第12講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（13大考點(diǎn)）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

第12講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（13大考點(diǎn)）

口考點(diǎn)考向

上室幺、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

i

圖象o\yx

卜JT

定義域RRx￡R,且xW〃n十萬,kH

值域[-1,1][—1,1]R

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在

在［2〃n—n24

JTJI

——+2An,—+2AJi

n］（AGZ）上是遞、一方+4n，5+An）（AGZ）

在

單調(diào)性(4￡Z)上是遞增函數(shù)，增函數(shù)，在［24n,

"n3n-2“貝+or］（AeZ）上是遞增函數(shù)

—+2^n,裝一+24兀

上是遞減函數(shù)

(〃金Z)上是遞減函數(shù)

周期是2km（AGZ且在周期是2kw（AGZ

周期是Alt（A-eZ且MO）,最小

周期性W0）,最小正周期是2且抬0）,最小正

正周期是n

jt周期是2n

對(duì)稱軸是x=k"

nUeZ）,對(duì)稱中心

對(duì)稱軸是x=—+kTi

是對(duì)稱中心是傳■,o［（〃dZ）

對(duì)稱性

(aeZ),對(duì)稱中心是(A

（4”+-|-,0）（正

n,o)Uez)

Z）

二函數(shù)尸Zsin（0x+。）的圖象

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

（1）“五點(diǎn)法”作圖原理：

在正弦函數(shù)y=sinx,xW［0,2滅］的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,仔，1），（“，。），（竽，一1），（2

n,0).

在余弦函數(shù)尸cosx,［0,2n］的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,卜尸0）,（兀，—1）,（7，oj,（2

兀,1）.

（2）五點(diǎn)法作圖的三步驟：列表、描點(diǎn)、連線（注意光滑）.

2.函數(shù)y=Asin（（^x+?。┑挠嘘P(guān)概念

y=4sin（口才+。）振幅周期頻率相位初相

2n13

(給0,。＞0)AT=-f——6＞才+(1＞0

3T2n

3.用五點(diǎn)法畫y=4sin（口/+。）一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖

用五點(diǎn)法畫尸東in（3x+0）一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示:

_±Jl0Jl—03JT02——0

X

3233G)2333

Jl3Ji

3犬+00TJl231

尸力sin(GX+0)0A0-A0

4.由函數(shù)尸sinx的圖象變換得到尸4sin（3*+。）（力〉0,3＞0）的圖象的兩種方法

法一法二

步

畫出產(chǎn)sinu的圖致卜

驟|畫出片sin4的圖象

1

向左（平＞0）或

平移"1個(gè)單位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?倍

向右。＜0）步

得到廣sin（4+根）的圖象上驟

2得到廣sin3z的圖象

一向左（叩＞0）或平移粵個(gè)單位

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

曾向右（中＜0）

得到廣sin（s4+p）的圖象上

3得到，=曲1（3”力的圖象

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

|得到片Asin（3"根）的圖象卜,

得到y(tǒng)=4sin（34+中）的圖象

u考點(diǎn)精講

三角函數(shù)的周期性（共8小題）

（多選）1.（2022秋?鞍山期中）已知函數(shù)/（x）=|sinA|*|cosx|,則有（）

A.（2ir,0）是/（x）的一個(gè)對(duì)稱中心

B./（%）的最小正周期為三

2

C./（%）的圖像關(guān)于直線乂?對(duì)稱

4

D.在區(qū)間g3冗［上單調(diào)遞減

L4

【分析】由題意利用二倍角的正弦公式可求/(X)=』kin2x|,作出函數(shù)/(X)的圖象，利用正弦函數(shù)的圖

2

象和性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.

【解答】解：f(x)=|sinr|,|cosx|=A|sin2x|,

2

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，

由圖知函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線》=今對(duì)稱，故C正確;

/(x)的最小正周期為工，故B正確；

2

/(x)在區(qū)間［e，二］上單調(diào)遞減，故。錯(cuò)誤；

42

/(x)的圖象無對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想

的應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）2.（2022秋?沈陽期中）（x）=cos2Qx+>/3sinWXCos?則下列說

法正確的是()

A.3=1

B.f(x)的最大值為2

C.x吟為/(X)的一條對(duì)稱軸

D.(-2L,為『Ct)的一個(gè)對(duì)稱中心

【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)/(X)，由周期公式求出3,得到函數(shù)/(X)的解析式，利用正弦函數(shù)的

性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.

2=A

［解答】解：f(x)=cosWx+\/3sinWxcosWx+^-sin2o)x=sin(2(ox+-^-)+［,

對(duì)于A,f(x)的最小正周期可得3=i,故正確；

23

對(duì)于B,由A可得/(x)=sin(2X+-ZL)+A,因?yàn)閟in(2x+3~)G(-1,1),可得f(x)max=—f故錯(cuò)

6262

誤；

對(duì)于c,/(2L)=Sin(2X2L+2L)+2=sin?L+工=3,所以函數(shù)關(guān)于*=三對(duì)稱，故正確；

66622226

對(duì)于O,/(-A)=sinL2X(-2L)+2Lj+A=sinO+A=A,所以(-工，A)為一(X)的一個(gè)對(duì)稱中

12126222122

心，故正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了二倍角公式以及輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式

的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

3.(2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)/(x)=|coWsinx,下列說法正確的序號(hào)是②③.

①函數(shù)的周期為m

②20214型；

、3,4

@fCx)在區(qū)間［工，三］上單調(diào)遞增；

44

@f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(工，0)中心對(duì)稱.

2

【分析】/(X+TT)司(x),可判斷①，計(jì)算/(2021兀)的值可判斷②；xe［工，匹］時(shí)/(x)=lsinlr,

3442

易判斷單調(diào)性可判斷③，/(-_2L)手小-衛(wèi))，可判斷④.

44

【解答】解：①由函數(shù)/(%)=|cosx|sinx,

V/(x+n)壬/(元)，函數(shù)/(x)的周期不是n,故①不正確.

對(duì)于②，)(2。紅三)=/(673TT+.22L)=|COS(TT+-22L)|sin(TT+^L)=-cos2Lsin-=-返，②正

3333334

確；

對(duì)于③，當(dāng)_-工,時(shí)，f(x)=|cosAl,sirLr=Asin2x,

442

/(x)在區(qū)間［工，匹］上單調(diào)遞增，③正確；

44

r/兀、_71

/(------)=|c?os(z---7--T-\)?|s.inz(—-x)=-cos-T-T--s.inJ-T---_=--1,

444442

/c(z-—3——幾)、=_|cIos(/"—3——兀\)?|si*n/(-—3——兀)、_=-cos——TTsin7T_=-1

444442

則/(-2L)^-/(-12L),

44

所以『(X)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(手，0)中心對(duì)稱，故④不正確.

故答案為：②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的真假性的判斷以及三角函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性和對(duì)稱軸的綜合的應(yīng)用

能力，屬于中檔題.

4.(2021秋?茂名期末)已知/(x)=sin(2Lv+_2L),則/(1)+f(2)+f(3)+-+f(2022)=0.

36

【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)的周期，由誘導(dǎo)公式可得/(x+3)即可得/(I)+/'(2)+/-(3)

+f(4)4/(5)+f(6)=0,由此可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，f(x)=sin(2L+三)，其周期7=等=6,則有f(x+6)=/(%),

362L

3

f(尤+3)=sin(n+_ZLvr+.ZL)=-sin=-f(x),

3636

則/(I)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,

則有f(l)+f(2)+f(3)+???+/■(2022)=337X|y(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]=0,

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022秋?吳忠校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）=2sin3xcos(3xV~)(O<3<3)在?處取

得最大值.

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期;

（2）若AABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且f（A）卷，c=2,求a

【分析】⑴利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x）=sin（23XT），結(jié)合f哈）=1以及0<3<3求解即可;

（2）由f（A）總以及Ae（°，皿），可得人號(hào)，再結(jié)合三角形內(nèi)角和以及正弦定理，即得解?

【解答】解：(1)由題目，f(x)=2sin3xcos(3x

=2sin#x(/cos3x-^^-sin3x)+^~=sin3xcos^xW3sin23x

=^sin2Wx-V3Xl-cos23x

24

_1V3,冗、

—7^sin23x+-cos23x=sin(23

由題意可知23W-=2k兀+今-(t￡Z>可得3=12攵+1(xWZ).

因?yàn)镺V3V3,所以3=1,

故f（x）=sin（2XT>所以函數(shù)f（x）的最小正周期為n.

(2)由f(4)9可得sin(2A+^^)V，

故2A">^-=2k?！龌?k兀+^~(k€Z)-

因?yàn)锳C(0,TT),所以A=^".

由B=^~，以及A+B+C=n,可得C=5兀

石

csinAV2V2472

由正弦定理可得a==2>/3-2.

sinC.5冗,/冗,兀、V6+V2

sipsinCyk

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

6.(2021秋?拱墅區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)=2c。S2X-2X/3sin(x-?^y")cos(x+^~)xER.

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期;

（2）若/G）在區(qū)間［工，m］上的最大值為2,求，"的最小值.

3

【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得=sin（2r-2L）+1,進(jìn)而利用正弦函數(shù)的

6

周期公式即可求解.

(2)由題意可求范圍標(biāo)-三日-/,2/M-2L1，可得sin(2X-2L)的最大值為1,利用正弦函數(shù)的性

6666

質(zhì)可得2機(jī)-工》三，即可解得m的最小值.

62

【解答】解：(1)(x)=2COS2X-2\/3sin(x-t,^-)cos(x-+^~)

=l+cos2x-V3sin(2X+AZL)

3

=l+cos2r-V3(--sin2x+^^-cos2x)

_22

=l+^^-sin2x-ACOS2X

22

IT

=sin(2r-—)+1,

6

所以函數(shù)f(x)的最小正周期r=2±=n；

2

(2)因?yàn)閤e[-L,m]，

3

所以2r-匹a一且L,2m--],

666

又因?yàn)閒(x)的最大值是2,所以sin(2r-2L)的最大值為1,

所以2，〃一匹》匹，

62

所以,W2三，

3

所以，〃的最小值為三.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用,

屬于中檔題.

7.(2021秋?武漢期末)已知函數(shù)f(x)=FcosxCR.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間x€[0,g]上的最小值及相應(yīng)的x的值.

【分析】(1)利用余弦函數(shù)的周期求解最小正周期，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，求解/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)當(dāng)x€[0,3]時(shí)，￥<2x吟《詈，然后根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出F(x)最小值即

可.

【解答】解：(1)f(x)W^cos(2x*G)最小正周期丁上券=兀.

令-兀+2k兀42xT<2k兀(k€Z)-

解得+kJl<x<T^+k兀(kEZ),

.V(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是[二需+k兀，-2L+kK](kez)-

⑵當(dāng)xC[0,時(shí)，V《2x吟《等，

.,.當(dāng)2乂哈=兀，即x=箸時(shí)，函數(shù)取得最小值3cos(兀)=—而，

函數(shù)fG)的最小值為蓊，此時(shí)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期的求法，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，是基礎(chǔ)題.

8.(2021秋?麗水期末)已知函數(shù)f(x)=sin

(I)求函數(shù)/(nx)的最小正周期；

(|[)當(dāng)xE[0,時(shí)，求y=f+f(x4^-)的取值范圍?

266

【分析】(I)由題意利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論.

(II)三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，

【解答】解：（I）???函數(shù)f（x）二sin（x《），

.二函數(shù)/（TLX）=sin（HX+-5-）,故/（TU）的最小正周期為"=2

7T

（II）;y=f（x^^-）+f（%4^-）=sin（x+看）+cosx=^^-sinx+^cosx二V§sin

??u「n兀7,兀u「兀5兀-i

?xt[0，丁1?*x-+^t二—卜

Noou

Asin（x-*^-）€[y?1〉f（x）€?V3]>

所以，y=f（x工）+f（xE）的取值范圍是[近，?]?

662

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題.

正弦函數(shù)的圖象（共6小題）

9.（2022秋?福田區(qū)校級(jí)月考）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A吟，a=\,b=我，

若函數(shù)/（X）=sin（2x+B）在（0,上存在零點(diǎn)，貝lj8=()

c.一D.22L

B/嗒63

【分析】由已知利用正弦定理可得sin5=四,

可求B=2L,或B="，分類討論，利用正弦函數(shù)的性

233

質(zhì)即可求解.

1_M即sin”近,

【解答】解：在AABC中,由正弦定理可得

?兀sinB2

sirrT

從而8=三，或8=2工

33

若B=E_,則/(x)=sin（2X+A）在（0,工）上沒有零點(diǎn)，不符合題意;

334

若B=-=^-,則f(x)—sin(2x+2.2L）在（0,2L）上存在零點(diǎn)，符合題意.

34

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

（多選）10.（2021秋?武漢期末）已知三角函數(shù)f（x）=2sin（2xf），以下對(duì)該函數(shù)的說法正確的是

（）

A.該函數(shù)的最小正周期為TT

B.該函數(shù)在（工，工）上單調(diào)遞增

66

C.x=工為其一條對(duì)稱軸

6

D.該函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)（工，0）對(duì)稱

6

【分析】由三角函數(shù)的解析式逐一考查題中所給的三角函數(shù)的性質(zhì)是否正確即可.

【解答】解：由題意可得，三角函數(shù)的最小正周期丁上券=兀，選項(xiàng)A正確；

若x€（工，工），則（0,2兀），故函數(shù)在區(qū)間（工，工）上不單調(diào)遞增，選項(xiàng)8錯(cuò)

663366

誤；

當(dāng)x=4時(shí)，2x玲=0,則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（4，0）中心對(duì)稱，不關(guān)于直線x=T對(duì)稱，

選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求解，三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的對(duì)稱性等知識(shí)，屬于

基礎(chǔ)題.

11.（2022秋?青銅峽市校級(jí)期中）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（3x*）（3>0），已知/⑺在◎2m有且僅

有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：

GY（x）在（0,2n）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②/'（x）在（0,2n）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③f（x）在（0,今）單調(diào)遞增④3的取值范圍是陪，瑞）

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③⑷.

【分析】對(duì)①②可以通過作圖判別，對(duì)于④令t=3x+（3〉0），由犬10,2司，結(jié)合題意得到不等式

23兀+^二￡［5冗，6兀），解出范圍即可，對(duì)于③證明出當(dāng)x€（0，—）時(shí)，

510

2L<3什三<乎處~=<49兀〈三即可.

551051002

【解答】解：已知f（x）=sin（3xf）（3>0）在［0,2TT］有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，如圖，

O

其圖象的右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)在⑷b）上，此時(shí)/G）在（0,2K）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，但在（0,2TT）

可能有2或3個(gè)極小值點(diǎn)，所以①正確，②不正確;

令t=3xJ(3>0>???比［0,2n］,，tC［―,23兀-］且y=sinf,'：f(x)在［0,2ir］上有且

555

僅有5個(gè)零點(diǎn),

二y=sim在［工，237T-JL］上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，，23兀E［5兀，6兀），

555

0）￡［卷，瑞），故④正確.

當(dāng)且xrE/（no,三兀、）時(shí)舟’北r（/于兀，3兀兀、

又f)3兀兀nn49兀49?！敦?/p>

10L05，100)

100

兀3冗nn

...y=sinr在（［-,上手吟）上單調(diào)遞增.，y=f（x）在（0,上單調(diào)遞增，故③正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.（2022秋?南開區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)/（x）=sin（3"匹）在區(qū)間（0,n）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),

3

則3的取值范圍是（烏當(dāng).

6-3

【分析】由題意利用正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，即可求得3的取值范圍.

【解答】解：當(dāng)3<0時(shí)，不能滿足在區(qū)間（0,n）極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以3>0；

函數(shù)f（x）=sin（3/匹）在區(qū)間（0,n）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，

3

可得3X+工€（―I-,（OTt+—1-）,

333

可得.5N_<31T+』-W3TC,

23

求得區(qū)<3W2,即3的取值范圍是（至，1］.

6363

故答案為：（迫，1］,

63

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，屬于中檔題.

13.（2021秋?保定期末）已知函數(shù)/（x）=3sin（3X-］一）的最小正周期為n,其中3>0.

（1）求3的值；

（2）當(dāng)在［-［二工］時(shí)，求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

44

（3）求函數(shù)/（X）在區(qū)間［0,當(dāng)上的值域.

2

【分析】（1）由空=m解3即可；

0)

(2)由(1)知f(x)=2sin(2x--),可求單調(diào)區(qū)間；

6

(3)由x的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐步計(jì)算易得值域.

【解答】解：(1)由題意可得空解得3=2；

3

(2)由(1)知f(x)=3sin(2x-2L),

由2&TT--工＜2也+工可得kn-k€Z.又x&[-2L],

2626344

;/=o時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為：[-2L,2L],

64

2z：Tt+2Lw2x-解得jtez.

26236

k=-i時(shí)，又xq-二，2L],單調(diào)減區(qū)間為：[-三，-2L],

4446

/.sin(2x-2I_)G[-A,1J,

62

/.3sin(2r--ZL)[-3,3],

62

...函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2□上的值域?yàn)閇-3,3]

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，以及最值，屬基礎(chǔ)題.

14.(2021秋?武漢期末)已知函數(shù)f(x)=sin(Sx；)(3〉())?

(1)當(dāng)3=2時(shí);求/(x)在［0,子］的值域；

(2)若至少存在三個(gè)x°E(0,—使得/(刈)=-1.求/(x)最小正周期的取值范圍；

(3)若f(x)在(工，兀)上單調(diào)遞增，且存在(；,兀)，ffiWf(2m--求3的取

22332

值范圍.

【分析】(1)由題意可得當(dāng)《2x4《等，據(jù)此即可求得函數(shù)的值域;

(2)由題意得到關(guān)于最小正周期的不等式，求解不等式即可確定最小正周期的取值范圍;

(3)由題意得到關(guān)于3的不等式，求解不等式即可確定3的取值范圍.

【解答】解：⑴當(dāng)3=2時(shí)，f(x)=sin

4兀

由xt[0,

3

?V（X）的值域?yàn)閇考,1].

⑵：對(duì)于函數(shù)f（x）=sin（3xf）（3>0），至少存在三個(gè)x°E（0,千），使得“X。）=-1，

設(shè)/（x）最小正周期為T,

71

9JT---

（__3T+T+yT）<^->

'2兀43

即當(dāng)<三，.-.<<42L.

1230T31

即最小正周期的取值范圍是（0,-V

、31,

（3）若/（x）在（g,兀）上單調(diào)遞增，（三:T，3兀W）,3兀義43

,344，

6

二.存在（微~,兀），使得f（2nr即sin[①（2nr"'^_）讓:]■能成"

即sin23m>（?能成立?

JTTTTT1

?2^m€（3兀，23兀）G（―T-,—T->??23兀,?3

6348

綜上可得，1<O<1.

8個(gè)6

即3的取值范圍是得，1].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值域的求解，三角函數(shù)最小正周期范圍的求解，由三角函數(shù)的性質(zhì)求3的

取值范圍等知識(shí)，屬于中等題.

三.正弦函數(shù)的定義域和值域（共4小題）

15.（2021秋?銀川期末）已知命題p：SxGR,X2+6X=-10,命題q：VxeR,sin2r+cos2r<3,則下列命題

2

中為真命題的是（）

A.pi\qB.pVLq）C.（「p）A（-D.Lp）/\q

【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，真值表，命題真假的判定求出結(jié)果.

【解答】解：對(duì)于命題p：由于，+6工+10=（x+3）2+121,故/+6%=-10無解，故命題p為假命題;

對(duì)于命題q：VxGR,sin2x+cos2x=sin（2乂」二）故命題q為真命題；

故p/\q為假命題，pVLq）為假命題，Lp）A（"為假命題，（fp）八q為真命題；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，真值表，命題真假的判定，主要考查學(xué)生的運(yùn)

算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2021秋?伊州區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)=W5sin(2x，)，g(x)=-x+a，若存在

Xxe,—]＞使得/(XI)=g(X2),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為—[工，工+W5]—?

【分析】分別求出xH-三，生]時(shí)函數(shù)/(X)、g(x)的值域，根據(jù)題意列不等式求出。的取值范圍.

64

【解答】解：xe[--,2L]時(shí)，2x+2Le[0,且L],所以sin(2X+2L)G[0,1],

64363

所以函數(shù)/(x)=2?sin(2X+2L)的值域?yàn)閇0,2M1，

3

xG[-時(shí)，g(x)=-x+a的值域?yàn)閉-2I_+a,.ZL+a]；

6446

若存在x-[-三，：]，使得/(?)=g(X2)，

貝I]ow--+a^2yf3,或0《2L+aW2百；

46

解得2LW“W2L+2標(biāo)或-2Lw“w-工+2百，

4466

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[-匹，—+243].

64

故答案為：[-21,2L+2V31.

64

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

17.(2021秋?伊州區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)=l-a2-sin2x+2asinx,x€[―,

63

(1)若f(看)=1，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

【分析】(1)利用三)=1解方程求出a的值.

6

(2)利用換元法，令sin_r=3函數(shù)化為y=l-a?-p+2w,根據(jù)零點(diǎn)的定義求出.=4土1,再由y=sinr在[-

—,”]上的圖象與性質(zhì)，求出/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)”的取值范圍.

63

【解答】解：(1)因?yàn)閒g)=l-a21+a=l，

64

所以a2-a==0,解得

(2)令sinx=f,則y=/(x)=1-tz2-P+lat,

由1-/-p+2成=0,解得t=a±L

K

又因?yàn)閥=sinx在［-二］上是增函數(shù)，在［三,空］上是減函數(shù),

6223

且sin(-2L)=-sin.—?！猒——1,si.ri'K_—:sin”=sin-ZL=1,

6623322

所以圾時(shí)

，X有兩個(gè)值；

r=l或」〈返■時(shí)，x有一個(gè)值;

2飛2

其它情況，x的值不存在；

所以〃=0時(shí)/=±1函數(shù)/G)只有1個(gè)零點(diǎn)為三，

2

a>0時(shí)，?+1>1,要/(x)有2個(gè)零點(diǎn),哼

所以1a<2;

a〈0時(shí)，要/(x)有2個(gè)零點(diǎn),l+a<r

所以亨°；

綜上，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍是I.o)u[，2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，是中檔題.

18.(2021秋?天河區(qū)校級(jí)期末)如圖，A8C。是一塊邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為

90米的底面為扇形小山(P為TS上的點(diǎn))，其余部分為平地.今有開發(fā)商想在平地上建一個(gè)邊落在及

CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR.求長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值及最小值.

—],則Sp℃R=f(。)=(100-90cos9)(100-90sine),令sinO+cose=f,

2

則f=J5sin(。+三)曰1,&],由二次函數(shù)的性質(zhì)求得SPQCR的最大值和最小值.

4

【解答】解：設(shè)0G［O,則

2

SPQCR=f(0)=(100-9OCOS0)(100-90sin6)=81OOsin0cos0-9000(sin0+cos0)+10000.

令sinO+cosO=f,貝If=J^sin(0+-2L)e[l,y[2].

4

??.SPQCRM&MT2-9000r+10000-笆世，此二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為

229

故當(dāng)仁號(hào)時(shí)，SPQCD最小值為950(W2),

當(dāng)/=&時(shí)，SPQCD最大值為14050-9000、歷(w2).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

四.正弦函數(shù)的單調(diào)性(共3小題)

19.(2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)f(x)=2sin(23x+*)(w>0)在今，兀)上單調(diào)遞增，則(0

的最大值為1

一6一

【分析】根據(jù)已知x的范圍，找到23X+三整體的范圍，再與y=shu,的單調(diào)增區(qū)間做比較，歹U出不等式即

6

可.

【解答】解：(――兀)，貝I2G)X+-^-6(Tt(o+-21X0)+-^—),

'2'666

：3>0,若f(x)在哈,n)上單調(diào)遞增,

需滿足Tt3+2L2-三+2質(zhì)，且2n3+2Lw2L+2丘，依z,

6262

解得：-2+2ZW3W工+A,kwz,

36

p1

2k<7-+k

3o

解得

4"+k>06

6

,:keZ,：.k=0,

Vw>0,/.0<a)^A,

6

則3的最大值是上.

6

故答案為：1.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

20.(2022秋?青銅峽市校級(jí)期中)已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+cos(2x-"Hcos(2x止百>在口

(1)求￡臉)的值；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間味，兀]上的單調(diào)區(qū)間.

【分析】(1)利用三角恒等變換可得f(x)=2sin(2x《)，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即得;

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.

【解答】解：(1)*?*f(x)=2sinxcosx+cos(2x-^-)+cos(2x-^~)

=?n..兀兀..兀

-sin2x+cos2xcos^-+sin2xsirr^-+cos2xcos^--sin2xsin-^~

=sin2x+V3cos2x=2(^sin2x+-7-cos2x)

_/兀、

-2sin

"fW^)=2sin(=2sin-^=2-

LCtO4

⑵vy<x<K.

小2xf<9

7K

，當(dāng)?shù)?2x吟《等時(shí)，即與.時(shí)，f(x)單調(diào)遞減,

12

當(dāng)爸42xf4號(hào)時(shí)，即果<x<兀時(shí)，仆)單調(diào)遞增，

故/(X)在區(qū)間號(hào)，冗］上的單調(diào)遞減區(qū)間為［三，*］,單調(diào)遞增區(qū)間為［果，兀］.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.(2022秋?魏縣校級(jí)期中)已知函數(shù)/(x)=V3sin2x-2sinW,再從下列條件①、條件②這兩個(gè)條件

中選擇一個(gè)作為已知.

條件①：/(x)的最大值與最小值之和為0:條件②：f(子)=0-

(1)求機(jī)的值;

(2)求函數(shù)/(x)在［0,上的單調(diào)遞增區(qū)間.

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f(x)=2sin(2x吟)出rl，根據(jù)所選條件①或②可

得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的等式，由此可解得對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)機(jī)的值;

(2)選①或②，由x￡［0,3］可得(2乂七卷)€［-y->-y-］>解不等式《卷《手即可得

解.

【解合】(1)解：若選①：?f(x)=V3sin2x_2sin2x+m=*/3sin2x-(l-cos2x)+m

=Fsin2x+cos2x+nr1=2sin()+mT，

=

則f(X)max=2+m-1=加+1,f(x)fnin-2+m-\=m-3,

由已知可得"z+1+m-3=2m-2=0,解得%2=1,此時(shí)f(x)=2sin(2乂土春),

若選②：,f(x)=V3sin2x-2sin2x+m=V3sin2x-(l-cos2x)tin

V3sin2x+cos2x+m-l=2sin(2x-^*~^_)+m-l,

TTTTTT

,

f(-2-)=2sin(-^-)+m-l=m-2=0解得"?=2,ittHjf(x)=2sin(2x-**-^-)+1,

(2)解：由xC[0,可得(2x4)E[?，?]'

2666

山看與解得。＜x4看，

故函數(shù)/(X)在[0,工]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,—

26

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最值、定義域和值域，屬于中檔題.

五.正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性(共5小題)

(多選)22.(2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期中)若函數(shù)f(x)=sin(2x。)，則下列命題正確的是()

A.函數(shù)y=f(x)的圖象與丫文05(2xf)的圖象重合

c-f+f(—^--x)=0

D.存在唯一的x°E[0,卷],使得f(x。)*

【分析】逐項(xiàng)代入驗(yàn)證，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.

【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，...y=cos(2x—^~)=cos(2x+《—5~)=sin(2x+^~>'A選項(xiàng)正確;

對(duì)8選項(xiàng)，：f(-^--x)=sinc|?兀-2xV-)=sin(兀-2x)=sin2x，

TTQ7T7T

f(x"t^-)=sin(2x+-*j-^")=sin(2x+兀)=-sin2x,

f(-^-x)B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

時(shí)C選項(xiàng)，f(X4-^-)=sin(2x-*^--+^-)=s