專題02手拉手模型(原卷版+解析)

專題02手拉手模型【解題方法】遇見平方等式，要用手拉手模型；構造等腰直角三角形，構造全等三角形，等量代換是解題三要素。等腰圖形有旋轉，辯清共點旋轉邊，關注三邊旋轉角，全等思考邊角邊。【模型一】手拉手與正方形有關壓軸題1．如圖，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點H．(1)如圖1，當點G在上時，求證：；(2)將正方形繞點C旋轉一周．①如圖2，當點E在直線右側時，判斷的數(shù)量關系并證明；②當時，若，請直接寫出線段的長．【模型二】手拉手有關結論問題2．如圖，，，三點在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結論中正確的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【模型三】手拉手與三點共線問題3．如圖，在中，，正方形的邊長為2，將正方形繞點B旋轉一周，連接．(1)請找出圖中與相似的三角形，并說明理由；(2)求當A、E、F三點在一直線上時的長．【模型四】四點共圓（隱形圓）（手拉手）求定值問題解題關鍵：定邊對定角，必有隱圓；定弦定角，必有隱圓；單動點折疊，必有隱圓；同側共邊等角，異側共邊互補，必有隱圓；矩形、正方形，四個頂點是共圓，對角線的交點是圓心，對角線是直徑。4．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖1所示的位置擺放（點、、在同一條直線上），小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）如圖2，將正方形繞點按逆時針方向旋轉，則與的數(shù)量關系為___________，位置關系為___________．（直接寫出答案）（2）如圖3，把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，，將矩形繞點按順時針方向旋轉，求與的數(shù)量關系和位置關系；（3）在（2）的條件下，小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉過程中，的值是定值，請求出這個定值．（直接寫出答案）【模型五】構造等腰直角三角形（手拉手模型）求證對余四邊形（對角互余）解題關鍵：手拉手模型，構造等腰直角三角形，構造全等三角形，等量代換得結果。【模型六】四點共圓與手拉手模型求函數(shù)解析式解題口訣：已知條件仔細看，對角互補是共圓；四點共圓助相似，比值相等得整式；設坐標，靈活運用手拉手；兩點之間的距離公式，勾股定理要想到，正確結果在眼前5．【了解概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】（1）如圖①，對余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當2CD2+CB2＝CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形．證明你的結論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°+∠ABC．設＝u，點D的縱坐標為t，請直接寫出u關于t的函數(shù)解析式．專題02手拉手模型【解題方法】遇見平方等式，要用手拉手模型；構造等腰直角三角形，構造全等三角形，等量代換是解題三要素。等腰圖形有旋轉，辯清共點旋轉邊，關注三邊旋轉角，全等思考邊角邊。【模型一】手拉手與正方形有關壓軸題1．如圖，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點H．(1)如圖1，當點G在上時，求證：；(2)將正方形繞點C旋轉一周．①如圖2，當點E在直線右側時，判斷的數(shù)量關系并證明；②當時，若，請直接寫出線段的長．答案:(1)證明見解析(2)①，證明見解析；②或分析：（1）證明，即可得到，再由角的等量代換即可證明；（2）①在線段上截取，連接，證明，得到為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的邊角性質(zhì)即可；②分兩種情況，一是如圖3所示，當D，G，E三點共線時，，連接．求出BD，設，則．在中，利用勾股定理列出方程解答；二是如圖4所示，當B，H，G三點共線時，，連接．設，中利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形和均為正方形，∴，，

∴．∴．

又∵，∴．∴．（2）解：①，證明如下：如圖所示，在線段上截取，連接．由（1）可知，，又∵，∴．∴．

∴，即．∴為等腰直角三角形．∴．∴，∴．

②第一種情況：如圖3所示，當D，G，E三點共線時，，此時G、H重合，連接．由①可知，且．又∵，∴．設，則．∴在中，由勾股定理得．∴，解得（負值舍），∴；第二種情況：如圖4所示，當B，H，G三點共線時，，連接．設，∵，∴．在中，由勾股定理得．∴．解得，∴∴的長為或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識點，解題的關鍵是熟知上述知識點，并正確作出輔助線．【模型二】手拉手有關結論問題2．如圖，，，三點在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結論中正確的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④答案:B分析：利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，過點C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的說法是正確的；無法證明△BPO≌△EDO．∴④的說法是錯誤的；故答案為①②③，故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關鍵．【模型三】手拉手與三點共線問題3．如圖，在中，，正方形的邊長為2，將正方形繞點B旋轉一周，連接．(1)請找出圖中與相似的三角形，并說明理由；(2)求當A、E、F三點在一直線上時的長．答案:(1)，理由見解析(2)或分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到，，進而證明，，由此即可證明；（2）先利用勾股定理求出，進而求出，再分當在左上方時，當在右下方時，兩種情況求出的長，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，，∴，即，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∵當A、E、F三點在一直線上時，，∴，如圖1，當在左上方時，∴，∵，∴，∴；如圖2，當在右下方時，∴∵，∴，∴；綜上所述，當A、E、F三點在一直線上時，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．【模型四】四點共圓（隱形圓）（手拉手）求定值問題解題關鍵：定邊對定角，必有隱圓；定弦定角，必有隱圓；單動點折疊，必有隱圓；同側共邊等角，異側共邊互補，必有隱圓；矩形、正方形，四個頂點是共圓，對角線的交點是圓心，對角線是直徑。4．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖1所示的位置擺放（點、、在同一條直線上），小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）如圖2，將正方形繞點按逆時針方向旋轉，則與的數(shù)量關系為___________，位置關系為___________．（直接寫出答案）（2）如圖3，把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，，將矩形繞點按順時針方向旋轉，求與的數(shù)量關系和位置關系；（3）在（2）的條件下，小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉過程中，的值是定值，請求出這個定值．（直接寫出答案）答案:（1），；（2），；（3）260分析：（1）延長DG交BE于M，交AB于N，證明△DAG≌△BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到BE⊥DG；（2）設與交于，與交于點，由比的性質(zhì)求出、的值，由相似三角形的判定證得，由相似三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形和內(nèi)角和定理得出，即；（3）連接EG、BD，由（2）得出，，且，由勾股定理求得、的值，由即可得出結論．【詳解】（1）延長DG交BE于M，交AB于

N，如圖2，∵四邊形ABCD、四邊形EFGA為正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠AND＝∠BNM，∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG，故答案為：；；（2），，理由如下：設與交于，與交于點，如圖3，∵，，，∴，．∵四邊形和四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．（3）連接EG、BD，如圖3∵，，，∴，．∵四邊形和四邊形為矩形，∴∴，，由（2）證得，∴．【點睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．【模型五】構造等腰直角三角形（手拉手模型）求證對余四邊形（對角互余）解題關鍵：手拉手模型，構造等腰直角三角形，構造全等三角形，等量代換得結果?！灸Ｐ土克狞c共圓與手拉手模型求函數(shù)解析式解題口訣：已知條件仔細看，對角互補是共圓；四點共圓助相似，比值相等得整式；設坐標，靈活運用手拉手；兩點之間的距離公式，勾股定理要想到，正確結果在眼前5．【了解概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】（1）如圖①，對余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當2CD2+CB2＝CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形．證明你的結論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°+∠ABC．設＝u，點D的縱坐標為t，請直接寫出u關于t的函數(shù)解析式．答案:（1）；（2）四邊形ABCD是對余四邊形，證明見解析；（3）u＝（0＜t＜4）．分析：（1）先構造直角三角形，然后利用對余四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出sin∠CAD的值．（2）通過構造手拉手模型，即構造等腰直角三角形，通過證明三角形全等，利用勾股定理來證明四邊形ABCD為對余四邊形．（3）過點D作DH⊥x軸于點H，先證明△ABE∽△DBA，得出u與AD的關系，設D（x，t），再利用（2）中結論，求出AD與t的關系即可解決問題．【詳解】解：（1）過點A作AE⊥BC于E，過點C作CF⊥AD于F．∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，在Rt△AEB中，AE＝，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴，∴，∴CF＝，∴sin∠CAD＝．（2）如圖②中，結論：四邊形ABCD是對余四邊形．理由：過點D作DM⊥DC，使得DM＝DC，連接CM．∵四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是對余四邊形．（3）如圖③中，過點D作DH⊥x軸于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四點共圓，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠