專題四 集合教材

專題四集合、邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一．課程標(biāo)準(zhǔn)要求1．集合（1）了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系.（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.（3）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.（4）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.（5）理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.（6）能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.2.常用邏輯用語（1）了解命題的逆命題、否命題與逆否命題.（2）理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系.（3）通過數(shù)學(xué)實例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.（4）通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.（5）能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.3．不等式（1）通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系.（2）經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程.（3）通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.會解一元二次不等式.（4）探索并了解基本不等式的證明過程，會用其解決簡單的最值問題.4.函數(shù)(1)①通過豐富實例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.②在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).③通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.④通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義.⑤學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).（2）指數(shù)函數(shù)①通過具體實例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.②理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.③理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.④在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.（3）對數(shù)函數(shù)①理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運(yùn)算的作用.②通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機(jī)畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.③知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a>0,a≠1）.（4）冪函數(shù)通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)，，,,的圖象，了解它們的變化情況.（5）函數(shù)與方程①結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系.②根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法.（6）函數(shù)模型及其應(yīng)用①利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.②收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.5．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義①了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.②通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)，，，,,的導(dǎo)數(shù).②能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如）的導(dǎo)數(shù).③會使用導(dǎo)數(shù)公式表.（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.（4）生活中的優(yōu)化問題舉例.例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用.（5）定積分與微積分基本定理通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念.二.考試說明要求考試內(nèi)容要求層次ABC集合與常用邏輯用語集合集合的含義√集合的表示√集合的基本關(guān)系√集合的基本運(yùn)算√常用邏輯用語“若p則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題√四種命題的相互關(guān)系√充要條件√簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞√全稱量詞與存在量詞√函數(shù)概念與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)函數(shù)函數(shù)的概念與表示√映射√單調(diào)性與最大（?。┲怠唐媾夹浴讨笖?shù)函數(shù)有理指數(shù)冪的含義√實數(shù)指數(shù)冪的意義√冪的運(yùn)算√指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)√對數(shù)函數(shù)對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)√換底公式√對數(shù)函數(shù)的概念、圖像及其性質(zhì)√指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)互為反函數(shù)√冪函數(shù)冪函數(shù)的概念√冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的圖像及其性質(zhì)√函數(shù)的模型及其應(yīng)用函數(shù)的零點√二分法√函數(shù)模型的應(yīng)用√導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念√導(dǎo)數(shù)的幾何意義√導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算定義求，，，,,的導(dǎo)數(shù)√導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算√簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如）的導(dǎo)數(shù)√導(dǎo)數(shù)公式表√導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（其中多項式函數(shù)不超過三次）√函數(shù)的極值、最值（其中多項式函數(shù)不超過三次）√利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題√定積分與微積分基本定理定積分的概念√微積分基本定理√三.近五年高考試題分布1.集合、邏輯用語、不等式年份題號題型考查內(nèi)容分值占總分值比20095選擇題充要條件、三角函數(shù)53.3%13填空題函數(shù)、不等式53.3%20解答題集合與數(shù)列，綜合能力、創(chuàng)新意識149.3%20101選擇題集合運(yùn)算53.3%6選擇題向量運(yùn)算、充要條件53.3%20解答題集合、綜合能力、創(chuàng)新意識149.3%20111選擇題解不等式、集合運(yùn)算53.3%20121選擇題解不等式、集合運(yùn)算53.3%3選擇題充要條件、復(fù)數(shù)53.3%14填空題邏輯用語、函數(shù)53.3%20解答題集合、綜合能力、創(chuàng)新意識138.7%20131選擇題集合及運(yùn)算53.3%3選擇題充要條件3.3%2.函數(shù)年份題號題型考查內(nèi)容分值占總分比20093選擇題函數(shù)圖象的平移變換56.7%13填空題分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法5201014填空題函數(shù)的周期性、零點和創(chuàng)新能力53.3%20116選擇題分段函數(shù)56.7%8選擇題函數(shù)的值域5201214填空題二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象和單調(diào)性53.3%20135選擇題函數(shù)圖像及變換53.3%3.導(dǎo)數(shù)年份題號題型考查內(nèi)容分值占總分比200911填空題導(dǎo)數(shù)與曲線在某一點處切線的斜率的概念512%18解答題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識13201018解答題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和切線問題138.7%201118解答題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值138.7%201218解答題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線、極值和最值138.7%201318解答題利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、研究函數(shù)的性質(zhì)138.7%四.知識結(jié)構(gòu)映射映射定義表示解析法列表法三要素圖象法定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域性質(zhì)奇偶性周期性對稱性單調(diào)性定義域關(guān)于原點對稱，在x＝0處有定義的奇函數(shù)→f(0)＝01、2、證明單調(diào)性：作差（商）、導(dǎo)數(shù)法；3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性最值二次函數(shù)、基本不等式、打鉤（耐克）函數(shù)、三角函數(shù)有界性、數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù).冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)基本初等函數(shù)抽象函數(shù)復(fù)合函數(shù)賦值法、典型的函數(shù)函數(shù)與方程二分法、圖象法、二次及三次方程根的分布零點函數(shù)的應(yīng)用建立函數(shù)模型使解析式有意義導(dǎo)數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用換元法求解析式分段函數(shù)幾何意義、物理意義單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的關(guān)系生活中的優(yōu)化問題定積分與微積分定積分與圖形的計算注意應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求值域周期為T的奇函數(shù)→f(T)＝f(eq\f(T,2))＝f(0)＝0復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減三次函數(shù)的性質(zhì)、圖象與應(yīng)用一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)指數(shù)函數(shù)圖象、性質(zhì)和應(yīng)用平移變換對稱變換翻折變換伸縮變換圖象及其變換最值極值第一講集合與常用邏輯用語一、主干知識梳理1．集合的基本概念(1)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性．(2)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．2．集合的基本運(yùn)算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)補(bǔ)集：?UA＝{x|x∈U，且xA}．3．運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.4．四種命題及其關(guān)系(1)命題的定義可以判斷真假的語句叫做命題，可以寫成“若p，則q”的形式，其中p是條件，q是結(jié)論．(2)四種命題間的關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．5．充分條件與必要條件(1)充要條件：若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p，q互為充要條件；(2)充要條件與集合：設(shè)命題p對應(yīng)集合A，命題q對應(yīng)集合B，則p?q等價于A?B，p?q等價于A＝B.6．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，“或”，“非”用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作“p∧q”；用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作“p∨q”；對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作“p”．(2)命題p∧q，p∨q及p真假可以用下表來判定.pqp∧qp∨qp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真稱量詞與存在量詞(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)．它的否定p：?x0∈M，p(x0)．(2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)．它的否定p：?x∈M，p(x).二、重點題型分類題型一集合間的關(guān)系及運(yùn)算問題例1已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A?M?B，則滿足上述條件的集合M有________個．解∵A?M，∴M中一定含有A的全部元素1,2，且至少含有一個不屬于A的元素．又∵M(jìn)?B，∴M中的元素除了含有A的元素1,2外，還有元素3,4,5中的1個、2個或3個．故求M的問題轉(zhuǎn)化為研究集合{3,4,5}的非空子集的問題，顯然所求集合M有23－1＝7個．變式訓(xùn)練1已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．(1)若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是________；(2)若A∩B≠A，則實數(shù)a的取值范圍是________；(3)若A∪B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，將集合A、B表示在數(shù)軸上(注：集合B表示的范圍隨著a值的變化而在移動)，如圖所示，要注意的就是對于端點值的取舍．答案：(1){a|a＜4}(2){a|a≥－2}(3){a|a＜－2}題型二四種命題與充要條件例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．

(1)實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；

(2)若q≤1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根．

解析：

(1)原命題是真命題．

逆命題：若一個數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)是實數(shù)．真命題．

否命題：若一個數(shù)不是實數(shù)，則它的平方不是非負(fù)數(shù)．真命題．

逆否命題：若一個數(shù)的平方不是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)不是實數(shù)．真命題．

(2)原命題是真命題．

逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q≤1.真命題．

否命題：若q＞1，則方程x2＋2x＋q＝0無實根．真命題．

逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q＞1.真命題變式訓(xùn)練2對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的 ()BA．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件題型三“邏輯聯(lián)結(jié)詞”的應(yīng)用問題例3下列命題是假命題的是________．(填序號)（4）（5）①命題“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”的逆否命題是“若x2－3x＋2＝0，則x＝1②若0<x<eq\f(π,2)，且xsinx<1，則xsin2x<1；③對于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，則p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0；④“x>2”是“eq\f(3,x＋1)－1≤0”的充要條件；⑤若p∧q為假命題，則p、q均為假命題．變式訓(xùn)練3分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題，并指出復(fù)合命題的真假．(1)5或7是30的約數(shù)；(2)菱形的對角線互相垂直平分；(3)8x－5＜2無自然數(shù)解．解(1)是“p或q”的形式．其中p：5是30的約數(shù)(真)；q：7是30的約數(shù)(假)．為真命題.(2)是“p且q”的形式.其中p：菱形的對角線互相垂直(真)；q：菱形的對角線互相平分(真)．為真命題.(3)是“非p”的形式．其中p：8x－5＜2有自然數(shù)解．如x＝0，則p為真命題.故“非p”為假命題．題型四含有量詞的命題問題例4寫出下列命題的否定，并判斷真假．(1)p：對任意的正數(shù)x，>x－1；(2)q：三角形有且僅有一個外接圓；(3)r：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180°.解(1)p：存在正數(shù)x，≤x－1，真命題．(2)q：存在一個三角形有兩個或兩個以上的外接圓或沒有外接圓，假命題．(3)r：所有三角形的內(nèi)角和小于或等于180°，真命題.變式訓(xùn)練4給出下列命題：①?x∈R，x2＋2＞0；②?x∈N，x4≥1；③?x∈Z，x3＜1；④?x∈Q，x2＝3.其中真命題的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解因為①中由?x∈R，顯然x2≥0，故x2＋2＞0，所以為真命題；②中令x＝0，易知x4＝0，故x4≥1不成立，為假命題；③中令x＝0，易知?x∈Z，x3＜1成立，為真命題；④中由x∈Q得知使x2＝3成立的元素x不存在，為假命題．所以真命題的個數(shù)為2，故選B.三、規(guī)律方法總結(jié)（請同學(xué)自己完成）四、專題限時訓(xùn)練（一）選擇題1.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A.方程y＝2x－1B.函數(shù)y＝2x－1圖象上的所有點的縱坐標(biāo)組成的集合C.平面直角坐標(biāo)系中的所有點組成的集合D.函數(shù)y＝2x－1圖象上的所有點組成的集合答案：D2.設(shè)集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，則A∪B＝()A.{x|x＞－2}B.{x|x＞－1}C.{x|－2＜x＜－1}D.{x|－1＜x＜2}解析：用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示，則陰影部分就是A∪B，所以A∪B＝{x|x＞－2}．答案：A3.設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin2x的最小正周期為eq\f(π,2)；命題q：函數(shù)y＝cosx的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱．則下列判斷正確的是 ()C A．p為真 B．q為假C．p∧q為假 D．p∨q為真4.與命題“若a∈M，則b?M”等價的命題是()A.若a?M，則b?MB.若b?M，則a∈MC.若a?M，則b∈MD.若b∈M，則a?M解析：原命題與其逆否命題是等價的．答案：D5.已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝36.若集合A＝{x|log4x≤eq\f(1,2)}，B＝{x||x＋1|≥2}，則(?RA)∩B=（）A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－3]∪(2，＋∞)C．(－∞，－3)∪[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析由log4x≤eq\f(1,2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≤4＝2))即0<x≤2，故A＝{x|0<x≤2}，由補(bǔ)集的定義，可知?RA＝{x|x≤0或x>2}；由|x＋1|≥2，得x＋1≤－2或x＋1≥2，解得x≤－3或x≥1，所以B＝{x|x≤－3或x≥1}．所以(?RA)∩B＝{x|x≤－3或x>2}．故選B.(－∞，－3]∪(2，＋∞)（二）填空題7.已知集合,集合,且,則__________,___________.-1,18.命題“若a＞1，則a＞0”的逆命題是“________________”，逆否命題是“______________________”．答案：若a＞0，則a＞1若a≤0，則a≤19.下列命題的否定表述正確的有________．①p：面積相等的三角形是全等三角形；p：面積相等的三角形不是全等三角形；②p：?x∈R，x2－2x＋2≥1－x2；p：?x∈R，x2－2x＋2≥1－x2；③p：?x∈R，sinx>1；p：?x∈R，sinx≤1.解析：①p應(yīng)為：有些面積相等的三角形不是全等三角形；②p應(yīng)為：?x∈R，x2－2x＋2<1－x2.10.若集合A={-1,1},B={0,2},則集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的個數(shù)為11.設(shè)全集U={x},集合A={x},B={x2+px+12=0},且（CUA）B={1，4，3，5}，則實數(shù)p=、q=.12.已知f(x)＝m(x－2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同時滿足條件：①?x∈R，f(x)<0或g(x②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.則m的取值范圍是.－4<m<－2專題一答案與提示第一講例1變式1限時訓(xùn)練：第二講函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、主干知識梳理1．函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全相同時才表示同一個函數(shù)，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù)．2．函數(shù)的圖象對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖、用圖．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．3．函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，則f(x)在D上是增函數(shù)(都有f(x1)>f(x2)成立，則f(x)在D上是減函數(shù))．(2)奇偶性對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．(3)周期性周期函數(shù)f(x)的最小正周期T必須滿足下列兩個條件：①當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)；②T是不為零的最小正數(shù)．(4)最值一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值(最小值)．4．函數(shù)單調(diào)性的判定方法(1)定義法：取值，作差，變形，定號，作答．其中變形是關(guān)鍵，常用的方法有：通分、配方、因式分解．(2)導(dǎo)數(shù)法．(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則．5．函數(shù)奇偶性的判定方法(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．(2)對于定義域內(nèi)的任意一個x，若都有f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若都有f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若都有f(－x)－f(x)＝0，則f(x)為偶函數(shù)；若都有f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)為奇函數(shù)．6．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義形如y＝ax(a>0且a≠1)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)形如y＝logax(a>0且a≠1)的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù)圖象定義域R{x|x>0}值域{y|y>0}R過定點(0,1)(1,0)單調(diào)性0<a<1時，在R上單調(diào)遞減；a>1時，在R上單調(diào)遞增0<a<1時，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a>1時，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增函數(shù)值性質(zhì)0<a<1，當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>10<a<1，當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0a>1，當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1a>1，當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0二、重點題型分類題型一函數(shù)的圖像及應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))其中b>0，c∈R.當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得最小值－2.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有兩個不相同的實數(shù)根，求a取值的集合．解：(1)∵當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得最小值－2.∴二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的對稱軸是x＝－eq\f(b,2)＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2，x≤0，,2，x>0.))(2)記方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．分別研究方程①和方程②的根的情況：(ⅰ)方程①有且僅有一個實數(shù)根?a<2，方程①沒有實數(shù)根?a≥2.(ⅱ)方程②有且僅有兩個不相同的實數(shù)根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有兩個不相同的非正實數(shù)根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9－42－a>0,2－a≥0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－\f(1,4),a≤2))?－eq\f(1,4)<a≤2；方程②有且僅有一個實數(shù)根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且僅有一個非正實數(shù)根．∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－eq\f(1,4).綜上可知，當(dāng)方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三個不相同的實數(shù)根時，－eq\f(1,4)<a<2；當(dāng)方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且僅有兩個不相同的實數(shù)根時，a＝－eq\f(1,4)或a＝2.∴符合題意的實數(shù)a取值的集合為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).變式訓(xùn)練1已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)為奇函數(shù)，得函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對稱且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)．又因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示．那么方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4由對稱性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.答案：－8題型二函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0.(1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)時x的取值范圍．解(1)當(dāng)a>0，b>0時，任意x1，x2∈R，x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．當(dāng)a<0，b<0時，同理，函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，當(dāng)a<0，b>0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>－eq\f(a,2b)，則x>log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b)))；當(dāng)a>0，b<0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x<－eq\f(a,2b)，則x<log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b))).變式訓(xùn)練2設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是________．提示：f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)，答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))題型三最值與恒成立問題例3．已知定義在區(qū)間[0,2]上的兩個函數(shù)f(x)和g(x)，其中f(x)＝x2－2ax＋4(a≥1)，g(x)＝eq\f(x2,x＋1).(1)求函數(shù)y＝f(x)的最小值m(a)；(2)若對任意x1，x2∈[0,2]，f(x2)>g(x1)恒成立，求a的取值范圍．解(1)由f(x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，得m(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a2，1≤a<2，,8－4a，a≥2.))(2)當(dāng)x∈[0,2]時，g′(x)＝eq\f(x2＋2x,1＋x2)≥0.所以g(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，故g(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).由題設(shè)知f(x2)min>g(x1)max，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a<2，,4－a2>\f(4,3)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,8－4a>\f(4,3).))解得1≤a<eq\f(2\r(6),3).所以所求a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(6),3))).變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，當(dāng)x∈(－3,2)時，f(x)>0；當(dāng)x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)時，f(x)<0.(1)求f(x)在[0,1]內(nèi)的值域；(2)c為何值時，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？f(x)＝－3x2－3x＋18.（1）[12,18];(2)c≤－2.OPAOPA例.（2010海淀期中，本小題共13分）已知函數(shù)，的圖象經(jīng)過和兩點，如圖所示，且函數(shù)的值域為.過動點作軸的垂線，垂足為，連接.（I）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）記的面積為，求的最大值.解：（I）由已知可得函數(shù)的對稱軸為，頂點為..2分方法一：由得5分得6分方法二：設(shè)4分由，得5分6分（=2\*ROMANII）8分9分4＋0－極大值列表11分由上表可得時，三角形面積取得最大值.即.13分四、規(guī)律方法總結(jié)（請同學(xué)自己完成）五、專題限時訓(xùn)練（一）選擇題1．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,lgx，x>1，))則f(f(10))＝ ()A．lg101 B．2 C．1 D．2．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 ()A．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)B．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)C．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)D．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是 ()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)4．(2012·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,lnx＋1－x)，則y＝f(x)的圖象大致為 ()5．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)1．B2．D3．D4．B．C（二）填空題6.已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實數(shù)m，n滿足f(m)>f(n)，則m，n的大小關(guān)系為________．解析：a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，函數(shù)f(x)＝ax在R上遞減．由f(m)>f(n)得m<n.答案：m<n7.設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________．解析：設(shè)g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因為函數(shù)g(x)＝x是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)＝ex＋ae－x為奇函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域為R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.答案：－18.定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lg|x－2||，x≠2，,1，x＝2，))則關(guān)于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有5個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，x5，求f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝________.解析：作出函數(shù)f(x)的圖象可以得到x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝9.f(9)＝|lg7|＝lg7.答案：lg79.某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1＋|x|)(x∈R)時，分別給出下面幾個結(jié)論：①等式f(－x)＋f(x)＝0在x∈R時恒成立；②函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)；③若x1≠x2，則一定有f(x1)≠f(x2)；④函數(shù)g(x)＝f(x)－x在R上有三個零點．其中正確結(jié)論的序號有________(請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)解析：①顯然正確；由|f(x)|＝eq\f(|x|,1＋|x|)<eq\f(1＋|x|,1＋|x|)＝1知②正確；可以證明f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，故③正確；由f(x)－x＝0得eq\f(x,1＋|x|)＝x，此方程只有一根x＝0，故④不正確．答案：①②③10.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，則實數(shù)c的值為________．解析：由題意f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋b－eq\f(a2,4).因為f(x)的值域為[0，＋∞)，所以b－eq\f(a2,4)＝0，即a2＝4b.因為x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＜0的解集為(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＝0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋6＝－a，,mm＋6＝\f(a2,4)－c，))解得c＝9.（三）解答題11.函數(shù)的定義域為集合A，函數(shù)的值域為集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B滿足,求實數(shù)a的取值范圍．12.已知函數(shù)f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a為實常數(shù)(1)若a＝1，作函數(shù)f(x)的圖象；(2)設(shè)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式；(3)設(shè)h(x)＝eq\f(fx,x)，若函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2－|x|＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x＋1，x<0，,x2－x＋1，x≥0.))作圖(如右圖所示)．(2)當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)＝ax2－x＋2a若a＝0，則f(x)＝－x－1在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)＝f(2)＝－3.若a≠0，則f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2a)))2＋2a－eq\f(1,4a)－1，f(x)圖象的對稱軸是直線x＝eq\f(1,2a).當(dāng)a<0時，f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)＝f(2)＝6a當(dāng)0<eq\f(1,2a)<1，即a>eq\f(1,2)時，f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，g(a)＝f(1)＝3a當(dāng)1≤eq\f(1,2a)≤2，即eq\f(1,4)≤a≤eq\f(1,2)時，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))＝2a－eq\f(1,4a)－1.當(dāng)eq\f(1,2a)>2，即0<a<eq\f(1,4)時，f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)＝f(2)＝6a綜上可得g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a－3，a<\f(1,4)，,2a－\f(1,4a)－1，\f(1,4)≤a≤\f(1,2)，,3a－2，a>\f(1,2).))(3)當(dāng)x∈[1,2]時，h(x)＝ax＋eq\f(2a－1,x)－1，在區(qū)間[1,2]上任取x1，x2，且x1<x2，則h(x2)－h(huán)(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(2a－1,x2)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax1＋\f(2a－1,x1)－1))＝(x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2a－1,x1x2)))＝(x2－x1)·eq\f(ax1x2－2a－1,x1x2).因為h(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以h(x2)－h(huán)(x1)>0.因為x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，即ax1x2>2當(dāng)a＝0時，上面的不等式變?yōu)?>－1，即a＝0時結(jié)論成立．當(dāng)a>0時，x1x2>eq\f(2a－1,a)，由1<x1x2<4得，eq\f(2a－1,a)≤1，解得0＜a≤1.當(dāng)a<0時，x1x2<eq\f(2a－1,a)，由1<x1x2<4得，eq\f(2a－1,a)≥4，解得－eq\f(1,2)≤a＜0.所以實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).專題二答案與提示第一講例1變式1限時訓(xùn)練：第三講函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用一、主干知識梳理1．函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)的零點對于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點．(2)函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)．(3)零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下兩點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點．(4)二分法求函數(shù)零點的近似值，二分法求方程的近似解．2．函數(shù)模型解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域．其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答.二、重點題型分類題型一函數(shù)零點的確定例1函數(shù)f(x)＝3coseq\f(πx,2)－logx的零點的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．5解析：把求函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y＝3coseq\f(π,2)x的圖象與函數(shù)y＝logx的圖象的交點的個數(shù)的問題，在同一個坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖．函數(shù)y＝3coseq\f(π,2)x的最小正周期是4，當(dāng)x＝8時，y＝log8＝－3，結(jié)合圖象可知兩個函數(shù)的圖象只能有5個交點，即函數(shù)f(x)＝3coseq\f(πx,2)－logx有5個零點．答案：D變式訓(xùn)練1在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為()A．(－eq\f(1,4)，0) B．(0，eq\f(1,4))C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))因為f′(x)＝ex＋4>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<0，f(0)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))>0，由零點存在性定理知f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上存在一零點．故選C.題型二函數(shù)零點的應(yīng)用問題例2已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．[解析]先去掉絕對值符號，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．根據(jù)絕對值的意義，y＝eq\f(|x2－1|,x－1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1（x>1或x<－1），,－x－1（－1≤x<1）.))在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實線所示．根據(jù)圖象可知，當(dāng)0<k<1或1<k<4時有兩個交點．[答案](0，1)∪(1，4)變式訓(xùn)練2(2012年高考福建卷)對于實數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________．【解析】根據(jù)新定義寫出f(x)的解析式，數(shù)形結(jié)合求出m的取值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和方程的根等條件求解．由定義可知，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）x，x≤0，,－（x－1）x，x>0.))作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由圖可知，當(dāng)0<m<eq\f(1,4)時，f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3.不妨設(shè)x1<x2<x3，易知x2>0，且x2＋x3＝2×eq\f(1,2)＝1，∴x2x3<eq\f(1,4).令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）x＝\f(1,4)，,x<0，))解得x＝eq\f(1－\r(3),4)或x＝eq\f(1＋\r(3),4)(舍去)．∴eq\f(1－\r(3),4)<x1<0，∴eq\f(1－\r(3),16)<x1x2x3<0.【答案】(eq\f(1－\r(3),16)，0)題型三函數(shù)模型及應(yīng)用例3某種新型生產(chǎn)設(shè)備的最佳使用年限是年均消耗費(fèi)用最低的年限(年均消耗費(fèi)用＝年均成本費(fèi)用＋年均保養(yǎng)費(fèi))，購買該設(shè)備的總費(fèi)用為50000元，使用中每年的固定保養(yǎng)費(fèi)為6000元；前x年的總保養(yǎng)費(fèi)y滿足y＝ax2＋bx，已知第一年的總保養(yǎng)費(fèi)為1000元，前兩年的總保養(yǎng)費(fèi)為3000元，則這種設(shè)備的最佳使用年限為________年．解析：由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1000＝a＋b,3000＝4a＋2b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝500,b＝500))，所以y＝500x2＋500x.設(shè)該設(shè)備的年平均消耗費(fèi)用為f(x)，由題意，可知年平均消耗費(fèi)用為f(x)＝eq\f(50000,x)＋6000＋500x＋500＝500x＋eq\f(50000,x)＋6500≥16500，當(dāng)且僅當(dāng)500x＝eq\f(50000,x)時，等號成立，此時x＝10，所以最佳使用年限為10年．答案：10變式訓(xùn)練3根據(jù)統(tǒng)計，一名工作組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為(A,C為常數(shù)）.已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么C和A的值分別是（）D A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16三、規(guī)范答題模板例4（2011海淀期中，本小題滿分13分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本（單位：元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式，每日的銷售額R（單位：元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式已知每日的利潤，且當(dāng)時，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值.(17)（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由題意可得：…………2分因為時，，所以.……4分所以.……………5分（Ⅱ）當(dāng)時，.…………6分.………8分由可得：（舍）.…………9分所以當(dāng)時，原函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時，原函數(shù)是減函數(shù).所以當(dāng)時，取得最大值.………11分當(dāng)時，.……12分所以當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時，每日的利潤可以達(dá)到最大值14300元.………13分四、規(guī)律方法總結(jié)（請同學(xué)自己完成）五、專題限時訓(xùn)練（一）選擇題1．函數(shù)f(x)＝2x－x－eq\r(2)的一個零點所在區(qū)間是 B ()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)2．函數(shù)f(x)＝lnx＋x－2的零點所在區(qū)間是 B ()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．函數(shù)f(x)＝3coseq\f(πx,2)－logeq\f(1,2)x的零點的個數(shù)是 D ()A．2 B．3C．4 D．54.(2012·天津)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是() B A．0 B．1 C．2 D．35.(2012年高考湖北卷)函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)為()A．4B．5C．6D．7[解析]根據(jù)x2的范圍判斷y＝cosx2在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)．當(dāng)x＝0時，f(x)＝0.又因為x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.因為5π<16<eq\f(11π,2)，所以函數(shù)y＝cosx2在x2取eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，eq\f(9π,2)時為0，此時f(x)＝0，所以f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)為6.[答案]C（二）填空題6.函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，并且方程f(x)＝0有三個實根，則這三個實根的和為________．eq\f(3,2)7．方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為________．28.若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點是________．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).9.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．（0,1）10.如圖（１）是反映某條公共汽車線路收支差額（即營運(yùn)所得票價收入與付出成本的差）與乘客量之間關(guān)系的圖象．由于目前該條公交線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整的建議，如圖（２）（３）所示.給出下說法：①圖（2）的建議是：提高成本，并提高票價；②圖（2）的建議是：降低成本，并保持票價不變；③圖（3）的建議是：提高票價，并保持成本不變；④圖（3）的建議是：提高票價，并降低成本．其中所有說法正確的序號是．②③（三）解答題11.已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點，求a的取值范圍是．解析：因為原函數(shù)有零點，可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex－2x＋a＝0有解的問題，即方程a＝2x－ex有解．令函數(shù)g(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函數(shù)，在(ln2，＋∞)上是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，即a∈(－∞，2ln2－2]．答案：(－∞，2ln2－2]12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1－1≤x≤1，,－|x－2|＋11<x≤3，))若方程f(x)－ax＝0有5個實根，求正實數(shù)a的取值范圍。 由題意知f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，作出y＝f(x)與y＝ax的圖象，為使方程f(x)＝ax有五個實數(shù)解，由圖，可知方程y＝－(x－4)2＋1＝ax，即x2＋(a－8)x＋15＝0在(3,5)上有兩個實數(shù)解，則0<a<8－2eq\r(15)，再由方程f(x)＝ax在(5,6)內(nèi)無解，得6a>1，即a>eq\f(1,6)，故實數(shù)a的取值范圍是eq\f(1,6)<a<8－2eq\r(15).專題三答案與提示第一講例1變式1限時訓(xùn)練：第四講不等式及線性規(guī)劃一、主干知識梳理1．不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a.(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c.(3)加法法則：a>b?a＋c>b＋c.(4)乘法法則：a>b，c>0?ac>bc.a>b，c<0?ac<bc.(5)同向不等式可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd.(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．(8)開方法則：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．2.一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函數(shù)間的關(guān)系．一元二次不等式的解集如下表所示：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2沒有實數(shù)根不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x∈R且R不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??3.幾個重要不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)．(3)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)．(4)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(5)eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)(a>0，b>0)．4.不等式的證明基礎(chǔ)(1)不等式定義：a－b>0?a>b，a－b＝0?a＝b，a－b<0?a<b.(2)不等式的基本性質(zhì)．(3)基本不等式①a2≥0，(a－b)2≥0，|a|≥0.②基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)．③幾個常用不等式：a＋eq\f(1,a)≥2(a>0，當(dāng)a＝1時等號成立)；2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時等號成立)．5.二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等；(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：①畫出可行域；②根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；③求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值.二、重點題型分類題型一一元二次不等式的解法例1已知二次方程的兩個根是－2，3，(a>0)，那么的解集是（）BA．B．C．D．變式訓(xùn)練1已知f(x）＝（）()＋2，且是、方程f()＝0的兩根，則的大小關(guān)系是（）BA．a(chǎn)＜＜b＜B．a(chǎn)＜＜＜bC．＜a＜b＜D．＜a＜＜b題型二利用基本不等式求最值例2函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為______．4變式訓(xùn)練2若正數(shù)滿足，則的取值范圍是[9,+∞）題型三簡單線性規(guī)劃問題例3(2012·福建)若函數(shù)y＝2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))則實數(shù)m的最大值為 ()BA.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2)D．2由圖可知，當(dāng)m≤1時，函數(shù)y＝2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件變式訓(xùn)練3設(shè)P(x,y)滿足條件，則(一)截距型目標(biāo)函數(shù)(1)z=2y-x的最大值是，最小值是(2)z=x-2y的最大值是，最小值是(二)距離型目標(biāo)函數(shù)（3）點M(2,-1),則|PM|的最大值是，最小值是變式：1)x2+y2-4x+2y+5的最大值是，最小值是2)z=|x+2y+2|的最大值是，最小值是(三)斜率型目標(biāo)函數(shù)（4）的最大值是，最小值是變式：的最大值是，最小值是三、規(guī)律方法總結(jié)（請同學(xué)自己完成）四、專題限時訓(xùn)練（一）選擇題1.如果那么下列不等式正確的是（）A；A．B.C.D.2.若則下列不等式中，不成立的是（）2、BA.B.C.D.3.若則“”是“”成立的（）條件3、BA.必要B.充分C.充要D.既不充分也不必要4.若，則下列不等式中不能成立的是（）BA． B． C． D．5.已知且，則的最大值是（）AA．4 B．2 C．1 D．（二）填空題6.不等式lg(x2+2x+2)＜1的解集為__________{x|－4＜x＜2}7.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≤0))，那么不等式f(x)≥1的解集為________．7．(－∞，0]∪[3，＋∞)8.已知實數(shù)x、y滿足，則x+2y的最大值是49.已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝x－2(x≥eq\f(1,2))，則m與n之間的大小關(guān)系為 m≥n10.已知平面區(qū)域D是由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)為頂點的三角形的內(nèi)部和邊界組成，若在區(qū)域D上有無窮多個點(x,y)可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m=1（三）解答題11.解關(guān)于的不等式11.當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，12.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集為A.(1)求集合A；(2)設(shè)集合B＝{x||x＋4|<a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范圍．12．解(1)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x有最小值，所以，a>0，由f(x)<0，解得A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0)).(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因為集合B是集合A的子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－a－4，,a－4≤0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－\r(5)≤a≤－2＋\r(5)，,a≤4，))解得0<a≤－2＋eq\r(5).第五講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、主干知識梳理1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)導(dǎo)數(shù)的物理意義：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，則這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于零恒成立．在區(qū)間上離散點處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)y＝x＋sinx.3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值對可導(dǎo)函數(shù)而言，某點導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)在該點取得極值的必要條件，但對不可導(dǎo)的函數(shù)，可能在極值點處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在(如函數(shù)y＝|x|在x＝0處)，因此對于一般函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)等于零既不是函數(shù)取得極值的充分條件也不是必要條件．4．閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小值．5．定積分與曲邊形面積(1)曲邊為y＝f(x)的曲邊梯形的面積：在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)的曲線y＝f(x)，和直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積S＝?eq\o\al(b,a)|f(x)|dx.當(dāng)f(x)≥0時，S＝?eq\o\al(b,a)f(x)dx；當(dāng)f(x)<0時，S＝－?eq\o\al(b,a)f(x)dx.(2)曲邊為y＝f(x)，y＝g(x)的曲邊梯形的面積：在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的曲線y＝f(x)，y＝g(x)，和直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積S＝?eq\o\al(b,a)|f(x)－g(x)|dx.當(dāng)f(x)≥g(x)時，S＝?eq\o\al(b,a)[f(x)－g(x)]dx；當(dāng)f(x)<g(x)時，S＝?eq\o\al(b,a)[g(x)－f(x)]dx.二、重點題型分類題型一導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義例1設(shè)函數(shù)f(x)＝aex＋eq\f(1,aex)＋b(a>0)．在點(2，f(2))處的切線方程為y＝eq\f(3,2)x，求a，b的值．[解析]∵f′(x)＝aex－eq\f(1,aex)，∴f′(2)＝ae2－eq\f(1,ae2)＝eq\f(3,2)，解得ae2＝2或ae2＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以a＝eq\f(2,e2)，代入原函數(shù)可得2＋eq\f(1,2)＋b＝3，即b＝eq\f(1,2)，故a＝eq\f(2,e2)，b＝eq\f(1,2).變式訓(xùn)練1已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程．（1）4x－y－4＝0.（2）4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：(i)當(dāng)時，令若上單調(diào)遞增；若上單調(diào)遞減.(ii)當(dāng)a<0時，令若上單調(diào)遞減；若上單調(diào)遞增；若上單調(diào)遞減.變式訓(xùn)練2已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時，求曲線在點（1，）處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間.（1）當(dāng)時，，由于，所以曲線在點處的切線方程為即（2），當(dāng)時，所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng)時，由得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時，故的單調(diào)遞增區(qū)間是當(dāng)時，由得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.題型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例3(1)已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最