第07講 軸對(duì)稱（5大知識(shí)點(diǎn)+9大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁(yè)第07講軸對(duì)稱（5大知識(shí)點(diǎn)+9大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別題型二根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷題型三根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解題型四臺(tái)球桌面上的軸對(duì)稱問(wèn)題題型五折疊問(wèn)題題型六線段垂直平分線的性質(zhì)題型七線段垂直平分線的判定題型八作已知線段的垂直平分錢題型九作垂線(尺規(guī)作圖)知識(shí)點(diǎn)1.軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形的定義一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸.要點(diǎn)歸納：軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.知識(shí)點(diǎn)2.軸對(duì)稱兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)歸納：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.知識(shí)點(diǎn)3.線段的垂直平分線（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．求做線段AB的垂直平分線作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點(diǎn)歸納：作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長(zhǎng)，否則就不能得到交點(diǎn)了．知識(shí)點(diǎn)4.軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)歸納：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．知識(shí)點(diǎn)5.對(duì)稱軸的畫法畫軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸的步驟(1)找出軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn);(2)連接這對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn);(3)畫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線這條垂直平分線就是該軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸注意：畫對(duì)稱軸的依據(jù)是軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)，即對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線【典型例題一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別】1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，將圖形沿著一條直線翻折，直線兩側(cè)能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱的概念判斷即可．熟記概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）下面是同學(xué)們利用兩條線段，兩個(gè)圓，兩個(gè)等腰三角形設(shè)計(jì)的圖案，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查識(shí)別軸對(duì)稱圖形．識(shí)別軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，符合題意．故選D．3．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）正方形、平行四邊形、三角形、圓中，其中軸對(duì)稱圖形有個(gè)．【答案】2【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，判斷是不是軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是找出對(duì)稱軸，看圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后兩部分能否完全重合．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的意義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸；據(jù)此判斷即可．【詳解】解：由軸對(duì)稱圖形的含義可知：在正方形、平行四邊形、三角形、圓中，正方形、圓這2個(gè)圖形一定是軸對(duì)稱圖形；故答案為：24．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形．在網(wǎng)格中與成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形一共有個(gè)．【答案】3【解析】略5．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）分別觀察圖（1）～（4）中的兩個(gè)圖形，判斷它們是否分別關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，并說(shuō)明原因．【答案】圖（1）（4）分別關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱；圖（2）（3）不成軸對(duì)稱，說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的判定，軸對(duì)稱圖形定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，根據(jù)定義逐項(xiàng)判定即可得出結(jié)論，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖（1）（4）分別關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱；圖（2）（3）不成軸對(duì)稱，原因如下：圖（1）（4）分別關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，因?yàn)檠啬骋恢本€對(duì)折，每一組的兩個(gè)圖形都可以完全重合（這里的“完全重合”是指必須沿某直線折疊后完全重合，這就要求兩個(gè)圖形必須形狀相同、大小相等，同時(shí)還對(duì)兩個(gè)圖形的位置作了限定）；圖（2）（3）不成軸對(duì)稱，因?yàn)椴荒苷业剿鼈兊膶?duì)稱軸．6．（22-23八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示的四個(gè)圖形中，從幾何圖形變換的角度考慮，哪一個(gè)與其他三個(gè)不同?請(qǐng)指出這個(gè)圖形，并簡(jiǎn)述你的理由．【答案】圖(2)，僅它不是軸對(duì)稱圖形【詳解】試題分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)（1）（3）（4）都是軸對(duì)稱圖形，而（2）不是軸對(duì)稱圖形，由此即可得出結(jié)論．試題解析：解：（1）（3）（4）都是軸對(duì)稱圖形，而（2）不是軸對(duì)稱圖形．故從幾何圖形變換的角度考慮，圖（2）與其它三個(gè)不同．【典型例題二根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷】1．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，和關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是（）A．點(diǎn)C B．點(diǎn)F C．點(diǎn)E D．點(diǎn)D【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行解答即可，此題考查了軸對(duì)稱，準(zhǔn)確找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對(duì)稱，∴點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，故選：D2．（23-24八年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期中）關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)稱點(diǎn)一定在（

）A．對(duì)稱軸上 B．對(duì)稱軸的異側(cè)C．對(duì)稱軸的同側(cè) D．對(duì)稱軸上或?qū)ΨQ軸的異側(cè)【答案】D【分析】本題考查成軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)稱點(diǎn)在對(duì)稱軸上或?qū)ΨQ軸的異側(cè)，判斷即可．【詳解】解：關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)稱點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上或?qū)ΨQ軸的異側(cè)；故選D．3．（22-23八年級(jí)上·江西鷹潭·期中）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到的圖形與原圖形相比：形狀改變，大小改變（填“有”或“沒(méi)有”）．【答案】沒(méi)有沒(méi)有【分析】該題主要考查了軸對(duì)稱圖形，正確把握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出答案；【詳解】解：經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到的圖形與原圖形相比：形狀沒(méi)有改變，大小沒(méi)有改變．故答案為：沒(méi)有，沒(méi)有．4．（22-23七年級(jí)下·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，已知和關(guān)于直線l對(duì)稱，小明觀察圖形得出下列結(jié)論：①；②；③直線l垂直平分線段；④直線BC和直線的交點(diǎn)不一定在直線l上．其中正確的結(jié)論有（選填正確的序號(hào)）．

【答案】①②③【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對(duì)稱，∴，，直線垂直平分線段，直線BC和直線的交點(diǎn)一定在直線l上，即正確的結(jié)論有①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，（1）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形；（2）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在在對(duì)稱軸上．5．（22-23八年級(jí)上·江西宜春·期中）如圖所示，它們都是對(duì)稱圖形，請(qǐng)觀察并指出哪些是軸對(duì)稱圖形，哪些圖形成軸對(duì)稱．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念與軸對(duì)稱的概念；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念與軸對(duì)稱的概念可作答．軸對(duì)稱的概念：把其中的一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個(gè)圖形重合．軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：圖（1）（3）（4）（6）（8）（10）是軸對(duì)稱圖形；圖（2）（5）（7）（9）成軸對(duì)稱．6．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)和直線．（1）在直線上求作一點(diǎn)，使最短；（2）請(qǐng)?jiān)谥本€上任取一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接和，試說(shuō)明．

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，做點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線與點(diǎn)P即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊即可證得．【詳解】（1）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，則點(diǎn)即為所求，作圖如下：

（2）在直線上任取另一點(diǎn)，連接、、，∵點(diǎn)與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，點(diǎn)在直線上，∴，，∵，∴即，∴，∴最?。?/p>

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，“將軍飲馬”模型求同側(cè)線段之和最短，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，掌握點(diǎn)的對(duì)稱性和兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．【典型例題三根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解】1．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）與關(guān)于直線對(duì)稱，如果的面積是，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，直接利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得的面積．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴與互相重合，∵的面積是，∴的面積是，故選B2．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段相等即可解答．【詳解】解：∵與關(guān)于直線l對(duì)稱，∴，故選：A．3．（23-24七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，以虛線為對(duì)稱軸，那么“甲”字的對(duì)稱圖形是字．【答案】由【分析】本題考查作圖軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：“甲”字的對(duì)稱圖形是“由”字，故答案為：由4．（23-24八年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)四邊形關(guān)于某條直線對(duì)稱，根據(jù)圖中提供的條件則，．【答案】570°/度【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等可得出答案．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，，，，．5．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱．與的交點(diǎn)在直線上．(1)指出與的對(duì)稱點(diǎn)；(2)指出與中相等的線段和角；(3)圖中還有能形成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形嗎？【答案】(1)(2)，(3)與與也都關(guān)于直線成軸對(duì)稱【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)互相重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)可得答案；（2）根據(jù)互相重合的角與邊可得答案；（3）根據(jù)能夠互相重合的三角形可得答案．【詳解】（1）解：∵與關(guān)于直線對(duì)稱．∴對(duì)稱點(diǎn)分別是：；（2）解：∵與關(guān)于直線對(duì)稱．∴，（3）解：圖中與與也都關(guān)于直線成軸對(duì)稱．6．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，其中，，，．(1)你認(rèn)為點(diǎn)A與點(diǎn)D有何關(guān)系？連接，則線段與直線有何關(guān)系？(2)求的度數(shù)．【答案】(1)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，線段被直線垂直平分(2)【分析】本題考查成軸對(duì)稱的性質(zhì)．（1）根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分，作答即可；（2）根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等，作答即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，線段被直線垂直平分．（2）解：因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所以．【典型例題四臺(tái)球桌面上的軸對(duì)稱問(wèn)題】1．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，球沿圖中箭頭方向擊出后碰到桌子的邊緣會(huì)反彈，其中叫做入射角，叫做反射線，如果每次的入射角總是等于反射角，那么球最后將落入桌子四個(gè)頂角處的球袋中的（

）A．號(hào)袋 B．號(hào)袋 C．號(hào)袋 D．號(hào)袋【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖示可直接得到答案．【詳解】解：如圖所示：球最后將落入桌子四個(gè)頂角處的球袋中的C號(hào)袋中，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，解題的關(guān)鍵是掌握每次的入射角總是等于反射角．2．（22-23八年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【答案】A【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)P，∵2022÷6=337，∴當(dāng)點(diǎn)P第2022次碰到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的最后一次反彈，∴第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)P，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在一個(gè)規(guī)格為(即個(gè)小正方形)的球臺(tái)上，有兩個(gè)小球.若擊打小球，經(jīng)過(guò)球臺(tái)邊的反彈后，恰好擊中小球，那么小球擊出時(shí)，應(yīng)瞄準(zhǔn)球臺(tái)邊上的點(diǎn).【答案】P2【分析】認(rèn)真讀題，作出點(diǎn)A關(guān)于P1P2所在直線的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與P1P2的交點(diǎn)即為應(yīng)瞄準(zhǔn)的點(diǎn)．【詳解】如圖，應(yīng)瞄準(zhǔn)球臺(tái)邊上的點(diǎn)P2．故答案為：P2.【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象問(wèn)題；解決本題的關(guān)鍵是理解擊球問(wèn)題屬于求最短路線問(wèn)題．4．（2023·廣東佛山·一模）如圖，在矩形中，，一發(fā)光電子開(kāi)始置于邊的點(diǎn)處，并設(shè)定此時(shí)為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著方向發(fā)射，碰撞到矩形的邊時(shí)均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過(guò)2021次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是．【答案】673【分析】根據(jù)題意易得發(fā)光電子經(jīng)過(guò)六次回到點(diǎn)P，進(jìn)而根據(jù)此規(guī)律可進(jìn)行求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得如圖所示：由圖可知發(fā)光電子經(jīng)過(guò)六次回到點(diǎn)P，則發(fā)光電子與AB邊碰撞的次數(shù)為2次，∴，∴發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過(guò)2021次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是（次）；故答案為673．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級(jí)下·山西臨汾·期末）如圖，汾河岸邊有A，B兩個(gè)住宅小區(qū)，恒富然氣公司想在汾河邊L上修建一個(gè)天然氣站，問(wèn)天然氣站位置選在什么地方時(shí)，才能使管道鋪設(shè)用材最少？（寫出畫法，并保留痕跡）【答案】見(jiàn)解析．【分析】直接利用軸對(duì)稱求最短路線方法得出天然氣站的位置．【詳解】如圖所示：首先作出A點(diǎn)關(guān)于汾河邊L的對(duì)稱點(diǎn)A′，再連接A′B，A′B與汾河邊L的交點(diǎn)處就是P處，即天然氣站位置．．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A，B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．6．（22-23八年級(jí)上·北京·期中）如圖，長(zhǎng)方形臺(tái)球桌上有兩個(gè)球P，Q．

(1)請(qǐng)畫出一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊反彈后，正好撞到球Q；(2)請(qǐng)畫出一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊，經(jīng)過(guò)兩次反彈后，正好撞到球Q．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）作點(diǎn)P關(guān)于是對(duì)稱點(diǎn)，連接′交于M，點(diǎn)M即為所求．（2）作點(diǎn)P關(guān)于是對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于E，交于F，點(diǎn)E，點(diǎn)F即為所求．【詳解】（1）解：如圖，運(yùn)動(dòng)路徑：，點(diǎn)M即為所求．

（2）解：如圖，運(yùn)動(dòng)路徑：，點(diǎn)E，點(diǎn)F即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決實(shí)際問(wèn)題．【典型例題五折疊問(wèn)題】1．（23-24七年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，將沿直線折疊后，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，已知的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．證明，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)可得答案．【詳解】解：根據(jù)折疊可得，∵的周長(zhǎng)為，，∴，∴．故選A．2．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖1，有一張長(zhǎng)、寬分別為9和4的長(zhǎng)方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到如圖2所示的圖形，然后沿圖2中的虛線剪開(kāi)，得到兩部分，其中一部分展開(kāi)后的平面圖形可以是圖3中的（

）A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用，動(dòng)手實(shí)踐是解此類題的關(guān)鍵.由剪去的三角形與展開(kāi)后的平面圖形中的三角形是相同的三角形，觀察形成的圖案是否符合要求判斷即可．【詳解】解：圖中，圖③不符合題意，圖④中的4個(gè)三角形與圖2中剪去的三角形不全等．故選C．3．（22-23七年級(jí)上·廣西來(lái)賓·期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，已知，則的度數(shù)為．【答案】/110度【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，由折疊得出是解題關(guān)鍵．由折疊求出，進(jìn)而由求解即可．【詳解】解：由折疊可知，所以．故答案為：110°．4．（22-23八年級(jí)上·天津和平·期中）如圖的三角形紙片中，，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△ADE的周長(zhǎng)為．【答案】7【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊前后對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，從而，再由的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，的周長(zhǎng)．故答案為：5．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊前和折疊后對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵，由平行的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)可得，再進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵，∴，由折疊性質(zhì)知，，∴．6．（23-24七年級(jí)上·山東德州·期末）已知長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)，，分別在邊，，上，將三角形沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，將三角形沿翻折，點(diǎn)落在處．

(1)點(diǎn)，，共線時(shí)，如圖，求的度數(shù)；(2)點(diǎn)，，不共線時(shí)，如圖，圖，設(shè)，，請(qǐng)分別寫出，滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)圖：，圖：，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查圖形折疊的性質(zhì)：（1）根據(jù)，，結(jié)合即可求得答案；（2）在圖中，，則，圖同理．【詳解】（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得，，．．（2）如圖，結(jié)論：．理由如下：根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得，．，，．．．如圖，結(jié)論：．理由如下：根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得，．，，．．．【典型例題六線段垂直平分線的性質(zhì)】1．（2024·福建廈門·二模）如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)D．若，則點(diǎn)D到點(diǎn)B的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，即可．【詳解】解：∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)D，∴；故選B．2．（23-24七年級(jí)下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒?，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘模ǎ〢．三邊中垂線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個(gè)人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．所以凳子應(yīng)放在的三條垂直平分線（即三邊中垂線）的交點(diǎn)最適當(dāng)．故選：A．3．（23-24七年級(jí)下·上海金山·期中）如圖，如果直線是線段的垂直平分線，垂足為O，且，那么．【答案】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的定義，由定義可得，．【詳解】解：∵直線是線段的垂直平分線，垂足為O，且，∴，，故答案為：4．（23-24八年級(jí)下·廣東梅州·期中）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，連接，若，，則的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查垂直平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，則，根據(jù)，即可．【詳解】∵是的垂直平分線，∴，∵，，∴．故答案為：．5．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于E，交于D，的周長(zhǎng)為，，求的周長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，AD=CD，根據(jù)的周長(zhǎng)為，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)以及，可得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求得周長(zhǎng)【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴的周長(zhǎng)，又∵，∴，∴的周長(zhǎng)．6．（22-23八年級(jí)下·廣東惠州·期中）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)是垂足，求的周長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和線段間的關(guān)系求解即可．【詳解】的垂直平分線交于點(diǎn)，，，，的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握該性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【典型例題七線段垂直平分線的判定】1．（23-24八年級(jí)下·四川眉山·期中）到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn)B．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)C．三條中線交點(diǎn)D．三條高交點(diǎn)【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．利用線段垂直平分線的性質(zhì)可確定三角形中到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)滿足的條件．【詳解】解：三角形三條邊垂直平分線交點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等．故選：A．2．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期中）如圖，，，則正確的結(jié)論是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．以上說(shuō)法都正確【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟知到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴垂直平分，根據(jù)現(xiàn)有條件，無(wú)法證明垂直平分，故選A．3．（23-24八年級(jí)上·上海黃浦·期末）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是．【答案】直線【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，由于該圓圓心到點(diǎn)P和到點(diǎn)Q的距離相等，則到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，據(jù)此可得經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是直線．【詳解】解：∵一個(gè)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，∴該圓圓心到點(diǎn)P和到點(diǎn)Q的距離相等，∴該圓圓心在線段的垂直平分線上，∴經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是直線，故答案為：直線．4．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）M、N、A、B是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，如果，，則點(diǎn)、在線段的垂直平分線上．【答案】MN【分析】根據(jù)到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，可得點(diǎn)M、N都在AB的垂直平分線上．【詳解】解：∵∴點(diǎn)M在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)N在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)M、N在線段的垂直平分線上．故填M、N、AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線定理，掌握到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解答本題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點(diǎn)P，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了線段的垂直平分線的作法．作線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，連接即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的判定．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求作．

6．（22-23八年級(jí)上·廣東潮州·期中）已知：如圖，，，點(diǎn)在上．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理說(shuō)明是線段的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得出答案．【詳解】證明：如圖，連接，

∵，∴點(diǎn)A是線段垂直平分線上的點(diǎn)．∵，∴點(diǎn)D是線段垂直平分線上的點(diǎn)，∴是線段垂直平分線，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理，靈活的應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．【典型例題八作已知線段的垂直平分錢】1．（23-24八年級(jí)下·廣東梅州·期中）聯(lián)歡會(huì)上，三名同學(xué)分別站在銳角的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，玩“搶凳子”的游戲，游戲要求在內(nèi)放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，凳子最適合擺放的位置是的（

）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個(gè)人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．所以凳子應(yīng)放在的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng)．故選：A．2．（22-23八年級(jí)上·山東聊城·期末）如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉(cāng)，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置應(yīng)選在（

）

A．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊上高的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的垂直平分線，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線上的點(diǎn)到兩端的距離相等，三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵中轉(zhuǎn)倉(cāng)到A、B、C三地的距離相等，∴應(yīng)建在三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．3．（22-23八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）MN是線段AB的垂直平分線，AB長(zhǎng)為16cm，則點(diǎn)A到MN的距離是cm．【答案】8【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出AD=BD,AD⊥MN,求出AD長(zhǎng)即可【詳解】如下圖∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線,AB=16∴AD=BD=AB=8cm.AD⊥MN，即點(diǎn)A到MN的距離是8cm,故答案為:8【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)線段垂直平分線性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離的理解和運(yùn)用，熟悉垂直平分線概念是解題關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)上·北京·期中）如圖，在中，是的垂直平分線，若，的周長(zhǎng)是，則的周長(zhǎng)是cm．【答案】【分析】的周長(zhǎng)是，，所以求的周長(zhǎng)其實(shí)就是求，由此即可求出答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，且，∴，，即，∵的周長(zhǎng)是，即，∴，∵的周長(zhǎng)是，，∴的周長(zhǎng)是，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)垂直平分線的性質(zhì)將所求線段轉(zhuǎn)化為已知線段的關(guān)系．5．（22-23八年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，在中，連接AC，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在線段AC上找一點(diǎn)F，連接BF，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】作的垂直平分線交于點(diǎn)F即可【詳解】解：要使，則F為垂直平分線上一點(diǎn)，即作的垂直平分線與的交點(diǎn)即為所求，分別以為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)作直線，與的交點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線；解題的關(guān)鍵是熟練掌握作圖方法．6．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）有一段關(guān)于古代藏寶圖的記載（如圖）：“從赤石向一棵杉樹(shù)筆直走去，恰好在其連線中點(diǎn)處向右轉(zhuǎn)前進(jìn)，到達(dá)唐伽山山腳的一個(gè)洞穴，寶物就在洞穴中．”怎樣根據(jù)這段記載找到藏寶洞穴的位置？在圖上標(biāo)出藏寶洞穴的位置．【答案】連接赤石與杉樹(shù)，形成一條線段，作線段的垂直平分線，交唐伽山所在位置一點(diǎn)，該點(diǎn)即為洞穴的位置；圖見(jiàn)解析【分析】連接赤石與杉樹(shù)，形成一條線段，作線段的垂直平分線，交唐伽山所在位置一點(diǎn)，該點(diǎn)即為洞穴的位置；【詳解】解：連接赤石與杉樹(shù)，形成一條線段，作線段的垂直平分線，交唐伽山所在位置一點(diǎn)，該點(diǎn)即為洞穴的位置，如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線．熟練掌握中垂線的作圖方法，是解題的關(guān)鍵．【典型例題九作垂線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）觀察如圖作圖痕跡，所作為的邊上的（

）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．中垂線【答案】B【分析】本題考查過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，能掌握基本尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)作圖過(guò)程，可得所作線段為邊上的高線，故選B．2．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在平面內(nèi)，使用尺規(guī)過(guò)一點(diǎn)P作直線的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷（

）A．點(diǎn)P在點(diǎn)O處 B．點(diǎn)P在點(diǎn)A處C．點(diǎn)P在點(diǎn)B處 D．無(wú)法確定點(diǎn)P的位置【答案】A【分析】本題考查了用尺規(guī)作直線的垂線，熟練掌握做法和原理是解題的關(guān)鍵．利用尺規(guī)作直線的垂線的方法解答即可．【詳解】解：由畫圖痕跡可得：于點(diǎn)O，點(diǎn)P在點(diǎn)O處．故選：A．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，在某條公路的同旁有兩座城市A、B，為了方便市民就醫(yī)治療，政府決定在公路邊建一所醫(yī)院，這所醫(yī)院建在什么地方，能使兩座城市到這所醫(yī)院的路程一樣長(zhǎng)？（不用寫做法，保留作圖痕跡）

【答案】見(jiàn)解析【分析】由題意可知醫(yī)院要滿足兩個(gè)條件：一是在公路上；二是到兩個(gè)城市的距離相等；進(jìn)而可以想到：到線段兩端點(diǎn)的距離的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖：

作的垂直平分線，交公路為點(diǎn)，則點(diǎn)為醫(yī)院．理由：垂直平分線的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)會(huì)尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．4．（22-23七年級(jí)下·山東青島·期末）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，作直線，交邊于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)為．【答案】18【分析】由題意可得MN為AB的垂直平分線，所以AD=BD，進(jìn)一步可以求出△ACD的周長(zhǎng).【詳解】解：∵在△ABC中，分別以A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于M，N，作直線MN，交BC邊于D，連接AD；∴MN為AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴△ACD的周長(zhǎng)為：AD+DC+AC=BC+AC=11+7=18.故答案為：18.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是垂直平分線的運(yùn)用，掌握垂直平分線的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．（23-24八年級(jí)上·江西上饒·期中）如圖，在中，利用尺規(guī)作圖作出的中線．不寫作法，但要保留作圖痕跡．

【答案】圖見(jiàn)解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖，作垂線．作的中垂線，交于點(diǎn)，連接，即為所求．掌握垂線的作圖方法，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，直線即為所求；

6．（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，一輛汽車在筆直的公路上由A向B行駛，M，N分別是位于公路兩側(cè)的村莊，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法，在上找一點(diǎn)C，使得汽車行駛到C處時(shí)，到村莊M，N的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】連接，作線段的垂直平分線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求．【詳解】解：如圖，點(diǎn)C即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖，復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題．【變式訓(xùn)練1軸對(duì)稱圖形的識(shí)別】1．（2024·山西晉城·三模）數(shù)學(xué)符號(hào)能使數(shù)學(xué)語(yǔ)言在形式上一目了然，簡(jiǎn)明準(zhǔn)確，它為表述和論證數(shù)學(xué)理論帶來(lái)了極大的方便．下列數(shù)學(xué)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．軸對(duì)稱圖形：一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：A、B、C均找不到一條直線，使A、B、C沿該直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，故A、B、C不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D能找到一條直線，使D沿該直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，故D是軸對(duì)稱圖形，符合題意；故選：D．2．（23-24七年級(jí)下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形及旋轉(zhuǎn)圖形的判斷問(wèn)題，掌握“如果沿某一條直線對(duì)折，左右兩邊能完全重合，則這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形”是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）粗圓體的漢字“口，品，土”等多是軸對(duì)稱圖形．請(qǐng)?jiān)賹懗鲋辽偃齻€(gè)以上這樣的漢字．【答案】十，中，日（答案不唯一）【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義寫出三個(gè)即可．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的定義，軸對(duì)稱圖形的漢字：十，中，日．故答案為：十，中，日（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握若一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南株洲·一模）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的有個(gè)．【答案】2【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，是軸對(duì)稱圖形的有：∴是軸對(duì)稱圖形的有2個(gè)故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．5．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖（1）～（10）所示的圖案都是對(duì)稱圖形（其中（2）（5）（7）（9）表示兩個(gè)圖形），請(qǐng)觀察并指出，哪些圖案是軸對(duì)稱圖形？哪些圖案成軸對(duì)稱？

【答案】軸對(duì)稱圖形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的有（2）（5）（7）（9）【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知，軸對(duì)稱圖形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的有（2）（5）（7）（9）．6．（22-23八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是單位1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（即這些小正方形的頂點(diǎn)）上，且它們的坐標(biāo)分別是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D坐標(biāo)系中畫出△ABC；（2）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C'，并寫出△A'B'C'各頂點(diǎn)坐標(biāo)?！敬鸢浮浚?）圖見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)【分析】（1）在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，順次連接各點(diǎn)即可；（2）分別作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接，并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可；【詳解】（1）如圖，△ABC為所求；（2）如圖，△A'B'C'為所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖?軸對(duì)稱變換，熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷】1．（22-23八年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，若與關(guān)于直線MN對(duì)稱，交MN于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵與關(guān)于直線MN對(duì)稱，交MN于點(diǎn)O，∴，，，但不一定相等，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)：軸對(duì)稱兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北秦皇島·三模）如圖是嘉嘉把紙折疊后剪出的圖案，將剪紙展開(kāi)后得到的圖案是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖是嘉嘉把紙折疊后剪出的圖案，將剪紙展開(kāi)后得到的圖案是選項(xiàng)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，剪紙問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．3．（22-23七年級(jí)下·廣東茂名·期末）已知點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于直線m成軸對(duì)稱，則與直線m的位置關(guān)系是．【答案】垂直【分析】點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于直線m成軸對(duì)稱，即線段關(guān)于直線m成軸對(duì)稱；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，有直線m垂直平分．【詳解】解：點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于直線m成軸對(duì)稱，則直線m和線段的位置關(guān)系是：直線m垂直平分．故答案為：垂直．【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)稱軸的定義，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸．4．（22-23七年級(jí)下·山西·期末）如圖，直線l是對(duì)稱軸，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．

【答案】D【分析】軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，其中互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【詳解】由圖可得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義．5．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）作出下列各圖形的一條對(duì)稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱軸一樣嗎？【答案】見(jiàn)解析【分析】依據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是其對(duì)稱軸，據(jù)此即可解答．【詳解】解：根據(jù)分析畫各圖的對(duì)稱軸如下：．【點(diǎn)睛】本題考查了畫對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征，作一個(gè)圖形的對(duì)稱軸時(shí)，可連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸就是對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線．6．（22-23八年級(jí)上·廣東云浮·期末）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱．與的交點(diǎn)F在直線上．①指出兩個(gè)三角形中的對(duì)稱點(diǎn)；②指出圖中相等的線段和角；③圖中還有對(duì)稱的三角形嗎？

【答案】①；②；，；③與，與【分析】根據(jù)與關(guān)于直線對(duì)稱確定對(duì)稱點(diǎn)，從而確定對(duì)稱線段、對(duì)稱角和對(duì)稱三角形．【詳解】解：①對(duì)稱點(diǎn)是：，②相等的線段：，相等的角：，．③與，與，也都關(guān)于直線成軸對(duì)稱．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解軸對(duì)稱的圖形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練3根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解】1．（23-24八年級(jí)上·山西臨汾·期中）如圖，和關(guān)于直線l對(duì)稱，已知，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】B【分析】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到圖形全等，再根據(jù)全等的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對(duì)稱，∴，∴，故選B．2．（23-24八年級(jí)上·四川德陽(yáng)·期中）如圖，內(nèi)一點(diǎn)P，，分別是P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．若的周長(zhǎng)是，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，∴，，∴的周長(zhǎng)等于，故選A．3．（22-23八年級(jí)上·吉林松原·期末）已知點(diǎn)P（a，3）、Q（﹣2，b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b＝．【答案】-5【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)P（a，3）與點(diǎn)Q（﹣2，b）關(guān)于x軸對(duì)稱，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，難度適中．4．（22-23八年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖的三角形紙片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿過(guò)點(diǎn)C的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為CD，則△BED的周長(zhǎng)為．

【答案】8【分析】由折疊可得：再求解利用從而可得答案.【詳解】解：由折疊可得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握“成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊相等”是解本題的關(guān)鍵.5．（23-24八年級(jí)下·河南焦作·期中）牧羊人在某天發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有水有草的神秘三角地帶，（如圖）便想在公路邊上找一點(diǎn)，安營(yíng)扎寨，進(jìn)行牧羊．使每天牧羊時(shí)到草地邊上吃草，然后到小河邊處喝水，再跑回出發(fā)地休息．為使所跑路程最短，請(qǐng)你為牧羊人在公路上找一個(gè)合適的位置，并畫出線路圖．【答案】P點(diǎn)為安營(yíng)扎寨處，圖見(jiàn)解析【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)C作于P，過(guò)點(diǎn)P分別作和的對(duì)稱點(diǎn)，連接分別交和于點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)為安營(yíng)扎寨處．路線圖為．【詳解】解：如圖，P點(diǎn)為安營(yíng)扎寨處．路線圖為．6．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖所示，已知是內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)、分別相交于點(diǎn)、，已知．(1)求的周長(zhǎng)；(2)連接、，若，求．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式可得答案；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得答案；【詳解】（1）解：∵M(jìn)，N分別是點(diǎn)O關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴的周長(zhǎng)；（2）如圖，連接，，，∵M(jìn)，N分別是點(diǎn)O關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴．【變式訓(xùn)練4臺(tái)球桌面上的軸對(duì)稱問(wèn)題】1．（2023·浙江麗水·中考真題）如圖是一臺(tái)球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)桌邊反彈最后進(jìn)入球洞的序號(hào)是（

）A．① B．② C．⑤ D．⑥【答案】A【詳解】如圖，根據(jù)入射線與水平線的夾角等于反射線與水平線的夾角，可求最后落入①球洞．故選A．2．（22-23八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的是()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】D【分析】如下圖【詳解】如圖，由圖可知可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)為點(diǎn)D．故選D．3．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無(wú)處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證為．

【答案】【分析】本題考查了臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱問(wèn)題，根據(jù)圖形得出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：4．（23-24八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有M，N兩個(gè)球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個(gè)點(diǎn)中，可以反彈擊中N球的是點(diǎn)．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱的知識(shí)，注意結(jié)合圖形解答，不要憑空想象，實(shí)際操作一下．【詳解】解：如圖，可以瞄準(zhǔn)點(diǎn)擊球．故答案為：．5．（22-23七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），那么該球最后將落入哪一個(gè)球袋？說(shuō)明理由．

【答案】該球最后將落入2號(hào)球袋．理由見(jiàn)解析．【分析】由已知條件，由軸對(duì)稱的性質(zhì)畫圖即可得出結(jié)論．【詳解】該球最后將落入2號(hào)球袋．

理由：球擊到邊框上一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)和邊框垂直的直線就是球擊中邊框前后路徑的對(duì)稱軸，如圖所示，球擊中邊框反彈后的路徑為虛線，最后指向2號(hào)袋．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的知識(shí)；按要求畫出圖形是正確解答本題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知：如圖，是一個(gè)長(zhǎng)方形的臺(tái)球面，有、兩球分別位于圖中所在位置，試問(wèn)怎樣撞擊球，才能使先碰到臺(tái)邊反彈后再擊中球？在圖中畫出球的運(yùn)動(dòng)線路．【答案】見(jiàn)解析【分析】首先作出點(diǎn)A關(guān)于FC的對(duì)稱點(diǎn)，再連接交FC于點(diǎn)P，連接AP，PB，可得A球的運(yùn)動(dòng)路線．【詳解】如圖所示：運(yùn)動(dòng)路線：．【點(diǎn)睛】本題主要考查生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練5折疊問(wèn)題】1．（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)與邊中點(diǎn)重合，若，則的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，再求出，最后根據(jù)周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：沿折疊，使點(diǎn)與邊中點(diǎn)重合，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴的周長(zhǎng)為：，故選：B．2．（2024·江蘇無(wú)錫·一模）2024年7月26日至8月11日第33屆奧運(yùn)會(huì)在法國(guó)巴黎舉行，巴黎會(huì)徽的標(biāo)志如圖所示，通過(guò)一次翻折這個(gè)標(biāo)志得到的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了幾何變換的類型，翻折，根據(jù)翻折的定義可得答案．掌握翻折的定義是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：通過(guò)一次翻折這個(gè)標(biāo)志得到的圖形是：故選：．3．（23-24八年級(jí)下·江蘇淮安·期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿其對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)的位置．與交于點(diǎn)E．若，，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)．【答案】26【分析】本題考查了圖形的折疊問(wèn)題及長(zhǎng)方形的性質(zhì)．熟記翻折前后兩個(gè)圖形能夠重合找出相等的線段是解題的關(guān)鍵．陰影部分的周長(zhǎng)為，即矩形的周長(zhǎng)計(jì)算解題．【詳解】證明：∵四邊形為長(zhǎng)方形，∴，，由翻折可得，∴陰影部分的周長(zhǎng)為，故答案為：．4．（22-23七年級(jí)上·上海金山·期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，點(diǎn)E在邊上，連接，將沿折痕翻折，使點(diǎn)D落在邊上的處，如果，那么度【答案】28【分析】首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后根據(jù)平角的概念求解即可．【詳解】∵沿折痕翻折，使點(diǎn)D落在邊上的處，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，平角的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．5．（22-23七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙片沿折疊，若，求的度數(shù)．【答案】70°【分析】先根據(jù)平角的定義得到，再由折疊的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級(jí)下·山西·期末）圖1是一張三角形紙片ABC．將BC對(duì)折使得點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，如圖2，折痕與BC的交點(diǎn)記為D．（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出ΔABC的BC邊上的中線．（2）若AB=11cm、AC=16cm，求ΔACD與ΔABD的周長(zhǎng)差．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5厘米【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知BD=DC，然后連接AD即可；（2）由BD=DC可知△ABD與△ACD的周長(zhǎng)差等于AB與AC的差．【詳解】解：（1）連接AD，∵由翻折的性質(zhì)可知：BD=DC，∴AD是△ABC的中線．如圖所示：（2）∵BD=DC，∴△ADC的周長(zhǎng)-△ADB的周長(zhǎng)=AC+DC+AD-（AD+AB+DC）=AC-AB=16-11=5cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)，由翻折的性質(zhì)得到BD=DC是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6線段垂直平分線的性質(zhì)】1．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．已知的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．利用線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”可得，，然后利用等量代換可得的周長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解：是的垂直平分線，，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)，，，，的長(zhǎng)為；故選：C．2．（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，某學(xué)校欲增設(shè)一個(gè)籃球場(chǎng)，為了方便學(xué)生活動(dòng)，要求新建的籃球場(chǎng)到A點(diǎn)、B點(diǎn)和C點(diǎn)的距離均相等，則籃球場(chǎng)應(yīng)該建設(shè)在（

）A．兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 B．在兩邊中線的交點(diǎn)處C．在兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處 D．在兩邊高線的交點(diǎn)處【答案】A【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】作兩邊的垂直平分線，它們的交點(diǎn)是P，由線段的垂直平分線的性質(zhì)，，故選：A．3．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，垂直平分，垂直平分．若，，則的周長(zhǎng)為．

【答案】7【分析】由垂直平分線的性質(zhì)得到，，即可得到的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵垂直平分，，∴，∵垂直平分．，∴，∴的周長(zhǎng)為．故答案為：7【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)E，的垂直平分線交于點(diǎn)F，則的周長(zhǎng)為．【答案】2【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點(diǎn)E，的垂直平分線交，∴，∴的周長(zhǎng)為：．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用計(jì)算周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．

【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，再做差即可．【詳解】垂直平分線，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查利用垂直平分線性質(zhì)進(jìn)行邊長(zhǎng)計(jì)算，須注意線段位置，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，若△BCE的周長(zhǎng)為8，BC＝3，求AB的長(zhǎng)．

【答案】5【分析】先利用三角形周長(zhǎng)得到CE＋BE＝5，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC＝EA，然后利用等線段代換得到AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵△BCE的周長(zhǎng)為8，∴CE＋BE＋BC＝8，又∵BC＝3，∴CE＋BE＝5，又∵DE是AC的中垂線，∴EC＝EA，∴AB＝AE＋BE＝CE＋BE＝5．即AB的長(zhǎng)為5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【變式訓(xùn)練7線段垂直平分線的判定】1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（

）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條角平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查線段垂直平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．【詳解】解：∵到三角形的一邊的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這邊的垂直平分線上，∴到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．直線是的垂直平分線C．若，則直線是的垂直平分線D．若，則直線是的垂直平分線【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則點(diǎn)P在直線的垂直平分線上，若有，則直線是的垂直平分線，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)P在直線的垂直平分線上，∴若，則直線是的垂直平分線，故C說(shuō)法正確，符合題意根據(jù)先有條件無(wú)法證明A、B、D中的結(jié)論，故A、B、D說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．3．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）經(jīng)過(guò)線段并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的．【答案】中點(diǎn)垂直平分線【解析】略4．（22-23八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，一形狀為四邊形的風(fēng)箏（四邊形），測(cè)量得：，cm，cm，cm，則此風(fēng)箏的大小為（即四邊形的面積）cm2．

【答案】3360【分析】先證明是的垂直平分線，再利用對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積是對(duì)角線乘積的一半即可求解．【詳解】∵，cm∴是的垂直平分線．∴∴cm2故答案是3360．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的判定和對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積公式，證明對(duì)角線垂直和記憶公式是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，在中，是的垂直平分線，．求證：點(diǎn)在的垂直平分線上．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上成為解題的關(guān)鍵．如圖所示，連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可證明結(jié)論．【詳解】解：如圖：連接，∵是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．6．（23-24八年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，求證：是的垂直平分線．

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，利用條件證得是解題的關(guān)鍵．由垂直平分，可得，由D為中點(diǎn)，則可得，且F為的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論．【詳解】證明：垂直平分，，∵D為的中點(diǎn)，，，∵F為的中點(diǎn)，即,垂直平分．【變式訓(xùn)練8作已知線段的垂直平分錢】1．（23-24八年級(jí)下·山西晉中·期中）某市為了進(jìn)一步完善城市功能，提升城市形象，加強(qiáng)體育事業(yè)的發(fā)展，準(zhǔn)備修建一個(gè)大型體育中心，要求該體育中心所在位置與該市的三個(gè)城鎮(zhèn)中心（圖中以P，Q，R表示）的距離相等，則體育中心的位置應(yīng)選在（

）A．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處B．的三條角平分線的交點(diǎn)處C．的三條高線的交點(diǎn)處D．的三條中線的交點(diǎn)處【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線的應(yīng)用，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解，熟練掌握線段垂直平分線到兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：三角形三邊的垂直平分線到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，體育中心的位置應(yīng)選在三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，故選A．2．（23-24八年級(jí)上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）在聯(lián)歡會(huì)上，有、、三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首佑螒?，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘模?/p>

）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個(gè)人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．所以凳子應(yīng)放在的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng)．故選：B．3．（23-24八年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期中）如圖，中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)E，若，則的周長(zhǎng)為cm．【答案】12【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得邊相等，由結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式即可得求得．解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)．【詳解】解：∵邊的垂直平分線交邊于點(diǎn)D，邊的垂直平分線交邊于點(diǎn)E，∴，，∵，∴的周長(zhǎng)＝12，故答案為：12．4．（22-23八年級(jí)上·廣西玉林·期中）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交BC、AC于點(diǎn)D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC=10cm，則△ABD的周長(zhǎng)為cm．【答案】16【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA=DC，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=16（cm），故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）如圖．A，B是公路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車立站使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，你能確定公共汽車站應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)（尺規(guī)作圖，不寫作法、保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)詳解【分析】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，連接，的垂直平分線與公路的交點(diǎn)即是公共汽車站的位置，據(jù)此即可作答．【詳解】作圖如下：的垂直平分線與公路的交點(diǎn)P即是公共汽車站的位置．6．（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，一輛汽車在筆直的公路上由A向B行駛，M，N分別是位于公路兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車行駛到哪個(gè)位置時(shí)，與村莊M，N的距離相等．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】到M、N距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故其位置為線段的垂直平分線與公路的交點(diǎn)處．【詳解】解：（1）連接；（2）作線段的垂直平分線l，交直線于C點(diǎn)，則C點(diǎn)即為所求．由作圖可知：點(diǎn)C在的垂直平分線l上，∴．∴當(dāng)汽車行駛到哪點(diǎn)C時(shí)，與村莊M，N的距離相等．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，屬基本作圖題．【變式訓(xùn)練9作垂線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）下列關(guān)于過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線的尺規(guī)作圖中，作法不正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查尺規(guī)作圖—基本作圖，掌握五種基本作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】由基本作圖可知，選項(xiàng)A、C、D中所作直線均滿足題意，只有B選項(xiàng)不確定，故選B．2．（23-24八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，在中，分別以B，C兩點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，連接兩弧交點(diǎn)得到直線l，l分別交于E、F兩點(diǎn)，連接，若，，則的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．14 D．18【答案】C【分析】本題考查尺規(guī)作圖-中垂線及三角形的周長(zhǎng)，熟練掌握中垂線的尺規(guī)作圖方法和中垂線性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)題中尺規(guī)作圖可知是線段的中垂線，從而，則的周長(zhǎng)為即可得到答案．【詳解】解：由作法知是線段的中垂線，，，，，的周長(zhǎng)為．故選：C．3．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P、Q，作直線交于點(diǎn)D，連接，若的周長(zhǎng)為15，，則的周長(zhǎng)為．【答案】9【分析】根據(jù)題意得出是線段的垂直平分線，故可得出，然后根據(jù)的周長(zhǎng)得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得出是線段的垂直平分線，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為15，，∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．4．（22-23九年級(jí)上·河南開(kāi)封·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B、C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若AD=3，CD=2，則AB=．【答案】5【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DC=BD，再利用已知條件即可求得AB的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意可得：MN垂直平分BC，則CD=BD，∵AD=3，CD=2，∴AB=AD+BD=AD+CD=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)，得出CD=BD是解題關(guān)鍵．5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在斜邊上求作一點(diǎn)，連接，使得是斜邊上的中線．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、直角三角形斜邊上的中線，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．【詳解】解：如圖，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)O，連接，則是斜邊上的中線，則點(diǎn)O即為所求．6．（23-24七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，已知及上一點(diǎn)，求作直線，使經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且．

【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了利用尺規(guī)作圖—基本作圖，過(guò)點(diǎn)P作，再過(guò)點(diǎn)P作，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行，即可得直線即為所求．【詳解】解：如圖，直線即為所求．

1．（23-24七年級(jí)下·福建寧德·期末）下列圖形中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，只有選項(xiàng)B符合軸對(duì)稱圖形的定義，故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，與△關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①；②；③中，正確的有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D