安徽省宣城市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

宣城市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)不同直線，若，則的值為（）A. B. C.1 D.42.數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.33.直線過(guò)圓的圓心，并且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B. C. D.4.在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則（）A. B.C D.5.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.2 B. C. D.6.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，下列點(diǎn)在直線上的是（）A. B. C. D.7.如圖，在兩條異面直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且.已知，則異面直線所成的角為（）A. B. C. D.8.設(shè)橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上不同于的任一點(diǎn)，若將的三個(gè)內(nèi)角記作，且滿足，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（）A.實(shí)軸長(zhǎng)為4 B.雙曲線為等軸雙曲線C.離心率 D.漸近線方程為10.已知圓，直線則下列命題中正確的有（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4C.直線與圓可能相離D.直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為11.已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和，則（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式為B.數(shù)列的公差為C.數(shù)列的前項(xiàng)和為D.數(shù)列前20項(xiàng)和為5612.已知四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊長(zhǎng)為4和2的正方形，則（）A.側(cè)棱上一點(diǎn)E，滿足，則平面B.若E為的中點(diǎn)，過(guò)，，的平面把四棱臺(tái)分成兩部分時(shí)，較小部分與較大部分的體積之比為C.D.設(shè)與面的交點(diǎn)為O，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.14.圓與圓的公共弦長(zhǎng)等于______.15.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn).若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式為_(kāi)_________.16.已知拋物線與圓交于兩點(diǎn)，且，直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.數(shù)列滿足（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.20.如圖，在五面體中，已知，且，.（1）求證：平面平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.21.已知正項(xiàng)數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程.宣城市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)不同的直線，若，則的值為（）A. B. C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】由直線平行的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】由題意，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故選：D.2.數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】首先列舉數(shù)列的項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，即可求解數(shù)列中的項(xiàng).【詳解】由條件可知，，，，所以數(shù)列的周期為3，.故選：C3.直線過(guò)圓的圓心，并且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求圓心坐標(biāo)，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得.【詳解】由可知圓心為，又因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，由點(diǎn)斜式得直線，化簡(jiǎn)得直線的方程是．故選：D．4.在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，，又，所以，得到，故選：A.5.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】成等比數(shù)列，得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，，成等比數(shù)列，故，即，解得，故.故選：B6.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，下列點(diǎn)在直線上的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)換為向量共線即可驗(yàn)算求解.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則不共線，故D錯(cuò)誤.故選：A.7.如圖，在兩條異面直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且.已知，則異面直線所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線平移到，使其過(guò)點(diǎn)A，即得為異面直線所成的角，于是需要求，即要解三角形，故要先證，而這可通過(guò)證明平面得到.詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線，過(guò)點(diǎn)E作交直線于點(diǎn)B，連接,因，則，又，,平面，則平面，故平面,又平面，則.易得：,在中，,設(shè)異面直線所成角為，則,因,由余弦定理可得：,又因，故.故選：C.8.設(shè)橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上不同于的任一點(diǎn)，若將的三個(gè)內(nèi)角記作，且滿足，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角恒等變換首先得，進(jìn)一步通過(guò)數(shù)形結(jié)合、銳角三角函數(shù)以及離心率公式即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，所以，由題意不妨設(shè)，又，過(guò)點(diǎn)作軸，所以，，所以，所以橢圓的離心率為.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（）A.實(shí)軸長(zhǎng)為4 B.雙曲線為等軸雙曲線C.離心率為 D.漸近線方程為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線實(shí)軸、離心率、漸近線方程等性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)該雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則.對(duì)于A選項(xiàng)，若實(shí)軸長(zhǎng)為4，則，，符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，可解得，符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，由雙曲線的離心率大于1知，不合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，故選：ABD.10.已知圓，直線則下列命題中正確的有（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4C.直線與圓可能相離D.直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，變形后得到方程組，求出直線恒過(guò)定點(diǎn)；B選項(xiàng)，令得，求出被軸截得的弦長(zhǎng)；C選項(xiàng)，先判斷出在圓內(nèi)，從而得到直線與圓相交；D選項(xiàng)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，求出，得到直線方程.【詳解】A選項(xiàng)，變形為，令，解得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，中令得，故圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，將代入中得，故在圓內(nèi)，直線與圓相交，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的圓心為，當(dāng)直線與垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，其中，此時(shí)，方程為，故直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為，D正確.故選：AD11.已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和，則（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式為B.數(shù)列的公差為C.數(shù)列的前項(xiàng)和為D.數(shù)列的前20項(xiàng)和為56【答案】BCD【解析】【分析】首先由條件，建立關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，即可求解首項(xiàng)和公差，再代入求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可判斷ABC，再去絕對(duì)值，求數(shù)列的前20項(xiàng)和，即可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得：，，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；，故C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，，，故D正確.故選：BCD12.已知四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊長(zhǎng)為4和2的正方形，則（）A.側(cè)棱上一點(diǎn)E，滿足，則平面B.若E為的中點(diǎn)，過(guò)，，的平面把四棱臺(tái)分成兩部分時(shí)，較小部分與較大部分的體積之比為C.D.設(shè)與面的交點(diǎn)為O，則【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A：先把平面與四棱錐的截面補(bǔ)全，從而得到G為BC中點(diǎn)，進(jìn)而判斷得四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可判斷；選項(xiàng)B：通過(guò)兩個(gè)多面體的體積和計(jì)算可以判斷；選項(xiàng)C：利用空間向量的線性計(jì)算即可判斷；選項(xiàng)D：利用等體積法計(jì)算求得點(diǎn)D、到平面的距離，再利用直線與面所成角的定義可得的比值，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于A：連結(jié)，并延長(zhǎng)交DC于F，，連AF交BC于G點(diǎn)，則G為BC中點(diǎn)，連，由四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)可知，，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，面，故A正確；對(duì)于B：設(shè)四棱臺(tái)的高為h，若E為中點(diǎn)，則，，，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：連接AC、BD交于點(diǎn)P，連接，，由四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可得，，故四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，，，，故點(diǎn)D、到平面的距離相等，設(shè)直線與面所成角為，則，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量的綜合問(wèn)題：①掌握線性運(yùn)算：加法口訣“首尾相連，從頭到尾”、減法口訣“共起點(diǎn)，從后向前”；②幾何體的體積：線面平行或面面平行時(shí)，線或面上的點(diǎn)到平面的距離都相等；③點(diǎn)到平面的距離：等體積轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用；④線面平行的判定：注意事項(xiàng)，標(biāo)注線不在平面內(nèi).三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)條件，求出公差，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，得到，所以，故答案為?14.圓與圓的公共弦長(zhǎng)等于______.【答案】【解析】【分析】?jī)蓤A相減得出公共弦所在直線方程，再根據(jù)勾股定理計(jì)算公共弦長(zhǎng)【詳解】聯(lián)立,得公共弦所在直線方程為.圓心到距離所以公共弦長(zhǎng)為故答案為：15.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn).若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由法向量定義可知，由此即可得解.【詳解】由題意，若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，則，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式為.故答案為：.16.已知拋物線與圓交于兩點(diǎn)，且，直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】由已知可求得拋物線方程，設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程組可求得，進(jìn)而根據(jù)基本不式求|的最小值即可.【詳解】拋物線與圓交于兩點(diǎn)，且，得到第一象限交點(diǎn)(1，2)在拋物線上，所以，解得，所以C：，則，設(shè)直線，與聯(lián)立得，設(shè)，所以，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)列遞推式易得為等差數(shù)列，求出基本量，即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，即可正負(fù)相消求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋怨蕯?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則故；【小問(wèn)2詳解】記則.18.如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行的判定定理即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件求得平面的法向量和，再利用空間距離的向量法，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】連接交于，連接，在三角形中，是三角形的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由是直三棱柱，且，故，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，則，則，設(shè)平面的法向量為，由，得到，令，得，所以，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由雙曲線定義可知點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，由此即可得解；（2）由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，由可知，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解參數(shù)，由此即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，可設(shè)其方程為，所以，所以其軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得，由題意，設(shè)，則，，，且，，直線的方程.20.如圖，在五面體中，已知，且，.（1）求證：平面平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，以及平行關(guān)系與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理和判斷定理，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，利用法向量夾角的余弦值，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：且平面，平面，平面平面平面，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，又平面，平面平面，平面平面，平面，又，所以，且，四邊形為平行四邊形，，面，則平面，又面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，