廣東省深圳某中學2022-2023學年高一升高二暑假銜接講義

2022-2023學年度高一暑假銜接講義

目錄

第一講集合的概念和運算..........................................................1

檢測達標.........................................................................4

第二講函數(shù)及其表示..............................................................6

達標檢測.........................................................................9

第三講函數(shù)的圖像...............................................................11

達標檢測.........................................................................16

第四講二次函數(shù)與累函數(shù).........................................................18

達標檢測........................................................................22

第五講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)...........................................................24

達標檢測........................................................................28

第六講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)...........................................................30

達標檢測........................................................................34

第七講函數(shù)與方程...............................................................36

達標檢測........................................................................39

第八講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).....................................................42

達標訓練........................................................................47

第九講兩角和與差的正弦余弦和正切..............................................53

達標訓練........................................................................56

第十講正切恒等式..............................................................59

達標訓練........................................................................61

第十一講周期函數(shù)...........................................................63

達標訓練........................................................................70

第十二講向量的基礎知識........................................................74

達標訓練........................................................................76

第十三講共線之對面的女孩看過來................................................78

達標訓練........................................................................80

第十四講萬能的建系法求向量乘積問題............................................82

達標訓練........................................................................86

第一講集合的概念與運算

一、知識與方法

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；

(2)集合的分類：

①按元素個數(shù)分：有限集，無限集；

②按元素特征分;數(shù)集，點集。如數(shù)集{y[y=x3表示非負實數(shù)集，點集{(x,y)|y=x"

表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；

(3)集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N尸{0,1,2,3,…};②描

述法。

2、兩類關(guān)系：

(1)元素與集合的關(guān)系，用e或代表示；

(2)集合與集合的關(guān)系，用q,反，=表示，當AqB時，稱A是B的子集；當A*B時，

稱A是B的真子集。

3、集合運算

(1)交,并，補，定義：ACB={x|xGA且xGB},AUB={x|xGA,或x〈B},CtA={x|x

GU,且xeA},集合U表示全集；

(2)運算律，如AC(BUC)=(AAB)U(AAC),Cv(ACB)=(GA)U(QB),

CL.(AUB)=(GA)n(QB)等。

二、典型例題

類型一：集合的概念、性質(zhì)與運算

例1.設集合A/={x|—=x},N={x|lgx<0},則M_N=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-oo,l]

類型二：集合的兩種關(guān)系

例2、已知集合A={x|x?-2X-3<0,XG/?},B={x|x2-Imx+rri1-4<0,XG/?)

(1)若Ac8=[l,3],求實數(shù)”的值；

(2)若AGC/乃，求實數(shù)加的取值范圍。

2

【變式】設2011G{x,岳,x},則滿足條件的所有x組成的集合的真子集的個數(shù)為

)

A.3B.4

C.7D.8

例3.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+l)(x—2)<O,xeZ},則4B=()

(A){1}(B){1,2}(C){0,123}(D){-1,0,123}

【變式1】若集合A={y|y=3x+l},B={x1y=Jl-f},貝！|AAB=()

A.0B.[-1,0)

C.(0,1]D.[-1,1]

類型三：分類討論的集合問題__________________

例4.設函數(shù)/(x)=y/x2-2(a-l)x+h2的定義域為D。(1)

?e{1,2,3,4},/?G{1,2,3},求使。=/?的概率；(2)?e[0,4],/?e[0,3],求使￡>=R

的概率.

【變式】己知集合4={1,2,3,4},3={丫|丫=3犬-2,犬€4},則AB=()

(A){1}(B){4}(C){1,3}(D){1,4}

檢測達標

一.選擇題

k1k1

L設集合M={x\x=—+—,kGZ}，N={x|x=—+—￡Z}，則

2442

()

A.M=NB.M<=NC.M^ND.M^N=?

2.設集合4=卜||%—1]<2},8=卜|曠=2*廣€[0,2]},則4|"|8=()

A..[0,2]B.(1,3)C.[1,3).D.(1,4)

3設集合A={yIy=2,XGR},B={XIx"-1<0},則AB_

(A)(-1,1)(B)(0,1)(C)(-1M)(D)(0,+oo)

4.設集合4={劃—2?x<2},Z為整數(shù)集，則AIZ中元素的個數(shù)是

(A)3(B)4(C)5(D)6

5.已知集合A={x|/一x—2W0},集合8為整數(shù)集，則AcB=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}

6.已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+l),若MPlN={-3},則a的值是

()

A-1B0C1D2

7.對任意實數(shù)x,若不等式|x+2|+|x+l|>上恒成立，則實數(shù)%的取值范圍是

()

Ak》lBk>1CkWlDk<1

8.一元二次方程以2+2》+1=0,(。聲0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是：

()

A.a<°B.a>0C.。<-1D,a>1

9.設命題甲：a?+2公+1>0的解集是實數(shù)集R；命題乙：0<a<1,則命題甲是命題乙

成立的

()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

10.函數(shù)f(x)=1''其中P,M,為實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定

—eM,

f(P)={y|y=f(x),xGP},f(M)={y|y=f(x),xGM}.給出下列四個判斷:

①若pnM=0,則f(p)nf(M)=0；②若PCIMW0,則f(p)nf(M)w0；

③若PUM=R,則f(P)Uf(M)=R；④若PUMKR,則f(P)Uf(M)#R.

其中正確判斷有，()

A0個B1個C2個D4個

二.填空題

11.已知集合人={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},則ADB=.

12.拋物線f(x)=x2-6x+l的對稱軸方程是.

13.已知集合A={1,2,3},8={2,4,5},則集合AU8中元素的個數(shù)為.

14.設二次函數(shù)加:+。（。工0）,若/。。二八乙）（其中玉，則

/盧；々）等于_____.

三.解答題

15.用反證法證明：已知x,yeR,且x+y>2,則x,y中至少有一個大于1。

16.設全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x||x|=y+2,yGA),求CUB,

AAB,AUB,AU(CUB),AA(CUB),CU(AUB),(CUA)A(CUB).

17.若不等式辦2+飯+2>0的解集為求。+匕的值

18.已知集合A=MY—5X+6=O},B{x|mx+l=0},且=求實數(shù)優(yōu)的值組

成的集合。

第二講函數(shù)及其表示

一、知識與方法

1、函數(shù)的概念

設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系/,使對于集合A中的任意一個

x,在集合B中都有唯一的值與它對應，那么稱/：A->8為從集合A到集合8的一個函

數(shù)。記作:y=/(%).

其中“叫做自變量“y叫做函數(shù)，自變量》的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域，

與x的值對應的丁值叫做函數(shù)值，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合C={y|y=f(x),xeA}叫做這

個函數(shù)的值域。

2、函數(shù)的三要素

函數(shù)的三要素是定義域、值域、對應法則，在這三要素中，由于值域可由定義域和對應

法則唯一確定，故也可說函,數(shù)只有兩個要素。

3、兩個函數(shù)能成為同一函數(shù)的條件

當且僅當兩,個函數(shù)的定義域和對應法則完全相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)。

4、區(qū)間的概念和記號

設且a<b,我們規(guī)定：

(1)滿足不等式aWxKh的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為［。,可。

(2)滿足不等式a<x<6的實數(shù)》的集合叫做開區(qū)間，表示為(。,份。

(3)滿足不等式或的實數(shù)》的集合叫做半閉半開區(qū)間,分別表示為

［a,b)和(a,h］。這里的實數(shù).和匕叫做相應區(qū)間的端點。

(4)實數(shù)R可以用區(qū)間表示為(一00,+00),“00”讀作“無窮大”，“一00”讀作“負

無窮大”，“+8”讀作“正無窮大”。我們可以把滿足xNa的實數(shù)x表示為［a,+8)

5、函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種。(1)解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系用代數(shù)式來表達，

這個等式叫做函數(shù)的解析表達式.，簡稱解析式。(2)列表法：就是列出自變量與對應的函

數(shù)值的表來表達函數(shù)關(guān)系的方法。(3)圖像法：用圖像來表示兩個變量間的函數(shù)關(guān)系。

6、分段函數(shù)

在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量的.不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，則稱這個函數(shù)

為分段函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)。分段函數(shù)書寫時，注意格式規(guī)范，一

般在左邊的區(qū)間寫在上面，右邊的區(qū)間寫在下面，每一段自變量的取值范圍的交集為空集，

所有段的自變量的取值范圍的并集是函數(shù)的定義域。

7、求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)

(1)分式的分母不能等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)必須大于等于零；(3)對數(shù)

函數(shù)y=log“x的真數(shù)x>0；(4)指數(shù)函數(shù)y=a*和對數(shù)函數(shù)y=log“尤的底數(shù)a>0且

awl；(5)零次皋的底數(shù)XHO；(6)函數(shù)y=tanx的定義域是

TT

{x\x^k7T+^々ez}；(7)由實際問題確定函數(shù)的定義域，不僅要考慮解析式有意義,

還要有實際意義。

二、典型例題

類型一：函數(shù)的概念

例1.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是。

⑴/(x)=2x+l，g(y)=2y+l；(2)/(x)=lgx2,g(x)=21gx；

(3)/(x)=|x|,g(r)=VP*；(4)/(X)=X,/(X)=A/?O

【變式】下面各組函數(shù)中為相同函數(shù)的是()_______

A、/(X)=J(XT)2,g(x)=|x-x°|B、/(x)=J(x-1)2,g(x)=Jx+1Jx-1

C、/(x)=J=-l)2,g⑺=|r—l|D、g(f)=X^.

VX+26+2

例2.已知/(x)是一次函數(shù)，且滿足3/。+1)-2/0—1)=21+17,求/(x)

【變式】已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出:

X123X123

f(x)131"上)321

則滿足/1(刈>g[/(x)]的X的值是.

類型二：函數(shù)的定義域

例3.求下列函數(shù)的定義域

(Dy=---+V%2-1：⑵y=—^+(5x-4)°；

2-|x|-lg(2x-l)

【變式】已知函數(shù)/(x)='3±l的定義域是定則實數(shù)。的取值范圍是()

a^C+QX—3

A.a>—B.-I2VQ<0C.-12va40D.—

33

【變式3】若/(-4+3*-1)的定義域為[-2,2],求f(x)的定義域。

例4.已知/(x)的定義域為(0,8),求/(f-2x)的定義域.

【變式】設函數(shù)/'(x)=ln匕二則函數(shù)g(x)=/(')+/(')的定義域是

l-x2x

類型三：分段函數(shù)

2x+3(x>0)

例5.已知函數(shù)/(x)=1-x+3(-l?x<0),求：

4尤2(x<-l)

(1)2)］的值;(2)y=/(x)的定義域、值域。

,3x+lxN0[2-x2x<1

【變式】設公）=/I，8爪2Z'則加⑶1=

g"(-，=

達標檢測

一、選擇題

1.已知函數(shù)y=萬工的定義域為M,集合N={x|y=lg(x—1)},貝ij

/nN=()

A.[0,2)B.(0,2)C.{1,2)D.(1,2]

2.下列與函數(shù)y=x是同一函數(shù)的是()

A.y=yJx2B.y=——C.y=a'°SaXD.y=log?ax

X

3、設f{x)=1g|三十，則/仁)+/仁)的定義域為()

A.(-4,0)U(0,4)B.(-4,-l)U(l,4)

C.(-2-1)11(1,2)D.(-4,-2)U(2,4)

l+log?(2-x),x<1,

4,設函數(shù)/(x)=JY,/(-2)+/(log212)=()

2,x21,

A.3B.6C.9D.12

x

5、函數(shù)y=?的圖象是()

6、在R上定義的函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，且/(x)=/(2—x),若/(x)在區(qū)間［1,2］上是

減函數(shù)，則/(x)()

A.在區(qū)間［—2,-1］上是增函數(shù),在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間［—2,—1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間［—2,-1［上是減函數(shù),在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

,sin(兀X)-1<x<0_

7、函數(shù)f(x)=《，若f(l)+f(a)=2,則a的所有可能值為

5x>0

)

V2

A.1B.Vc.1iy—立D.1,

22V

8、若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-8,0)上是減函數(shù)，且f(2)=0,則使f(x)<0

的x的取值范圍是()

A.(一8,2)B.(2,+8)C.(一8,2)U⑵+8)D.(—2,2)

9、已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，且當x>0時f(x)=L則當x<一2

X

時,f(x)=()

A.——B.--—C.1-----D.------

xx+2x+2x-2

10、已知.f(x)是R上的減函數(shù),且y=f(x)的圖象經(jīng)過點A(0,1)和點B(3,—1),則不等

式+的解集為()

A.(-1,2)B.(0,3)C.(—8,-2)D.(一8,3)

,2

xH-----3,xN1

11.已知函數(shù)/5)={X，則/(/(—3))=,/(幻的最小值

lg(x2+1),X<1

是.

12、若函數(shù)/(x)=eY"“)2(e是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是加，且/(x)是偶函數(shù)，

則加+〃=.

13、若函數(shù)f(x)=log2?一l|(a#o)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則a=

14、已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=g(x),若f⑶=—1,則函數(shù)y=g(x—1)的圖象必經(jīng)過

點_______________

15.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：°C)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b

(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，底匕為常數(shù))。若該食品在0℃的保鮮時間設計

192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33°C的保鮮時間是小

時

16、設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+3)=l—f(x),又當x￡(0,1］時,f(x)=2x,則

f(17.5)=____________

17、已知函數(shù)f(x)=------(a,b為常數(shù))，且方程f(x)—x+12=0有兩個實根為

ax+b

Xj=3,%2=4.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)設k>l,解關(guān)于X的不等式f(x)<(心Xi

2-x

第三講函數(shù)的圖像

一、知識與方法

考點一：一元二次方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系

1.當無eR時，二次方程以法+。=0(。。())的根的個數(shù)可以用判別式

△=〃-4ac與0的關(guān)系進行判斷;

b

2.二次方程以2+法+c=o(。。0)的根玉、超與系數(shù)的關(guān)系：%+X,=-一，

a

c

xx=—；

}2"a

3.二次方程ox?+版+。=0(。。0)的根的分布：結(jié)合/(x)=ax2+bx+c(a>0)

的圖像可以得到一系列有關(guān)的結(jié)論(。<0可以轉(zhuǎn)化為?！?)：

(1)方程/(幻=0的兩根中一根比尸大，另一根比一小o/(r)<0.

J=/?2-4ac>0

b

(2)二次方程/(x)=0的兩根都大于---->r

2a

/(r)>0

J=Z?2-4ac>0

b

P<--<Q

(3)二次方程/(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根2a

f(q)>0

—

(4)二次方程/(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根O/(q)-/(p)<0,或/(p)=0而

另一根在(p,q)內(nèi),或/(彳)=0而另一根在(夕，4)內(nèi).

(5)方程/(幻=0的一根比p小且一根比q大(p<q)

考點二：零點

1.函數(shù)的零點

(1)一般地，如果函數(shù)y=/(x)在實數(shù)a處的值為0,即/(a)=0,則a叫做這個函

數(shù)的零點.

(2)對于任意函數(shù)，只要它的圖像是連續(xù)不間斷的，其函數(shù)的零點具下列性質(zhì)：

①當它通過零點(不是偶次零點)時函數(shù)值符號改變；

②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持符號不變。

(3)函數(shù)零點的性質(zhì)是研究方程根的分布問題的基礎，是通過對二次函數(shù)的零點的研究

而推出的.是由特殊到一般的思想方法。

2.二分法

(1)已知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)的，且/(a)-/S)<0,通過不斷地把函

數(shù)y=/(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點

的近似值的方法，叫做二分法。

(2)二分法定義的基礎，是函數(shù)零點的性質(zhì)；二分法定義本身給出了求函數(shù)零點近似值

的步驟.只要按步就班地做下去，就能求出給定精確度的函數(shù)零點.

(3)二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟，滲透了算法思想與程序化意識.此步驟本身

就是一個解題程序。這種程序化思想在計算機上得到了廣泛的應用.

考點三：圖像變換

(一)函數(shù)圖像

1.作圖方法：

以解析式表示的函數(shù)作圖像的方法有兩種，即列表描點法和圖像變換法，掌握這兩種方

法是本節(jié)的重點.運用描點法作圖像應避免描點前的盲目性，也應避免盲目地連點成線.要

把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當處.這就要求對所要畫圖像的存在范圍、大致特征、變化

趨勢等作一個大概的研究.而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是

一個難點.用圖像變換法作函數(shù)圖像要確定以哪一種函數(shù)的圖像為基礎進行變換，以及確定

怎樣的變換.這也是個難點.

2.作函數(shù)圖像的步驟：

①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢)、特殊點(如：

零點、極值點、與軸的交點)：

④描點連線，畫出函數(shù)的圖像。

(二)圖像變換

圖像變換包括圖像的平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換等。

(1)平移變換(左加右減，上加下減)

把函數(shù)/(x)的圖像向左平移。(。>0)個a單位，得到函數(shù)/(x+a)的圖.像，

把函數(shù)/(x)的圖像向右平移a(a>0)個a單位，得到函數(shù)/(x-a)的圖像，

把函數(shù)/(x)的圖像向上平移a(a>0)個a單位，得到函數(shù)/(x)+a的圖像，

把函數(shù)/(x)的圖像向下平移a(a>0)個a單位，得到函數(shù)/(x)-a的圖像。

(2)伸縮變換

①把函數(shù)？=/(%)圖像的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的,倍得y=

w

(0<ty<1)

②把函數(shù)y=/(x)圖像的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的‘倍得y=/(ox)

w

(0>1)

③把函數(shù)y=/(x)圖像的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的w倍得y=o/(x)

(<y>1)

④把函數(shù)^=/(x)圖像的橫坐標不變，

縱坐標縮短到原來的w倍得y=a)f(x)(0<?y<1)

(3)對稱變換：

①函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=-/(%)的圖像關(guān)于x軸對稱

函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=/(-%)的圖像關(guān)于y軸對稱

函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=-/(-%)的圖像.關(guān)于原點對稱

函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=r'(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱

簡單地記為：x軸對稱y要變，y軸對稱x要變，原點對稱都要變。

②對于函.數(shù)y=/(x)(xe/?),f(x+a)=/S-x)恒成立,則函數(shù)/(x)的對稱軸是

a+b

x=

2

(4)翻折變換：

①把函數(shù)y=f(x)圖像上方部分保持不變，下方的圖像對稱翻折到％軸上方，得到函數(shù)

y=|/(x)|的圖像；

②保留y軸右邊的圖像，擦去左邊的圖像，再把右邊的圖像對稱翻折到左邊，得到函

數(shù)y=/(N)的圖像。

二、典型例題

類型一：圖像變換

例1.寫出下列函數(shù)作圖過程，然后畫出下列函數(shù)圖像的草圖.

(l)y=^—p(2)y=(x+l)|x—2|(3)y=|lgx|.(4)y=2|x+"

【變式】作出下列函數(shù)的圖像

(1)y=|x-2|(x+l)⑵y=lg|x+l|

z2-x

(3)xy=------

x—1

類型二：一元二次方程的根的分布

例2.已知函數(shù)/(*)=必+面一1)*+3一2)的一個零點比1大，一個零點比1小。

求實數(shù)Q的取值范圍.

【變式】已知方程，加2+(m-3)x+l=0至少有一正根，求實數(shù)〃？的取值范圍.

類型三：零點的判定

例3.求方程!必+x—3=』的解的個數(shù).

3x

【變式】方程3、-*2=0的實數(shù)解的個數(shù)為.

達標檢測

一、選擇題

1.設/(*)=/+公+C是［TJ上的增函數(shù)，且/(_g)./(g)<0,則函數(shù)y=/(X)

在［一1,1］上的零點的個數(shù)()

A.可能有3個B.可能有2個C.有唯一的一個D.沒有

2.方程lgx+-=0的根的范圍是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(1,+8)

3.函數(shù)/(x)=3ox—2a+l在［-1,1］上存在一個零點，則n的取值范圍是()

A.<z>—B.a<-lC.-l<a<lD.aZ，或aW-1

55

4.函數(shù)/(jOnxZ+lBi'+Zlx+zn在(一1,1)上零點的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.不確定

5.方程lgx+Ig(x—l)=lga(O<a<l)的實數(shù)解的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.不確定

7.函數(shù)=的圖象()

A.關(guān)于原點對稱B,關(guān)于直線y=x對稱

C.關(guān)于x軸對稱D.關(guān)于y軸對稱

8.已知/(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0Wx<2時，fXx)=x3-x,則

函數(shù)y=/(x)的圖象在區(qū)間［0,6］上與x軸的交點的個數(shù)為()

A.6B.7C.8D.9

9.如果函數(shù)f(x)=*2++3)至多有一個零點，貝!］m的取值范圍

是.

10.若方程ax2-2x+l=0(a〉0)的兩根滿足：Xl<l,1<X2<3,求a的取值范圍.

11.已知方程(x—2A)2=ax(JteN)在區(qū)間［2左一1,2左+1］上有兩個不等實根，求。的

取值范圍.

12.設R且滿足關(guān)系式：2a+b+2<0,證明方程『+二+。"+!)+/?=0至

廠x

少有一個正數(shù)解.

13.已知/(x)是二次函數(shù)，不等式/(x)<0的解集是(0,5),且/(x)在區(qū)間［一1,4］上

的最大值是12。

(I)求/(幻的解析式；

(口)是否存在實數(shù)相，使得方程/(X)+H37=o在區(qū)間(北根+1)內(nèi)有且只有兩個不等

的實數(shù)根？若存在，求出加的取值范圍；若不存在，說明理由。

14.已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=61nx+/〃，

(1)求y=f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t)；

(2)是否存在實數(shù)m,使得y=/(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的

交點？若存在，求出加的取值范圍；若不存在，說明理由。

第四講二次函數(shù)與幕函數(shù)

一、知識與方法

考點一、初中學過的函數(shù)

(-)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

常函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)

表達式y(tǒng)=a（?！闞）y=ax+by=cue2+"x+c

y=-（%。0）

（。W0）X（aH（））

式子中字母的含

義及范圍限定

圖象、及其與坐

標軸的關(guān)系

單調(diào)性1

(-)二次函數(shù)的最值

1.二次函數(shù)有以下三種解析式:

一般式：y=ox2+bx+c（a，0）,

頂點式：y=a(x-h)2+k(。。0),其中頂點為(〃,女)，對稱軸為直線尤=從

零點式：y=a(x-x^x-x2)(。。0),其中占,%?是方程內(nèi)？+bx+c=O的根

2.二次函數(shù)y=ax2+8x+c(?>0)在區(qū)間［p,q］上的最值：

二次函數(shù)y=幺2+bx+c(a>0)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為m,令

1,、

%=5(〃+。),

(1)(2)(3)(4)

h

(1)若一丁<P，則/COmin=/(P)=m，/Wmax=f=M；

2a

(2)若p4-，</，則/(x)n)in=/(-，)=根，/(x)111ax=f(q)=M；

2a2a

bh

(3)若x04<q，則/(x)min=/(-丁)=m，/(初皿=/(p)=M；

2a2a

b

(4)若-不,則/(x)min=/⑷=加，f(x)1mx=f(P)=M.

2a

(二)二次函數(shù)的最值

1.二次函數(shù)有以下三種解析式：

一般式：y=ax2+bx+c(a/0),

頂點式：y=a(x-h)2+k(a/O),其中頂點為(/z,k),對稱軸為直線x=/z,

零點式：y=?(%-%1)(x-x2)(。。0),其中修,超是方程"？+法+。=0的根

2.二次函數(shù)y=宙？+法+。(a>0)在區(qū)間［p,4］上的最值：

二次函數(shù)y=or+Ax+c(a＞0)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為m,令

(1)(2)(3)(4)

(1)若一二<，，則/(X)mil)=f(p)=m,J'(X)max=f(q)=M;

A)-勿7

(2)若〃《一丁〈龍。，則/(x)n“n=/(-=M；

2a29a

b

⑶若不＜—不＜小則/(初制=/(一-勿2=M；

2a

(4)若44一二，則/(X)min=八4)=帆，/(X)1rax=/(P)=M-

2a

考點二、塞的運算

;—巴1--11

n+

(1)=a",a"a=—/=-舊j=7(m,n^N,n>l)；

⑵=a(nsN,n>l)而：＞1,力為奇數(shù))

后小仁武”是正偶數(shù))。

考點三、幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.基函數(shù)y=xa(xeR)在第一象限的圖象特征

2.塞函數(shù)y=x"(xeR)性質(zhì):

(1)a>l,圖象過(0,0)、(1,1),下凸遞增，如y=f；

(2)0<?<1,圖象過(0,0)、(1,1),上凸遞增，如y=%5；

(3)?<0,圖象過(1,1),單調(diào)遞減，且以兩坐標軸為漸近線，如丁=光7,丫=/5

二、典型例題

類型一：基本函數(shù)的解析式問題

例1.已知二次函數(shù)/(x)滿足/(%-2)=/(—%一2),且圖像在y軸上截距為1,在x軸

截得的線段長為2后，求/(%)的解析式.

【變式】已知二次函數(shù)y=/(x)的對稱軸為x=-JL截x軸上的弦長為4,且過點

(0,-1),求函數(shù)的解析式

類型二：函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例2.下圖是指數(shù)函數(shù)(1)>="，(2)y=bx,(3)y=c)(4)y=,的圖象,

則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是()

A.a<h<\<c<dB.h<a<\<d<cC.\<a<b<c<d

D.a<b<l<d<c

2x

【變式】在力(X)=x"f2(x)=x,f3(x)=2,力(x)=log]X四個函數(shù)中，X]>x2>1

2

時，能使，/(%)+/(々)]</(土|玉)成立的函數(shù)是()

2

A.<(x)=x2B.f2(x)=xC.力(x)=2*D./,(%)=log,x

2

[\x\,x<m

例3.已知函數(shù)f(x)=,°,其中機>0,若存在實數(shù)〃，使得關(guān)于x的

[X-2mx+4m,x>m

方程/(x)有三個不同的根，則相的取值范圍是.

類型三：最值問題

例4.求函數(shù)y=(-)v-(-)x+1(xe[一3,2])的最值.

例5.已知〃萬=/+2元-3,-6山+1],若/(為)的最小值為的),寫出力⑺的表

達式。

【變式】要使函數(shù)y=l+2'+a-4*在XG(-8,1］上y>0恒成立，求a的取值范圍.

達標檢測

選擇題

1

1.[(-V2)2P=().

A、亞B、-eC、D.-T

2,下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

32

A.y=—x,xeRB.y=2x+3,xG7?C.y=x.xR

D.y=(-)x,xeR

3.若函數(shù)y=(/-i)-'在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()。

A,|a|<lB、l<|a|<2C、l<|a|〈痣D、0<|a|<V2

4.三個數(shù)6°7,().76,log076的大小順序是()

607607

A、0.7<log()76<6B、0.7<6<log()76

07667

C、log076<6<0.7D、log076<0.7<6°

5.已知函數(shù)+(4。3)x+3a,x<0,(間,且在R上單調(diào)遞減，且關(guān)

log?(x+l)+l,x>0

于x的方程|/(x)|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是()

223123123

A、(0,-]B、[-,-]C>-]J{-}I)、-)J{-}

334334334

6.函數(shù)y=/(x)的圖像與函數(shù)g(x)=log2X的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則/(x)的表

達式為；

7.函數(shù)y=logI(--5x+6)的定義域；

8.已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在［0,+8)上是增函數(shù)且/(；)=(),則不等式

f(loglx)>0的解集是.

9.已知O<a</?<1,判斷廢、b"、d之間的大小關(guān)系

10.已知函數(shù)f(x)=f+bx+c,對任意xeR都有/(l+