人教A版必修第二冊(cè)631平面向量基本定理學(xué)案

6.3平面對(duì)量根本定理及坐標(biāo)表示

6.3.1平面對(duì)量根本定理

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

平面對(duì)量根本定理是本節(jié)的重點(diǎn)又是難

點(diǎn).為了更好地理解平面對(duì)量根本定理，

理解平面對(duì)量根本定理及可以通過轉(zhuǎn)變向量的方向及模的大小作

其意義.圖觀看九，丸2取不同值時(shí)的圖形特征，得

到平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)平

面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量來表示.

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點(diǎn)平面對(duì)量根本定理

假如ei,C2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面

內(nèi)的任一向量”，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)力，丸2,使“=力乃十丸202.

假設(shè)ei,C2不共線，我們把｛幻，02｝叫做表示這一平面內(nèi)全部向

量的一個(gè)基底.

—>—>—>

推論：向量OA,OB,0。不共線，那么4,B,。三點(diǎn)共線臺(tái)

—>—?-?

存在實(shí)數(shù)九〃，使得0A=705+〃。。，且丸+“=1.

［重點(diǎn)理解］

1.平面對(duì)量根本定理的作用

平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以沿著西仝丕基線的方向分解成兩仝

向量的和,并且這種分解是唯二的.

2.基底的性質(zhì)

(1)不共線性

平面內(nèi)兩個(gè)丕共線的向量才可以作為一組基底?由于零向量與任

何向量共線，所以零向量不行以作為基底.

(2)不唯一性

對(duì)基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意一個(gè)向量。都可被這個(gè)平面內(nèi)

的任意一組基底｛ei,02｝線性表示.

［自我排查］

1.以下關(guān)于基底的說法正確的選項(xiàng)是（）

①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；

②基底中的向量可以是零向量；

③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于該基底的線性分

解形式也是唯一確定的.

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

答案：B

解析：由基底的定義可知①③正確.應(yīng)選B.

2.向量a"不共線，假設(shè)—a+〃而，那么力=,

答案：一11

解析：?.?九"+方=—〃而，

；.（九+1）。+（1—〃1）。=0,又Ya,力不共線，

.?.加+1=0且1一山=0,即尢=-1,川=1.

—>

3.如圖，M,N是△A5C的一邊5。上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，假設(shè)A5

—?—?

—a,AC=b,那么MN=.（用a,辦表示）

答案：2b~3a

解析：由題意知，MN=］BC,

而JBC=AC—AB=b—a,

111

所以MN=—a)=1。一w”.

4.向量ei,C2不共線，實(shí)數(shù)％,y滿意(3%—4y)ei+(2x—3y)e2

6ei+3e2,那么％—y的值為.

分1=1案■.J3

3%—4y6

解析：???ei,e2不共線，，由平面對(duì)量根本定理可得L°/

2x~3y=3,

y=3.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破

研習(xí)1基底概念的理解

［典例1］(多項(xiàng)選擇)假如ei,C2是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，

那么以下說法中不正確的選項(xiàng)是()

A.丸為十“2(九〃WR)可以表示平面a內(nèi)的全部向量

B.對(duì)于平面a內(nèi)任一向量a,使“=〃1+"2的實(shí)數(shù)對(duì)(九〃)有

無(wú)窮多個(gè)

C.假設(shè)向量九ei+〃ie2與丸2例+4202共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)

數(shù)九使得九為+〃1。2=%(丸201+〃202)

D.假設(shè)實(shí)數(shù)九〃使得力d十〃02=0,那么丸=〃=0

［思路點(diǎn)撥］應(yīng)用平面對(duì)量根本定理解題時(shí)，要抓住基底向量為

與02不共線和平面內(nèi)向量4用基底ei,02表示的唯一性求解.

［答案］BC

［解析］由平面對(duì)量根本定理可知，A、D是正確的.對(duì)于B,

由平面對(duì)量根本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)

向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的.對(duì)于C,當(dāng)兩向量均為零向量時(shí)，

即九=丸2=〃1=〃2=0時(shí)，這樣的丸有很多個(gè).應(yīng)選BC.

［巧歸納］對(duì)基底的理解

(1)基底具備兩個(gè)主要特征：

①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩

向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)全部向量的一組基底

的條件.

(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.

(3)關(guān)于基底的一個(gè)結(jié)論：設(shè)ei,C2是平面內(nèi)的一組基底，當(dāng)丸iei

+&2=0時(shí)，恒有21=22=0.

［練習(xí)1］設(shè)均，C2是不共線的兩個(gè)向量，給出以下四組向量：

。［與ei+ez;處1一2e2與02-2縱；

(3)ei—2e2與4e2—2e/；(^?/+e2與e/-e2.

其中，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底的是.(寫

出全部滿意條件的序號(hào))

答案：③

解析：①設(shè)ei+e2=7ei,無(wú)解，

ei+e2與切不共線，即均與ei+e2可作為一組基底；

②i殳ei—2e2=，e2—2縱)，那么(1+2A)ei—(2+2)^2—0,

1+22=0,

那么＜無(wú)解,

2+1=0,

...d一2&與&—2/不共線,

即d一2e2與02—2a可作為一組基底;

③ei~2e2=—4(4e2—2e。，

.：/一2e2與4e2—2縱共線，

即d一2e2與4e2—2為不行作為一組基底；

④i殳ei+e2=7(ei—ei),那么(1—/l)ei+(l+力02=0,

1-2=0,

.*.］...八無(wú)解，...ei+e2與d一。2不共線,

,1+2=0,

即ei+e2與d一02可作為一組基底.

研習(xí)2平面對(duì)量根本定理及應(yīng)用

[典例2]|OA|=1,\OB\=y[3,NAO5=90。，點(diǎn)。在NA05內(nèi),

且NAOC=30°.設(shè)0C=機(jī)0A+〃08(加，〃金R),求工的值.

［思路點(diǎn)撥］依據(jù)條件，以。4,05為基底表示0C,此時(shí)的加,

〃具有唯一性，進(jìn)而可求解.

［解］如下圖.

'.'OB1OA,不妨設(shè)|0C|=2,過C作C0LOA于Q,CE±OB^

E,那么四邊形OQCE是矩形，

0C=0D+DC=0D+0E.

,：\0C\=2,ZCOD=3Q°,

-A-A

：.\DC\=1,|0。尸木.

-?—>

又?.?[06=表，\OA\=1,

故0。=小QA,OE=^-OB,

FFA/3F

：.0C=\^0A+^-0B,

止匕時(shí)機(jī)=小，〃=坐，.?.'=嚕=3.

J〃

3

［巧歸納］1.平面對(duì)量根本定理及應(yīng)用

(1)用基底表不向量.

⑵證明點(diǎn)共線問題.

(3)解決平面幾何問題.

2.用向量解決平面幾何問題的一般步驟

(1)選取不共線的兩個(gè)平面對(duì)量作為基底.

(2)將相關(guān)的向量用基底向量表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(3)利用向量學(xué)問進(jìn)行向量運(yùn)算，得出向量問題的解.

(4)再將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解.

—?

[練習(xí)2]中，延長(zhǎng)A4到。，AB=AC,。是將05分

―?-?

成2：1的一個(gè)分點(diǎn)，。。和0A交于點(diǎn)E,設(shè)。4=a,0B=b.

(1)用b表示向量0C,DC；

―?-?

(2)假設(shè)0石=丸。4,求實(shí)數(shù)7的值.

解：(1)YA為的中點(diǎn)，

—>[->—>—>

：.OA=^OB+OC),：.0C=2a~b,

一ff—2f25

DC=OC—OD=OC—^OB—2a—b—~jb=2a—^b.

―?―?

(2)<0石=2。4,

—?—?—?—?-?

：.CE=OE-OC=XOA-OC=Xa-2a+b=(X-2)a+b.

—>—>

TCE與8共線，

―?-?

???存在實(shí)數(shù)陰，使得CE=MC。，

即(丸—2)a+Z>=m^—

即(7+2m—2)a+[1—^m^b=0.

'.'a,「不共線,

丸+2加-2=0,

5八解得丸=《.

［［一寺=0,D

研習(xí)3向量的夾角

［典例3］如圖，△A5C是等邊三角形.

(1)求向量A5與向量的夾角；

—?—?

(2)假設(shè)E為的中點(diǎn)，求向量AE與EC的夾角.

［思路點(diǎn)撥］平移向量，使它們的起點(diǎn)相同，再依據(jù)向量夾角的

定義及幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

［解］(□?.?△A5C為等邊三角形，ZABC=60°,

如圖，延長(zhǎng)A5至點(diǎn)。，使45=5。，

ND5C為向量45與的夾角.

"：ZDBC=120°,

—?-?

向量A5與的夾角為120°.

(2):石為的中點(diǎn)，：.AE±BC,

―?-?

與EC的夾角為90°.

［巧歸納］1.明確兩向量夾角的定義，實(shí)質(zhì)是從同一起點(diǎn)動(dòng)身的

兩個(gè)非零向量構(gòu)成的不大于平角的角，結(jié)合平面幾何學(xué)問加以解決.

2.求兩個(gè)向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)

重合，作出兩個(gè)向量的夾角，依據(jù)“一作二證三算"的步驟求出.

［練習(xí)3］假設(shè)兩向量詼方為非零向量，且⑷=網(wǎng)=|“一口，那

么4與。十方的夾角為（）

A.60°B.30°

C.45°D.90°

答案：B

解析：由向量運(yùn)算的幾何意義知，a+b,a一方是以a,8為鄰邊

的平行四邊形的兩條對(duì)角線.

―?-?

如圖，令。4=“，OB=b,

\'\a\=\b\=\a—b\,

：.AOAB為等邊三角形，ZBOA=60°.

―?

又?.?0。=”+"且在菱形。4c5中，對(duì)角線OC平分N50A,

：.a與a+辦的夾角為30。.應(yīng)選B.

課后篇?根底達(dá)標(biāo)延長(zhǎng)閱讀

1.\a\=l,\b\=2,c=a-\-b,c±a,那么a與］的夾角大小為（）

2

鏟

答案：D

解析：'Jc=a~\-b,c_La,/.?c=0,

即勿（4+。）=/+”.。=0,

設(shè)a與方的夾角為仇那么麻+⑷網(wǎng)cos。=0,

j2兀

即cos9=-5,V^e[O,兀],應(yīng)選D.

2.如圖，在△ABC中，AD=DB,AE=EC,CD與BE交于F,

―?—?-?

設(shè)AB=a,AC=b,AF=xa+yb,那么(%,/)為()

答案：C

—?—?

解析：設(shè)。尸=丸。。，,:E,。分別為AC,A5的中點(diǎn),

：.BE=BA-\~AE=~a+^b,CD=AD~AC

[一一]

=^AB—AC=^a—b,

BF=BC+CF=(b-d)+i^a-b\

=俁-1；+(1一丸)仇

―?-?

?；BE與BF共線,

..TIT._2

??_]一],??力-3，

3.ei,。2不共線，〃=d+2。2,b=2ei+^eij要使a,力能作為

平面內(nèi)全部向量的一組基底，那么實(shí)數(shù)丸的取值范圍是.

答案：一4

解析：假設(shè)a與方共線，那么存在機(jī)使得力，即ei+2e2=

2me\+m^ei,7=4,故假設(shè)。與小不共線，那么7W4.

4.如圖，D,E為△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CD到V,

使。M=CD,延長(zhǎng)班'至N,慢BE=EN,求證：M,A,N三點(diǎn)共線.

證明：設(shè)AB=a,AC=b,

,一一一1

那么C￡)=AD—AC=1a—A.

?：MD=DC,M,D,。三點(diǎn)共線，

―?-?

：.CD=DM,

一f-71

AM=DM-\-AD=^a—bJi-^a=a—b.

一一一一f

'：BE^BA+AE=BA+^AC=~a+^b,

■:BE=EN,B,E,N三點(diǎn)共線，

—?—?

：.BE=EN.

一一一1一］1

C.AN=AE-\-EN=^b+BE—^b-\-^b—a=b—a.

―?—?―?—?

：.AM=-AN,即4M〃⑷V.

X'."AMHAN=A,

：.M,N,4三點(diǎn)共線.

課后自讀方案

［誤區(qū)警示］對(duì)平面圖形的狀況考慮不全致誤

［例如］在平面內(nèi)有三個(gè)向量。4,OB,OC,\OA\=\OB\=1,0A

-?—?―?—?—?-?

與05的夾角為120。，OC與04的夾角為30。，|0。|=5小，設(shè)機(jī)。4

―?

-\-nOB(m,八WR),那么機(jī)+〃=.

［錯(cuò)解］作如下圖的平行四邊形0PCQ,

Q-....................c

oAP

那么NCOQ=N0Cp=90°,

在RtZXQOC中，由于NQCO=NCQ4=30。，所以200=。。，

―?

由于［0。|=54，

―?—?-?

那么|0。|=5,I2C|=1O,所以|0尸1=10,

―?—?—?―?―?—?

又|。4|=|05|=1,所以。尸=10。4,OQ=5OB,

―?—?―?—?-?

所以0。=0尸+00=1004+505,所