高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2-4-1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義課件新人教A版必修4

2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思(1)向量的數(shù)量積a·b與數(shù)乘向量的區(qū)別是什么?與實數(shù)乘法ab的區(qū)別是什么?(2)對于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立嗎?1.向量的數(shù)量積的定義已知條件向量a,b是非零向量,它們的夾角為θ定義數(shù)量______________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法a·b=______________規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為__|a||b|cosθ|a||b|cosθ0【思考】(1)把“a·b”寫成“ab”或“a×b”可以嗎,為什么?提示:不可以,數(shù)量積是兩個向量之間的乘法,在書寫時,一定要嚴(yán)格,必須寫成“a·b”的形式.(2)向量的數(shù)量積運算的結(jié)果仍是向量嗎?提示:向量的數(shù)量積運算結(jié)果不是向量,是一個實數(shù).2.向量的數(shù)量積的幾何意義(1)投影的概念.如圖所示:=a,=b,過B作BB1垂直于直線OA,垂足為B1,則OB1=_________.

_________叫做向量b在a方向上的投影,_________叫做向量a在b方向上的投影.

|b|cosθ|b|cosθ|a|cosθ(2)數(shù)量積的幾何意義.a·b的幾何意義是數(shù)量積a·b等于a的________與b在a的方向上的_____________的乘積.

長度|a|投影|b|cosθ【思考】(1)“向量b在a方向上的投影”與“向量a在b方向上的投影”是同一回事嗎?提示:不是,當(dāng)兩向量夾角為θ時,向量b在a方向上的投影為|b|cosθ,向量a在b方向上的投影為|a|cosθ.(2)投影一定是一個正數(shù),對嗎?提示:不對,當(dāng)θ為銳角時,投影為正值;當(dāng)θ為鈍角時,投影為負(fù)值;當(dāng)θ為直角時,投影為0.3.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量,θ為a與b的夾角.(1)垂直的條件:a⊥b?________(2)當(dāng)a與b同向時,a·b=_______;當(dāng)a與b反向時,a·b=________.(3)模長公式:a·a=____或|a|=a·b=0.|a||b|-|a||b||a|23.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量,θ為a與b的夾角.(1)垂直的條件:a⊥b?________(2)當(dāng)a與b同向時,a·b=_______;當(dāng)a與b反向時,a·b=________.(3)模長公式:a·a=____或|a|=a·b=0.|a||b|-|a||b||a|2(4)夾角公式:cosθ=

.(5)|a·b|≤_______.|a||b|【思考】(1)對于任意向量a與b,“a⊥b?a·b=0”總成立嗎?提示:當(dāng)向量a與b中存在零向量時,總有a·b=0,但是向量a與b不一定垂直,即a⊥b?a·b=0,但a·b=0?/a⊥b.(2)當(dāng)“cosθ=”為負(fù)值時,說明向量a與b的夾角為鈍角,對嗎?提示:不對,cosθ==-1時,向量a與b的夾角為180°.4.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b=b·a(交換律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).【思考】“若a·b=a·c,則b=c”成立嗎?提示:不成立.如a⊥b,a⊥c時,a·b=a·c,但b=c不一定相等.【思考】“若a·b=a·c,則b=c”成立嗎?提示:不成立.如a⊥b,a⊥c時,a·b=a·c,但b=c不一定相等.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個向量的數(shù)量積是向量. (

)(2)向量b在a方向上的投影可以記為|b|cosθ. (

)(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. (

)(4)a·(b·c)=(a·b)·c. (

)提示:(1)×.兩個向量的數(shù)量積沒有方向,是實數(shù),不是向量.(2)√.(3)√.(4)×.a·(b·c)與a共線,(a·b)·c與c共線,當(dāng)a與c不共線時,a·(b·c)≠(a·b)·c.2.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,則= (

)

A.20 B.-20C.20 D.-20【解析】選B.=||||cos120°=5×8×=-20.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,則a與b的夾角θ為 (

)【解析】選C.由條件可知,cosθ=又因為0≤θ≤π,所以θ=關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量數(shù)量積及幾何意義(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)= (

)

A.4 B.3 C.2 D.02.如圖,四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,E,F分別為BC,CD的中點,則= (

)3.(2020·全國Ⅲ卷)已知向量a,b滿足=5,=6,a·b=-6,則cos<a,a+b>=(

)【解析】1.選B.a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.選D.因為菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=60°,所以=2×2×cos60°=2,又因為3.選D.由a·(a+b)=+a·b=25-6=19,又所以cos<a,a+b>=【解題策略】求平面向量數(shù)量積的方法(1)若已知向量的模及其夾角,則直接利用公式a·b=|a||b|cosθ.求解時要注意靈活使用數(shù)量積的運算律.(2)若所求向量的模與夾角未知,應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個向量作為基底,表示出所求向量,再代入運算.(3)求投影的兩種方法:①b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ為a,b的夾角),a在b方向上的投影為|a|cosθ.②b在a方向上的投影為,a在b方向上的投影為.【補償訓(xùn)練】1.(2020·廣州高一檢測)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC與BD相交于點O,過點A作AE⊥BD,垂足為E,則= (

)【解析】選D.由題意知,2.已知單位向量e1,e2的夾角為,a=2e1-e2,則a在e1上的投影是________.

【解析】設(shè)a與e1的夾角為θ,則a在e1上的投影為|a|cosθ==a·e1=(2e1-e2)·e1=2-e1·e2=2-1×1×答案:

3.(1)已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角θ為60°,求:①a·b;②(2a-b)·(a+3b).(2)設(shè)正三角形ABC的邊長為

,求a·b+b·c+c·a.【解析】(1)①a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos60°=3.②(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×22+5×3-3×32=-4.(2)因為|a|=|b|=|c|=,且a與b,b與c,c與a的夾角均為120°,所以a·b+b·c+c·a=××cos120°×3=-3.類型二與向量模有關(guān)的問題(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例】1.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)非零向量a,b滿足則 (

)

A.a⊥b B.C.a∥b D.2.已知向量a與b的夾角為45°,且|a|=1,|2a+b|=,則|b|=________.

3.已知|a|=|b|=2,a·b=-2,若|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是________.

【思路導(dǎo)引】1.利用向量運算及模的幾何意義.2、3利用向量模的公式a2=|a|2.【解析】1.選A.由|a+b|=|a-b|平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,則a⊥b.2.因為|2a+b|=,所以(2a+b)2=10,所以4a2+4a·b+b2=10.又因為向量a與b的夾角為45°且|a|=1,所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10,整理得|b|2+2|b|-6=0,解得|b|=或|b|=-3(舍去).答案:

3.因為|c-a-b|=1=|c-(a+b)|≥|c|-|a+b|,所以|c|≤1+|a+b|.又因為|a|=|b|=2,a·b=-2,

所以|c|≤3.同理|c-a-b|=1=|c-(a+b)|≥|a+b|-|c|,可得|c|≥|a+b|-1=2-1=1,故有1≤|c|≤3.答案:【解題策略】(1)利用數(shù)量積求模問題,是數(shù)量積的重要應(yīng)用,解決此類問題的方法是對向量進行平方,即利用公式:a·a=a2=|a|2或|a|=,將向量運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算.(2)拓展公式:=a2±2a·b+b2=|a|2±2a·b+|b|2.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=__________.

【解析】因為|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos60°+4|b|2=22+4×2×1×+4×1=12,所以|a+2b|=2.答案:2

2.已知向量a,b滿足|b|=5,|2a+b|=5,|a-b|=5,則|a|=________.

【解析】由已知有將b2=|b|2=25代入方程組,解得|a|=.答案:3.(2017·浙江高考)已知向量a,b滿足,則的最小值是____________________,最大值是______________.

【解析】設(shè)a與b的夾角為θ,所以令所以y2=10+(-1≤cosθ≤1),所以y2∈,所以y∈答案:4

2

類型三向量坐標(biāo)運算的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)角度1求向量的夾角

【典例】(2019·全國卷Ⅰ)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為 (

)【思路導(dǎo)引】利用夾角公式:cosθ=計算.【解析】選B.設(shè)夾角為θ,因為(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以又θ∈[0,π],所以a與b的夾角為,故選B.【變式探究】若將本例條件改為“|a|=3|b|=|a+2b|”,試求a與b夾角的余弦值.【解析】設(shè)a與b夾角為θ,因為|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cosθ=13|b|2+12|b|2cosθ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ,故有cosθ=-.角度2向量垂直的應(yīng)用

【典例】已知非零向量m,n的夾角為θ,且滿足4|m|=3|n|,cosθ=.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為 (

)

A.4 B.-4 C. D.-

【思路導(dǎo)引】利用向量垂直的充要條件求參數(shù).【解析】選B.由4|m|=3|n|,可設(shè)|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.【解題策略】

1.求向量夾角的基本步驟2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是a⊥b?a·b=0,利用數(shù)量積的運算代入,結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識解題.【題組訓(xùn)練】1.在四邊形ABCD中,=0,則四邊形ABCD是 (

)A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形【解析】選B.因為即一組對邊平行且相等,=0,即對角線互相垂直,所以四邊形ABCD為菱形.2.已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為 (

)【解析】選C.設(shè)a與b的夾角為θ,因為a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,所以2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cosθ=0,因為|b|=4|a|,所以2|a|2+4|a|2cosθ=0,所以cosθ=-,因為θ∈[0,π],所以θ=π.3.(2020·濟寧高一檢測)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a與b的夾角θ;(2)求|a+b|.【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.將|a|=4,|b|=3代入上式,得a·b=-6,所以又0≤θ≤π,所以θ=.(2)因為|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=13,所以|a+b|=.【拓展延伸】利用數(shù)量積解決夾角問題兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù),不是一個向量,其值可以為正(當(dāng)a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時),也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0,b≠0,90°<θ≤180°時),還可以為0(當(dāng)a=0或b=0或θ=90°時).因此,要注意夾角θ的范圍θ∈[0,π],當(dāng)cosθ>0時,θ∈;當(dāng)cosθ<0時,θ∈,當(dāng)cosθ=0時,θ=.【拓展訓(xùn)練】已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量,若向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,則k的取值范圍為________.

【解析】因為e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.當(dāng)k=1時,e1+ke2=ke1+e2,它們的夾角為0°,不符合題意,舍去.綜上,k的取值范圍為k>0且k≠1.答案:(0,1)∪(1,+∞)【補償訓(xùn)練】將本題中的條件“銳角”改為“鈍角”,其他條件不變,求k的取值范圍.【解析】因為e1+ke2與ke1+e2的夾角為鈍角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0.當(dāng)k=-1時,e1+ke2與ke1+e2方向相反,它們的夾角為π,不符合題意,舍去.綜上,k的取值范圍是k<0且k≠-1.1.設(shè)e1,e2是兩個平行的單位向量,則下面的結(jié)果正確的是 (

)

A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<1課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)【解析】選C.設(shè)e1與e2的夾角為θ,則e1·e2=|e1||e2|cosθ=±1.所以|e1·e2|=1.2.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為 (

)A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選C.設(shè)a,b的夾角為θ.由題意a·c=a·(a+b)=|a|2+|a||b|cosθ=0.所以cosθ=-.所以向量a,b的夾角為120°.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)已知向量a與b滿足|a|=10,|b|=3,且向量a與b的夾角為120°.則(a-b)·(a+b)=________;(2a+b)·(a-b)=________.

【解析】(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91.因為|a|=10,|b|=3,且向量a與b的夾角為120°,所以a·b=10×3×cos120°=-15,所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=200+15-9=206.答案:91

2064.已知向量a與b的夾角為θ,定義a×b為a與b的“向量積”,且a×b是一個向量,它的長度|a×b|=|a||b|sinθ,若|u|=2,|u+v|=2,(u+v)·u=6,求|u×(u+v)|.【解析】設(shè)u與u+v的夾角為θ,由題意知得sinθ=,由定義知|u×(u+v)|=|u|·|u+v|sinθ=2×2×=2.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneve