復(fù)旦大學(xué)計算機科學(xué)與工程系吳永輝離散數(shù)學(xué)集合論經(jīng)典習(xí)題省公共課一等獎全國賽課獲獎?wù)n件

集合論習(xí)題解析

——經(jīng)典習(xí)題與考研習(xí)題經(jīng)典習(xí)題一、集合基礎(chǔ)二、二元關(guān)系三、函數(shù)四、概念綜合練習(xí)考研習(xí)題北京大學(xué)、中科院計算所、中科院軟件所、中科院自動化所、北京師范大學(xué)、中科院成都計算所、上海交通大學(xué)、西安交通大學(xué)、西南交通大學(xué)、北京航空航天大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)等第1頁一、集合基礎(chǔ)1.1與1.2集合運算1.3冪集第2頁1.1與1設(shè)A,B,C是任意3個集合，假如AB,BC,則AC可能嗎？AC常真嗎？舉例說明。第3頁AC可能A={1},B={{1}},C={{1},{{1}}}AC不常真A={1},B={{1}},C={{{1}}}第4頁2設(shè)A,B是任意2個集合，A

B與

AB同時成立，這可能嗎？第5頁可能A={1},B={{1},1}.第6頁3設(shè)A,B,C是集合，判斷以下命題真假，假如為真，給出證實；假如為假，給出反例：1)AB,BCAC;2)

AB,BCAC;3)

AB,BCAC;4)

AB,BCAC;5)aA,AB

aB.第7頁1）假A={1},B={2},C={{2}}

2）假A={1},B={2},C={{1}}3）假A={1},B={{1}},C={{1},1}第8頁4）假A={1},B={{1},1}，C={{1},2}5）真子集定義第9頁4設(shè)A,B,C是U子集，判斷以下命題真假，假如為真，給出證實；假如為假，給出反例：1)ABAB=B;2)ABAB=A;3)ABAB=A;4)ABAB=B;5)ABA(B-A)=B;6)BA(A-B)B=A;第10頁1）假，A=B時不成立/*

與

不一樣*/分析：I)ABAB=B：因為BAB；對于任意xAB，假如xA,因為AB,所以xB,則對任意xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=B

AB=B，但AB不成立。第11頁2）假，A={1}，B={1，2}，不成立；3）假，A=B時不成立；4）假，A={1}，B={1，2}，不成立；5）假，A=B時不成立6）假，A={1，2}，B={1}，不成立；第12頁1.2集合運算5設(shè)A,B,C是任意3個集合，（1）AB=AC，則B=C嗎？（2）AB=AC，則B=C嗎？（3）AB=AC且AB=AC，則B=C嗎？第13頁（1）假A={1,2},B={1},C={2}（2）假A={1},B={1,2},C={1,3}（3）真/*基本法、反證法證實*/設(shè)xB，假設(shè)xC。因為xB，所以x

AB；因為AB=AC，所以xAC；因為xC，所以x

A；又因為xB，所以xAB；因為AB=AC，所以xAC；則xC，這與xC矛盾。所以B=C。第14頁6設(shè)A,B是任意2個集合，（1）若A-B=B，則A與B有何關(guān)系？（2）若A-B=B-A，則A與B有何關(guān)系？（3）若A

B=A

B，則A與B有何關(guān)系？（4）若AB=A，則A與B有何關(guān)系？/*用文氏圖輔助*/第15頁證實：(1)由A-B=B，可得出A=B=

。第16頁(2)由A-B=B-A，可導(dǎo)出A=B。第17頁(3)A=B第18頁(4)B=

第19頁7給出以下命題成立充分必要條件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推導(dǎo)*/第20頁解：(1)1)：設(shè)(A-B)(A-C)=A，對任意x，xA，則xA-B或xA-C；則有第21頁2）：設(shè)A

BC=，對任意x，xA，則xB或xC，則有第22頁對任意x，x(A-B)(A-C)，則xA-B或

xA-C，則有第23頁（2）

(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=

AB而且ACABC所以，充要條件為ABC。第24頁（3）1)設(shè)(A-B)(A-C)=，對任意x，xA，x(A-B)而且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；則有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABCAB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。從而，(A-B)(A-C)=ABC。第25頁（4）(A-B)(A-C)=((A-B)-(A-C))((A-C)-(A-B))=

(A-B)(A-C)而且(A-C)(A-B)

(A-B)=(A-C)第26頁1.3冪集7設(shè)A,B是任意2個集合，證實：（1）ABP(A)P(B)（2）P(A)P(B)A

B（3）P(A)=P(B)A=B第27頁/*利用基本法證實集合包含關(guān)系*/證實：(1)對任意xP(A),有xA,又因為AB，所以xB,即xP(B)；所以P(A)P(B)。(2)/*證實方法同(1)；*/對任意xA,則{x}P(A)，又因為P(A)P(B)，所以{x}P(B)，即xB；所以A

B。(3)由(1)和(2)證實導(dǎo)出。第28頁二、二元關(guān)系1設(shè)R是集合A上關(guān)系（1）R是自反，則RR是自反；（2）R是對稱，則RR是對稱；（3）R是反自反和傳遞，則R是反對稱；第29頁/*證實思想：依據(jù)定義給出性質(zhì)證實*/證實：（1）證實思想與（2）和（3）相同（2）設(shè)(a,b)

RR,則存在c,(a,c)

R,(c,b)

R;因為R是對稱，所以(b,c)

R,(c,a)

R;所以(b,a)

RR。則RR是對稱。（3）假設(shè)(a,b)

R,(b,a)R。因為R是傳遞，所以(a,a)R，(b,b)R；因為R是反自反，所以造成矛盾。第30頁2設(shè)R是A上關(guān)系，若R是自反和傳遞，則R

R=R。其逆命題也成立嗎？證實思想：證實R

R=R，1）證實R

R

R；2）證實R

R

R：第31頁證實：1）證實R

R

R：設(shè)(a,b)

R

R，存在cA,使得(a,c)

R,(c,b)

R，因為R是傳遞，所以(a,b)

R；則R

R

R；2）證實R

R

R：設(shè)(a,b)

R，R是自反，(b,b)

R，所以(a,b)

R

R；則R

R

R。所以R

R=R。第32頁自反不成立傳遞成立第33頁特殊關(guān)系3設(shè)S={1,2,3,4}，并設(shè)A=SS，在A上定義關(guān)系R為：（a,b）R（c,d）當(dāng)且僅當(dāng)a+b=c+d。（1）證實R是等價關(guān)系；（2）計算出A/R。第34頁（1）證實：/*依據(jù)等價關(guān)系定義證實*/1）/*證實R是自反；*/對于任意(a,b)SS，因為a+b=a+b，所以(a,b)R(a,b)，即R是自反。2）/*證實R是對稱；*/假如(a,b)R(c,d)，則a+b=c+d，那么有c+d=a+b；所以(c,d)R(a,b)，即R是對稱。3）/*證實R是傳遞；*/假如(a,b)R(c,d)，(c,d)R(e,f)，則a+b=c+d，c+d=e+f；所以a+b=e+f，得(a,b)R(e,f)，即R是傳遞。第35頁（2）假如(a,b)R(c,d)，則a+b=c+d，所以依據(jù)和數(shù)來劃分。第36頁4設(shè)R,S是A上等價關(guān)系，證實：R

S是A上等價關(guān)系

R

S=S

R。第37頁證實思想：1）R

S是A上等價關(guān)系

R

S=S

R；證實(i)R

S

S

R；(ii)S

R

R

S；2）R

S=S

R

R

S是A上等價關(guān)系；證實R

S是(i)自反；(ii)對稱；(iii)傳遞；第38頁證實：1）R

S是A上等價關(guān)系

R

S=S

R：假如(a,b)

R

S,因為R

S是對稱，所以(b,a)

R

S,所以存在cA,使得(b,c)

R,(c,a)

S；因為R和S是對稱，所以(c,b)

R,(a,c)

S；則(a,b)

S

R；同理，S

R

R

S；第39頁2）R

S=S

R

R

S是A上等價關(guān)系：/*證實R

S是自反、對稱比較輕易*/第40頁傳遞性證實：對任意a,b,cA，假如(a,b)

R

S,(b,c)

R

S，因為R

S=S

R，則有(b,c)

S

R，即存在e,fA，使(a,e)

R，(e,b)

S，(b,f)

S，(f,c)

R。因為S是傳遞，(e,b)

S，(b,f)

S，所以(e,f)

S；因為(a,e)

R，所以(a,f)

R

S；R

S是對稱，則(f,a)

R

S；因為R是對稱，(f,c)

R，則(c,f)

R。因為(f,a)

R

S，則存在gA，使得(f,g)

R，(g,a)

S；因為R是傳遞，由(c,f)

R，(f,g)

R，則(c,g)

R；因為(c,g)

R，(g,a)

S，所以(c,a)

R

S。因為已經(jīng)證實，R

S是對稱，所以(a,c)

R

S。第41頁函數(shù)12設(shè)f:XY是函數(shù)，A,B是X子集，證實：（1）f(AB)f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A)-f(B)f(A-B)第42頁/*基本法證實*/證實：（1）對任意yf(AB)，存在x，xAB，使得y=f(x)。因為xA，所以yf(A)；因為xB，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。則f(AB)f(A)f(B)。第43頁13設(shè)R是A上一個二元關(guān)系，S={(a,b)|a,b

A而且對于某個c

A，有(a,c)

R且(c,b)

R}。證實：若R是A上等價關(guān)系，則S是A上等價關(guān)系。/*證實是S自反、對稱和傳遞*/第44頁四、概念綜合練習(xí)一、選擇題（北京理工大學(xué)考研）1以下集合運算中（）對滿足分配律。A)B)C)ˉD)

第45頁2A、B是集合，P(A)、P(B)為其冪集，且AB=，則P(A)P(B)=（）A)

B){}C){{}}D){,{}}第46頁3A、B是集合，以下各式除（）之外，均與A

B等價。A)A

B

BB)AB=BC)AB=AD)ABB2第47頁4R是集合A上自反關(guān)系，則（）A)RоRB)R

RоRC)R

R-1=IAD)Rо

R-1=IA第48頁5集合A中有n個元素，則A上共有（）個既對稱又反對稱關(guān)系。A)0B)2nC)n2D)2n第49頁6R是可傳遞二元關(guān)系，則在RR-1,RR-1,R-R-1,R-1-R中，有（）個一定是可傳遞。A)1B)2C)3D)4第50頁7函數(shù)f:R

R，其中R為實數(shù)集合，以下四個命題中（）為真。A)f(x)=5是內(nèi)射B)f(x)=5是滿射C)f(x)=5是雙射D)A),B),C)都不真第51頁8集合A到B共有64個不一樣函數(shù)，則B中元素不可能是（）個。A)4B)8C)16D)64第52頁二、選擇題（北京理工大學(xué)1999）1已知A

B={1,2,3}，AC={2,3,4}，若2B，則

。A)1CB)2CC)3CD)4C第53頁2對任何二元關(guān)系R，在RR-1,RR-1,RR-1,RR-1中有

個一定是對稱關(guān)系。A)1B)2C)3D)4第54頁3R={(1,4),(2,3),(3,1),(4,3)},則

t(R)。A)(1,1)B)(1,2)C)(1,3)D)(1,4)第55頁集合論——考研習(xí)題考研習(xí)題一、集合基礎(chǔ)二、二元關(guān)系三、函數(shù)第56頁一、集合基礎(chǔ)1.1集合運算——容斥原理1.2集合運算——證實1.3冪集1.4相類似練習(xí)題目第57頁1.1集合運算——容斥原理中國科學(xué)院自動化所1997120個學(xué)生參加考試，考試有A、B和C3道題，考試結(jié)果以下：12個學(xué)生3道題都做對了，20個學(xué)生做對A和B，16個學(xué)生做對A和C，28個學(xué)生做對B和C，做對A有48個學(xué)生，做對B有56個學(xué)生，有16個學(xué)生一道也沒有做對。試求做對了C學(xué)生有多少個？直接使用容斥原理第58頁解：設(shè)做對A題學(xué)生集合為PA，做對B題學(xué)生集合為PB，做對C題學(xué)生集合為PC。/*依據(jù)容斥原理，列出計算式*/|PAPBPC|=12,|PAPB|=20,|PAPC|=16,|PBPC|=28,|PA|=48,|PB|=56,

第59頁/*依據(jù)容斥原理，進行計算*/|PAPBPC|=120-16,|PAPBPC|=|PA|+|PB|+|PC|-|PAPB|-|PAPC|-|PBPC|+|PAPBPC|,所以|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做對C題學(xué)生為52人。第60頁容斥原了解題總結(jié)使用容斥原理時，首先搞清論域，劃定全集；其次對全集進行分類，列出計算式；最終依據(jù)容斥原理公式進行計算。第61頁北京師范大學(xué)證實容斥原理：設(shè)A1,A2,……,An都是有限集，則|A1A2……An|=其中：{i1,i2,…in}是遍歷{1,2,…,n}全部k元子集。/*證實思想：數(shù)學(xué)歸納法*/第62頁證實：1）歸納基礎(chǔ)：當(dāng)k=2時，集合A1和A2公共元素個數(shù)為|A1A2|，這些元素中每一個在|A1|+|A2|里計算了兩次，但在|A1A2|中是作為一個元素計算。所以有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。所以，當(dāng)n=2時，命題成立。第63頁2）歸納步驟：第64頁當(dāng)k=n時，|A1A2……An|=|(A1A2……An-1)An|=|(A1A2……An-1)|+|An|-|(A1A2……An-1)An|因為|(A1A2……An-1)An|=|(A1An)(A2An)……(An-1An)|/*n-1個集合并，依據(jù)歸納假設(shè)展開*/第65頁北京師范大學(xué)設(shè)S為任一集合，證實在S與其冪集P(S)之間不存在1-1對應(yīng)。第66頁1.2集合運算——證實基本法、公式法第67頁中國科學(xué)院軟件所19981對于任意集合A和B，證實:(1)P(A)P(B)P(AB),

(2)P(A)P(B)=P(AB)；并舉例說明P(A)P(B)P(AB)。/*冪集定義：P(A)={x|xA}*/第68頁（1）/*基本法*/對任意x

P(A)P(B)，有x

P(A)或xP(B)。若x

P(A)，則x

A，所以x

AB，即x

P(AB)；同理，若xP(B)，則xB，所以x

AB，即x

P(AB)。總而言之，P(A)P(B)P(AB)。第69頁（2）/*基本法*/對任意xP(A)P(B)，有x

P(A)且xP(B)。即x

A而且xB，則x

AB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。對任意xP(AB)，有x

AB，即x

A而且xB，所以x

P(A)且xP(B)。所以P(AB)P(A)P(B)?？偠灾琍(A)P(B)=P(AB)。第70頁舉例說明P(A)P(B)P(AB)。A={1},B={2},AB={1,2};P(A)={,{1}},P(B)={,{2}},P(A)P(B)={,{1},{2}},P(AB)={,{1},{2},{1,2}};所以P(A)P(B)P(AB)。第71頁中國科學(xué)院計算所19982證實：若(A-B)(B-A)=C，則A(B-C)(C-B)充分必要條件是ABC=。證實思想：（1）充分性，即證實：若ABC=，則A(B-C)(C-B)；基本法證實；（2）必要性，即證實：若A(B-C)(C-B)，則ABC=；反證法證實。第72頁證實：（1）對于任意aA，因為ABC=，所以aBC，則a有3種情況：I)aB，但aC，則aC-B，所以a(B-C)(C-B)；II)aB，但aC，則aB-C，所以a(B-C)(C-B)；III)aB且aC，因為aA，所以aA-B，所以a

(A-B)(B-A)，即aC，造成矛盾，所以aB且aC不可能出現(xiàn)?？偠灾瑢τ谌我鈇A，a

(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。第73頁證實：（2）假設(shè)ABC，則存在a，a

ABC，即a

A，aB，且aC。所以aB-C，aC-B。則a(B-C)(C-B)。因為A(B-C)(C-B)，a

A，所以造成矛盾。所以ABC=。第74頁北京大學(xué)19983給出集合表示式(A-C)B=AB成立充要條件.第75頁

第76頁北京大學(xué)1994判斷題，為真給出證實，為假給出反例：1）{}{x}-{{x}}2）若AB=AC，則B=C。3）R是A上關(guān)系，則R=R2充要條件是R=IA。第77頁1.3冪集冪集運算：代數(shù)法第78頁北京大學(xué)19971設(shè)A為集合，B=P(A)-{

}-{A}，且B

。求偏序集(B,

)極大元，極小元，最小元。第79頁因為B

，所以|A|>1。對任意xA,A-{x}是極大元，{x}是極小元，無最小元。第80頁北京大學(xué)19992設(shè)A={

,{

}}，計算P(A)-{

},

P(A)

A。第81頁/*代數(shù)法求P(A)*/設(shè)x=

,y={

}，A={x,y},P(A)={

,{x},{y},{x,y}};P(A)={

,{

},{{

}},{

,{

}}};P(A)-{

}={

,{{

}},{

,{

}}};P(A)

A={{{

}},{

,{

}}};第82頁上海大學(xué)19983設(shè)A是集合，A元素也是集合，P(A)是A冪集。定義A={x|yA,xy}（1）計算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}；（2）證實P(A)=A；（3）請問P(A)=A？解題要素：A（廣義并）和冪集定義；基本法第83頁（1）計算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}解：

{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}={a,b,c}{a,d,e}{a,f}={a,b,c,d,e,f}第84頁（2）證實P(A)=A證實：對任意xP(A)，則存在yP(A)，xy；因為yP(A)，所以yA；所以xy，則有P(A)A；對任意xA，設(shè)y={x}，則yA。所以yP(A)。所以xP(A)。所以P(A)=A。第85頁（3）請問P(A)=A？不成立。反例：（1）

A={{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}A={a,b,c,d,e,f}P(A)A第86頁上海交通大學(xué)19984C是非空集合族，證實：P(C)={P(X)|XC}證實方法：基本法，集合族概念第87頁證實：任取x

P(C)，則xC，所以對于任意ax，有aC；對于任意XC，有aX；那么xX，即x

P(X)。由X任意性，也即x{P(X)|XC}。所以P(C){P(X)|XC}。任取x{P(X)|XC}，則對于任意XC，有xP(X)，即xX。因為XC，對于任意ax，有aX；所以aC。所以xC，即x

P(C)。所以{P(X)|XC}P(C)。所以P(C)={P(X)|XC}。第88頁中科院成都計算所5設(shè)A是一有限集，A基數(shù)為|A|。證實：A冪集P(A)基數(shù)|P(A)|=2|A|。第89頁1.4相類似題目1A,B是兩個集合，給出AB=B充分必要條件是什么，并證實你結(jié)論。/*南京理工大學(xué)*/第90頁2判斷以下各式是否成立，假如成立，則證實之，不然舉出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB),

（2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大學(xué)第91頁3證實P(A)P(B)P(AB)，并說明等號成立條件。上海交通大學(xué)1999第92頁4設(shè)A,B,C,D為4個非空集合，則ABCD充分必要條件是

。/*重慶大學(xué)1998*/第93頁二、二元關(guān)系關(guān)系及其性質(zhì)與運算等價關(guān)系與劃分序關(guān)系第94頁關(guān)系及其性質(zhì)與運算第95頁北京大學(xué)19971設(shè)R={(x,y)|x,yN而且x+3y=12}，求R2。解題思緒：將R全部元素列出，求R與它本身復(fù)合所得關(guān)系第96頁解：R={(0,4),(3,3),(6,2),(9,1),(12,0)}R2={(3,3),(12,4)}第97頁北京大學(xué)19902設(shè)R是復(fù)數(shù)C上二元關(guān)系，且滿足xRyx-y=a+bi，a和b為非負(fù)整數(shù)，試確定R性質(zhì)（自反、反自反、對稱、反對稱和傳遞），并證實之。第98頁北京大學(xué)19943判斷題，為真給出證實，為假給出反例：R是A上二元關(guān)系，則R=R2

R=IA。第99頁武漢大學(xué)19994設(shè)A={a,b,c}，給出A上一個二元關(guān)系R，使其同時不滿足自反、反自反、對稱、反對稱和傳遞性。第100頁武漢大學(xué)19985設(shè)A={1,2,3}，R是P(A)上二元關(guān)系，且R={(a,b)|ab}。則R不滿足以下哪些性質(zhì)？為何？1)自反2)反自反3)對稱4)反對稱5)傳遞性第101頁等價關(guān)系與劃分第102頁中科院成都計算所1設(shè)R是集合A上一個傳遞和自反關(guān)系，T是A上一個關(guān)系，使得(a,b)屬于T當(dāng)且僅當(dāng)(a,b)和(b,a)都屬于R。證實：T是一個等價關(guān)系。第103頁西南交通大學(xué)19972設(shè)X和Y都是正整數(shù)集，xiX,yiY,i=1,2.[1]以下關(guān)系是否是等價關(guān)系？證實你結(jié)論。1)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y2=x2+y1}2)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y1=x2+y2}[2]若R是等價關(guān)系，定義集合M,M={(0,2),(1,2),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),……}。試給出它等價類。第104頁西南交通大學(xué)19983設(shè)S={1,2,3}，定義SS上關(guān)系R為：對任意(a,b),(c,d)SS，有((a,b),(c,d))a+d=b+c，證實：R為SS上等價關(guān)系并給出SS/R。第105頁上海交通大學(xué)4設(shè)P是X上等價關(guān)系，Q是Y上等價關(guān)系，關(guān)系R滿足((x1,y1),(x2,y2