本節(jié)的重點又是難

點.為了更好地理解平面對量根本定理，

理解平面對量根本定理及可以通過轉變向量的方向及模的大小作

其意義.圖觀看九，丸2取不同值時的圖形特征，得

到平面上任意一個向量都可以由這個平

面內不共線的兩個向量來表示.

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學問點平面對量根本定理

假如ei,C2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面

內的任一向量”，有且只有一對實數(shù)力，丸2,使“=力乃十丸202.

假設ei,C2不共線，我們把｛幻，02｝叫做表示這一平面內全部向

量的一個基底.

—>—>—>

推論：向量OA,OB,0。不共線，那么4,B,。三點共線臺

—>—?-?

存在實數(shù)九〃，使得0A=705+〃。。，且丸+“=1.

［重點理解］

1.平面對量根本定理的作用

平面內任意一個向量都可以沿著西仝丕基線的方向分解成兩仝

向量的和,并且這種分解是唯二的.

2.基底的性質

(1)不共線性

平面內兩個丕共線的向量才可以作為一組基底?由于零向量與任

何向量共線，所以零向量不行以作為基底.

(2)不唯一性

對基底的選取不唯一,平面內任意一個向量。都可被這個平面內

的任意一組基底｛ei,02｝線性表示.

［自我排查］

1.以下關于基底的說法正確的選項是（）

①平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；

②基底中的向量可以是零向量；

③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于該基底的線性分

解形式也是唯一確定的.

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

答案：B

解析：由基底的定義可知①③正確.應選B.

2.向量a"不共線，假設—a+〃而，那么力=,

答案：一11

解析：?.?九"+方=—〃而，

；.（九+1）。+（1—〃1）。=0,又Ya,力不共線，

.?.加+1=0且1一山=0,即尢=-1,川=1.

—>

3.如圖，M,N是△A5C的一邊5。上的兩個三等分點，假設A5

—?—?

—a,AC=b,那么MN=.（用a,辦表示）

答案：2b~3a

解析：由題意知，MN=］BC,

而JBC=AC—AB=b—a,

111

所以MN=—a)=1。一w”.

4.向量ei,C2不共線，實數(shù)％,y滿意(3%—4y)ei+(2x—3y)e2

6ei+3e2,那么％—y的值為.

分1=1案■.J3

3%—4y6

解析：???ei,e2不共線，，由平面對量根本定理可得L°/

2x~3y=3,

y=3.

課堂篇?重點難點研習突破

研習1基底概念的理解

［典例1］(多項選擇)假如ei,C2是平面a內兩個不共線的向量，

那么以下說法中不正確的選項是()

A.丸為十“2(九〃WR)可以表示平面a內的全部向量

B.對于平面a內任一向量a,使“=〃1+"2的實數(shù)對(九〃)有

無窮多個

C.假設向量九ei+〃ie2與丸2例+4202共線，那么有且只有一個實

數(shù)九使得九為+〃1。2=%(丸201+〃202)

D.假設實數(shù)九〃使得力d十〃02=0,那么丸=〃=0

［思路點撥］應用平面對量根本定理解題時，要抓住基底向量為

與02不共線和平面內向量4用基底ei,02表示的唯一性求解.

［答案］BC

［解析］由平面對量根本定理可知，A、D是正確的.對于B,

由平面對量根本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個

向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.對于C,當兩向量均為零向量時，

即九=丸2=〃1=〃2=0時，這樣的丸有很多個.應選BC.

［巧歸納］對基底的理解

(1)基底具備兩個主要特征：

①基底是兩個不共線向量；②基底的選擇是不唯一的.平面內兩

向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內全部向量的一組基底

的條件.

(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.

(3)關于基底的一個結論：設ei,C2是平面內的一組基底，當丸iei

+&2=0時，恒有21=22=0.

［練習1］設均，C2是不共線的兩個向量，給出以下四組向量：

。［與ei+ez;處1一2e2與02-2縱；

(3)ei—2e2與4e2—2e/；(^?/+e2與e/-e2.

其中，不能作為平面內全部向量的一組基底的是.(寫

出全部滿意條件的序號)

答案：③

解析：①設ei+e2=7ei,無解，

ei+e2與切不共線，即均與ei+e2可作為一組基底；

②i殳ei—2e2=，e2—2縱)，那么(1+2A)ei—(2+2)^2—0,

1+22=0,

那么＜無解,

2+1=0,

...d一2&與&—2/不共線,

即d一2e2與02—2a可作為一組基底;

③ei~2e2=—4(4e2—2e。，

.：/一2e2與4e2—2縱共線，

即d一2e2與4e2—2為不行作為一組基底；

④i殳ei+e2=7(ei—ei),那么(1—/l)ei+(l+力02=0,

1-2=0,

.*.］...八無解，...ei+e2與d一。2不共線,

,1+2=0,

即ei+e2與d一02可作為一組基底.

研習2平面對量根本定理及應用

[典例2]|OA|=1,\OB\=y[3,NAO5=90。，點。在NA05內,

且NAOC=30°.設0C=機0A+〃08(加，〃金R),求工的值.

［思路點撥］依據(jù)條件，以。4,05為基底表示0C,此時的加,

〃具有唯一性，進而可求解.

［解］如下圖.

'.'OB1OA,不妨設|0C|=2,過C作C0LOA于Q,CE±OB^

E,那么四邊形OQCE是矩形，

0C=0D+DC=0D+0E.

,：\0C\=2,ZCOD=3Q°,

-A-A

：.\DC\=1,|0。尸木.

-?—>

又?.?[06=表，\OA\=1,

故0。=小QA,OE=^-OB,

FFA/3F

：.0C=\^0A+^-0B,

止匕時機=小，〃=坐，.?.'=嚕=3.

J〃

3

［巧歸納］1.平面對量根本定理及應用

(1)用基底表不向量.

⑵證明點共線問題.

(3)解決平面幾何問題.

2.用向量解決平面幾何問題的一般步驟

(1)選取不共線的兩個平面對量作為基底.

(2)將相關的向量用基底向量表示，將幾何問題轉化為向量問題.

(3)利用向量學問進行向量運算，得出向量問題的解.

(4)再將向量問題的解轉化為平面幾何問題的解.

—?

[練習2]中，延長A4到。，AB=AC,。是將05分

―?-?

成2：1的一個分點，。。和0A交于點E,設。4=a,0B=b.

(1)用b表示向量0C,DC；

―?-?

(2)假設0石=丸。4,求實數(shù)7的值.

解：(1)YA為的中點，

—>[->—>—>

：.OA=^OB+OC),：.0C=2a~b,

一ff—2f25

DC=OC—OD=OC—^OB—2a—b—~jb=2a—^b.

―?―?

(2)<0石=2。4,

—?—?—?—?-?

：.CE=OE-OC=XOA-OC=Xa-2a+b=(X-2)a+b.

—>—>

TCE與8共線，

―?-?

???存在實數(shù)陰，使得CE=MC。，

即(丸—2)a+Z>=m^—

即(7+2m—2)a+[1—^m^b=0.

'.'a,「不共線,

丸+2加-2=0,

5八解得丸=《.

［［一寺=0,D

研習3向量的夾角

［典例3］如圖，△A5C是等邊三角形.

(1)求向量A5與向量的夾角；

—?—?

(2)假設E為的中點，求向量AE與EC的夾角.

［思路點撥］平移向量，使它們的起點相同，再依據(jù)向量夾角的

定義及幾何圖形的性質進行求解.

［解］(□?.?△A5C為等邊三角形，ZABC=60°,

如圖，延長A5至點。，使45=5。，

ND5C為向量45與的夾角.

"：ZDBC=120°,

—?-?

向量A5與的夾角為120°.

(2):石為的中點，：.AE±BC,

―?-?

與EC的夾角為90°.

［巧歸納］1.明確兩向量夾角的定義，實質是從同一起點動身的

兩個非零向量構成的不大于平角的角，結合平面幾何學問加以解決.

2.求兩個向量的夾角，關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點

重合，作出兩個向量的夾角，依據(jù)“一作二證三算"的步驟求出.

［練習3］假設兩向量詼方為非零向量，且⑷=網=|“一口，那

么4與。十方的夾角為（）

A.60°B.30°

C.45°D.90°

答案：B

解析：由向量運算的幾何意義知，a+b,a一方是以a,8為鄰邊

的平行四邊形的兩條對角線.

―?-?

如圖，令。4=“，OB=b,

\'\a\=\b\=\a—b\,

：.AOAB為等邊三角形，ZBOA=60°.

―?

又?.?0。=”+"且在菱形。4c5中，對角線OC平分N50A,

：.a與a+辦的夾角為30。.應選B.

課后篇?根底達標延長閱讀

1.\a\=l,\b\=2,c=a-\-b,c±a,那么a與］的夾角大小為（）

2

鏟

答案：D

解析：'Jc=a~\-b,c_La,/.?c=0,

即勿（4+。）=/+”.。=0,

設a與方的夾角為仇那么麻+⑷網cos。=0,

j2兀

即cos9=-5,V^e[O,兀],應選D.

2.如圖，在△ABC中，AD=DB,AE=EC,CD與BE交于F,

―?—?-?

設AB=a,AC=b,AF=xa+yb,那么(%,/)為()

答案：C

—?—?

解析：設。尸=丸。。，,:E,。分別為AC,A5的中點,

：.BE=BA-\~AE=~a+^b,CD=AD~AC

[一一]

=^AB—AC=^a—b,

BF=BC+CF=(b-d)+i^a-b\

=俁-1；+(1一丸)仇

―?-?

?；BE與BF共線,

..TIT._2

??_]一],??力-3，

3.ei,。2不共線，〃=d+2。2,b=2ei+^eij要使a,力能作為

平面內全部向量的一組基底，那么實數(shù)丸的取值范圍是.

答案：一4

解析：假設a與方共線，那么存在機使得力，即ei+2e2=

2me\+m^ei,7=4,故假設。與小不共線，那么7W4.

4.如圖，D,E為△ABC的邊AB,AC的中點，延長CD到V,

使。M=CD,延長班'至N,慢BE=EN,求證：M,A,N三點共線.

證明：設AB=a,AC=b,

,一一一1

那么C￡)=AD—AC=1a—A.

?：MD=DC,M,D,。三點共線，

―?-?

：.CD=DM,

一f-71

AM=DM-\-AD=^a—bJi-^a=a—b.

一一一一f

'：BE^BA+AE=BA+^AC=~a+^b,

■:BE=EN,B,E,N三點共線，

—?—?

：.BE=EN.

一一一1一］1

C.AN=AE-\-EN=^b+BE—^b-\-^b—a=b—a.

―?—?―?—?

：.AM=-AN,即4M〃⑷V.

X'."AMHAN=A,

：.M,N,4三點共線.

課后自讀方案

［誤區(qū)警示］對平面圖形的狀況考慮不全致誤

［例如］在平面內有三個向量。4,OB,OC,\OA\=\OB\=1,0A

-?—?―?—?—?-?

與05的夾角為120。，OC與04的夾角為30。，|0。|=5小，設機。4

―?

-\-nOB(m,八WR),那么機+〃=.

［錯解］作如下圖的平行四邊形0PCQ,

Q-....................c

oAP

那么NCOQ=N0Cp=90°,

在RtZXQOC中，由于NQCO=NCQ4=30。，所以200=。。，

―?

由于［0。|=54，

―?—?-?

那么|0。|=5,I2C|=1O,所以|0尸1=10,

―?—?—?―?―?—?

又|。4|=|05|=1,所以。尸=10。4,OQ=5OB,

―?—?―?—?-?

所以0。=0尸+00=1004+505,所