第02講 三角形的內(nèi)角（2大知識(shí)點(diǎn)+8大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁第02講三角形的內(nèi)角（2大知識(shí)點(diǎn)+8大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）題型一三角形內(nèi)角和定理的證明題型二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題題型三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題題型四三角形折疊中的角度問題題型五三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用題型六直角三角形的兩個(gè)銳角互余題型七銳角互余的三角形是直角三角形題型八三角形的外角的定義及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)01：三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．（5）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．知識(shí)點(diǎn)02：三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．【典型例題一三角形內(nèi)角和定理的證明】1．（22-23八年級(jí)下·廣西來賓·期中）已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，則∠B的度數(shù)是（）A．30 B．35 C．40 D．50【答案】A【分析】直接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，∴∠B＝30，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)兩銳角互余解答．2．（22-23八年級(jí)上·湖南永州·期末）三角形的內(nèi)角和等于A．100° B．150° C．180° D．360°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和直接可得出答案.【詳解】三角形內(nèi)角和為180°故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.3．（22-23七年級(jí)上·全國·課前預(yù)習(xí)）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于．【答案】180°【解析】略4．（22-23八年級(jí)下·全國·課前預(yù)習(xí)）小學(xué)階段，通過度量或剪拼的方法，得出任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于度．【答案】180【解析】略5．（22-23七年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）在△ABC中，∠B比∠A的4倍少10°，∠C比∠A的4倍多10°，你知道△ABC是什么三角形嗎？請(qǐng)你簡(jiǎn)單說明理由.【答案】直角三角形，理由見解析【分析】根據(jù)“∠B比∠A的4倍少10°，∠C比∠A的4倍多10°”設(shè)出∠B和∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和180°，列出方程，解方程，即可得出答案.【詳解】解：∵∠B比∠A的4倍少10°，∠C比∠A的4倍多10°∴∠B=4∠A-10°，∠C=4∠A+10°又∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+4∠A-10°+4∠A+10°=180°解得：∠A=20°∠B=70°，∠C=90°∴△ABC為直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和，屬于基礎(chǔ)題型，三角形的內(nèi)角和180°.6．（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）證明：“三角形內(nèi)角和是180°”．【答案】見解析【分析】過A作底邊BC的平行線，結(jié)合平行線的性質(zhì)證明即可．【詳解】如圖，過A點(diǎn)作，∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∠BAC+∠B+∠C=∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【典型例題二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】1．（2023·山東臨沂·一模）如圖，直線，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理解題即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．（22-23七年級(jí)下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)D，E在的邊BC上，，，若，則的度數(shù)為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)下·江蘇鹽城·期末）在中，，，則為．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：∵，∴故答案為：100°【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．（22-23七年級(jí)下·廣東汕頭·期末）將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)A在DE上，∠D＝60°，∠B=45°，BC∥DE，則∠ACF的度數(shù)為【答案】【分析】根據(jù)題意和三角板的特點(diǎn)，可以得到∠E和∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BCE的度數(shù)，從而可以得到∠ACF的度數(shù)．【詳解】解：由題意可得，∠D=60°，∠ECD=90°，故∠E=30°，∵DE∥BC，∴∠E=∠ECB，∴∠ECB=30°，∵∠B=45°，∠BAC=90°，∴∠BCA=45°，∴∠ACF=15°，故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（22-23八年級(jí)上·廣西河池·期中）如圖，AB∥CD，∠ABD、∠BDC的平分線交于E，求∠BED的度數(shù)．【答案】90°【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠ABD＋∠CDB＝180°，根據(jù)角平分線定義得出∠EBD＝∠ABD，∠BDE＝∠CDB，求出∠EBD＋∠EDB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠CDB＝180°，∵∠ABD與∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，∴∠EBD＝∠ABD，∠BDE＝∠CDB，∴∠EBD＋∠EDB＝（∠ABD＋∠CDB）＝90°，∴∠BED＝180°?（∠EBD＋∠EDB）＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是求出∠EBD＋∠EDB的度數(shù)．6．（23-24七年級(jí)下·上海崇明·期中）如圖，已知，，那么嗎？說明理由．【答案】，理由見解析【分析】本題主要考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)平行線的判定定理即可求解．【詳解】解：，如圖，在中，，在中，，，，，．【典型例題三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】1．（22-23八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，中，，，平分，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)平分，得到．【詳解】解：，，，平分，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣東惠州·二模）如圖，在中，，平分，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵．先求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，由角平分線的定義得到，則，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故選：C．3．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AE，AD分別是角平分線和高，則∠DAE的度數(shù)是．【答案】10°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BAC、∠DAC，再利用角平分線的性質(zhì)求出∠EAC，最后利用角的和差求出∠EAD．【詳解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，∵AE是△ABC角平分線，∴∠CAE=∠BAC=40°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-60°=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．故答案為：10°【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．4．（22-23七年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）在中，平分，平分，當(dāng)時(shí)，．【答案】115【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，平分，平分，，∴，∴；故答案為：115．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級(jí)下·吉林長春·期中）如圖，在中，的角平分線交于點(diǎn)E，，．求的度數(shù)（溫馨提示：用數(shù)字標(biāo)角）．

【答案】【分析】由角平分線的定義先求解，結(jié)合，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：∵平分，，∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，牢記三角形內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)上·福建南平·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，是的高，已知，，求下列角的大小：

(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義求得角，然后在直角中，求得的度數(shù)，則即可求解．【詳解】（1）∵，∴．（2）∵是的角平分線，∴；∵是的高，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，正確理解定理和定義是解題的關(guān)鍵．【典型例題四三角形折疊中的角度問】1．（23-24八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，是直角三角形，，沿折疊，使點(diǎn)B恰好與邊上的點(diǎn)E重合，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可知：，分別求出即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知：，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，解題的關(guān)鍵是熟記折疊的相關(guān)結(jié)論即可．2．（22-23七年級(jí)下·重慶銅梁·期中）如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CEF=54°，則∠AED的度數(shù)是（）

A．56° B．63° C．68° D．76°【答案】B【分析】根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角先求出，然后根據(jù)翻折可知進(jìn)而求解．【詳解】解：由翻折可知故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算和翻折變換，注意翻折過程中不變的角和邊，是解決問題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·四川自貢·期中）如圖，把一張直角△ABC紙片沿DE折疊，已知∠1＝68°，則∠2的度數(shù)為．【答案】46°【分析】由題意得∠C′＝90°，由折疊得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，進(jìn)而推斷出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，從而求得∠2．【詳解】解：由題意得：∠C′＝90°，由折疊得∠CDE＝∠C′DE．∵∠1＝68°，∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°．∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°．∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°．∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°．故答案為：46°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形折疊問題和三角形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是根據(jù)折疊得出角相等，利用三角形內(nèi)角和求解．4．（22-23七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，把△ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，BCDE，若∠A+∠B=104°，則∠FEC=°．

【答案】28°【詳解】【分析】本題要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì)．解：BC∥DE∠ADE=∠B∠A+∠B=104°∠ADE+∠A=104°∠AED=76°折疊∠DEF=∠AED=76°∠FEC=180°-76°-76°=28°故答案為28°5．（22-23七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，兩點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，求的度數(shù)．【答案】65°【分析】根據(jù)折疊可得∠B′OG＝∠BOG，再根據(jù)∠AOB′＝50°，可得出的度數(shù)．【詳解】根據(jù)折疊得：∠B′OG＝∠BOG，∵∠AOB′＝50°，∴∠B′OG+∠BOG＝130°，∴＝×130°＝65°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題中的角的計(jì)算，注意折疊前后不變的角是解此題的關(guān)鍵．6．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接．若，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；根據(jù)題意可知，直線是與的對(duì)稱軸，進(jìn)而可得．然后求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知，直線是與的對(duì)稱軸，所以．因?yàn)椋?，所以．在中，．【典型例題五三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】1．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·階段練習(xí)）若三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為，則這個(gè)三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為，熟練掌握這個(gè)定理是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比三個(gè)內(nèi)角中最大內(nèi)角，然后再判斷三角形的形狀即可．【詳解】解：∵三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為，∴三個(gè)內(nèi)角中最大內(nèi)角是∴該三角形是直角三角形．故選：B．2．（2024·廣東潮州·一模）如圖所示，在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，將代入計(jì)算，即可求解，本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．【詳解】解：∵，，∴，∴，故選：C．3．（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）在中，，則【答案】/度【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，故答案為：．4．（2024·湖北孝感·三模）如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點(diǎn)，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解反射角等于入射角．根據(jù)題意得到后，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：依題得：，，，中，．故答案為：．5．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）中，，，求的各內(nèi)角度數(shù)．【答案】，，【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是明確三角形的內(nèi)角和為．利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解，，，，，解得：，，．6．（23-24七年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）如圖所示，在中，．求證：是直角三角形．【答案】見解析【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，可證明．在中，已知，等量代換可證是直角三角形，熟記直角三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，，，，是直角三角形．【典型例題六直角三角形的兩個(gè)銳角互余】1．（23-24八年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）在直角三角形中，其中一個(gè)銳角是，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵在直角三角形中，其中一個(gè)銳角是，∴另一個(gè)銳角的度數(shù)是，故選：C．2．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期末）若直角三角形的一個(gè)銳角等于，則它的另一個(gè)銳角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查直角三角形的特征，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，由此可解．【詳解】解：若直角三角形的一個(gè)銳角等于，則它的另一個(gè)銳角等于：，故選A．3．（23-24八年級(jí)上·甘肅隴南·期中）在中，，則的度數(shù)為．【答案】/34度【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出答案，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：4．（23-24八年級(jí)下·湖南懷化·期中）如圖，，，若，則°．

【答案】30【分析】本題考查了垂直的定義，直角三角形的兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直的定義，根據(jù)垂直的定義和直角三角形的性質(zhì)即可求解【詳解】解：故答案為：305．（22-23七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）如圖，中，，，，，求．

【答案】【分析】先求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)各角之間的關(guān)系得出答案．【詳解】∵，∴．∵，，∴．∵，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，平角定義等，確定各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級(jí)上·云南普洱·期中）如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，求證：∠CPO=∠DPO．【答案】見解析【分析】直接利用等角的余角相等即可證明．【詳解】∵OP為∠AOB的角平分線∴∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴，∴∠CPO=∠DPO．【點(diǎn)睛】本題考查等角的余角相等，熟悉余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．【典型例題七銳角互余的三角形是直角三角形】1．（22-23八年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計(jì)算各個(gè)角的度數(shù)，有一角為直角就是直角三角形，若無直角就不是直角三角形．【詳解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的定義及判定，根據(jù)三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行細(xì)致的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·貴州黔西·期末）如圖，在中，，，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)角和定理，找出是解題的關(guān)鍵．在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可得出，結(jié)合，可得出，再利用三角形內(nèi)角和定理，可得出，進(jìn)而可得出是直角三角形．【詳解】解：在中，，∴，又∵，，∴，是直角三角形．故選：C．3．（22-23八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）直角三角形的判定定理：有兩個(gè)角的三角形是直角三角形．【答案】互余【分析】根據(jù)直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；故答案為：互余．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定．熟練掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，是解題的關(guān)鍵．4．（22-23七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論：有兩個(gè)角的三角形是直角三角形．【答案】互余（或和為90°）【分析】根據(jù)互余的定義和三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．故答案是：互余（或和為90°）．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的判定，掌握互余的定義和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)M，且．求證：是直角三角形．【答案】見解析【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)與判定；由是邊上的高，得；再由，即可得結(jié)論成立．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∴．∵，∴，∴是直角三角形．6．（22-23七年級(jí)下·貴州遵義·期中）如圖，中，．(1)試說明是的高；(2)如果，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由等量代換可得到，故是直角三角形，即；（2）由面積法可求得的長．【詳解】（1）∵∴∵∴∴是直角三角形，即，∴是的高；（2）∵∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了同角的余角相等，三角形的面積，直角三角形的判定，正確理解直角三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【典型例題八三角形的外角的定義及性質(zhì)】1．（2024·廣東陽江·二模）如圖，已知，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)．由是的外角，利用三角形的外角性質(zhì)“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：是的外角，，．故選：A．2．（2024·寧夏銀川·二模）在我們現(xiàn)代社會(huì)中，三角板是學(xué)數(shù)學(xué)、量角度的主要工具之一，每副三角板由兩個(gè)特殊的直角三角形組成，一個(gè)是等腰直角三角板，另一個(gè)是含有的直角三角板，一副三角板如圖擺放，其中、、共線，此時(shí)的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三角形的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選D．3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）將一副三角板按如圖所示放置，則的度數(shù)為．【答案】/75度【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)定理，熟練掌握三角板中各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角板的形狀，得出，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到即可．【詳解】解：根據(jù)三角板的形狀可知，，，∴．故答案為：．4．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，在三角形紙片中，．若按圖中虛線將剪去，則°．【答案】215【分析】本題考查三角形外角和的性質(zhì)應(yīng)用，三角形的外角和為360°．關(guān)鍵在于對(duì)三角形外角和的正確記憶，以及對(duì)題意的正確分析，進(jìn)而根據(jù)已知條件求解出答案．【詳解】∵在中，，∴的外角為145°，由三角形的外角和為360°可得，．故答案為：215．5．（23-24八年級(jí)上·陜西榆林·期末）如圖，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查三角形的外角，延長，交于點(diǎn)，先求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，延長，交于點(diǎn)．，．，．．，，．6．（23-24八年級(jí)上·廣東江門·期中）如圖，已知，，，求和的度數(shù)．

【答案】，【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可直接得出答案．【詳解】解：，，，，．【變式訓(xùn)練1三角形內(nèi)角和定理的證明】1．（22-23八年級(jí)上·湖北恩施·期中）三角形三個(gè)內(nèi)角的和是（

）A．90° B．360° C．180° D．270°【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°解答即可．【詳解】解：三角形的內(nèi)角和是180°，故選．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和公理是關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，則∠A度數(shù)為(

).A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】由三角形內(nèi)角和定理得．【詳解】∠A＝180°?∠B?∠C＝180°?45°?75°＝60°．故選：D．【點(diǎn)睛】考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)角和為180度．3．（22-23八年級(jí)下·湖南婁底·期中）在中，，若，則的度數(shù)是．【答案】25°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】∵在中，，，∴∠A=180°-∠C-∠B=25°故答案為：25°．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和為180°．4．（22-23七年級(jí)下·遼寧錦州·期中）“生活中處處有數(shù)學(xué)”，請(qǐng)看圖，折疊一張三角形紙片，把三角形的三個(gè)角拼在一起，我們就可以得到一個(gè)著名的常用的幾何結(jié)論，這一結(jié)論是.【答案】三角形的內(nèi)角和是180°【分析】根據(jù)折疊前后的兩個(gè)角相等，把三角形的三個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角，可以得到三角形內(nèi)角和定理．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理為：三角形的內(nèi)角和是180°．故答案為：三角形的內(nèi)角和是180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024·山東菏澤·一模）已知，小明想證明其內(nèi)角和為，請(qǐng)?jiān)趫D中作出一種輔助線的作法（寫出作法）．【答案】見解析；作法見解析【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理的證明，利用平行線的性質(zhì)把三個(gè)內(nèi)角平移到一個(gè)頂點(diǎn)處構(gòu)成一個(gè)平角是解題的關(guān)鍵．可過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作另一邊的平行線，把三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到該頂點(diǎn)處構(gòu)成平角，證得結(jié)論．【詳解】解：作法：過點(diǎn)A作的平行線，即；

則，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），（平角的定義），（等量代換）．即的內(nèi)角和為．6．（22-23七年級(jí)下·山東菏澤·期末）在小學(xué)，我們?cè)?jīng)通過動(dòng)手操作，利用拼圖的方法研究了三角形三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系．如圖，把三角形分成三部分，然后以某一頂點(diǎn)（如點(diǎn)B）為集中點(diǎn)，把三個(gè)角拼在一起，觀察發(fā)現(xiàn)恰好構(gòu)成了平角，從而得到了“三角形三個(gè)內(nèi)角的和是”的結(jié)論．但是，通過本學(xué)期的學(xué)習(xí)我們知道：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜想得到的結(jié)論還需要通過證明來確認(rèn)它的正確性．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)要求畫出，寫出已知，求證．構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：已知：．求證：．證明：如圖，延長到F，過點(diǎn)B作．

∵，∴，，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，平角的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．【變式訓(xùn)練2與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】1．（22-23八年級(jí)上·貴州貴陽·期末）如圖，在中，，，ABCD，則的度數(shù)為（

）A．90° B．85° C．60° D．55°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°，∴∠A=∠ACD=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理等于180°是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北襄陽·一模）如圖，已知直線AB∥CD，直線AC和BD相交于點(diǎn)E，若∠ABE=75°，∠ACD=35°，則∠AEB等于（）A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)，得到∠BAE與∠ACD的關(guān)系，再利用三角形的內(nèi)角和，求出∠AEB．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠ACD=35°．∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°，∠ABE=75°，∴∠AEB=70°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，題目難度較小，利用平行線的性質(zhì)把要求的角和已知角放在同一個(gè)三角形中，是解決本題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)下·山東泰安·期中）如圖，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，∠D=．【答案】55°【分析】求出∠C，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠C=35°，∵∠CED=90°，∴∠D=90°-35°=55°，故答案為55°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．4．（22-23九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠EAD＝°．【答案】5．【分析】由三角形的高得出∠ADB＝90，求出∠BAD，由角平分線求出∠BAE，即可得出∠EAD的度數(shù)．【詳解】解：∵△ABC中，AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝90，∴∠BAD＝90﹣∠B＝90﹣60＝30°，∵∠BAC＝50，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×50＝25，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝30﹣25＝5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線、高及三角形的內(nèi)角和定理的性質(zhì)．5．（23-24七年級(jí)下·上海崇明·期中）如圖，，平分，，，求的度數(shù)．【答案】的度數(shù)為【分析】由平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義，得到，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解，本題考查了，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴,的度數(shù)為．6．（23-24七年級(jí)下·山東德州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，求證：．

【答案】見解析【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的判定與性質(zhì)，先由三角形內(nèi)角和定理證明，由平行線的性質(zhì)得，等量代換可得，即可證明．【詳解】證明：在和中，∵，，∴，∵，∴，∴，∴【變式訓(xùn)練3與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】1．（22-23八年級(jí)上·湖北黃石·期中）如圖所示，AC⊥BC，AO，BO分別是∠A，∠B的平分線，且相交于點(diǎn)O，則∠AOB等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵AC⊥BC，∴∠C=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵AO，BO分別是∠A，∠B的平分線，且相交于點(diǎn)O，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°，在△OAB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-45°=135°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，分別是和的平分線，則等于（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，根據(jù)即可求解.【詳解】解：∵分別是和的平分線，∴，∴∵∴∴故選：B3．（22-23八年級(jí)下·黑龍江大慶·期末）如圖，在中，，的平分線和的平分線相交于點(diǎn)，則．

【答案】/度【分析】可求，從而可求，接可求解．【詳解】解：，，的平分線和的平分線相交于點(diǎn)，，，，，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，理解定義，掌握定理是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)上·河南三門峽·期中）如圖，在中，，、分別平分、，、相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是．【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)求出∠2+∠4的度數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和定理便可求出∠BOC．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠4=（180°-∠A）=（180°-62°）=59°，故∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-59°=121°．故答案為：121°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．5．（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，是的高，與交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、垂線以及角平分線的定義．由平分，利用角平分線的定義，可求出的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，由是的高，可得出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，再將其代入中，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：平分，．在中，，，．是的高，，，．6．（23-24七年級(jí)下·吉林長春·期中）如圖，在中，，，平分，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義求出，再利用三角形的內(nèi)角和等于列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：，平分，，，．【變式訓(xùn)練4三角形折疊中的角度問題】1．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在三角形紙片ABC中，∠B＝32°，點(diǎn)D在BC上．沿AD將該紙片折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處．若∠EAC＝76°，則∠AED＝（

）A．64° B．72° C．76° D．78°【答案】B【分析】先由題意根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠C＝180°-∠B-∠EAC=72°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到答案.【詳解】因?yàn)椤螧＝32°，∠EAC＝76°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠C＝180°-∠B-∠EAC=72°，由題意，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠AED＝∠C，所以∠AED＝72°，故選擇B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和以及折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和以及折疊的性質(zhì).2．（22-23八年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，中，，沿著圖中的折疊，點(diǎn)剛好落在邊上的點(diǎn)處，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，則可求得答案．【詳解】解：由折疊可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=30°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+45°=75°，∴∠CDE=75°．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)部，若∠1=45°，則=．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)．進(jìn)而在△CDE中，得出∠CDE與∠CED的和，由平角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，，∴∠C=40°，∴在△CDE中，則∠CDE+∠CED=140°，由折疊，可知：∵∠1+2∠CED=180°，∠2+2∠CDE=180°，∴∠1+∠2=360°-2（∠CDE+∠CED）=80°，∵∠1=45°，∴=35°.故答案為35°.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和是180°．4．（22-23七年級(jí)上·上?！て谀┤鐖D，把沿直線翻折后得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，如果，那么度．【答案】【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得的度數(shù)，再由對(duì)折的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】∵，∴＝∵沿直線翻折后得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了對(duì)折和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用鄰補(bǔ)角的定義求得的度數(shù)和對(duì)折前后的兩個(gè)角的度數(shù)相等．5．（23-24八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，將沿，，翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，若，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得，從而求得，最后求得．【詳解】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，，，又，，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，翻折的性質(zhì)，通過翻折前后對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行等量代換求解是關(guān)鍵．6．（22-23八年級(jí)上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）（1）如圖1，把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，試探索與的關(guān)系______（不必證明）．（2）如圖2，BI平分，CI平分，把折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若，求的度數(shù)；【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出，得出的度數(shù)即可；【詳解】（1）∵把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，∴∵又∴；（2）由（1），得，∴∵IB平分，IC平分，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的翻折變換的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確的利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】1．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和，那么這個(gè)三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】本題考查三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為，設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，根據(jù)題意，則；再根據(jù)，即可．【詳解】設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，∵一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和，∴，∵，∴，∴，∴該三角形為直角三角形．故選：B．2．（23-24七年級(jí)下·江蘇常州·期中）如圖，分別過的頂點(diǎn)A、B作．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得到，利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選A．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）在中，，，則°.【答案】65【分析】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，及兩底角相等即可求出，正確掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵中，，，∴，故答案為：65．4．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）當(dāng)三角形中的一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角的一半時(shí)，我們稱此三角形為“半角三角形”，其中α稱為“半角”，如果一個(gè)半角三角形的“半角”為，那么這個(gè)“半角三角形”的最大內(nèi)角是．【答案】/126度【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)半角三角形的定義，求出另一個(gè)角的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和定理求出最大的角的度數(shù)即可．【詳解】解：由題意，得，∴，∴最大角的度數(shù)為：；故答案為：．5．（23-24七年級(jí)下·山東德州·期中）已知：如圖，，于M，于F，且．求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，先由垂線的定義得到，則可證明得到，進(jìn)而求出，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行求解即可．【詳解】證明：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．6．（23-24八年級(jí)上·貴州黔西·階段練習(xí)）如圖，，，點(diǎn)在邊上，且，求的度數(shù)．【答案】【分析】此題考查三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和為求出，再由即可求出答案．【詳解】，，，∵，．【變式訓(xùn)練6直角三角形的兩個(gè)銳角互余】1．（23-24八年級(jí)上·全國·期末）直角三角形的一個(gè)銳角等于，則它的另一個(gè)銳角等于（）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵三角形是直角三角形，它的一個(gè)銳角等于50°，∴它的另一個(gè)銳角為：，故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·廣東肇慶·期末）將一副三角板按如圖所示擺放，其中，，則∠2為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的特征，在中，利用直角三角形兩銳角互余得，在中，利用直角三角形兩銳角互余得，再利用即可求解，熟練掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，故選D．3．（23-24八年級(jí)下·貴州銅仁·期中）在中，，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)直接求解即可．【詳解】解：在中，，，，．故答案為：．4．（22-23七年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）如圖，，，則的度數(shù)為．

【答案】/30度【分析】根據(jù)垂線定義得出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，結(jié)合，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線定義，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩銳角互余．5．（23-24八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）如圖，在中．，，平分，．求證：．

【答案】見解析【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定是解答本題的關(guān)鍵，先由直角三角形的性質(zhì)證明，進(jìn)而得到，再由與互余，求得，因此，最后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：，，，平分，，，且，，，．6．（23-24八年級(jí)上·廣東肇慶·期中）如圖，是的角平分線，是高，，，求的度數(shù)．

【答案】的度數(shù)為．【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形的角平分線的定義．可求，從由，即可求解．【詳解】解：，，平分，，是的高，，∴，；故的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練7銳角互余的三角形是直角三角形】1．（23-24八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）具備下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別進(jìn)行變形結(jié)合，進(jìn)行逐一求解，即可判斷．【詳解】解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合題意；B.，，，，解得：，是直角三角形，故不符合題意；C.，設(shè)，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合題意；D.，，，，，解得：，，，是直角三角形，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）在下列條件中：①；②；③，能確定是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，求出三角形中最大角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的定義判斷從而得到答案．【詳解】解：①∵，∴，∴，∴是直角三角形，故小題正確；②∵，∴最大角，故小題正確；③∵，∴，∴，故小題正確；綜上所述，是直角三角形的是①②③共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的判定，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合已知條件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解決本題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)·全國·假期作業(yè)）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．()【答案】√【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可以得出判斷.【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于，因此有兩個(gè)角互余的三角形，則第三個(gè)角等于90°，是直角三角形.故答案為正確.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟記三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).4．（22-23八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）有兩個(gè)角的三角形是直角三角形．【答案】互余【分析】由三角形中有兩個(gè)角互余，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得第三個(gè)角為，從而可得答案．【詳解】解：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，故答案：互余．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩個(gè)角互余的含義，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（22-23八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）已知：如圖，在中，D是AB上一點(diǎn)，，．求證：是直角三角形．【答案】見解析【分析】利用三角形內(nèi)角和定理可得，據(jù)此即可證明是直角三角形．【詳解】解：在中，D是AB上一點(diǎn)，，，∵，∴，即，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握“三角形三個(gè)內(nèi)角和等于”是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級(jí)上·江西吉安·期中）如圖，在中，D為上一點(diǎn)，，．(1)判斷的形狀；(2)判斷是否與垂直．【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵，（1）證出即可得到結(jié)論，（2）求出，可得出．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形．（2）解：，理由如下：∵，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練8三角形的外角的定義及性質(zhì)】1．（2024·湖南長沙·二模）如圖，直線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．故選：B2．（2024·河北石家莊·二模）如圖，直線，被直線所截，直線和不平行，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知直線和相交構(gòu)成的銳角為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形的外角，掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)直線和相交構(gòu)成的銳角為，根據(jù)三角形的外角定理可得，故選C．3．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）如圖所示，在中，，，外角．【答案】/98度【分析】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)三角形外角的定義和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵是的外角，，，∴，故答案為：．4．（22-23八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，是的一個(gè)外角，若，，則．【答案】/65度【分析】本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：．5．（23-24八年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）如圖，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形一個(gè)外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和分別得到，再由，，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：如圖所示，延長到E，∵，∴，又∵，∴．6．（23-24八年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）如圖，和是的外角，若，求的度數(shù)．

【答案】【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，則由平角的定義可得答案．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，平角的定義，熟知三角形一個(gè)外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．1．（22-23七年級(jí)下·湖北黃石·期中）三角形的三個(gè)內(nèi)角(

)A．至少有兩個(gè)銳角 B．至少有一個(gè)直角C．至多有兩個(gè)鈍角 D．至少有一個(gè)鈍角【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°判斷即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，知：三個(gè)內(nèi)角可以都是60°，排除B；三個(gè)內(nèi)角可以都是銳角，排除C和D；三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角，不可能有兩個(gè)鈍角或兩個(gè)直角．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°．2．（22-23七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，直線AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，則∠E的度數(shù)是（

）．A．100° B．90° C．80° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EFC的度數(shù)，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】如圖，設(shè)CD交EB于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∠B＝40°，∴∠EFC＝∠B＝40°，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)定理正確推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·單元測(cè)試）如圖，在中，，，平分，平分，則的大小是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用角平分線的定義先求得和的大小，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：∵平分，平分，∴，．由三角形的內(nèi)角和定理可知：．故選；B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，掌握角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．（22-23七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，如果∠1＝40°，∠2＝30°，那么∠A＝（

）A．40° B．30° C．70° D．35°【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，一，再根據(jù)平角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出答案.【詳解】因?yàn)檎郫B使∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，所以∠1+∠AEA′=180°，因?yàn)椤?=40°，所以∠AEA′=140°，即∠AED=∠A′ED=70°，同理求出∠ADE=∠A′DE=75°，因?yàn)棣′DE的內(nèi)角和180°，所以∠A′=180°-70°-75°=35°，即∠A=35°.【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理來解，熟練掌握折疊會(huì)出現(xiàn)相等的角和線段.5．（23-24八年級(jí)上·安徽銅陵·階段練習(xí)）如圖，在中，，，則一定是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，先求出，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得到，則，由此可得一定是直角三角形．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴一定是直角三角形，故選：C．6．（22-23七年級(jí)上·山東泰安·期末）若，則按角分的形狀是．【答案】直角三角形【分析】設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x的值，進(jìn)而