7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征-人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)講義

第七章隨機(jī)變量及其分布第七章隨機(jī)變量及其分布知識(shí)點(diǎn)1-----知識(shí)點(diǎn)1-----離散型隨機(jī)變量的均值7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征1．離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為XP則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.2．兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)設(shè)X的分布列為，一般地，下面的結(jié)論成立:隨機(jī)變量的均值是一個(gè)確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動(dòng)，隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動(dòng)幅度一般會(huì)越來(lái)越小.因此，我們常用隨機(jī)變量的觀測(cè)值的均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值.注意注意:E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定.隨機(jī)變量X是可變的，可取不同的值,而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2-----離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：XP考慮X所有可能取值與的偏差的平方,，…,因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值的偏離程度，我們稱為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為2.幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論（1）（2）如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.方法突破方法突破求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的步驟:(1)明確離散型隨機(jī)變量的取值，以及取每個(gè)值的試驗(yàn)結(jié)果;(2)求出離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率;(3)列出分布列;(4)利用公式求出離散型隨機(jī)變量的均值E(X)與方差D(x).經(jīng)典例題經(jīng)典例題例題1.袋子中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出一個(gè)紅球的概率是13，依次從中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，累計(jì)2次摸到紅球即停止．記3次之內(nèi)（含3次）摸到紅球的次數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ（

）A.

2627

B.

2827

C.

8【答案】A【解析】由題意可得ξ的取值為0，1，2，P(ξ=0)=(1-1P(ξ所以數(shù)學(xué)期望Eξ=0故答案為：A首先得到隨機(jī)變量ξ的取值，再分別寫(xiě)出概率，再根據(jù)期望公式計(jì)算Eξ例題2.已知隨機(jī)變量Xi滿足P(Xi=1)=pi，P(XA.

E(X1)<E(X2)，D(X1)<D(X2)

B.

【答案】C【解析】依題意可知：X01P1pX01P1p由于12<p1<p2<1，不妨設(shè)p故答案為：C.例題3.已知隨機(jī)變量ξi滿足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<12A.

E(ξ1<)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B.

E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

C.

E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D.

E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)【答案】A【解析】∵E(ξ1)=p1,∵D(ξ∴D(ξ1)-D(ξ2)=(故答案為：A．例題4.某疫苗研發(fā)機(jī)構(gòu)將其生產(chǎn)的某款疫苗在征集的志愿者中進(jìn)行人體試驗(yàn)，現(xiàn)隨機(jī)選取100名試驗(yàn)者檢驗(yàn)結(jié)果并評(píng)分（滿分為100分），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求t的值，并估計(jì)所有試驗(yàn)者的平均得分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）據(jù)檢測(cè)，這100名試驗(yàn)者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率分別為12，13，14，若同時(shí)給此三人注射該疫苗，記此三人中產(chǎn)生抗體的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其期望值E【答案】（1）解：由(0.005+t+0.020+0.025+0.030+0.005)×10=1得平均得分=45×95×（2）解：由已知得：ξ=0，1，2，3，P(ξP(ξP(ξP(ξ則分布列為：ξ0123期望E(【解析】(1)結(jié)合已知條件由頻率分布柱狀圖中的數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)公式計(jì)算出答案即可。

(2)根據(jù)題意首先求出ξ的取值再由概率的公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的每一個(gè)ξ的概率值，由此即可得出分布列再把數(shù)值代入到期望公式計(jì)算出結(jié)果即可。例題5.隨著生活質(zhì)量的提升，家庭轎車保有量逐年遞增.方便之余卻加劇了交通擁堵和環(huán)保問(wèn)題.綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚，共享單車進(jìn)駐城市黃澤市有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示.2020年該市共享單車用戶年齡等級(jí)分布如圖1所示，一周內(nèi)市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示.若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”(20歲~391歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的經(jīng)常使用共享單車的稱為“單車族”.使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“非單車族”.已知在“單車族”中有56是“年輕人（1）現(xiàn)對(duì)該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為400的樣本，請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表年輕人非年輕人合計(jì)單車族非單車族合計(jì)（2）若將（1）中的頻率視為概率，從該市市民中隨機(jī)任取3人，設(shè)其中既是“單車族”又是“非年輕人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望參考數(shù)據(jù):獨(dú)立性檢驗(yàn)界值表P(0.150.100.050.0250.01k02.0722.7063.8415.02460635其中，n=a+b+【答案】（1）解：補(bǔ)全的列聯(lián)表如下:年輕人非年輕人合計(jì)單車族20040240非單車族12040160合計(jì)32080400∴K（K2即有95%的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)（2）解：由（1）的列聯(lián)表可知，既是“單車族”又是“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為40400即在抽取的用戶中既是“單車族”又是“非年輕人”的概率為0.1,隨機(jī)變量X可取0,1,2,3P(P(P(P(則X~∴XX0123P0.7290.2430.0270.001∴X的數(shù)學(xué)期望E【解析】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表，求出K2≈4.167>3.841，從而有95%的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān);

（2）既是“單車族”又是“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為10%，從而X～B（3，0.1），由此能出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E例題6.已知6只小白鼠中有且僅有2只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的小白鼠．血液化驗(yàn)呈陽(yáng)性即為患病，陰性為不患病，現(xiàn)將6只小白鼠隨機(jī)排序并化驗(yàn)血液，每次測(cè)1只，且得到前一只小白鼠的血液化驗(yàn)結(jié)果之后才化驗(yàn)下一只小白鼠的血液，直到能確定哪兩只小白鼠患病為止，并用X表示化驗(yàn)總次數(shù)．（1）在第一只小白鼠驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性的條件下，求X=3的概率；（2）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）解：Ai=“第i次驗(yàn)血結(jié)果呈陽(yáng)性”，i∈{1,2,3,4,5,6}，表示若A1發(fā)生，則需從2只患病小白鼠中選擇1故符合條件的排列順序共有C21A若A1與X=3同時(shí)發(fā)生，則其他位置可隨意排不患病的小白鼠，對(duì)應(yīng)的排列順序共有A22所以概率為P(（2）解：隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,5，可得P(XP(XP(X故P(故X的分布列是X2345P115215415815數(shù)學(xué)期望E(【解析】（1）由題意可得第一只陽(yáng)性且x=3對(duì)應(yīng)的可能事件為兩只患病小鼠在第一次和第三次測(cè)，其余4只任意排，求出對(duì)應(yīng)的結(jié)果數(shù)，再求出總的結(jié)果數(shù)，根據(jù)條件概率公式即可求解；

（2）求出X的可能取值，再求出對(duì)應(yīng)的概率，由此即可求解．隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)練習(xí)1.甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝2局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，則X的數(shù)學(xué)期望是（

A.

20183

B.

21483

C.

22481

D.

239練習(xí)2.已知甲口袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙口袋中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，現(xiàn)從甲，乙口袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個(gè)數(shù)為ξ，則Eξ=（

）A.

145

B.

135

C.

73

D.

8練習(xí)3.甲盒子裝有3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，乙盒中裝有1個(gè)紅球，3個(gè)黃球，同時(shí)從甲乙兩盒中取出i（i=1,2,3）個(gè)球交換，分別記甲乙兩個(gè)盒子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E1（i），E2（i），則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A.

E1（1）＞E2（1）

B.

E1（2）=E2（2）

C.

E1（1）+E2（1）=4

D.

E1（3）＜E2（1）練習(xí)4.某電子產(chǎn)品加工廠購(gòu)買配件M并進(jìn)行甲、乙兩道工序處理，若這兩道工序均處理成功，則該配件加工成型，可以直接進(jìn)入市場(chǎng)銷售；若這兩道工序均處理不成功，則該配件報(bào)廢；若這兩道工序只有一道工序處理成功，則該配件需要拿到丙部門檢修，若檢修合格，則該配件可以進(jìn)入市場(chǎng)銷售，若檢修不合格，則該配件報(bào)廢．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于任一配件M，甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立，且處理成功的概率分別為34，23，丙部門檢修合格的概率為12（1）求該工廠購(gòu)買的任一配件M可以進(jìn)入市場(chǎng)銷售的概率．（2）已知配件M的購(gòu)買價(jià)格為80元/個(gè)，甲、乙兩道工序的處理成本均為8元/個(gè)，丙部門的檢修成本為16元個(gè)，若配件M加工成型進(jìn)入市場(chǎng)銷售，售價(jià)可達(dá)200元/個(gè)；若配件M報(bào)廢，要虧損購(gòu)買成本以及加工成本．若市場(chǎng)大量需求配件M的成型產(chǎn)品，試估計(jì)該工廠加工5000個(gè)配件M的利潤(rùn)．（利潤(rùn)=售價(jià)-購(gòu)買價(jià)格-加工成本）練習(xí)5.太陽(yáng)能熱水器因節(jié)能環(huán)保而深受廣大消費(fèi)者的青睞，但它也有缺點(diǎn)——持續(xù)陰天或雨天便無(wú)法正常使用.為了解決這一缺陷，現(xiàn)在的太陽(yáng)能熱水器水箱上都安裝了輔助電加熱器，如果天氣不好或冬季水溫?zé)o法滿足需要時(shí)，就可以通過(guò)輔助電加熱器把水溫升高，方便用戶使用.某工廠響應(yīng)“節(jié)能減排”的號(hào)召，決定把原來(lái)給鍋爐加熱的電熱水器更換成電輔式太陽(yáng)能熱水器.電輔式太陽(yáng)能熱水器的耗電情況受當(dāng)天的日照時(shí)長(zhǎng)和日均氣溫影響，假設(shè)每天的日照情況和日均氣溫相互獨(dú)立，該電輔式太陽(yáng)能熱水器每日耗電情況如下表所示：日照情況日均氣溫不低于15℃日均氣溫低于15℃日照充足耗電0千瓦時(shí)耗電5千瓦時(shí)日照不足耗電5千瓦時(shí)耗電10千瓦時(shí)日照嚴(yán)重不足耗電15千瓦時(shí)耗電20千瓦時(shí)根據(jù)調(diào)查，當(dāng)?shù)孛刻烊照粘渥愕母怕蕿?5，日照不足的概率為25，日照嚴(yán)重不足的概率為15.2020年這一年的日均氣溫的頻率分布直方圖如圖所示，區(qū)間分組為[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，（1）求圖中a的值，并求一年中日均氣溫不低于15℃的頻率；（2）用頻率估計(jì)概率，已知該工廠原來(lái)的電熱水器平均每天耗電20千瓦時(shí)，試估計(jì)更換電輔式太陽(yáng)能熱水器后這一年能省多少電？（一年以365天計(jì)算）練習(xí)6.有編號(hào)為1，2，3的三只小球，和編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子，將三個(gè)小球逐個(gè)隨機(jī)的放入四個(gè)盒子中?每只球的放置相互獨(dú)立.（1）求三只小球恰在兩個(gè)盒子中的概率；（2）求三只小球在三個(gè)不同的盒子，且至少有兩個(gè)球的編號(hào)與所在盒子編號(hào)不同的概率；（3）記錄至少有一只球的盒子.以X表示這些盒子編號(hào)的最大值，求EX.參考答案參考答案練習(xí)1【答案】C【解析】用Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k則P(Ak)=X的所有可能取值為2,3,4,5，且P(XP(XP(XP故X的分布列為X2345P52108E(故答案為：C.練習(xí)2【答案】A【解析】ξ的可能取值為2,3,4.ξ=2表示從甲口袋中取出一個(gè)紅球，從乙口袋中取出一個(gè)白球，故Pξ=3表示從甲、乙口袋中各取出一個(gè)紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個(gè)白球，故Pξ=4表示從甲口袋中取出一個(gè)白球，從乙口袋中取出一個(gè)紅球，故P所以Eξ=2×9練習(xí)3【答案】D【解析】解：根據(jù)題意用X表示交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)，Y表示交換盒子后乙盒子中的紅球個(gè)數(shù)；

當(dāng)i=1時(shí)，就有P(X=2)=P(Y=2)=C31·C31C41·C41=916,P(X=4)=P(Y=0)=C11·C11C41·C41=116

練習(xí)4【答案】（1）解：記任一配件M加工成型可進(jìn)入市場(chǎng)銷售為事件A，甲、乙兩道工序分別處理成功為事件B，C，丙部門檢修合格為事件D．則P(A)=（2）解：設(shè)該工廠加工5000個(gè)配件M的利潤(rùn)為Y元，加工一個(gè)配件M的利潤(rùn)為X元，則Y=5000X由題可知X的所有可能取值為104，88，-96，-112，則P(XP(XP(XP(XX的分布列為X10488-96-112P12524112524∴E(X∴E(∴估計(jì)該工廠加工5000個(gè)配件M的利潤(rùn)為19.5萬(wàn)元【解析】（1）根據(jù)題意利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；

（2）結(jié)合已知條件設(shè)加工5000個(gè)配件M的利潤(rùn)為Y，加工一個(gè)配件M的利潤(rùn)為X，則Y=5000X，求X的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，即可得出答案．練習(xí)5【答案】（1）解：依題意得a=一年中日均氣溫不低于15℃的頻率為0.03×（2）解：這一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計(jì)值為34，一年中日均氣溫低于