第07講 軸對稱（5大知識點+9大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁第07講軸對稱（5大知識點+9大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）題型一軸對稱圖形的識別題型二根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷題型三根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解題型四臺球桌面上的軸對稱問題題型五折疊問題題型六線段垂直平分線的性質(zhì)題型七線段垂直平分線的判定題型八作已知線段的垂直平分錢題型九作垂線(尺規(guī)作圖)知識點1.軸對稱圖形軸對稱圖形的定義一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.要點歸納：軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.知識點2.軸對稱兩個成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.要點歸納：若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.知識點3.線段的垂直平分線（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．求做線段AB的垂直平分線作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點歸納：作弧時的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到交點了．知識點4.軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)在軸對稱圖形中，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.要點歸納：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．知識點5.對稱軸的畫法畫軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的步驟(1)找出軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的任意一對對應(yīng)點;(2)連接這對對應(yīng)點;(3)畫出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線這條垂直平分線就是該軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸注意：畫對稱軸的依據(jù)是軸對稱圖形或兩個圖形成軸對稱的性質(zhì)，即對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線【典型例題一軸對稱圖形的識別】1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，將圖形沿著一條直線翻折，直線兩側(cè)能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱的概念判斷即可．熟記概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．2．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）下面是同學(xué)們利用兩條線段，兩個圓，兩個等腰三角形設(shè)計的圖案，不是軸對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查識別軸對稱圖形．識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據(jù)軸對稱圖形的特點逐項判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不符合題意；B．是軸對稱圖形，不符合題意；C．是軸對稱圖形，不符合題意；D．不是軸對稱圖形，符合題意．故選D．3．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）正方形、平行四邊形、三角形、圓中，其中軸對稱圖形有個．【答案】2【分析】此題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，判斷是不是軸對稱圖形的關(guān)鍵是找出對稱軸，看圖形沿對稱軸對折后兩部分能否完全重合．根據(jù)軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據(jù)此判斷即可．【詳解】解：由軸對稱圖形的含義可知：在正方形、平行四邊形、三角形、圓中，正方形、圓這2個圖形一定是軸對稱圖形；故答案為：24．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，這樣的三角形稱為格點三角形．在網(wǎng)格中與成軸對稱的格點三角形一共有個．【答案】3【解析】略5．（23-24八年級上·全國·課堂例題）分別觀察圖（1）～（4）中的兩個圖形，判斷它們是否分別關(guān)于某條直線成軸對稱，并說明原因．【答案】圖（1）（4）分別關(guān)于某條直線成軸對稱；圖（2）（3）不成軸對稱，說明見解析【分析】本題考查軸對稱圖形的判定，軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，根據(jù)定義逐項判定即可得出結(jié)論，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖（1）（4）分別關(guān)于某條直線成軸對稱；圖（2）（3）不成軸對稱，原因如下：圖（1）（4）分別關(guān)于某條直線成軸對稱，因為沿某一直線對折，每一組的兩個圖形都可以完全重合（這里的“完全重合”是指必須沿某直線折疊后完全重合，這就要求兩個圖形必須形狀相同、大小相等，同時還對兩個圖形的位置作了限定）；圖（2）（3）不成軸對稱，因為不能找到它們的對稱軸．6．（22-23八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖所示的四個圖形中，從幾何圖形變換的角度考慮，哪一個與其他三個不同?請指出這個圖形，并簡述你的理由．【答案】圖(2)，僅它不是軸對稱圖形【詳解】試題分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)（1）（3）（4）都是軸對稱圖形，而（2）不是軸對稱圖形，由此即可得出結(jié)論．試題解析：解：（1）（3）（4）都是軸對稱圖形，而（2）不是軸對稱圖形．故從幾何圖形變換的角度考慮，圖（2）與其它三個不同．【典型例題二根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷】1．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖，和關(guān)于直線l對稱，點A的對稱點是（）A．點C B．點F C．點E D．點D【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行解答即可，此題考查了軸對稱，準確找到對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對稱，∴點A的對稱點是點D，故選：D2．（23-24八年級上·河南安陽·期中）關(guān)于某條直線成軸對稱的兩個圖形，它們的對稱點一定在（

）A．對稱軸上 B．對稱軸的異側(cè)C．對稱軸的同側(cè) D．對稱軸上或?qū)ΨQ軸的異側(cè)【答案】D【分析】本題考查成軸對稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)成軸對稱的兩個圖形，它們的對稱點在對稱軸上或?qū)ΨQ軸的異側(cè)，判斷即可．【詳解】解：關(guān)于某條直線成軸對稱的兩個圖形，它們的對稱點一定在對稱軸上或?qū)ΨQ軸的異側(cè)；故選D．3．（22-23八年級上·江西鷹潭·期中）經(jīng)過軸對稱變換后得到的圖形與原圖形相比：形狀改變，大小改變（填“有”或“沒有”）．【答案】沒有沒有【分析】該題主要考查了軸對稱圖形，正確把握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案；【詳解】解：經(jīng)過軸對稱變換后得到的圖形與原圖形相比：形狀沒有改變，大小沒有改變．故答案為：沒有，沒有．4．（22-23七年級下·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，已知和關(guān)于直線l對稱，小明觀察圖形得出下列結(jié)論：①；②；③直線l垂直平分線段；④直線BC和直線的交點不一定在直線l上．其中正確的結(jié)論有（選填正確的序號）．

【答案】①②③【分析】利用軸對稱的性質(zhì)對各選項進行判斷即可．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對稱，∴，，直線垂直平分線段，直線BC和直線的交點一定在直線l上，即正確的結(jié)論有①②③．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，（1）軸對稱的兩個圖形是全等圖形；軸對稱圖形的兩個部分也是全等圖形；（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；（3）兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點一定在在對稱軸上．5．（22-23八年級上·江西宜春·期中）如圖所示，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱．【答案】見解析【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念與軸對稱的概念；根據(jù)軸對稱圖形的概念與軸對稱的概念可作答．軸對稱的概念：把其中的一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合．軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：圖（1）（3）（4）（6）（8）（10）是軸對稱圖形；圖（2）（5）（7）（9）成軸對稱．6．（22-23八年級上·山東濟寧·期中）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，已知點，點和直線．（1）在直線上求作一點，使最短；（2）請在直線上任取一點（點與點不重合），連接和，試說明．

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，做點A關(guān)于直線的對稱點，連接交直線與點P即可；（2）根據(jù)兩點之間線段最短，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊即可證得．【詳解】（1）作點關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于，則點即為所求，作圖如下：

（2）在直線上任取另一點，連接、、，∵點與關(guān)于直線成軸對稱，點在直線上，∴，，∵，∴即，∴，∴最小．

【點睛】本題考查了點對稱的性質(zhì)，“將軍飲馬”模型求同側(cè)線段之和最短，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，掌握點的對稱性和兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．【典型例題三根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解】1．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）與關(guān)于直線對稱，如果的面積是，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，直接利用軸對稱的性質(zhì)可得的面積．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱，∴與互相重合，∵的面積是，∴的面積是，故選B2．（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對稱，點、、的對應(yīng)點分別為點、、，若，則的長度為（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱圖形的兩個圖形，對應(yīng)線段相等即可解答．【詳解】解：∵與關(guān)于直線l對稱，∴，故選：A．3．（23-24七年級下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，以虛線為對稱軸，那么“甲”字的對稱圖形是字．【答案】由【分析】本題考查作圖軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：“甲”字的對稱圖形是“由”字，故答案為：由4．（23-24八年級上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，兩個四邊形關(guān)于某條直線對稱，根據(jù)圖中提供的條件則，．【答案】570°/度【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等可得出答案．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得：，，，，，．5．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線對稱．與的交點在直線上．(1)指出與的對稱點；(2)指出與中相等的線段和角；(3)圖中還有能形成軸對稱的兩個三角形嗎？【答案】(1)(2)，(3)與與也都關(guān)于直線成軸對稱【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)互相重合的點是對應(yīng)點可得答案；（2）根據(jù)互相重合的角與邊可得答案；（3）根據(jù)能夠互相重合的三角形可得答案．【詳解】（1）解：∵與關(guān)于直線對稱．∴對稱點分別是：；（2）解：∵與關(guān)于直線對稱．∴，（3）解：圖中與與也都關(guān)于直線成軸對稱．6．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對稱，其中，，，．(1)你認為點A與點D有何關(guān)系？連接，則線段與直線有何關(guān)系？(2)求的度數(shù)．【答案】(1)點與點關(guān)于直線成軸對稱，線段被直線垂直平分(2)【分析】本題考查成軸對稱的性質(zhì)．（1）根據(jù)成軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分，作答即可；（2）根據(jù)對應(yīng)角相等，作答即可．【詳解】（1）解：點與點關(guān)于直線成軸對稱，線段被直線垂直平分．（2）解：因為與關(guān)于直線對稱，所以，所以，因為，所以．【典型例題四臺球桌面上的軸對稱問題】1．（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖，球沿圖中箭頭方向擊出后碰到桌子的邊緣會反彈，其中叫做入射角，叫做反射線，如果每次的入射角總是等于反射角，那么球最后將落入桌子四個頂角處的球袋中的（

）A．號袋 B．號袋 C．號袋 D．號袋【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖示可直接得到答案．【詳解】解：如圖所示：球最后將落入桌子四個頂角處的球袋中的C號袋中，故選：C．【點睛】此題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，解題的關(guān)鍵是掌握每次的入射角總是等于反射角．2．（22-23八年級上·江蘇常州·期中）如圖，彈性小球從點P出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球第1次碰到矩形的邊時的點為Q，第2次碰到矩形的邊時的點為M，…．第2022次碰到矩形的邊時的點為圖中的（）A．點P B．點Q C．點M D．點N【答案】A【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對應(yīng)的點的坐標即可．【詳解】解：如圖，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點P，∵2022÷6=337，∴當點P第2022次碰到矩形的邊時為第337個循環(huán)組的最后一次反彈，∴第2022次碰到矩形的邊時的點為圖中的點P，故選：A．【點睛】此題主要考查了點的坐標的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在一個規(guī)格為(即個小正方形)的球臺上，有兩個小球.若擊打小球，經(jīng)過球臺邊的反彈后，恰好擊中小球，那么小球擊出時，應(yīng)瞄準球臺邊上的點.【答案】P2【分析】認真讀題，作出點A關(guān)于P1P2所在直線的對稱點A′，連接A′B與P1P2的交點即為應(yīng)瞄準的點．【詳解】如圖，應(yīng)瞄準球臺邊上的點P2．故答案為：P2.【點睛】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象問題；解決本題的關(guān)鍵是理解擊球問題屬于求最短路線問題．4．（2023·廣東佛山·一模）如圖，在矩形中，，一發(fā)光電子開始置于邊的點處，并設(shè)定此時為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著方向發(fā)射，碰撞到矩形的邊時均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過2021次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是．【答案】673【分析】根據(jù)題意易得發(fā)光電子經(jīng)過六次回到點P，進而根據(jù)此規(guī)律可進行求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得如圖所示：由圖可知發(fā)光電子經(jīng)過六次回到點P，則發(fā)光電子與AB邊碰撞的次數(shù)為2次，∴，∴發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過2021次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是（次）；故答案為673．【點睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級下·山西臨汾·期末）如圖，汾河岸邊有A，B兩個住宅小區(qū)，恒富然氣公司想在汾河邊L上修建一個天然氣站，問天然氣站位置選在什么地方時，才能使管道鋪設(shè)用材最少？（寫出畫法，并保留痕跡）【答案】見解析．【分析】直接利用軸對稱求最短路線方法得出天然氣站的位置．【詳解】如圖所示：首先作出A點關(guān)于汾河邊L的對稱點A′，再連接A′B，A′B與汾河邊L的交點處就是P處，即天然氣站位置．．【點睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，在直線L上的同側(cè)有兩個點A，B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．6．（22-23八年級上·北京·期中）如圖，長方形臺球桌上有兩個球P，Q．

(1)請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊反彈后，正好撞到球Q；(2)請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊，經(jīng)過兩次反彈后，正好撞到球Q．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作點P關(guān)于是對稱點，連接′交于M，點M即為所求．（2）作點P關(guān)于是對稱點，點Q關(guān)于的對稱點，連接交于E，交于F，點E，點F即為所求．【詳解】（1）解：如圖，運動路徑：，點M即為所求．

（2）解：如圖，運動路徑：，點E，點F即為所求．

【點睛】本題考查軸對稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決實際問題．【典型例題五折疊問題】1．（23-24七年級下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，將沿直線折疊后，使得點與點重合，已知的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．證明，再結(jié)合三角形的周長可得答案．【詳解】解：根據(jù)折疊可得，∵的周長為，，∴，∴．故選A．2．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖1，有一張長、寬分別為9和4的長方形紙片，將它對折兩次后得到如圖2所示的圖形，然后沿圖2中的虛線剪開，得到兩部分，其中一部分展開后的平面圖形可以是圖3中的（

）A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用，動手實踐是解此類題的關(guān)鍵.由剪去的三角形與展開后的平面圖形中的三角形是相同的三角形，觀察形成的圖案是否符合要求判斷即可．【詳解】解：圖中，圖③不符合題意，圖④中的4個三角形與圖2中剪去的三角形不全等．故選C．3．（22-23七年級上·廣西來賓·期末）如圖，將長方形紙片沿折疊，點落在點處，已知，則的度數(shù)為．【答案】/110度【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，由折疊得出是解題關(guān)鍵．由折疊求出，進而由求解即可．【詳解】解：由折疊可知，所以．故答案為：110°．4．（22-23八年級上·天津和平·期中）如圖的三角形紙片中，，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則△ADE的周長為．【答案】7【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊前后對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，從而，再由的周長，即可求解．【詳解】解：∵沿過點的直線折疊這個三角形，使得點落在邊上的點處，，，，的周長．故答案為：5．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，點D、C分別落在點、的位置，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊前和折疊后對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵，由平行的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)可得，再進而求解即可．【詳解】解：∵，∴，由折疊性質(zhì)知，，∴．6．（23-24七年級上·山東德州·期末）已知長方形紙片，點，，分別在邊，，上，將三角形沿翻折，點落在點處，將三角形沿翻折，點落在處．

(1)點，，共線時，如圖，求的度數(shù)；(2)點，，不共線時，如圖，圖，設(shè)，，請分別寫出，滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．【答案】(1)(2)圖：，圖：，理由見解析【分析】本題主要考查圖形折疊的性質(zhì)：（1）根據(jù)，，結(jié)合即可求得答案；（2）在圖中，，則，圖同理．【詳解】（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得，，．．（2）如圖，結(jié)論：．理由如下：根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得，．，，．．．如圖，結(jié)論：．理由如下：根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得，．，，．．．【典型例題六線段垂直平分線的性質(zhì)】1．（2024·福建廈門·二模）如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點D．若，則點D到點B的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，即可．【詳解】解：∵線段的垂直平分線交于點D，∴；故選B．2．（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢檬窃诘模ǎ〢．三邊中垂線的交點 B．三邊中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點上．所以凳子應(yīng)放在的三條垂直平分線（即三邊中垂線）的交點最適當．故選：A．3．（23-24七年級下·上海金山·期中）如圖，如果直線是線段的垂直平分線，垂足為O，且，那么．【答案】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的定義，由定義可得，．【詳解】解：∵直線是線段的垂直平分線，垂足為O，且，∴，，故答案為：4．（23-24八年級下·廣東梅州·期中）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點、，連接，若，，則的長．【答案】【分析】本題考查垂直平分線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，則，根據(jù)，即可．【詳解】∵是的垂直平分線，∴，∵，，∴．故答案為：．5．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于E，交于D，的周長為，，求的周長．【答案】【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，AD=CD，根據(jù)的周長為，根據(jù)中點的性質(zhì)以及，可得的長，進而即可求得周長【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴的周長，又∵，∴，∴的周長．6．（22-23八年級下·廣東惠州·期中）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，點是垂足，求的周長．【答案】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長和線段間的關(guān)系求解即可．【詳解】的垂直平分線交于點，，，，的周長．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握該性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【典型例題七線段垂直平分線的判定】1．（23-24八年級下·四川眉山·期中）到三角形各頂點距離相等的點是（）A．三條邊垂直平分線交點B．三個內(nèi)角平分線交點C．三條中線交點D．三條高交點【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上點到線段兩個端點的距離相等．利用線段垂直平分線的性質(zhì)可確定三角形中到各頂點距離相等的點滿足的條件．【詳解】解：三角形三條邊垂直平分線交點到各頂點距離相等．故選：A．2．（23-24八年級上·貴州遵義·期中）如圖，，，則正確的結(jié)論是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．以上說法都正確【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟知到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴垂直平分，根據(jù)現(xiàn)有條件，無法證明垂直平分，故選A．3．（23-24八年級上·上海黃浦·期末）經(jīng)過定點的圓的圓心的軌跡是．【答案】直線【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，由于該圓圓心到點P和到點Q的距離相等，則到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上，據(jù)此可得經(jīng)過定點的圓的圓心的軌跡是直線．【詳解】解：∵一個圓經(jīng)過定點，∴該圓圓心到點P和到點Q的距離相等，∴該圓圓心在線段的垂直平分線上，∴經(jīng)過定點的圓的圓心的軌跡是直線，故答案為：直線．4．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）M、N、A、B是同一平面上的四個點，如果，，則點、在線段的垂直平分線上．【答案】MN【分析】根據(jù)到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上，可得點M、N都在AB的垂直平分線上．【詳解】解：∵∴點M在線段的垂直平分線上，∵，∴點N在線段的垂直平分線上，即點M、N在線段的垂直平分線上．故填M、N、AB．【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線定理，掌握到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解答本題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知，請你用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點P，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】本題考查了線段的垂直平分線的作法．作線段的垂直平分線交于點P，連接即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的判定．【詳解】解：如圖，點P即為所求作．

6．（22-23八年級上·廣東潮州·期中）已知：如圖，，，點在上．求證：．

【答案】見解析【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理說明是線段的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得出答案．【詳解】證明：如圖，連接，

∵，∴點A是線段垂直平分線上的點．∵，∴點D是線段垂直平分線上的點，∴是線段垂直平分線，∴．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理，靈活的應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．【典型例題八作已知線段的垂直平分錢】1．（23-24八年級下·廣東梅州·期中）聯(lián)歡會上，三名同學(xué)分別站在銳角的三個頂點位置上，玩“搶凳子”的游戲，游戲要求在內(nèi)放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，凳子最適合擺放的位置是的（

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點上．所以凳子應(yīng)放在的三條垂直平分線的交點最適當．故選：A．2．（22-23八年級上·山東聊城·期末）如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（

）

A．三邊中線的交點 B．三邊上高的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的垂直平分線，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線上的點到兩端的距離相等，三角形三條垂直平分線的交點到三個頂點距離相等．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可進行解答．【詳解】解：∵中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地的距離相等，∴應(yīng)建在三邊垂直平分線的交點，故選：D．3．（22-23八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）MN是線段AB的垂直平分線，AB長為16cm，則點A到MN的距離是cm．【答案】8【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出AD=BD,AD⊥MN,求出AD長即可【詳解】如下圖∵MN是線段AB的垂直平分線,AB=16∴AD=BD=AB=8cm.AD⊥MN，即點A到MN的距離是8cm,故答案為:8【點睛】本題考查了對線段垂直平分線性質(zhì)和點到直線的距離的理解和運用，熟悉垂直平分線概念是解題關(guān)鍵．4．（22-23八年級上·北京·期中）如圖，在中，是的垂直平分線，若，的周長是，則的周長是cm．【答案】【分析】的周長是，，所以求的周長其實就是求，由此即可求出答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，且，∴，，即，∵的周長是，即，∴，∵的周長是，，∴的周長是，故答案是：．【點睛】本題主要考查的是垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過垂直平分線的性質(zhì)將所求線段轉(zhuǎn)化為已知線段的關(guān)系．5．（22-23八年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，連接AC，請用尺規(guī)作圖法在線段AC上找一點F，連接BF，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】作的垂直平分線交于點F即可【詳解】解：要使，則F為垂直平分線上一點，即作的垂直平分線與的交點即為所求，分別以為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于兩點，過這兩點作直線，與的交點F，則點F為所作．

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線；解題的關(guān)鍵是熟練掌握作圖方法．6．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）有一段關(guān)于古代藏寶圖的記載（如圖）：“從赤石向一棵杉樹筆直走去，恰好在其連線中點處向右轉(zhuǎn)前進，到達唐伽山山腳的一個洞穴，寶物就在洞穴中．”怎樣根據(jù)這段記載找到藏寶洞穴的位置？在圖上標出藏寶洞穴的位置．【答案】連接赤石與杉樹，形成一條線段，作線段的垂直平分線，交唐伽山所在位置一點，該點即為洞穴的位置；圖見解析【分析】連接赤石與杉樹，形成一條線段，作線段的垂直平分線，交唐伽山所在位置一點，該點即為洞穴的位置；【詳解】解：連接赤石與杉樹，形成一條線段，作線段的垂直平分線，交唐伽山所在位置一點，該點即為洞穴的位置，如圖所示：【點睛】本題考查線段的垂直平分線．熟練掌握中垂線的作圖方法，是解題的關(guān)鍵．【典型例題九作垂線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級下·遼寧沈陽·期中）觀察如圖作圖痕跡，所作為的邊上的（

）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．中垂線【答案】B【分析】本題考查過直線外一點作已知直線的垂線，能掌握基本尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)作圖過程，可得所作線段為邊上的高線，故選B．2．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在平面內(nèi)，使用尺規(guī)過一點P作直線的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷（

）A．點P在點O處 B．點P在點A處C．點P在點B處 D．無法確定點P的位置【答案】A【分析】本題考查了用尺規(guī)作直線的垂線，熟練掌握做法和原理是解題的關(guān)鍵．利用尺規(guī)作直線的垂線的方法解答即可．【詳解】解：由畫圖痕跡可得：于點O，點P在點O處．故選：A．3．（23-24八年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，在某條公路的同旁有兩座城市A、B，為了方便市民就醫(yī)治療，政府決定在公路邊建一所醫(yī)院，這所醫(yī)院建在什么地方，能使兩座城市到這所醫(yī)院的路程一樣長？（不用寫做法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析【分析】由題意可知醫(yī)院要滿足兩個條件：一是在公路上；二是到兩個城市的距離相等；進而可以想到：到線段兩端點的距離的點在線段的垂直平分線上，進而求解即可．【詳解】解：如圖：

作的垂直平分線，交公路為點，則點為醫(yī)院．理由：垂直平分線的點到線段兩端點的距離相等．【點睛】本題主要考查的是垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)會尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．4．（22-23七年級下·山東青島·期末）如圖，在中，，，分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點、，作直線，交邊于點，連接，則的周長為．【答案】18【分析】由題意可得MN為AB的垂直平分線，所以AD=BD，進一步可以求出△ACD的周長.【詳解】解：∵在△ABC中，分別以A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于M，N，作直線MN，交BC邊于D，連接AD；∴MN為AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴△ACD的周長為：AD+DC+AC=BC+AC=11+7=18.故答案為：18.【點睛】本題主要考查的是垂直平分線的運用，掌握垂直平分線的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．（23-24八年級上·江西上饒·期中）如圖，在中，利用尺規(guī)作圖作出的中線．不寫作法，但要保留作圖痕跡．

【答案】圖見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖，作垂線．作的中垂線，交于點，連接，即為所求．掌握垂線的作圖方法，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，直線即為所求；

6．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，一輛汽車在筆直的公路上由A向B行駛，M，N分別是位于公路兩側(cè)的村莊，請利用尺規(guī)作圖法，在上找一點C，使得汽車行駛到C處時，到村莊M，N的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】連接，作線段的垂直平分線l交于點C，點C即為所求．【詳解】解：如圖，點C即為所求．

【點睛】本題考查作圖，復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題．【變式訓(xùn)練1軸對稱圖形的識別】1．（2024·山西晉城·三模）數(shù)學(xué)符號能使數(shù)學(xué)語言在形式上一目了然，簡明準確，它為表述和論證數(shù)學(xué)理論帶來了極大的方便．下列數(shù)學(xué)符號中，是軸對稱圖形的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別．根據(jù)軸對稱圖形的定義，逐個進行判斷即可．軸對稱圖形：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：A、B、C均找不到一條直線，使A、B、C沿該直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，故A、B、C不是軸對稱圖形，不符合題意；D能找到一條直線，使D沿該直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，故D是軸對稱圖形，符合題意；故選：D．2．（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）下列圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了軸對稱圖形及旋轉(zhuǎn)圖形的判斷問題，掌握“如果沿某一條直線對折，左右兩邊能完全重合，則這個圖形就是軸對稱圖形”是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：B．3．（22-23七年級下·全國·單元測試）粗圓體的漢字“口，品，土”等多是軸對稱圖形．請再寫出至少三個以上這樣的漢字．【答案】十，中，日（答案不唯一）【分析】根據(jù)軸對稱的定義寫出三個即可．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的定義，軸對稱圖形的漢字：十，中，日．故答案為：十，中，日（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南株洲·一模）下列圖形中，是軸對稱圖形的有個．【答案】2【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，是軸對稱圖形的有：∴是軸對稱圖形的有2個故答案為：2．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對稱圖形．5．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖（1）～（10）所示的圖案都是對稱圖形（其中（2）（5）（7）（9）表示兩個圖形），請觀察并指出，哪些圖案是軸對稱圖形？哪些圖案成軸對稱？

【答案】軸對稱圖形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；兩個圖形成軸對稱的有（2）（5）（7）（9）【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的定義可知，軸對稱圖形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；兩個圖形成軸對稱的有（2）（5）（7）（9）．6．（22-23八年級上·浙江寧波·期末）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1，△ABC的三個頂點都在格點（即這些小正方形的頂點）上，且它們的坐標分別是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），結(jié)合所給的平面直角坐標系，解答下列問題：（1）請在如圖坐標系中畫出△ABC；（2）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'，并寫出△A'B'C'各頂點坐標?！敬鸢浮浚?）圖見解析；（2）圖見解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)【分析】（1）在坐標系內(nèi)描出各點，順次連接各點即可；（2）分別作出各點關(guān)于y軸的對稱點，再順次連接，并寫出各點坐標即可；【詳解】（1）如圖，△ABC為所求；（2）如圖，△A'B'C'為所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)【點睛】本題考查的是作圖?軸對稱變換，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷】1．（22-23八年級上·河北保定·期中）如圖，若與關(guān)于直線MN對稱，交MN于點O，則下列說法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵與關(guān)于直線MN對稱，交MN于點O，∴，，，但不一定相等，故選：D．【點睛】此題考查了軸對稱的性質(zhì)：軸對稱兩個圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北秦皇島·三模）如圖是嘉嘉把紙折疊后剪出的圖案，將剪紙展開后得到的圖案是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖是嘉嘉把紙折疊后剪出的圖案，將剪紙展開后得到的圖案是選項．故選：A．【點睛】本題考查利用軸對稱設(shè)計圖案，剪紙問題，解題的關(guān)鍵是理解軸對稱圖形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．3．（22-23七年級下·廣東茂名·期末）已知點P與點關(guān)于直線m成軸對稱，則與直線m的位置關(guān)系是．【答案】垂直【分析】點P與點關(guān)于直線m成軸對稱，即線段關(guān)于直線m成軸對稱；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，有直線m垂直平分．【詳解】解：點P和點關(guān)于直線m成軸對稱，則直線m和線段的位置關(guān)系是：直線m垂直平分．故答案為：垂直．【點睛】此題考查了對稱軸的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．4．（22-23七年級下·山西·期末）如圖，直線l是對稱軸，點A的對應(yīng)點是點．

【答案】D【分析】軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，其中互相重合的點叫做對應(yīng)點．【詳解】由圖可得點A的對應(yīng)點是點D．故答案為：D．【點睛】本題考查軸對稱圖形的定義，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱圖形的定義．5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）作出下列各圖形的一條對稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對稱軸一樣嗎？【答案】見解析【分析】依據(jù)軸對稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸，據(jù)此即可解答．【詳解】解：根據(jù)分析畫各圖的對稱軸如下：．【點睛】本題考查了畫對稱軸，根據(jù)軸對稱圖形的特征，作一個圖形的對稱軸時，可連結(jié)兩個對稱點，對稱軸就是對稱點連線的垂直平分線．6．（22-23八年級上·廣東云浮·期末）如圖，與關(guān)于直線對稱．與的交點F在直線上．①指出兩個三角形中的對稱點；②指出圖中相等的線段和角；③圖中還有對稱的三角形嗎？

【答案】①；②；，；③與，與【分析】根據(jù)與關(guān)于直線對稱確定對稱點，從而確定對稱線段、對稱角和對稱三角形．【詳解】解：①對稱點是：，②相等的線段：，相等的角：，．③與，與，也都關(guān)于直線成軸對稱．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解軸對稱的圖形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練3根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解】1．（23-24八年級上·山西臨汾·期中）如圖，和關(guān)于直線l對稱，已知，，，則的長為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到圖形全等，再根據(jù)全等的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對稱，∴，∴，故選B．2．（23-24八年級上·四川德陽·期中）如圖，內(nèi)一點P，，分別是P關(guān)于的對稱點，交于點M，交于點N．若的周長是，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵點關(guān)于的對稱點分別為、，∴，，∴的周長等于，故選A．3．（22-23八年級上·吉林松原·期末）已知點P（a，3）、Q（﹣2，b）關(guān)于x軸對稱，則a+b＝．【答案】-5【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點P（a，3）與點Q（﹣2，b）關(guān)于x軸對稱，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案為：﹣5．【點睛】本題考查平面直角坐標系中關(guān)于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關(guān)系，難度適中．4．（22-23八年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖的三角形紙片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿過點C的直線折疊這個三角形，使點A落在BC邊上的點E處，折痕為CD，則△BED的周長為．

【答案】8【分析】由折疊可得：再求解利用從而可得答案.【詳解】解：由折疊可得：故答案為：【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，掌握“成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)邊相等”是解本題的關(guān)鍵.5．（23-24八年級下·河南焦作·期中）牧羊人在某天發(fā)現(xiàn)了一個有水有草的神秘三角地帶，（如圖）便想在公路邊上找一點，安營扎寨，進行牧羊．使每天牧羊時到草地邊上吃草，然后到小河邊處喝水，再跑回出發(fā)地休息．為使所跑路程最短，請你為牧羊人在公路上找一個合適的位置，并畫出線路圖．【答案】P點為安營扎寨處，圖見解析【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)．過點C作于P，過點P分別作和的對稱點，連接分別交和于點，此時P點為安營扎寨處．路線圖為．【詳解】解：如圖，P點為安營扎寨處．路線圖為．6．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖所示，已知是內(nèi)的一點，點、分別是點關(guān)于、的對稱點，點、分別相交于點、，已知．(1)求的周長；(2)連接、，若，求．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟記軸對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，再結(jié)合三角形的周長公式可得答案；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，再結(jié)合角的和差運算可得答案；【詳解】（1）解：∵M，N分別是點O關(guān)于、的對稱點，∴，，∴的周長；（2）如圖，連接，，，∵M，N分別是點O關(guān)于、的對稱點，∴，，∴．【變式訓(xùn)練4臺球桌面上的軸對稱問題】1．（2023·浙江麗水·中考真題）如圖是一臺球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運動，經(jīng)桌邊反彈最后進入球洞的序號是（

）A．① B．② C．⑤ D．⑥【答案】A【詳解】如圖，根據(jù)入射線與水平線的夾角等于反射線與水平線的夾角，可求最后落入①球洞．故選A．2．（22-23八年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個點中，可以瞄準的是()A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】D【分析】如下圖【詳解】如圖，由圖可知可以瞄準的點為點D．故選D．3．（23-24八年級上·山東聊城·期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數(shù)學(xué)問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證為．

【答案】【分析】本題考查了臺球桌上的軸對稱問題，根據(jù)圖形得出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：4．（23-24八年級上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有M，N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個點中，可以反彈擊中N球的是點．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱的知識，注意結(jié)合圖形解答，不要憑空想象，實際操作一下．【詳解】解：如圖，可以瞄準點擊球．故答案為：．5．（22-23七年級上·全國·單元測試）如圖是一個經(jīng)過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），那么該球最后將落入哪一個球袋？說明理由．

【答案】該球最后將落入2號球袋．理由見解析．【分析】由已知條件，由軸對稱的性質(zhì)畫圖即可得出結(jié)論．【詳解】該球最后將落入2號球袋．

理由：球擊到邊框上一點，過這點和邊框垂直的直線就是球擊中邊框前后路徑的對稱軸，如圖所示，球擊中邊框反彈后的路徑為虛線，最后指向2號袋．【點睛】本題考查了軸對稱的知識；按要求畫出圖形是正確解答本題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級下·全國·課后作業(yè)）已知：如圖，是一個長方形的臺球面，有、兩球分別位于圖中所在位置，試問怎樣撞擊球，才能使先碰到臺邊反彈后再擊中球？在圖中畫出球的運動線路．【答案】見解析【分析】首先作出點A關(guān)于FC的對稱點，再連接交FC于點P，連接AP，PB，可得A球的運動路線．【詳解】如圖所示：運動路線：．【點睛】本題主要考查生活中的軸對稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練5折疊問題】1．（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，將沿折疊，使點與邊中點重合，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，再求出，最后根據(jù)周長公式求解即可．【詳解】解：沿折疊，使點與邊中點重合，∴，∵D為的中點，∴，∴的周長為：，故選：B．2．（2024·江蘇無錫·一模）2024年7月26日至8月11日第33屆奧運會在法國巴黎舉行，巴黎會徽的標志如圖所示，通過一次翻折這個標志得到的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了幾何變換的類型，翻折，根據(jù)翻折的定義可得答案．掌握翻折的定義是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：通過一次翻折這個標志得到的圖形是：故選：．3．（23-24八年級下·江蘇淮安·期中）如圖，將長方形紙片沿其對角線折疊，使點B落在點的位置．與交于點E．若，，則圖中陰影部分的周長．【答案】26【分析】本題考查了圖形的折疊問題及長方形的性質(zhì)．熟記翻折前后兩個圖形能夠重合找出相等的線段是解題的關(guān)鍵．陰影部分的周長為，即矩形的周長計算解題．【詳解】證明：∵四邊形為長方形，∴，，由翻折可得，∴陰影部分的周長為，故答案為：．4．（22-23七年級上·上海金山·期末）如圖，在長方形中，點E在邊上，連接，將沿折痕翻折，使點D落在邊上的處，如果，那么度【答案】28【分析】首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后根據(jù)平角的概念求解即可．【詳解】∵沿折痕翻折，使點D落在邊上的處，，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，平角的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．5．（22-23七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，把一張長方形的紙片沿折疊，若，求的度數(shù)．【答案】70°【分析】先根據(jù)平角的定義得到，再由折疊的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級下·山西·期末）圖1是一張三角形紙片ABC．將BC對折使得點C與點B重合，如圖2，折痕與BC的交點記為D．（1）請在圖2中畫出ΔABC的BC邊上的中線．（2）若AB=11cm、AC=16cm，求ΔACD與ΔABD的周長差．【答案】（1）見解析；（2）5厘米【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知BD=DC，然后連接AD即可；（2）由BD=DC可知△ABD與△ACD的周長差等于AB與AC的差．【詳解】解：（1）連接AD，∵由翻折的性質(zhì)可知：BD=DC，∴AD是△ABC的中線．如圖所示：（2）∵BD=DC，∴△ADC的周長-△ADB的周長=AC+DC+AD-（AD+AB+DC）=AC-AB=16-11=5cm．【點睛】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)，由翻折的性質(zhì)得到BD=DC是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6線段垂直平分線的性質(zhì)】1．（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．利用線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”可得，，然后利用等量代換可得的周長，即可解答．【詳解】解：是的垂直平分線，，是的垂直平分線，，的周長，，，，的長為；故選：C．2．（23-24八年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，某學(xué)校欲增設(shè)一個籃球場，為了方便學(xué)生活動，要求新建的籃球場到A點、B點和C點的距離均相等，則籃球場應(yīng)該建設(shè)在（

）A．兩邊垂直平分線的交點處 B．在兩邊中線的交點處C．在兩內(nèi)角平分線的交點處 D．在兩邊高線的交點處【答案】A【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】作兩邊的垂直平分線，它們的交點是P，由線段的垂直平分線的性質(zhì)，，故選：A．3．（22-23七年級下·四川成都·期末）如圖，垂直平分，垂直平分．若，，則的周長為．

【答案】7【分析】由垂直平分線的性質(zhì)得到，，即可得到的周長．【詳解】解：∵垂直平分，，∴，∵垂直平分．，∴，∴的周長為．故答案為：7【點睛】此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長，熟練掌握線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖在中，，的垂直平分線交于點E，的垂直平分線交于點F，則的周長為．【答案】2【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再計算即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點E，的垂直平分線交，∴，∴的周長為：．故答案為：2【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運用計算周長是解題的關(guān)鍵．5．（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點．若，，求的長．

【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，再做差即可．【詳解】垂直平分線，，，又，，．【點睛】本題考查利用垂直平分線性質(zhì)進行邊長計算，須注意線段位置，正確的計算是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，分別交AC、AB于點D、E，若△BCE的周長為8，BC＝3，求AB的長．

【答案】5【分析】先利用三角形周長得到CE＋BE＝5，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC＝EA，然后利用等線段代換得到AB的長．【詳解】解：∵△BCE的周長為8，∴CE＋BE＋BC＝8，又∵BC＝3，∴CE＋BE＝5，又∵DE是AC的中垂線，∴EC＝EA，∴AB＝AE＋BE＝CE＋BE＝5．即AB的長為5．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．【變式訓(xùn)練7線段垂直平分線的判定】1．（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（

）A．三條中線的交點 B．三條高的交點C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三條角平分線的交點【答案】C【分析】本題考查線段垂直平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握：到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．【詳解】解：∵到三角形的一邊的兩端點距離相等的點在這邊的垂直平分線上，∴到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點．故選：C．2．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖，直線與線段交于點，點在直線上，且．則下列說法正確的是（

）

A．B．直線是的垂直平分線C．若，則直線是的垂直平分線D．若，則直線是的垂直平分線【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，則點P在直線的垂直平分線上，若有，則直線是的垂直平分線，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴點P在直線的垂直平分線上，∴若，則直線是的垂直平分線，故C說法正確，符合題意根據(jù)先有條件無法證明A、B、D中的結(jié)論，故A、B、D說法錯誤，不符合題意；故選：C．3．（22-23八年級上·全國·課前預(yù)習(xí)）經(jīng)過線段并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的．【答案】中點垂直平分線【解析】略4．（22-23八年級上·浙江臺州·期末）如圖，一形狀為四邊形的風箏（四邊形），測量得：，cm，cm，cm，則此風箏的大小為（即四邊形的面積）cm2．

【答案】3360【分析】先證明是的垂直平分線，再利用對角線互相垂直的四邊形的面積是對角線乘積的一半即可求解．【詳解】∵，cm∴是的垂直平分線．∴∴cm2故答案是3360．【點睛】本題考查線段垂直平分線的判定和對角線互相垂直的四邊形的面積公式，證明對角線垂直和記憶公式是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在中，是的垂直平分線，．求證：點在的垂直平分線上．【答案】見解析【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識點，掌握到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上成為解題的關(guān)鍵．如圖所示，連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，進而得到，最后根據(jù)到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上即可證明結(jié)論．【詳解】解：如圖：連接，∵是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴點在的垂直平分線上．6．（23-24八年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在中，點D是的中點，連接，垂直平分，垂足為E，F(xiàn)是的中點，連接，求證：是的垂直平分線．

【答案】證明過程見詳解【分析】本題主要考查線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，利用條件證得是解題的關(guān)鍵．由垂直平分，可得，由D為中點，則可得，且F為的中點，則可證得結(jié)論．【詳解】證明：垂直平分，，∵D為的中點，，，∵F為的中點，即,垂直平分．【變式訓(xùn)練8作已知線段的垂直平分錢】1．（23-24八年級下·山西晉中·期中）某市為了進一步完善城市功能，提升城市形象，加強體育事業(yè)的發(fā)展，準備修建一個大型體育中心，要求該體育中心所在位置與該市的三個城鎮(zhèn)中心（圖中以P，Q，R表示）的距離相等，則體育中心的位置應(yīng)選在（

）A．三邊的垂直平分線的交點處B．的三條角平分線的交點處C．的三條高線的交點處D．的三條中線的交點處【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線的應(yīng)用，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解，熟練掌握線段垂直平分線到兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：三角形三邊的垂直平分線到三個頂點的距離相等，體育中心的位置應(yīng)選在三邊的垂直平分線的交點處，故選A．2．（23-24八年級上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）在聯(lián)歡會上，有、、三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢檬窃诘模?/p>

）A．三邊中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點上．所以凳子應(yīng)放在的三條垂直平分線的交點最適當．故選：B．3．（23-24八年級上·河南信陽·期中）如圖，中，的垂直平分線交于點D，的垂直平分線交于點E，若，則的周長為cm．【答案】12【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得邊相等，由結(jié)合三角形的周長公式即可得求得．解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)．【詳解】解：∵邊的垂直平分線交邊于點D，邊的垂直平分線交邊于點E，∴，，∵，∴的周長＝12，故答案為：12．4．（22-23八年級上·廣西玉林·期中）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交BC、AC于點D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC=10cm，則△ABD的周長為cm．【答案】16【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA=DC，∴△ABD的周長=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=16（cm），故答案為：16．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖．A，B是公路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車立站使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，你能確定公共汽車站應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計（尺規(guī)作圖，不寫作法、保留作圖痕跡）【答案】見詳解【分析】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，連接，的垂直平分線與公路的交點即是公共汽車站的位置，據(jù)此即可作答．【詳解】作圖如下：的垂直平分線與公路的交點P即是公共汽車站的位置．6．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，一輛汽車在筆直的公路上由A向B行駛，M，N分別是位于公路兩側(cè)的村莊，當汽車行駛到哪個位置時，與村莊M，N的距離相等．【答案】詳見解析【分析】到M、N距離相等的點在線段的垂直平分線上，故其位置為線段的垂直平分線與公路的交點處．【詳解】解：（1）連接；（2）作線段的垂直平分線l，交直線于C點，則C點即為所求．由作圖可知：點C在的垂直平分線l上，∴．∴當汽車行駛到哪點C時，與村莊M，N的距離相等．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，屬基本作圖題．【變式訓(xùn)練9作垂線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級下·河南鄭州·期末）下列關(guān)于過點A作直線l的垂線的尺規(guī)作圖中，作法不正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查尺規(guī)作圖—基本作圖，掌握五種基本作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】由基本作圖可知，選項A、C、D中所作直線均滿足題意，只有B選項不確定，故選B．2．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，在中，分別以B，C兩點為圓心，大于長為半徑作弧，連接兩弧交點得到直線l，l分別交于E、F兩點，連接，若，，則的周長為（

）A．10 B．12 C．14 D．18【答案】C【分析】本題考查尺規(guī)作圖-中垂線及三角形的周長，熟練掌握中垂線的尺規(guī)作圖方法和中垂線性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題中尺規(guī)作圖可知是線段的中垂線，從而，則的周長為即可得到答案．【詳解】解：由作法知是線段的中垂線，，，，，的周長為．故選：C．3．（22-23八年級上·山東濟南·期末）如圖，在中，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P、Q，作直線交于點D，連接，若的周長為15，，則的周長為．【答案】9【分析】根據(jù)題意得出是線段的垂直平分線，故可得出，然后根據(jù)的周長得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得出是線段的垂直平分線，∴，∴，∵的周長為15，，∴，∴的周長．故答案為：9．【點睛】本題考查的是作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．4．（22-23九年級上·河南開封·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B、C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若AD=3，CD=2，則AB=．【答案】5【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DC=BD，再利用已知條件即可求得AB的長．【詳解】解：由題意可得：MN垂直平分BC，則CD=BD，∵AD=3，CD=2，∴AB=AD+BD=AD+CD=5，故答案為：5．【點睛】此題主要考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)，得出CD=BD是解題關(guān)鍵．5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在中，請用尺規(guī)作圖法在斜邊上求作一點，連接，使得是斜邊上的中線．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、直角三角形斜邊上的中線，作線段的垂直平分線，交于點O，則點O即為所求．【詳解】解：如圖，作線段的垂直平分線，交于點O，連接，則是斜邊上的中線，則點O即為所求．6．（23-24七年級下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，已知及上一點，求作直線，使經(jīng)過點，且．

【答案】作圖見解析【分析】此題主要考查了利用尺規(guī)作圖—基本作圖，過點P作，再過點P作，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行，即可得直線即為所求．【詳解】解：如圖，直線即為所求．

1．（23-24七年級下·福建寧德·期末）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義，只有選項B符合軸對稱圖形的定義，故選：B．2．（23-24八年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，與△關(guān)于直線對稱，交于點O，下列結(jié)論：①；②；③中，正確的有（）A．3個 B．2個 C．1個 D