新人教九年級(jí)數(shù)學(xué)21章二次根式全章教案

第二十一章二次根式

教材內(nèi)容

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡(jiǎn)二次根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊(cè)第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理

及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，(&)2=a(a20),必=a(a>0).

(3)掌握G,yjb=\[ab(a>0,bNO),y/ab=y/a?Jb；

、歸(aNO,b>0),憶=5(a20,b>0).

4b\b\b4b

(4)了解最簡(jiǎn)二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，

得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn).

(4)通過分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡(jiǎn)二次根式的概念.利用最簡(jiǎn)

二次根式的概念，來對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過探索二次根式的重要

結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.二次根式JZ(a20)的內(nèi)涵.\[a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；)°=a(a>0)；J/=a(a20)

及其運(yùn)用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用.

3.最簡(jiǎn)二次根式的概念.

4.二次根式的加減運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)

1.X>j4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式(4a)~-a(a》0)及J?'=a(a20)的理解及應(yīng)

用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)關(guān)鍵

1.潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

2.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.

單元課時(shí)劃分

本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下：

21.1二次根式3課時(shí)21.2二次根式的乘法3課時(shí)

21.3二次根式的加減3課時(shí)教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)2課時(shí)

21.1二次根式

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的概念，并利用五（a20）的意義解答具體題目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如夜（a20）的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用（a》0）”解決具體問題.\

教學(xué)過程\

一、復(fù)習(xí)引入\

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：Cl-----油

問題1：已知反比例函數(shù)y=±,那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

x

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長(zhǎng)是.

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8,那么甲這次射擊的方差是S?,那么

S=.

老師點(diǎn)評(píng)：

問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y,所以X2=3.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=6,所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)

（百，百）.

問題2：由勾股定理得AB=J1U問題3：由方差的概念得$=A

二、探索新知

很明顯百、而、1,都是?一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們

就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如五（a20）的式子叫做二次根式，“一”稱為二次根

號(hào).

（學(xué)生活動(dòng)）議一議：LT有算術(shù)平方根嗎？2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)a<0,〃'有意義嗎？

老師點(diǎn)評(píng)：（略）

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：丘、6、4（x〉0）、而、啦、

X

-V2>--—、Jx+y（xNO,y20）.

x+y

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“?”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有：、歷、G（x>0）、耶、-垃、爐J（x20,y20）；不是二次根式的有：0

xx+y

例2.當(dāng)x是多少時(shí)，J3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3xT20,J3x-1才能有意義.

解：由3x-l20,得：X》一

3

當(dāng)X2!時(shí)，J3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)1、2、3.

四、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時(shí)，j2x+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X+1

分析：要使j2x+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足j2x+3中的20和」一中的x+l#0.

x+1x+i

h?[2x+3>0

解：依題意，得《

x+1

3

由①得：x2-二

2

由②得：xWT

當(dāng)X》-一月一xW-l時(shí)，J2X+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4（1）已知y=JH+J7=1+5,求土的值.（答案⑵

y

⑵若萬=0,求aZ◎+b?004的值.（答案：,）

五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)）

本節(jié)課要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，廠”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材Ps復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-V7B.^7C.4xI),x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.V4B.J16C.A/8D.—

X

3.已知一個(gè)正方形的面積是5,那么它的邊長(zhǎng)是（）A.5B.V5C.-D.以

5

上皆不對(duì)

二、填空題1.形如一的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為.3.負(fù)數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底

面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？

2.當(dāng)x是多少時(shí)，+3+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?3.若+有意義，則陰=.

X

4.使式子J-（x-5）2有意義的未知數(shù)x有（）個(gè).A.0B.1C.2D.無數(shù)

5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且Ja-5+2J1O-2a=b+4,求a、b的值.

21.1二次根式（2）

第二課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容1.&（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.（Va）=a（a20）.

教學(xué)目標(biāo)

理解石（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（&）（a，0）,并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出右（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)

平方根的意義導(dǎo)出（6）'a（a20）；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：4a（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（&）'a（a20）及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出右（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（JZ）1a

（a20）.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）口答1.什么叫二次根式？2.當(dāng)a20時(shí)，&叫什么？當(dāng)a〈0時(shí)，人有意義嗎？

老師點(diǎn)評(píng)（略）.

二、探究新知

議一議：（學(xué)生分組討論，提問解答）

G（a20）是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

4a（a》0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

-做：根據(jù)3表術(shù)平方根的意義填空：

2=____；（V2）2=_______；（V9）2=

—；（A口）-_______；（Vo），二

老師點(diǎn)評(píng)：a是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，"是??個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此

有（"）（L

同理可得：(V2)、2,(囪)J9,(V3)、3,(.-)2=~,-)2=-,(VO)2=0,所以

V33V22

(4a)'a(a20)

例1計(jì)算

分析：我們可以直接利用（、5）（a20）的結(jié)論解題.

解：(J-)2=-,(3^/5)2=32?(V5)常?5=45,

V22

V662224

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值：

（V18）2（./I）2（―）2（Vo）2

V34

（3⑹2一（5揚(yáng)2

四、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算

1.（Vx+T）2（x與0）2.(V?)23.(yja2+2a+l)

4.(V4x"—12,x+9)

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4x-12x+9=(2x)2-2?2x?3+3-(2x-3):0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用（。）2=a（a^0）的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0

(4x+l)2=x+l

(2)Va^O,Z.(Vo7)2=a

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又；(a+1)'O..\a2+2a+l>0,：.Va2+2?+l=a+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)-2?2x-3+32=(2x-3)2

又：(2x-3)2-0

.,.4X2-12X+9^0,(V4X2-12X+9)Mx2-12x+9

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)x'-4(3)2x-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.y[a(a30)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(4a),a(a20);反之:a=(4a)2(a20).

六、布置作業(yè)

1.教材以復(fù)習(xí)鞏固2.(1)、(2)P97.2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.下列各式中而、扃、揚(yáng)―1、yicr+b2.+20、V-144,二次根式的個(gè)數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是().A.a>0B.aNOC.a<0D.a=0

二、填空題

1.(-百)2=.2.已知471有意義，那么是一個(gè)數(shù).

三、綜合提高題

1.計(jì)算

(1)(V9)2⑵-(6)2(3)(-V6)2(4)(-3.1-)2

2V3

(5)(26+3夜)(23-3夜)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(xNO)

6

3.已知ylx-y+l+y/x-3=0,求x’的值.

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-2(2)x4-93X2-5

21.1二次根式⑶

第三課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容J/=a(a'O)

教學(xué)目標(biāo)

理解必=a(a^O)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究必=a(a20),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：J/=a(a2O).2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.3.關(guān)鍵：講清a20時(shí)，?\//=@才成立.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

老師U述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；

1.形如右(a，0)的式子叫做二次根式；2.(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

3.(y/a)：'=a(a>0).

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，行=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題.

二、探究新知

(學(xué)生活動(dòng))填空：

-______：Vo.Ol2=：4/(—)2=;

(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

應(yīng)2VO.OI2=0.01；,(.J吊;^(1)2=|;而=。；J(|o.

因此，一一般地：正=a(a20)

例1化簡(jiǎn)

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)，(-3產(chǎn)

分析：因?yàn)?1)9=-32,(2)(-4)M2,(3)25=5之,

(4)(-3)2=32,所以都可運(yùn)用J/=a(a>0)去化簡(jiǎn).

解：(1)也=居=3(2)J(—4)2="=4

(3)V25=A/F=5(4)J(-3>=療=3

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a》0時(shí)，必=；當(dāng)a<0時(shí)，,并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若J/=a,則a可以是什么數(shù)？(2)若J/=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：：必=a(a20),...要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“()

中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)aWO時(shí)，選=4-4,那么-a20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件：(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知|a

I,而Ia|要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢?a<0.

解：(1)因?yàn)镴/=a,所以a>0；(2)因?yàn)镴/=-a,所以aWO；

(3)因?yàn)楫?dāng)aeOH'jVa^=a,要使J益>a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a,要使J/>a,

即使-a〉a,a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡(jiǎn)J(X-2)2-J(1_2X)2.分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：J/=a(a2O)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a的應(yīng)用拓展.

六、布置作業(yè)1.教材Ps習(xí)題21.13、4、6、8.2.選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.J(2§)2+2§)2的值是()?A.0B.—C.4—D.以上都不對(duì)

2.a》O時(shí)，J/、7(-?)2>-J/，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是().

A.=y](-a)2B.y[a^>yj(-a)2>-

C.yfa^<y](-a)2<-D.-\[a^>\[a^=(-a)2

二、填空題

1.-V0.0004=.2.若J而是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.

三、綜合提高題

1.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl-2。+河的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l-a)2=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+J(l-a)2=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+Ja-2000=a,求a-1995?的值.

(提示：先由a-200020,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值)

3.若-3WxW2忖，試化簡(jiǎn)|x-2|+.(右+3/+&-10x+25。

21.2二次根式的乘除

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容4a,4b-4ab(a'O,b20),反之=C,>Jb(a20,b》0)及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)理解〃',4b--Jab(a》0,b'O),4ab-4a,4b(a'O,b>0),并利用它們進(jìn)行

計(jì)算和化簡(jiǎn)，由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出M=癡(a》0,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；利用逆

向思維，得出瘋-4b(a》0,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：4a,4b—\[ab(a20,b>0),\[ab-4a,4b(a20,b>0)及它們的運(yùn)用.

難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出G,4b—\[ab(a20,b20).

關(guān)鍵：要講清而(a<0,b<0)=&框，如J(-2)x(-3)=7-(-2)x-(-3)或

1(-2)x(-3)=J2x3=V2xyf3.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.

1.填空

(1)V4x79=,74^9=___；(2)V16x725=,716x25=.

(3)V100x736=，7100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或=”填空.

V4XV9_V479，V16XV25V16x25,7100X7367100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

⑴拒xg46,(2)V2xV5_M,

(3)V5xV6___V30,(4)V4xV5____而，

(5)近xV10屈.

老師點(diǎn)評(píng)(糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤)

二、探索新知

(學(xué)生活動(dòng))讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

老師點(diǎn)評(píng)：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；

(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊

二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

y/a?y/h=y[ab.(a20,b20)

反過來：|=五?&(a20,b20)

例1.計(jì)算

(1)V5xV7⑵R義曲(3)79X727(4)《X遍

分析：直接利用6?y/b=y[ab(a^O,b20)計(jì)算即可.

解：(1)V5XV7=V35(2)V9=^X9=V3

xV6=J；x6=V3

(3)V9XV27=V9X27=V92X3=9V3(4)

例2化簡(jiǎn)

(1)79x16(2)716x81(3)781x100(4)^9x2y2(5)回

分析：利用，石=6?4b(a>0,b>0)直接化簡(jiǎn)即可.

解：(1)-9x16=?X=3X4=12(2)V16X81=-\/16XV§T=4X9=36

(3)V81xl00=VMXV100=9X10=90(4)^9x2y'=>/?XJx2y?X\[x^X<J^'=3xy

(5)A/54=49x6=>/?xV6=3V6

三、鞏固練習(xí)

(1)計(jì)算(學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng))

①屈X&②3mX2屈@45a-Jjay

(2)化簡(jiǎn)：V20;V18;V24;V54;42a2H

教材Pu練習(xí)全部

四、應(yīng)用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：

(1)J(-4)X(-9)—y]—4Xyj-9

(2)^41|XV25=4XXV25=4^|xV25=4A/12=8A/3

解：(1)不正確.

改正：7(-4)x(-9)=V4X9=V4XV9=2X3=6

(2)不正確.

改正：J4—XV^=J—XV25=J—x25=Vn2=V1677=477

V25V25V25

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：(1)?、/F=\[ab=(a20,b>0),4ab=y[a,4b(a20,b20)及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)1.課本%1,4,5,6.(1)(2).2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.若直角三角形兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為而cm和屈c(diǎn)m,那么此直角三角形斜邊長(zhǎng)是().

A.3>/2cmB.3-73cmC.9cm1).27cm

色的結(jié)果是

2.化簡(jiǎn)a().A.—ciB.y[aC.-yj—aD.-y[a

3.等式47TJT斤=J/一i成立的條件是()

A.x21B.x'TC.T&xWlD.x，l或xWT

4.下列各等式成立的是().

A.4#>X2石=875B.5也X4A/2=20A/5

C.473X38=7逐D.5百X4-V2=2OV6

二、填空題

1.71014=.

2.自由落體的公式為S=Lg/(g為重力加速度，它的值為lOm/s?),若物體下落的高度為720m,則

2

下落的時(shí)間是.

三、綜合提高題

1.?個(gè)底面為30cmX30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一-部分水例入??個(gè)底面為正方形、高為

10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm,鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？

2.探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程.

通過上述探究你能猜測(cè)出:

21.2二次根式的乘除

第二課時(shí)

4a_\a\a_\/a

教學(xué)內(nèi)容(a20,b>0),反過來(a^O,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

4bNbyfb

a（a>0,b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)理解(a^O,b>0)和三卷

利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用

它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

ri（心。，―及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

1.重點(diǎn)：理解=（a>0,b>0）,

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題:1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

V9V16伍

⑴%—=；(2)-,——二，二

V16J16V36V36

IT_V36136

⑶噌;(4),--，、一二

V16/16V81V81

叵巫△

規(guī)律：

4V1=636：716

V3636

8?

3.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

V2V2

,(2)，(3),(4)

（2V2(2V7

規(guī)律：言§也\l

；；

4?33；正-5?8

每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果.

（老師點(diǎn)評(píng)）

二、探索新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到:

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定：

s[a

—(a20,b>0).

分(aR,b>0)

反過來,

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題目.

⑷等

例1.計(jì)算：（1）貸

V8

4a_fa

分析:上面4小題利用（a，0,b>0）便可直接得出答案.

(2)3」|X8=V3^4=V3X=2V3

2^8

[a_y/a

分析：直接利用（a>0,b>0）就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的.

NbJb

三、鞏固練習(xí)

教材P14練習(xí)1.

四、應(yīng)用拓展

半=,且x為偶數(shù)，求（1+x）x~-5x+4,,..

例3.已知——------的值.A

y]X—6x2-l

[a_4a

分析：式子只有a20,b>0時(shí)才能成立.

yb4b

因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因?yàn)閤為偶數(shù),所以x=8.

9-x>0x<9

解：由題意得《即《

x-6>0x>6

???6<xW9

???x為偶數(shù)

/.x=8

l(x-4)(x-l)

：?原式=(1+x)

\(x+l)(x-l)

/x-4

=(1+x)1-------

Vx+1

=(1+x)、—4==J(l+x)(x-4)

J(x+D

當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=〃x9=6.

五、歸納小結(jié)

\ja_[ala_4a

本節(jié)課要掌握(a>0,b>0)和（a，0,b>0）及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.教材％習(xí)題21.22、7、8、9.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

V2

的結(jié)果是（）.A.-V5BC.V2

7-t

2.閱讀下列運(yùn)算過程：

1V3V32275275

V3-73x73"3'V5-^5xV5-5

2

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過程稱作“分母有理化”,那么,化簡(jiǎn)的結(jié)果是（).

V6

A.2B.6C.-V6D.V6

3

二、填空題

1.分母有理化：（1）」產(chǎn)=一；（2）3=―;（3）少=

3V2V122V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+J區(qū)的最后結(jié)果是.

三、綜合提高題

1.有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比為百：1,現(xiàn)用直徑為3jFcm的一種

圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少?

2.計(jì)算

(m>0,n>0)

(a>0)

21.2二次根式的乘除（3）

第三課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

最簡(jiǎn)二次根式的概念及利用最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)

理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式.

通過計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來檢驗(yàn)最后結(jié)果是否滿足最簡(jiǎn)

二次根式的要求.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書）

1.計(jì)算（1）卓，（2）%，（3）叁

V5<27y/2a

V3V15372V6樞

老師點(diǎn)評(píng):

V55'V273'伍a

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是h,km,h2km,那么它們的傳播半徑

的比是.

2秋

它們的比是

2Rh2

二、探索新知

觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn):

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

那么上題中的比是否是最簡(jiǎn)二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡(jiǎn)二次根式.

學(xué)生分組討論，推薦3?4個(gè)人到黑板上板書.

老師點(diǎn)評(píng)：不是.

例1.⑴3舊;(2)y/x2y4+x4y2;(3)依2y3

例2.如圖，在Rt^ABC中，ZC=900，AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長(zhǎng).

解：因?yàn)锳BJAd+BC?

因此AB的長(zhǎng)為6.5cm.

三、鞏固練習(xí)

教材P”練習(xí)2、3

四、應(yīng)用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式:

]_]x(0-1)Q]

V2+1(V2+1)(72-1)-2-1

1lx（V3-V2）V3-V2巧

7177r（用揚(yáng)（6_痣廣^^7“

同理可得：/一尸="一二,……

V4+V3

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

(-7^—+-廠+……-)(V2002+D的值.

V2+1V/3+V―2/J+6V2;002+V2001

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目

的.

解：(V2-1+V3-V2+V4-V3+……+V2002-V2001)x(V2002+1)

=（V2002-1）（V2002+1）

=2002-1=2001

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)1.教材入習(xí)題21.23、7、10.2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.如果#(y>0)是二次根式，那么，化為最簡(jiǎn)二次根式是().

A.(y>0)B.->fxy(y>0)C.'，(y>0)D.以上都不對(duì)

<yy

2.把(a-1)J-——中根號(hào)外的(a-1)移入根號(hào)內(nèi)得().

Va-1

A.Ja-1B.Jl-aC.-Ja-1D.-J]—a

3.在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（）

A.-3y/l5B.=±A/2C.yfa^b-a\[bD.5/x3-x2=x>Jx-l

4.化簡(jiǎn)一^^2的結(jié)果是（）A.-YZB.—C.D.-J5

V273V33

二、填空題

1.化簡(jiǎn).（x、0）2.a化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是

三、綜合提高題

1.已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn):閱讀下面的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確,請(qǐng)

寫出正確的解答過程:

解：＞j-a3-a=aV—a-a?—4—a=(a-1)y[-a

a

&-4+14-%2+1

2.若x、y為實(shí)數(shù)，且y=，求“+yyjx-y的值.

x+2

21.3二次根式的加減(1)

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)理解和掌握二次根式加減的方法.

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透時(shí)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它

來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式.2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X'+5X；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a"+a'

教師點(diǎn)評(píng)：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并.同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)

相加減.

二、探索新知

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式.

(1)2-^2+3A/2(2)2y/s_3aS/8+5y/s(3)y/l+2V7+3J9x7(4)3V3-2-J3+V2

老師點(diǎn)評(píng)：

(1)如果我們把血當(dāng)成x,不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？2a+38=(2+3)、歷=5后

(2)把血當(dāng)成y；2&-3Ji+5m=(2-3+5)也=4a=86

(3)把不當(dāng)成z；幣+277+V9V7=2幣+2幣+377=(1+2+3)幣=677

(4)看為x,看為丫.3V3-2V3+y/2-(3-2)V3+V2=V3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2行與Ji表面上看是不相同的，但它們可以合并

嗎？可以的.

(板書)3V2+V8=3V2+2-^2=5V235/3+V27=3V3+3V3=6-\/3

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行

合并.

例1.計(jì)算(1)氐M(2)Vi6x+V64x

分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合

并.

解：(1)次+加=2亞+3&=(2+3)72=572

(2)V16x+V64x=4Vx+8Vx=(4+8)2G

例2.計(jì)算

⑴3a-9卜3屈(2)(V48+V20)+(V12-V5)

解：(1)3748-9g+3短=126-3百+6百=(12-3+6)6=15百

(2)(V48+V20)+(V12-V5)=V48+V20+V12-V5

=4#>+2+2-\/3-#)=6乖)+\1~5

三、鞏固練習(xí)

教材％練習(xí)1、2.

四、應(yīng)用拓展

例3.已知4x2+y：'-4x-6y+10=0,求-(x2-5x)的值.

分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-l）2+（y-3）J。，即x=-,y=3.其

2

次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

V4xJ~4x+1+y'-6y+9=0

:.（2x-l）2+（y-3）=0

原式=21+/

3

=2x-Jx+y[xy-x4x+5y/xy

=xVx+6y[xy

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并.

六、布置作業(yè)1.教材P2】習(xí)題21.31、2、3、5.2.選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.以下二次根式：①配；②岳;③島④厲中，與6是同類二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3=6；②,③二二2；④-=2V2,其中錯(cuò)誤的

有（）.A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

二、填空題

1.在血、1J痂、2J赤、V125、2出/、3而工、-2、口中，與島是同類二次根式的有

33aV8

2.計(jì)算二次根式56-3揚(yáng)-76+96的最后結(jié)果是.

三、綜合提高題

1.已知道弋2.236,求（回-J］）-（￡+gj石）的值.（結(jié)果精確到0.01）

21.3二次根式的加減⑵

第二課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題.

通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式化

成最簡(jiǎn)二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

例1.如圖所示的RtaABC中，NB=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊