人教版九年級數(shù)學上冊全冊教案3

人教版九年級數(shù)學上冊全冊教案3

22.2.3公式法

教學內(nèi)容

1.一元二次方程求根公式的推導過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學目標

理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用

公式法解一元二次方程.

復習具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(aWO)

的求根公式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程.

重難點關鍵

1.重點：求根公式的推導和公式法的應用.

2.難點與關鍵：一元二次方程求根公式法的推導.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)用配方法解下列方程

(1)6X2-7X+1=0(2)4X2-3X=52

(老師點評)(1)移項，得：6x2-7x=-l

二次項系數(shù)化為1,得：x2-x=-

配方，得：x2-x+()2=-+()2

(x-)2=

X-=±X1=+==1

x2=-+==

(2)略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結(jié)，老師點評）.

（1）移項；

（2）化二次項系數(shù)為1；

（3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）jn的形式；

（5）如果右邊是非負數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數(shù)，

則一元二次方程無解.

二、探索新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax'+bx+cR（a#0）,你能否用上面配

方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.

問題：已知axqbx+cR（aWO）且b^TLac2O,試推導它的兩個根XL,x2=

分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當成一

個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項，得：ax2+bx=-c

二次項系數(shù)化為1,得x2+x=-

配方，得：x2+x+（）J-+（）②

即（x+）2=

Vb2-4ac^01.4a2>0

NO

直接開平方，得：x+=±

即x=

??X1~，X2=

由上可知，一元二次方程ax，bx+c=0（aWO）的根由方程的系數(shù)a、b、c

而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax'+bx+cR,當b-4ac

NO時，將a、b、c代入式子*=就得到方程的根.

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

例1.用公式法解下列方程.

(1)2X2-4X-1=0(2)5x+2=3x?

(3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+l=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公

式即可.

解：(1)a=2,b=-4,c=-l

b2-4ac=(-4)2-4X2X(-1)=24>0

x=

??Xi=，X2=

(2)將方程化為一般形式

3X2-5X-2=0

a=3,b=-5,c=-2

b-4ac=(-5)-4X3X(-2)=49>0

x=

Xi=2,x2=-

(3)將方程化為一般形式

3X2-11X+9=0

a=3,b=-ll,c=9

b2-4ac=(-11)-4X3X9=13>0

x=

??Xi=,X2=

（3）a=4,b=-3,c=l

b2-4ac=（-3）2-4X4X

因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根.

三、鞏固練習

教材P42練習1.（1）、（3）、（5）

四、應用拓展

例2.某數(shù)學興趣小組對關于x的方程（m+1）+（m-2）xT=O提出了下列問

題.

（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方

程.

（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.

你能解決這個問題嗎？

分析：能.（1）要使它為一元二次方程，必須滿足療+1=2,同時還要滿足

（m+1）#0.

（2）要使它為一元一次方程，必須滿足：

①或②或③

解：（1）存在.根據(jù)題意，得：m2+l=2

m2=lm=+1

當m=l時，m+l=l+l=2W0

當m=T時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去）

當m=l時，方程為2x2-l-x=0

a=2,b=T,c=-l

b-4ac=(-1)MX2X(-1)=1+8=9

X1=,x2=-

因此，該方程是一元二次方程時，m=l,兩根處=1,x2=-.

(2)存在.根據(jù)題意，得：①k+l=l,m2=0,m=0

因為當m=0時，(m+1)+(m-2)=2mT=TW0

所以m=0滿足題意.

②當命+1=0,m不存在.

③當m+1=0,即m=-l時，m-2=-3W0

所以m=-l也滿足題意.

當m=0時，一元一次方程是x-2x-l=0,

解得：x=-1

當m=-l時，一元一次方程是-3xT=0

解得x=-

因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為

x=-l；當m=-1時，其一元一次方程的根為x=-.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握；

(1)求根公式的概念及其推導過程；

(2)公式法的概念；

(3)應用公式法解一元二次方程；

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

1.教材P45復習鞏固4.

2.選用作業(yè)設計:

一、選擇題

1.用公式法解方程4x-12x=3,得到().

A.x=B.x=

C.x=D.x=

2.方程x?+4x+6=0的根是().

A.Xi=,x2=B.Xi=6,x2=

C.xi=2,x2=D.XFX2=一

3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,則M-r?的值是().

A.4B.-2C.4或-2D.-4或2

二、填空題

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式是,條件是

2.當*=時，代數(shù)式X?-8x+12的值是-4.

3.若關于x的一元二次方程（m-1）x4x+m2+2m-3=0有一根為0,則m的

值是.

三、綜合提高題

1.用公式法解關于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.

2.設Xi,x2是一元二次方程ax，bx+c=O（aW0）的兩根，（1）試推導

3322

Xi+x2=-,Xi,x2=;（2）求代數(shù)式a（Xi+x2）+b（Xi+x2）+c（Xi+x2）的值.

3.某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，

那么這戶居民這個月只交10元電費，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交

10元用電費外超過部分還要按每千瓦時元收費.

（1）若某戶2月份用電90千瓦時，超過規(guī)定A千瓦時，則超過部分電費為多

少元？（用A表示）

（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？

答案：

—\1.D2.D3.C

二、1.x=,b2-4ac^02.43.-3

三、1.x==a±|b|

2.(1)Vxi>X2是ax?+bx+c=O(aWO)的兩根,

??X,X2=

??X1+X2=二一，

Xi?x2=?=

22

(2)VxuX2是ax?+bx+c=O的兩本艮，/.axi+bxi+c=0,ax2+bx2+c=0

3232

JM^=axi+bxi+ciXi+ax2+bx2+cx2

2

=Xi(ax『+bxi+c)+x2(ax2+bx2+c)

=0

3.(1)超過部分電費二(90-A)?=-A2+A

(2)依題意，得：(80-A)?=15,AF30(舍去)，A2=50

22.3實際問題與一元二次方程⑴

教學內(nèi)容

由“倍數(shù)關系”等問題建立數(shù)學模型，并通過配方法或公式法或分解因式

法解決實際問題.

教學目標

掌握用“倍數(shù)關系”建立數(shù)學模型，并利用它解決一些具體問題.

通過復習二元一次方程組等建立數(shù)學模型，并利用它解決實際問題，引入

用“倍數(shù)關系”建立數(shù)學模型，并利用它解決實際問題.

重難點關鍵

1.重點：用“倍數(shù)關系”建立數(shù)學模型

2.難點與關鍵：用“倍數(shù)關系”建立數(shù)學模型

教學過程

一、復習引入

（學生活動）問題1：列方程解應用題

下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價（收盤價：股票每天交易

結(jié)果時的價格）：

某人在這周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價計算

（不計手續(xù)費、稅費等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，星期

三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙股票各多少股？

老師點評分析：一般用直接設元，即問什么就設什么，即設這人持有的甲、乙

股票各x、y張，由于從表中知道每天每股的收盤價，因此，兩種股票當天的帳

戶總數(shù)就是x或y乘以相應的每天每股的收盤價，再根據(jù)已知的等量關系；星

期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式.

解：設這人持有的甲、乙股票各x、y張.

則解得

答：（略）

二、探索新知

上面這道題大家都做得很好，這是一種利用二元一次方程組的數(shù)量關系建

立的數(shù)學模型，那么還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面所學過的一

元二次方程建立數(shù)學模型解應用題呢？請同學們完成下面問題.

(學生活動)問題2：某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機是1萬臺，第

一季度生產(chǎn)電視機的總臺數(shù)是3.31萬臺，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增

長的百分率是多少？

老師點評分析：直接假設二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長率為x.因

為一月份是1萬臺，那么二月份應是(1+x)臺，三月份應是在二月份的基礎

上以二月份比一月份增長的同樣“倍數(shù)”增長，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2,

那么就很容易從第一季度總臺數(shù)列出等式.

解：設二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長的百分率為x,則1+(1+x)+

(1+x)2=3.31

去括號：1+1+x+l+2x+x2=3.31

整理,得：x+3x-0.31=0

解得：x=i0%

答：(略)

以上這一道題與我們以前所學的一元一次、二元一次方程(組)、分式方

程等為背景建立數(shù)學模型是一樣的，而我們借助的是一元二次方程為背景建立

數(shù)學模型來分析實際問題和解決問題的類型.

例1.某電腦公司2001年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一

月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求

這個增長率.

分析：設這個增長率為x,由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的

營業(yè)額，又由三月份的總營業(yè)額列出等量關系.

解：設平均增長率為x

則200+200(1+x)+200(1+x)=950

整理，得：x2+3x-l.75=0

解得：x=50%

答：所求的增長率為50%.

三、鞏固練習

(1)某林場現(xiàn)有木材a立方米，預計在今后兩年內(nèi)年平均增長p肌那么

兩年后該林場有木材多少立方米？

(2)某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬噸，通過優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐

年上升，第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬噸，設二、三月份平均增長的百分率相

同，均為x,可列出方程為.

四、應用拓展

例2.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購

物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變,

到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率.

分析：設這種存款方式的年利率為x,第一次存2000元取1000元，剩下

的本金和利息是1000+2000x?80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x?80%,

其它依此類推.

解：設這種存款方式的年利率為x

則:1000+2000x?80%+(1000+2000x?8%)x?80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0

解得：x尸-2(不符，舍去),x2==0.125=12.5%

答：所求的年利率是12.5猊

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：

利用“倍數(shù)關系”建立關于一元二次方程的數(shù)學模型，并利用恰當方法解

它.

六、布置作業(yè)

1.教材P53復習鞏固1綜合運用1.

2.選用作業(yè)設計.

作業(yè)設計

一、選擇題

1.2005年一月份越南發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場100家，后來二、三月份新發(fā)生禽

流感的養(yǎng)雞場共250家，設二、三月份平均每月禽流感的感染率為x,依題

意列出的方程是().

A.100(1+x)2=250B.100(1+x)+100(1+x)2=250

C.100(1-x)2=250D.100(1+x)2

2.一臺電視機成本價為a元，銷售價比成本價增加25%,因庫存積壓，所以

就按銷售價的70%出售，那么每臺售價為().

A.(1+25%)(1+70%)ajcB.70%(1+25%)a7U

C.(1+25%)(1-70%)aTUD.(l+25%+70%)aju

3.某商場的標價比成本高p典當該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價

的折扣(即降低的百分數(shù))不得超過d%,貝叼可用p表示為().

A.B.pC.D.

二、填空題

1.某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量，平均每年的增長率為X,第一年的產(chǎn)量為6萬kg,第

二年的產(chǎn)量為kg,第三年的產(chǎn)量為,三年總產(chǎn)量為.

2.某糖廠2002年食糖產(chǎn)量為at,如果在以后兩年平均增長的百分率為x,那

么預計2004年的產(chǎn)量將是.

3.我國政府為了解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品價格，某種藥品

在1999年漲價30%后，2001年降價70%至a元，則這種藥品在1999年

漲價前價格是.

三、綜合提高題

1.為了響應國家“退耕還林”，改變我省水土流失的嚴重現(xiàn)狀，2000年我省

某地退耕還林1600畝，計劃到2002年一年退耕還林1936畝，問這兩年平均

每年退耕還林的平均增長率2.洛陽東方紅拖拉機廠一月份生產(chǎn)甲、乙兩種

新型拖拉機，其中乙型16臺，從二月份起，甲型每月增產(chǎn)10臺，乙型每月

按相同的增長率逐年遞增，又知二月份甲、乙兩型的產(chǎn)量之比是3：2,三月

份甲、乙兩型產(chǎn)量之和為65臺，求乙型拖拉機每月的增長率及甲型拖拉機

一月份的產(chǎn)量.

3.某商場于第一年初投入50萬元進行商品經(jīng)營，以后每年年終將當年獲得的

利潤與當年年初投入的資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入的資金

繼續(xù)進行經(jīng)營.

（1）如果第一年的年獲利率為P，那么第一年年終的總資金是多少萬元？

（用代數(shù)式來表示）（注：年獲利率=X100%）

（2）如果第二年的年獲利率多10個百分點（即第二年的年獲利率是第一

年的年獲利率與10%的和），第二年年終的總資金為66萬元，求第一年的年

獲利率.

答案：

■、1.B2.B3.D

二、1.6(1+x)6(1+x)26+6(1+x)+6(1+x)2

2.a(1+x)2t

3.

三、1.平均增長率為x,則1600(1+x)=1936,x=10%

2.設乙型增長率為x,甲型一月份產(chǎn)量為y：

則

BP16X2+56X-15=0,解得x==25肌y=20(臺)

3.(1)第一年年終總資金=50(1+P)

(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得：P2+2.1P-0.22=0,解得P=10%

22.3實際問題與一元二次方程⑵

教學內(nèi)容

建立一元二次方程的數(shù)學模型，解決如何全面地比較幾個對象的變化狀況.

教學目標

掌握建立數(shù)學模型以解決如何全面地比較幾個對象的變化狀況的問題.

復習一種對象變化狀況的解題過程，引入兩種或兩種以上對象的變化狀況的解

題方法.

重難點關鍵

1.重點：如何全面地比較幾個對象的變化狀況.

2.難點與關鍵：某些量的變化狀況，不能衡量另外一些量的變化狀況.

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們獨立完成下面的題目.

問題：某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可

售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r

措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可

多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元？

老師點評：總利潤=每件平均利潤X總件數(shù).設每張賀年卡應降價x元，

則每件平均利潤應是(0.3-x)元，總件數(shù)應是(500+X100)

解：設每張賀年卡應降價X元

貝I](0.3-X)(500+)=120

解得：x=0.1

答：每張賀年卡應降價0.1元.

二、探索新知

剛才，我們分析了一種賀年卡原來平均每天可售出500張，每張盈利0.3

元，為了減少庫存降價銷售，并知每降價0」元，便可多售出100元，為了達

到某個目的，每張賀年卡應降價多少元?如果本題中有兩種賀年卡或者兩種其它

東西，量與量之間又有怎樣的關系呢？即絕對量與相對量之間的關系.

例1.某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均

每天可售出500張，每張盈利03元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每

張盈利075元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

如果甲種賀年卡的售價每降價O1元，那么商場平均每天可多售出100張；如

果乙種賀年卡的售價每降價0.25元，那么商場平均每天可多售出34張.如

果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價的絕對

量大.

分析：原來，兩種賀年卡平均每天的盈利一樣多，都是150元；，從這些數(shù)目

看，好象兩種賀年卡每張降價的絕對量一樣大，下面我們就通過解題來說明這

個問題.

解：(1)從“復習引入”中，我們可知，商場要想平均每天盈利120元，

甲種賀年卡應降價0.1元.

(2)乙種賀年卡：設每張乙種賀年卡應降價y元，

則:(0.75-y)(200+X34)=120

即(-y)(200+136y)=120

整理：得68y2+49y-15=0

y=

Ay^-O.98(不符題意，應舍去)

y=0.23元

答：乙種賀年卡每張降價的絕對量大.

因此，我們從以上一些絕對量的比較，不能說明其它絕對量或者相對量也有同

樣的變化規(guī)律.

(學生活動)例2.兩年前生產(chǎn)It甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)It

乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)It甲種藥品的成本

是3000元，生產(chǎn)It乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降

率較大？

老師點評：

絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為(5000-3000)+2=1000元，乙

種藥品成本的年平均下降額為(6000-3000)+2=1200元，顯然，乙種藥品

成本的年平均下降額較大.

相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就是能否說明乙種

藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計算來說明這個問題.

解：設甲種藥品成本的年平均下降率為x,

則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元，兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)

元.

依題意，得5000(1-x)2=3000

解得：X1^0.225,x2^l.775(不合題意，舍去)

設乙種藥品成本的平均下降率為y.

則:6000(1-y)2=3600

整理，得：(l-y)=0.6

解得：y^O,225

答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大.

因此，雖然絕對量相差很多，但其相對量也可能相等.

三、鞏固練習

新華商場銷售甲、乙兩種冰箱，甲種冰箱每臺進貨價為2500元，市場調(diào)研表明：

當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平

均每天就能多售出4臺.乙種冰箱每臺進貨價為2000元，市場調(diào)研表明：當銷

售價為2500元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低45元時，平均每

天就能多售出4臺，商場要想使這兩種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元,

那么兩種冰箱的定價應各是多少？

四、應用拓展

例3.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，

若每千克50元銷售，一個月能售出500kg,銷售單價每漲1元，月銷售量就減

少10kg,針對這種水產(chǎn)品情況，請解答以下問題：

(1)當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤.

(2)設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關系式.

(3)商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達

到8000元，銷售單價應為多少？

分析：(1)銷售單價定為55兀，比原來的銷售價50兀提高5兀，因此，

銷售量就減少5X10kg.

(2)銷售利潤丫=(銷售單價x-銷售成本40)X銷售量[500-10(x-

50)]

(3)月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過=250kg,在這個

提前下，求月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少.

解：(1)銷售量：500-5X10=450(kg)；銷售利潤：450X(55-40)

=450X15=6750元

(2)y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x2+1400x-40000

(3)由于水產(chǎn)品不超過10000?40=250kg,定價為x元，則(x-400)[500-10

(x-50)]=8000

解得：Xi=80,X2=60

當XI=80時，進貨500To(80-50)=200kg,滿足題意.

當X2=60時，進貨500-10(60-50)=400kg>250kg,(舍去).

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：

建立多種一元二次方程的數(shù)學建模以解決如何全面地比較幾個對象的變化狀況

的問題.

六、布置作業(yè)

1.教材P53復習鞏固2綜合運用7、9.

2.選用作業(yè)設計:

一、選擇題

1.一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共

（）.

A.12人B.18人C.9人D.10人

2.某一商人進貨價便宜8隊而售價不變，那么他的利潤（按進貨價而定）可

由目前x增加到（x+10%），貝1］乂是（）.

A.12%B.15%C.30%D.50%

3.育才中學為迎接香港回歸，從1994年到1997年四年內(nèi)師生共植樹1997棵,

已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年

植樹的年增長率相同，那么該校1997年植樹的棵數(shù)為（）.

A.600B.604C.595D.605

二、填空題

1.一個產(chǎn)品原價為a元，受市場經(jīng)濟影響，先提價20%后又降價15%,現(xiàn)價比

原價多%.

2.甲用1000元人民幣購買了一手股票，隨即他將這手股票轉(zhuǎn)賣給乙，獲利

10%,乙而后又將這手股票返賣給甲，但乙損失了10%,最后甲按乙賣給甲

的價格的九折將這手股票賣出，在上述股票交易中，甲盈了元.

3.一個容器盛滿純藥液63L,第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次

又倒出同樣多的藥液，再加水補滿，這時容器內(nèi)剩下的純藥液是28L,設每次

倒出液體xL,則列出的方程是.

三、綜合提高題

1.上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月

份利率為200萬元，九月份的利潤為288萬元，那么哪個商場利潤的年平

均上升率較大？

2.某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準備多種一些桃

樹以提高產(chǎn)量，試驗發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2

個，如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應多種多少棵桃樹？

3.某玩具廠有4個車間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個車間都原有a(a〉0)個

成品，且每個車間每天都生產(chǎn)b(b>0)個成品，質(zhì)量科派出若干名檢驗員

周一、周二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產(chǎn)的所有成品，然后，周

三到周五檢驗另外兩個車間原有的和本周生產(chǎn)的所有成品，假定每名檢驗

員每天檢驗的成品數(shù)相同.

(1)這若干名檢驗員1天共檢驗多少個成品？(用含a、b的代數(shù)式表示)

(2)若一名檢驗員1天能檢驗b個成品，則質(zhì)量科至少要派出多少名檢

驗員？

答案：

一、、1.C2.B3.D

二、1.22.13.(1-)2=

三、1.甲：設上升率為x,則100(1+x)=121,x=10%

乙：設上升率為y,則200(1+y)2=288,y=20%,

那么乙商場年均利潤的上升率大.

2.設多種x棵樹，則(100+x)(1000-2x)=100X1000X(1+15.2%),

整理，得：x-400x+7600=0,(x-20)(x-380)=0,

解得Xi=20,X2=380

3.(1)=a+2b或

(2)因為假定每名檢驗員每天檢驗的成品數(shù)相同.

所以a+2b=,解得：a=4b

所以(a+2b)4-b=6b4-b==7.5(人)

所以至少要派8名檢驗員.

22.3實際問題與一元二次方程(3)

教學內(nèi)容

根據(jù)面積與面積之間的關系建立一元二次方程的數(shù)學模型并解決這類問題.

教學目標

掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學模型并運用它解決實際問題.

利用提問的方法復習幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的

問題.

重難點關鍵

1.重點：根據(jù)面積與面積之間的等量關系建立一元二元方程的數(shù)學模型

并運用它解決實際問題.

2.難點與關鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數(shù)

學模型.

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

（口述）1.直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

2.正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？

3.梯形的面積公式是什么？

4.菱形的面積公式是什么？

5.平行四邊形的面積公式是什么？

6.圓的面積公式是什么？

（學生口答，老師點評）

二、探索新知

現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復習的面積公式來建立一些數(shù)學模型，解決一些實

際問題.

例L某林場計劃修一條長750m,斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為

1.6m2,上口寬比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.

（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

（2）如果計劃每天挖土48m：需要多少天才能把這條渠道挖完？

分析：因為渠深最小，為了便于計算，不妨設渠深為xm,則上口寬為x+2,

渠底為x+0.4,那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模.

解：（1）設渠深為xm

則渠底為（x+0.4）m,上口寬為（x+2）m

依題意，得：（x+2+x+O.4）x=l.6

整理，得：5x2+6x-8=0

解得：Xi==0.8m,X2=-2（舍）

上口寬為2.8m,渠底為1.2m.

（2）=25天

答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道.

學生活動：例2.如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm,寬21cm,

正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占

面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計

四周邊襯的寬度(精確到0.1cm)?

老師點評：依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比=9：

7,由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7,設上、下邊襯的寬

均為9xcm,則左、右邊襯的寬均為7xcm,依題意，得：中央矩形的長為

(27-18x)cm,寬為(21-14x)cm.

因為四周的彩色邊襯所點面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面

積的.

所以(27-18x)(21-14x)=X27X21

整理，得：16X2-48X+9=0

解方程，得：x=,

Xi^2.8cm,x2^0.2

所以：9xi=25.2cm(舍去)，9x2=l.8cm,7x2=l.4cm

因此，上下邊襯的寬均為1.8cm,左、右邊襯的寬均為1.4cm.

有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的2

倍，并且鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少？(精

確到0.1尺)

四、應用拓展

例3.如圖(a)、(b)所示，在AABC中NB=90°,AB=6cm,BC=8cm,

點P從點A開始沿AB邊向點B以lcm/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC邊

向點C以2cm/s的速度運動.

(1)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使SxBQ=8cm2.

(2)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，并且P至UB后又繼續(xù)在BC邊上前

進，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進，經(jīng)過幾秒鐘，使4PCQ的面積等于12.6c

m2.(友情提示：過點Q作DQLCB,垂足為D,貝U：)

分析：(1)設經(jīng)過x秒鐘，S^9=8cm2,那么AP=x,PB=6-x,QB=2x,

由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學模型.

(2)設經(jīng)過y秒鐘，這里的y>6使4PCQ的面積等于12.6cm2.因為AB=6,

BC=8,由勾股定理得：AC=10,又由于PA=y,CP=(14-y),CQ=(2y-8),

又由友情提示，便可得到DQ,那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模.

解：(1)設x秒，點P在AB上，點Q在BC上，且使4PBQ的面積為8cm2.

則：(6-x),2x=8

整理，得：x2-6x+8=0

解得：Xi=2,X2=4

經(jīng)過2秒，點P到離A點lX2=2cm處，點Q離B點2X2=4cm處，經(jīng)過4

秒，點P到離A點lX4=4cm處，點Q離B點2X4=8cm處，所以它們都符合要

求.

(2)設y秒后點P移到BC上，且有CP=(14-y)cm,點Q在CA上移動，且使

CQ=(2y-8)cm,過點Q作DQLCB,垂足為D,則有

VAB=6,BC=8

???由勾股定理,得：AC==10

ADQ=

則：(14-y)?=12.6

整理，得：y-18y+77=0

解得：yi=7,y2=l1

即經(jīng)過7秒，點P在BC上距C點7cm處(CP=14-y=7),點Q在CA上距C

點6cm處(CQ=2y-8=6),使4PCD的面積為12.6cm2.

經(jīng)過11秒，點P在BC上距C點3cm處，點Q在CA上距C點14cm〉10,

.?.點Q已超過CA的范圍，即此解不存在.

.?.本小題只有一解yj=7.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握:

利用已學的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學模型并運用它解決實

際問題.

六、布置作業(yè)

1.教材P53綜合運用5、6拓廣探索全部.

2.選用作業(yè)設計：

一、選擇題

1.直角三角形兩條直角邊的和為7,面積為6,則斜邊為（）.

A.B.5C.D.7

2.有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的長比第一塊的長少2m,寬是

第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m:這兩塊木板的長

和寬分別是（）.

A.第一塊木板長18m,寬9m,第二塊木板長16m,寬27m;

B.第一塊木板長12m,寬6m,第二塊木板長10m,寬18m;

C.第一塊木板長9m,寬4.5m,第二塊木板長7m,寬13.5m;

D.以上都不對

3.從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2,則原來的

正方形鐵片的面積是（）.

A.8cmB.64cmC.8cm2D.64cm2

二、填空題

1.矩形的周長為8,面積為1,則矩形的長和寬分別為.

2.長方形的長比寬多4cm,面積為60cm2,則它的周長為.

3.如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若

竹籬笆總長為35m,所圍的面積為150m,，則此長方形雞場的長、寬分別為一

三、綜合提高題

1.如圖所示的一防水壩的橫截面（梯形），壩頂寬3m,背水坡度為1：2,迎

水坡度為1：1，若壩長30m,完成大壩所用去的土方為4500n^,問水壩的高

應是多少？（說明：背水坡度=，迎水坡度）（精確到0.1m）

2.在一塊長12m,寬8m的長方形平地中央，劃出地方砌一個面積為8m?的長

方形花臺，要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個寬度為多少？

3.誰能量出道路的寬度：

如圖22-10,有矩形地ABCD一塊，要在中央修一矩形花輔EFGH,使其面積為

這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測量工具，只有無刻度的

足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度？

請同學們利用自己掌握的數(shù)學知識來解決這個實際問題，相信你一定能

行.

答案:

―\1.B2.B3.D

二、1.2+2-

2.32cm

3.20m和7.5m或15nl和10m

~二、

1.設壩的高是x,則AE=x,BF=2x,AB=3+3x,

依題意，得：(3+3+3x)xX30=4500

整理，得：x2+2x-100=0

解得x?即x=9.05(m)

2.設寬為x,則12X8-8=2X8x+2(12-2x)x

整理,得：x-10x+22=0

解得：X[=5+(舍去)，X2=5-

3.設道路的寬為x,AB=a,AD=b

則(a-2x)(b-2x)=ab

解得：x=[(a+b)-]

量法為：用繩子量出AB+AD（即a+b）之長，從中減去BD之長（對角線BD=）,

得1=48+4口-6口，再將L對折兩次即得到道路的寬，即.

22.3實際問題與一元二次方程⑷

教學內(nèi)容

運用速度、時間、路程的關系建立一元二次方程數(shù)學模型解決實際問題.

教學目標

掌握運用速度、時間、路程三者的關系建立數(shù)學模型并解決實際問題.

通過復習速度、時間、路程三者的關系，提出問題，用這個知識解決問題.

重難點關鍵

1.重點：通過路程、速度、時間之間的關系建立數(shù)學模型解決實際問題.

2.難點與關鍵：建模.

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

（老師口問，學生口答）路程、速度和時間三者的關系是什么？

二、探究新知

我們這一節(jié)課就是要利用同學們剛才所回答的“路程=速度X時間”來建立一

元二次方程的數(shù)學模型，并且解決一些實際問題.

請思考下面的二道例題.

例L某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s(m)和時間t(s)之間

的關系為：s=10t+3t2,那么行駛200m需要多長時間？

分析：這是一個加速運運，根據(jù)已知的路程求時間，因此，只要把s=200

代入求關系t的一元二次方程即可.

解：當s=200時，3t2+10t=200,3t2+10t-200=0

解得t=(s)

答：行駛200m需s.

例2.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎

車后汽車又滑行25m后停車.

(1)從剎車到停車用了多少時間？

(2)從剎車到停車平均每秒車速減少多少？

(3)剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間(精確到0.1s)?

分析：(1)剛剎車時時速還是20m/s,以后逐漸減少，停車時時速為0.

因為剎車以后，其速度的減少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是勻速的,

因此，其平均速度為=10m/s,那么根據(jù)：路程=速度X時間，便可求出所求的

時間.

(2)很明顯，剛要剎車時車速為20m/s,停車車速為0,車速減少值為20

-0=20,因為車速減少值20,是在從剎車到停車所用的時間內(nèi)完成的，所以20

除以從剎車到停車的時間即可.

(3)設剎車后汽車滑行到15m時約用除以xs.由于平均每秒減少車速已

從上題求出，所以便可求出滑行到15米的車速，從而可求出剎車到滑行到15m

的平均速度，再根據(jù)：路程=速度X時間，便可求出x的值.

解：(1)從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是

=10(m/s)

那么從剎車到停車所用的時間是=2.5(s)

(2)從剎車到停車車速的減少值是20-0=20

從剎車到停車每秒平均車速減少值是=8(m/s)

(3)設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs,這時車速為(20-8x)m/s

則這段路程內(nèi)的平均車速為=(20-4x)m/s

所以x(20-4x)=15

整理得：4x-20x+15=0

解方程：得*=

Xi^4.08(不合，舍去)，x2^0.9(s)

答：剎車后汽車行駛到15m時約用0.9s.

三、鞏固練習

(1)同上題，求剎車后汽車行駛10m時約用了多少時間.(精確到0.1s)

(2)剎車后汽車行駛到20m時約用了多少時間.(精確到0.1s)

四、應用拓展

例3.如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目

標B,在B的正東方向200海里處有一重要目標C,小島D位于AC的中點，島

上有一補給碼頭：小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從

A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一般補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直

線航行，欲將一批物品送達軍艦.

(1)小島D和小島F相距多少海里？

(2)已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B至UC的途中與補給船相

遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？(結(jié)果精確到0.1海里)

分析：(1)因為依題意可知^ABC是等腰直角三角形，ADFC也是等腰直

角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的長.

(2)要求補給船航行的距離就是求DE的長度，DF已求，因此，只要在Rt

△DEF中，由勾股定理即可求.

解：(1)連結(jié)DF,則DF±BC

VABXBC,AB=BC=200海里.

AC=AB=200海里，ZC=45°

ACD=AC=100海里

DF=CF,DF=CD

，DF=CF=CD=X100=100（海里）

所以，小島D和小島F相距100海里.

(2)設相遇時補給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，

EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里

在RtADEF中，根據(jù)勾股定理可得方程

x2=1002+(300-2x)2

整理，得3x2-l200x+100000=0

解這個方程，得：Xi-200-^118.4

X2=200+(不合題意，舍去)

所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：

運用路程=速度X時間，建立一元二次方程的數(shù)學模型，并解決一些實際問題.

六、布置作業(yè)

1.教材P53綜合運用9P58復習題22綜合運用9.

2.選用作業(yè)設計：

一、選擇題

1.一個兩位數(shù)等于它的個位數(shù)的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3,則這個

兩位數(shù)為().

A.25B.36C.25或36D.-25或-36

2.某種出租車的收費標準是：起步價7元(即行駛距離不超過3km都需付7元

車費)；超過3km以后，每增加1km,加收2.4元(不足1km按1km計)，某

人乘出租車從甲地到乙地共支付車費19元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程

().

A.正好8kmB.最多8kme.至少8kmD.正好7km

二、填空題

1.以大約與水平成45°角的方向，向斜上方拋出標槍，拋出的距離s(單位：

m)與標槍出手的速度v(單位：m/s)之間大致有如下關系：s=+2

如果拋出40m,那么標槍出手時的速度是(精確到0.1)

2.一個小球由靜止開始在一個斜坡上向下滾動，通過儀器觀察得到小球滾動

的距離s(m)與時間t(s)的數(shù)據(jù)如下：

寫出用t表示s的關系式為.

三、綜合提高題

1.一個小球以10m/s的速度在平坦地面上開始滾動，并且均勻減速，滾動20m

后小球停下來.

(1)小球滾動了多少時間？

(2)平均每秒小球的運動速度減少多少？

(3)小球滾動到5m時約用了多少時間(精確到0.1s)?

2.某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30節(jié)的速度由南

向北航行，它能偵察出周圍50海里(包括50海里)范圍內(nèi)的目標.如圖，

當該軍艦行至A處時，電子偵察船正位于A處正南方向的B處，且AB=90海

里，如果軍船和偵察船仍按原速度沿原方向繼續(xù)航行，那么航行途中偵察船

能否偵察到這艘軍艦?如果能，最早何時能偵察到?如果不能，請說明理由.

答案：

―k>1.C2.B

二、1.19.3m/s2.s=2t2

~二、

1.(1)小球滾動的平均速度==5(m/s)小球滾動的時間：=4(s)

(2)=2.5(m/s)

(3)小球滾動到5m時約用了xs平均速度==

依題意，得：x,=5,整理得：X2-8X+4=0

解得：x=4±2,所以x=4-2

2.能.設偵察船最早由B出發(fā)經(jīng)過x小時偵察到軍艦，則(90-30x)2+(20x)

2=502

整理，得：13x-54x+56=0,即(13x-28)(x-2)=0,X1=2,x2=2,

??.最早再過2小時能偵察到.

第二十四章圓

單元要點分析

教學內(nèi)容

1.本單元數(shù)學的主要內(nèi)容.

（1）圓有關的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角.

（2）與圓有關的位置關系：點和圓的位置關系，直線與圓的位置關系，圓和

圓的位置關系.

（3）正多邊形和圓.

（4）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積.

2.本單元在教材中的地位與作用.

學生在學習本章之前，已通過折疊、對稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認

識了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗.本章是在學習了這些

直線型圖形的有關性質(zhì)的基礎上，進一步來探索一種特殊的曲線—圓的有關

性質(zhì).通過本章的學習，對學生今后繼續(xù)學習數(shù)學，尤其是逐步樹立分類討論

的數(shù)學思想、歸納的數(shù)學思想起著良好的鋪墊作用.本章的學習是高中的數(shù)學

學習，尤其是圓錐曲線的學習的基礎性工程.

教學目標

1.知識與技能

（1）了解圓的有關概念，探索并理解垂徑定理，探索并認識圓心角、弧、

弦之間的相等關系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關系定理.

（2）探索并理解點和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系：了解切線的概念，

探索切線與過切點的直徑之間的關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過

圓上一點畫圓的切線.

（3）進一步認識和理解正多邊形和圓的關系和正多邊的有關計算.

（4）熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應用；理解圓錐的側(cè)面展開圖

并熟練掌握圓錐的側(cè)面積和全面積的計算.

2.過程與方法

（1）積極引導學生從事觀察、測量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動.了解概

念，理解等量關系，掌握定理及公式.

（2）在教學過程中，鼓勵學生動手、動口、動腦，并進行同伴之間的交

流.

（3）在探索圓周角和圓心角之間的關系的過程中，讓學生形成分類討論

的數(shù)學思想和歸納的數(shù)學思想.

（4）通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認識直線與圓、圓與圓的位置關系，使學

生明確圖形在運動變化中的特點和規(guī)律，進一步發(fā)展學生的推理能力.

（5）探索弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計算公式并理解公式

的意義、理解算法的意義.

3.情感、態(tài)度與價值觀

經(jīng)歷探索圓及其相關結(jié)論的過程，發(fā)展學生的數(shù)學思考能力；通過積極引

導，幫助學生有意識地積累活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗；利用現(xiàn)實生活和數(shù)學

中的素材，設計具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學生求知、探索的欲望.

教學重點

1.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其

運用.

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等及其

運用.

3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半及其運用.

4.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑

及其運用.

5.不在同一直線上的三個點確定一個圓.

6.直線L和。0相交d〈r；直線L和圓相切（1=C直線L和。0相離d〉r及其運

用.

7.圓的切線垂直于過切點的半徑及其運用.

8.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些

具體問題.

9.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心

的連線平分兩條切線的夾角及其運用.

10.兩圓的位置關系：d與n和9之間的關系:外離d>n+r2；外切d=rF；

相交Ir2-ri|ri+r2；內(nèi)切d=|r-r2|；內(nèi)含d<|r2fl.

11.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角。之間的等量關系并應

用這個等量關系解決具體題目.

12.n°的圓心角所對的弧長為L=,n°的圓心角的扇形面積是S扇形=及其

運用這兩個公式進行計算.

13.圓錐的側(cè)面積和全面積的計算.

教學難點

1.垂徑定理的探索與推導及利用它解決一些實際問題.

2.弧、弦、圓心有的之間互推的有關定理的探索與推導，并運用它解決一些

實際問題.

3.有關圓周角的定理的探索及推導及其它的運用.

4.點與圓的位置關系的應用.

5.三點確定一個圓的探索及應用.

6.直線和圓的位置關系的判定及其應用.

7.切線的判定定理與性質(zhì)定理的運用.

8.切線長定理的探索與運用.

9.圓和圓的位置關系的判定及其運用.

10.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角。的關系的應用.

11.n的圓心角所對的弧長1=及5扇形=的公式的應用.

12.圓錐側(cè)面展開圖的理解.

教學關鍵

1.積極引導學生通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學活動探索定理、

性質(zhì)、“三個”位置關系并推理證明等活動.

2.關注學生思考方式的多樣化，注重學生計算能力的培養(yǎng)與提高.

3.在觀察、操作和推導活動中，使學生有意識地反思其中的數(shù)學思想方法，

發(fā)展學生有條理的思考能力及語言表達能力.

單元課時劃分

本單元教學時間約需13課時，具體分配如下:

24.1圓3課時

24.2與圓有關的位置關系4課時

24.3正多邊形和圓1課時

24.4弧長和扇形面積2課時

教學活動、習題課、小結(jié)3課時

24.1圓

第一課時

教學內(nèi)容

1.圓的有關概念.

2.垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩