第7章 三角函數(shù) 章末題型歸納總結(jié)-蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練

第第頁第7章三角函數(shù)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：任意角三角函數(shù)的定義經(jīng)典題型二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用經(jīng)典題型三：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用經(jīng)典題型四：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)經(jīng)典題型五：三角函數(shù)圖象的變換經(jīng)典題型六：三角函數(shù)實際應(yīng)用模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：任意角三角函數(shù)的定義例1．（2023·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）1988年3月14日，LanyShaw在舊金山科學(xué)博物館組織舉辦了最早的大型以為主題的活動，之后博物館繼承了這一傳統(tǒng)，后來3月14日成為了國際圓周率日（日）.歷史上，求圓周率的方法有多種，其中的一種方法：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值.按照這種方法，的近似值的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】單位圓的內(nèi)接正邊形的邊長為，則其內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的邊長為，則其外切正邊形的周長為，則有.故選：B.例2．（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，，又，顯然，，，故選：A例3．（2023·全國·高三對口高考）以下命題正確的是（

）A．都是第一象限角，若，則B．都是第二象限角，若，則C．都是第三象限角，若，則D．都是第四象限角，若，則【答案】D【解析】A：都是第一象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；B：都是第二象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；C：都是第三象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；D：都是第四象限角，如下圖單位圓中，此時，對.故選：D例4．（2023·江西上饒·高一江西省余干中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，角的終邊經(jīng)過點，則的值等于（

）A． B．－ C． D．－【答案】B【解析】.由三角函數(shù)的定義：，當(dāng)時，，故選：B例5．（2023·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦的長，“矢”是指所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑.若扇形的面積為，扇形的半徑為4，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)該扇形的圓心角為，由扇形面積公式得，所以，取的中點，連接，交于點，則，則，，，所以扇形的弧長的近似值為.故選：D例6．（2023·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知扇形的周長為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時，弦長（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，扇形的面積最大，此時．因為，則扇形的圓心角，取線段的中點，由垂徑定理可知，因為，則，所以，.故選：A.例7．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期中）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，則下列結(jié)論錯誤的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為【答案】D【解析】扇形的面積為，其圓心角為，半徑為R，圓面中剩余部分的面積為，選項A：.故A正確；選項B：由，可得，解得，又扇形的半徑，則.故B正確；選項C：若扇面為“美觀扇面”，則，解得.故C正確；選項D：若扇面為“美觀扇面”，則，又扇形的半徑，則此時的扇形面積為.故D錯誤.故選：D例8．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B．7 C． D．【答案】A【解析】由角的終邊經(jīng)過點，得，解得，所以．故選：A例9．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，所以．故選：D經(jīng)典題型二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用例10．（2023·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知，則．【答案】/【解析】由于，所以.故答案為：例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則.【答案】【解析】，兩邊平方得，∴，則．故答案為：．例12．（2023·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，則．【答案】【解析】因為，顯然，則.故答案為：.例13．（2023·廣東佛山·高一?？计谥校┮阎?，是第三象限角，則的值為．【答案】【解析】因為是第三象限角，且，則，解得，故答案為：例14．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，，且為第二象限角，則.【答案】/【解析】為第二象限角，，解得：或；，即，，解得：（舍）或，，，.故答案為：.例15．（2023·高一課時練習(xí)）已知，則的值為．【答案】3【解析】故答案為：.例16．（2023·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）已知角的頂點與直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則.【答案】【解析】因為，所以，所以有，故答案為：例17．（2023·全國·高一課堂例題）已知，則（1）；（2）；（3）．【答案】【解析】（1）分子分母同時除以得：（2）分子分母同時除以得：．（3）.故答案為：；；例18．（2023·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習(xí)）已知，則.【答案】2或【解析】由兩邊平方得，解得，所以，即，解得或，故答案為：2或例19．（2023·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知為第四象限角，且，則.【答案】/【解析】因為為第四象限角，則，，則，因為，將代入上式可得，因此，.故答案為：.經(jīng)典題型三：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）．【答案】/【解析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：．故答案為：.例21．（2023·上海崇明·高三?？茧A段練習(xí)）化簡：.【答案】【解析】∵，，，，，∴.故答案為：.例22．（2023·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）計算：．【答案】/【解析】.故答案為：例23．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）若，則．【答案】【解析】由，即，而，故.故答案為：例24．（2023·廣東深圳·高三深圳市寶安第一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若，，則．【答案】【解析】因為，則，，又，則，因為，所以，即，所以（負(fù)舍），，則.故答案為：.例25．（2023·高一課時練習(xí)）若，，則.【答案】【解析】由，得，由，則，故.故答案為：.例26．（2023·高一單元測試）已知是方程的根，α是第三象限角，則＝.【答案】【解析】，解得或1，又α是第三象限角，∴，，故，∴，∴，∴.故答案為：例27．（2023·高一課時練習(xí)）已知，且，則.【答案】/【解析】因為，所以，又所以，所以.故答案為：例28．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的定點M.則【答案】/【解析】由，得，，即點，，因此，所以.故答案為：例29．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知，則的值為；【答案】【解析】，，，，.故答案為：.例30．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽實驗高級中學(xué)校考期末）已知，則．【答案】1【解析】因為，所以，故答案為：1例31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為．【答案】18【解析】由，可得，∴．故答案為：18.例32．（2023·上海閔行·高一?？计谥校┮阎?，則.【答案】/【解析】因為且，則為第四象限角，因此，.故答案為：.經(jīng)典題型四：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例33．（多選題）（2023·河北秦皇島·高二?？奸_學(xué)考試）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A，函數(shù)滿足，且的定義域為關(guān)于原點對稱，即是奇函數(shù)，且注意到其周期為，故A正確；對于B：函數(shù)滿足，且的定義域為關(guān)于原點對稱，所以是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C：，由A選項分析易知是奇函數(shù)，同時也是最小正周期是的周期函數(shù)，故C正確；對于D：函數(shù)滿足，且的定義域為關(guān)于原點對稱，所以是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故D錯誤．故選：AC．例34．（多選題）（2023·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．B．的最小正周期為C．把向左平移可以得到函數(shù)D．在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】A：因為，所以本選項正確；B：由正切型函數(shù)的最小正周期公式可得，所以本選項不正確；C：把向左平移可以得到函數(shù)，所以本選項不正確；D：當(dāng)時，，顯然是的子集，因此本選項正確，故選：AD例35．（多選題）（2023·云南昆明·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則正確的結(jié)論是（

）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是，D．把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象【答案】BC【解析】由圖可知，，所以A選項錯誤.，，所以，，所以B選項正確.由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，C選項正確.把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到，所以D選項錯誤.故選：BC例36．（多選題）（2023·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）下列關(guān)于函數(shù)說法正確的是（

）A．周期為 B．單調(diào)遞增區(qū)間是C．圖象關(guān)于直線對稱 D．圖象關(guān)于點對稱【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)的周期為，故A正確；對于B，令，得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，故B正確；對于C，因為，所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，故C錯誤；對于D，因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確.故選：ABD.例37．（多選題）（2023·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（

）

A． B．C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】函數(shù)的部分圖象，可得，，，則．又，所以，，所以，，又，，，故A錯誤．由，，，故B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則為奇函數(shù)，故C錯誤；當(dāng)則，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確，故選：BD．例38．（多選題）（2023·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級中學(xué)?？计谥校┮阎?，給出下列結(jié)論：其中正確結(jié)論是（

）A．若，，且，則B．存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱C．若在上恰有7個零點，則的取值范圍為D．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為【答案】BD【解析】對A，因為，，，則即，即，即，故A錯誤；對B，的圖象向左平移個單位長度后得到，若其圖象關(guān)于y軸對稱，則，即，故當(dāng)時，，故B正確；對C，設(shè)，當(dāng)時，.在上有7個零點，即在上有7個零點.則，解得，故C錯誤；對D，在上單調(diào)遞增，則，又，故解得，故D正確.故選：BD例39．（多選題）（2023·山東泰安·高一泰山中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，下列四個結(jié)論中，正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】函數(shù)，最小正周期，A選項正確；由，解得函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，當(dāng)時，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，BC選項錯誤；時，，是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，D選項正確.故選：AD例40．（2023·陜西商洛·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）由已知得，則，所以，又，所以，由函數(shù)最大值為，所以，所以，又函數(shù)過點，所以，解得，又因為，所以取，所以，則，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）由（1）得，又，則，所以當(dāng)，即時，函數(shù)取最大值為，當(dāng)，即時，函數(shù)取最小值為.例41．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）設(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程以及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時的值.【解析】（1）的最小正周期為，由，可得，則的對稱軸為，由，可得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，可得，則，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為最大值為，當(dāng)即時函數(shù)取得最小值為，當(dāng)即時函數(shù)取得最大值為.例42．（2023·四川巴中·高一四川省平昌縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的對稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求不等式的解集．【解析】（1）因為，由，得，所以函數(shù)的對稱軸為；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由可得，,所以,解得,即不等式的解集為.例43．（2023·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為，且___________．請從以下3個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面橫線上．①為奇函數(shù)；②當(dāng)時，；③是函數(shù)的一個零點．并解答下列問題：(1)求函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)在上的圖象；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間．【解析】（1）由題設(shè)，函數(shù)的最小正周期，解得．若選①，為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點對稱．∴，即，∵，∴，則．故．若選②，，即，∵，∴，則，得，故．若選③，，即，∵，∴，則，得，故．列表：描點、連線得到其函數(shù)圖象如下：（2）令，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，設(shè)集合，，∴，故在上的單調(diào)增區(qū)間是和．例44．（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，(1)若，則的最小值為，求的解析式．(2)在（1）的條件下，若在上的值域是，求實數(shù)的取值范圍；【解析】（1）由題意可得：，所以：，故的解析式為；（2）由（1）可得，令，則，如圖所示，的值域是，，，即：，由圖可知，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．例45．（2023·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求不等式的解集.【解析】（1）的最小正周期.（2）不等式，即，所以，求得，故不等式的解集為，.例46．（2023·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)

(1)請用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；00(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值.【解析】（1）分別令，可得：x00100畫出函數(shù)在一個周期的圖像如圖所示：（2）因為，所以，所以當(dāng)，即時，取最小值0；當(dāng)，即時，取最大值1.例47．（2023·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是直線．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)求函數(shù)在上單調(diào)減區(qū)間．【解析】（1）由題意得，，，，因為，所以時，，所以．因為，所以所以，所以的值域為．（2），即，又因為，所以或．所以在上單調(diào)減區(qū)間為和．經(jīng)典題型五：三角函數(shù)圖象的變換例48．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮玫胶瘮?shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位； B．向右平移個單位；C．向左平移個單位； D．向右平移個單位【答案】D【解析】由題意知：，所以只需的圖像向右平移個單位就可以得到的圖像，故D項正確.故選：D.例49．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的部分圖像如圖所示，則，的值分別是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)的周期為，則由圖象知，，解得，；由圖象點在函數(shù)的圖象上，則，則，則，解得，又已知，則.故選：C.例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，得到函數(shù)即的圖象，再把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，就得到函數(shù)的圖象，然后再把函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，就得到函數(shù)的圖象.故選：A.例51．（2023·吉林·高三?？计谥校┮阎€C1：，C2：，則錯誤的是（

）A．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平行移動個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平行移動個單位長度，得到曲線C．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線D．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線【答案】D【解析】對于A.上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，再向左平移個單位長度，得到，正確；對于B.上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，再向右平移個單位長度，得到，正確；對于C.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，正確；對于D.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，錯誤.故選：D例52．（2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┖瘮?shù)相鄰對稱軸和對稱中心之間的距離為，將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，所以，，又∵且，∴，則，由題意，函數(shù)圖象向左平移個單位長度可得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，解得：，.又∵，∴.故選：B.例53．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校⒑瘮?shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將它的圖象向右平移個單位長度，得到了一個奇函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得，再將它的圖象向右平移個單位長度，得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，又因，所以當(dāng)時，.故選：B.例54．（2023·山東泰安·高一泰安一中校考期中）函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，將該函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可知函數(shù)的最小正周期為，又，故，由于，故，所以，將該函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度后，得到的圖象，因為該圖像圖象關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)，故，則，而，則的最小值為，故選：C例55．（2023·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點（

）A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度【答案】C【解析】因為，將的圖象上所有的點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再向左平移個單位長度得，即得到函數(shù)的圖象.故選：C例56．（2023·安徽馬鞍山·高一安徽省當(dāng)涂第一中學(xué)?？计谥校┌押瘮?shù)的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，所得函數(shù)解析式為，其圖象關(guān)于軸對稱，則，即，因為，所以當(dāng)時的最小值是.故選：C例57．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┤舭押瘮?shù)的圖象向左平移（）個單位長度后，得到的圖象，則m的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后為函數(shù)，所以，則又，所以m的最小值為.故選：C.例58．（2023·山西大同·高一?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變得到的圖象，將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，該圖象關(guān)于軸對稱，所以，，，，若，解得，若，解得，若，解得，若，解得，故選：D.例59．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？计谀┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點（

）

A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】D【解析】根據(jù)題中函數(shù)的部分圖象，結(jié)合五點法作圖可得，故，又，故，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度即可．故選：D．例60．（2023·高一單元測試）函數(shù)其中，，，它的圖象如圖所示，則它是由怎樣變換得到的（

）

A．橫坐標(biāo)先向左平移單位，再縮小為原來的，然后縱坐標(biāo)拉伸為原來的2倍B．橫坐標(biāo)先縮小為原來的，再向左平移單位，然后縱坐標(biāo)拉伸為原來的2倍C．橫坐標(biāo)先向右平移單位，再縮小為原來的，然后縱坐標(biāo)拉伸為原來的2倍D．橫坐標(biāo)先縮小為原來的，再向左平移單位，然后縱坐標(biāo)拉伸為原來的2倍【答案】D【解析】因為，，，由圖可得，，，，由五點法作圖可知：，，，對A，的橫坐標(biāo)向左移動單位得，然后縱坐標(biāo)伸為原來的2倍，得，所以A錯誤；對B，的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得，再向左平移單位得，縱坐標(biāo)拉伸為原來的2倍得，故B錯誤；對C，橫坐標(biāo)先向右平移單位得，再縮小為原來的得，縱坐標(biāo)拉伸為原來的2倍得，所以C錯誤；對D，橫坐標(biāo)先縮小為原來的得，再向左平移單位得，縱坐標(biāo)拉伸為原來的2倍得，故D正確.故選：D.例61．（2023·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把得到的曲線上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，對于A，再向左平移個單位長度，得的圖象，A錯誤；對于B，再向左平移個單位長度，得的圖象，B錯誤；對于C，再向右平移個單位長度，得的圖象，C錯誤；對于D，再向右平移個單位長度，得的圖象，D正確.故選：D例62．（2023·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示；若為偶函數(shù)，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)，，在一個周期內(nèi)的圖象，可得，，．再根據(jù)五點法作圖，可得，所以，由于，，故．若為偶函數(shù)，則，，即，，取，則，故的值可以為，故選：B例63．（2023·北京東城·高一北京二中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，若對于任意的實數(shù)，恒成立，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），則可得，且對于任意的實數(shù)，恒成立，則，即，，解得，，且，所以當(dāng)時，.故選：C例64．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C．的圖象關(guān)于點對稱 D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】A【解析】由已知圖象可得，所以，，由圖象過點，由“五點法”可得，，所以，.因為，所以，，故B項錯誤；，故A項正確；因為，所以點不是函數(shù)的對稱中心，故C項錯誤；對于D項，當(dāng)時，，故D項錯誤.故選：A經(jīng)典題型六：三角函數(shù)實際應(yīng)用例65．（2023·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】設(shè)簡諧振動的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過點，由周期，且，可得，由過點，可得，即，則，可得，所以簡諧振動的解析式為.故選：D.例66．（2023·北京海淀·高一北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）為了研究鐘表秒針針尖的運動變化規(guī)律，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖位置為點．若初始位置為點，秒針從（規(guī)定此時）開始沿順時針方向轉(zhuǎn)動，點P的縱坐標(biāo)y與時間t的函數(shù)關(guān)系式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)的周期為，所以，由于秒針順時針旋轉(zhuǎn)，所以可設(shè)函數(shù)解析式為，因為初始位置為點，所以當(dāng)時，，所以，所以可能取，所以，故選：D例67．（2023·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）據(jù)長期觀察，某學(xué)校周邊早上6時到晚上18時之間的車流量y（單位：量）與時間t（單位：）滿足如下函數(shù)關(guān)系式：（為常數(shù)，）.已知早上8：30（即）時的車流量為500量，則下午15：30（即）時的車流量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．441量 B．159量 C．473量 D．127量【答案】A【解析】由題意可得，可得，解得，所以，當(dāng)時，（量）.故選：A.例68．（2023·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）海洋中的波動是海水的重要運動形式之一．在外力的作用下，海水質(zhì)點離開其平衡位置做周期性或準(zhǔn)周期性的運動，由于流體的連續(xù)性，必然帶動其鄰近質(zhì)點，從而導(dǎo)致其運動狀態(tài)在空間的傳播．（節(jié)選自《海洋科學(xué)導(dǎo)論》馮士筰李風(fēng)岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學(xué)小組的同學(xué)為了研究海水質(zhì)點在豎直方向上的運動情況，通過數(shù)據(jù)采集和分析，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)海水質(zhì)點在某一時間段相對于海平面的位移（米）與時間（秒）的關(guān)系近似滿足，其中常數(shù)．經(jīng)測定，在秒時該質(zhì)點第一次到達(dá)波峰，在秒時該質(zhì)點第三次到達(dá)波峰．在時，該質(zhì)點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒【答案】C【解析】因為秒時該質(zhì)點第一次到達(dá)波峰，在秒時該質(zhì)點第三次到達(dá)波峰．所以，即，當(dāng)時，，，即，因為，所以.則，由得出或，.即，或，因為，所以.因此該質(zhì)點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為.故選：C例69．（2023·廣東韶關(guān)·高一統(tǒng)考期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為4，筒車的軸心到水面的距離為2，筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動3圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即時的位置）時開始計算時間，設(shè)盛水筒M從運動到點P時所用時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）.若以筒車的軸心為坐標(biāo)原點，過點的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（

）

A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以對應(yīng)的角是，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，因為圓的半徑為則點的縱坐標(biāo)為，又因為筒車的軸心到水面的距離為，所以點距水面的高度表示為的函數(shù)是.故選：D例70．（2023·北京東城·高一統(tǒng)考期末）如圖，質(zhì)點在以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當(dāng)時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為在單位圓上的角速度大小為，起點為射線與的交點，所以，，所以動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)，由，得，因為，所以，，，.所以動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，.故選：B例71．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）筒車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的筒車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒，經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則函數(shù)的解析式是（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，，，所以，又點代入可得，解得，又，所以，故函數(shù)解析式為.故選：B例72．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個圓錐，設(shè)AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點，米，米，則彩虹（）的長度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在中，由勾股定理，可得：，連接PO，則在中，，連接OB，OC，OM，則在中，，故，，則彩虹（）的長度約為.故選：A例73．（2023下·北京·高一101中學(xué)校考期中）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑約為86米，總高約100米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，配有42個球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙，甲、乙兩名同學(xué)通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時間相差6分鐘，這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為(

)A．79米 B．157米 C．113米 D．189米【答案】B【解析】因為摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，所以摩天輪的角速度為，又因為甲乙兩人進(jìn)入各自座艙的時間相差6分鐘，所以兩人相差的角度為，設(shè)第二個人進(jìn)倉后轉(zhuǎn)動角時對應(yīng)的高度為，因為摩天輪直徑約為86米，總高約100米，所以摩天輪底部距離地面高度為14米，摩天輪半徑約為43米，所以，因為甲乙兩人相差的角度為，所以甲乙兩人所在的高度之和為：，所以，所以，化簡可得，又根據(jù)題意可知，所以，所以當(dāng)時，即時，取得最大值.故選：B.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例74．若，，則終邊所在象限為（

）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限【答案】B

【解析】

，當(dāng)時，，為第三象限角；當(dāng)時，，為第一象限角；所以的終邊在第一或第三象限．故選例75．設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（

）A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】D

【解析】

對于，其最小正周期為，對于，其最小正周期為，所以對于任意a，的最小正周期都為，對于，其最小正周期為，故當(dāng)時，，其最小正周期為；當(dāng)時，，其最小正周期為，所以的最小正周期與a無關(guān)，但與b有關(guān)．故選：例76．已知函數(shù)，滿足，且對于任意的都有，若在上單調(diào)，則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C

【解析】函數(shù)，滿足，，①，對于任意的都有，故的圖象關(guān)于直線對稱，，②，②-①可得

，即，，，即為奇數(shù)，若在上單調(diào)，則，求得，當(dāng)時，由①可得，，結(jié)合，可得，此時，，當(dāng)，，故不滿足在上單調(diào)，故不滿足條件，當(dāng)時，，由①可得，，結(jié)合，可得

或，當(dāng)時，，滿足在上單調(diào)，當(dāng)時，，滿足在上單調(diào)，故的最大值為故選：例77．若角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是

（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根據(jù)題意，角的終邊在直線上，為第二象限角時，，；為第四象限角時，，；綜上，角的取值集合是故選：例78．函數(shù)，已知點為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿足條件的所有的值的和為（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】因為

在區(qū)間

上單調(diào)遞減，所以

，所以

．又

為

圖象的一個對稱中心，直線

為

圖象的一條對稱軸，且

．因為

，所以

．又根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知，

，所以

或

或

．當(dāng)

時，有

，此時有

，

．由已知可得，

在

處取得最大值，所以有

，解得

．又

，所以

，滿足題意；當(dāng)

時，有

，此時有

，

．由已知可得，

在

處取得最大值，所以有

，解得

．又

，這樣的不存在；當(dāng)

時，有

，此時有

，

．由已知可得，

在

處取得最大值，所以有

，解得

．又

，所以

，滿足題意．綜上所述，

或

．所以，滿足條件的所有

的值的和為

．故選：例79．已知命題p：角為第二或第三象限角，命題q：，命題p是命題q的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D

【解析】當(dāng)角

為第二象限角時，

，所以

，當(dāng)角

為第三象限角時，

，所以

，所以命題

p

是命題

q

的不充分條件．當(dāng)

時，顯然角

可以為第四象限角，命題

p

是命題

q的不必要條件．所以命題

p

是命題

q

的既不充分也不必要條件．故選：②轉(zhuǎn)化與化歸思想例80．在中，C是直角，則（

）A．有最大值無最小值 B．有最小值無最大值C．有最大值也有最小值 D．無最大值也無最小值【答案】D

【解析】因為在中，C是直角，所以，所以由題意可得，所以，所以，設(shè)，則，令，，因為函數(shù)的對稱軸，所以函數(shù)沒有最值，即沒有最值．故選：例81．奇函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，且，則的值為（

）A．2 B．1C． D．【答案】D

【解析】由為偶函數(shù)，，令，則，即，因為為奇函數(shù)，有，所以，令，得，，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，奇函數(shù)中