數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第六章數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵美學(xué)思想第一節(jié)

數(shù)學(xué)美涵義第二節(jié)數(shù)學(xué)美特征退出一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美二、數(shù)學(xué)美涵義

一、

簡單美

二、

對稱美三、友好美四、奇異美第1頁第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

第四節(jié)

數(shù)學(xué)美在中國源頭

一、美觀---外在美二、美好---內(nèi)在美三、美妙---高興美四、完美---

至善至美一、太極八卦---中國象數(shù)學(xué)美二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美雛形第2頁第一節(jié)

數(shù)學(xué)美涵義一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯(Proelus)斷言:“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?/p>

古希臘著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)對數(shù)學(xué)有很深造詣,其中畢氏定理(勾股定理)就是他杰作,他認(rèn)為“萬物最基本元素是數(shù),數(shù)友好---這就是美?！狈祷氐?頁龐加萊：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)作風(fēng)，那么到底是什么使我們感到一個解答、一個證實(shí)優(yōu)美呢？那就是各個部分之間友好、對稱、恰到好處平穩(wěn)?！笨巳R因:“數(shù)學(xué)是人類最高超智力成就，也是人類靈魂最獨(dú)特創(chuàng)造。音樂能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩歌能感人心弦，哲學(xué)使人取得智慧，科學(xué)可改進(jìn)物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給給予上一切?！备咚?“去尋求一個最美和最簡練證實(shí)，乃是吸引我研究主要動力?！狈祷氐?頁數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)本質(zhì)力量感性和理性顯現(xiàn),是一個人本質(zhì)力量經(jīng)過宜人數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)展現(xiàn)。它是自然美客觀反應(yīng),是科學(xué)美關(guān)鍵。二、數(shù)學(xué)美涵義返回第5頁第二節(jié)數(shù)學(xué)美特征

一、

簡單美

簡單是指數(shù)學(xué)語言、符號、方法、邏輯結(jié)構(gòu)和理論體系簡單。

1.符號簡單符號是書寫數(shù)學(xué)語言文字，大數(shù)學(xué)家克萊因說:“符號經(jīng)常比創(chuàng)造它們數(shù)學(xué)家更能推理”,人們總是探索用簡單符號去表現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)內(nèi)容。比如，微積分學(xué)中慣用符號:返回第6頁又如,哈密頓微分算子符號向量場函數(shù)v=v1i+v2j+v3k,

(vi是x,y,z函數(shù))▽v=()(v1i+v2j+v3k)

返回?cái)?shù)量場函數(shù)u(x,y,z)時,產(chǎn)生梯度第7頁拉普拉斯方程:若用哈密頓算子表示,也十分漂亮、利落:

▽u·▽u=0返回第8頁在線性方程組表示為AX=B返回第9頁在埃及出土三千六百年前萊因特紙草上有下面一串符號用今天符號表示即：宋、元時期我國也開始了相當(dāng)于現(xiàn)在“方程論”研究,當(dāng)初記數(shù)使用是“算籌”,記號來表示二次三項(xiàng)式412x2－x+136其中x系數(shù)旁邊注以“元”字,常數(shù)項(xiàng)注以“太”字,籌上畫斜線表示“負(fù)數(shù)”。返回第10頁16世紀(jì),數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對方程符號有了改進(jìn),直到笛卡爾才第一個倡用x,y,z表示未知數(shù)。他曾用xxx－9xx+26－24∝0表示方程x3－9x2+26－24=0

這個演變過程就是對簡單美追求過程。返回第11頁假如要詳細(xì)寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能,然而用數(shù)學(xué)符號卻能準(zhǔn)確地表示它們。有些數(shù)及其運(yùn)算只有用符號表示,才能更準(zhǔn)確、更完美。比如,圓周率是一個常數(shù),1737年歐拉首先提倡用希臘字母π來表示它,且通用全世界；也是歐拉用e表示特殊無理常數(shù)─歐拉常數(shù)返回第12頁2.形式簡單藝術(shù)家們追求美中,形式美是其中尤其主要內(nèi)容,他們在渲染美時,經(jīng)常利用不一樣形式,如泰山雄偉,華山險(xiǎn)峻,黃山奇特,峨眉秀麗,青海幽深,滇池開闊等。數(shù)學(xué)家們也十分重視數(shù)學(xué)形式美,美國數(shù)學(xué)家柏克提出了一個公式

審美度=即人們對數(shù)學(xué)審美感受程度,與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出秩序成正比,與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出復(fù)雜性成反比。所以,按審美度要求,數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式越簡單就越美。返回第13頁格林公式斯托克斯公式返回第14頁空間解析幾何中

橢球

橢圓拋物面

它們不但便于記憶,而且含有形式美。返回第15頁3.語言簡單數(shù)學(xué)簡單美表現(xiàn)在語言上使人回味無窮。

如“負(fù)負(fù)得正”；“對頂角相等”；“實(shí)數(shù)集不可數(shù)”；

“角、邊、角”；“邊、角、邊”等。數(shù)列極限

函數(shù)極限

導(dǎo)數(shù)概念

返回第16頁4.方法簡單數(shù)學(xué)中許多簡單有效判定定理,形式優(yōu)美表示方式,并不是原本固有,而是經(jīng)過人們長久比較、篩選結(jié)果。比如,對于正項(xiàng)級數(shù)收斂性判別,達(dá)朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡單有效判別法,然而它們都有一個共同不足,就是不能判別當(dāng)極限值時級數(shù)斂散性,于是人們不停地給出了許多其它形式判別法。比達(dá)朗貝爾判別法更精細(xì)是拉貝(Laber)判別法

設(shè)則當(dāng)r>1時，級數(shù)收斂；

當(dāng)r<1時，級數(shù)發(fā)散。返回第17頁實(shí)際上，由達(dá)朗貝爾判別法：設(shè)級數(shù)滿足級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散不確定收斂；返回第18頁收斂；發(fā)散；斂散性不確定。凡是用達(dá)氏法能判別級數(shù)斂散性,用拉貝法也能判別,所以,拉貝法比達(dá)氏法更精細(xì)。返回第19頁比拉貝判別法更精細(xì)是庫麥爾(Kummer)判別法,其中{Cn}適合條件:級數(shù)發(fā)散。

設(shè)則當(dāng)k>0時,級數(shù)收斂;當(dāng)k<0時,級數(shù)發(fā)散。返回實(shí)際上，當(dāng)時，庫麥爾判別法即為拉貝判別法。第20頁拉格朗日型余項(xiàng)簡單整齊,易于記憶,使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項(xiàng)是最美,所以受到人們青睞。然而,人們在應(yīng)用泰勒公式時,最習(xí)慣使用還是拉格朗日型余項(xiàng)其中在x與x0之間。返回又如,泰勒公式余項(xiàng),局部性有皮亞諾(Peano)余項(xiàng),整體性有施諾米爾奇(Schlomilch)─羅赫(Roche)余項(xiàng),柯西余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)等。在整體性余項(xiàng)中,后兩種余項(xiàng)僅是前一個余項(xiàng)特例。因而,從整體性考慮,前一個余項(xiàng)更完美。第21頁二、

對稱美

對稱是指圖形或數(shù)式對稱,概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)對偶、對應(yīng)、對逆等。1.形式對稱解析幾何中標(biāo)準(zhǔn)圖形

返回第22頁代數(shù)中二項(xiàng)式定理:對稱行列式:

對稱矩陣：返回第23頁微積分中空間曲線L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)切線方程空間曲面S:F(x,y,z)=0法線方程==導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

返回第24頁2.關(guān)系對稱運(yùn)算對稱:加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等；概念對稱:函數(shù)與反函數(shù)、奇與偶、單增與單減、連續(xù)與間斷、收級與發(fā)散等；命題對稱:嚴(yán)格單減。

返回第25頁“共軛”關(guān)系對稱性:共軛無理數(shù)

共軛矩陣

共軛積分返回第26頁“對偶”關(guān)系對稱性:集合中對偶關(guān)系

線性規(guī)劃中對偶關(guān)系

線性規(guī)劃問題：

(*)返回第27頁對偶規(guī)劃問題：

(**)由對偶定理知,若線性規(guī)劃問題(*)有最優(yōu)解,則其對偶規(guī)劃問題(**)也有最優(yōu)解,且兩問題目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。反之也成立。返回返回第28頁3.對稱美方法利用對稱美方法是數(shù)學(xué)中銳利武器,數(shù)學(xué)家們利用它揭示和發(fā)覺了很多數(shù)學(xué)中奧秘,其中最經(jīng)典有麥克斯韋方程、笛沙格定理和伽羅瓦群等,它被著名數(shù)學(xué)家狄拉克(Dirac)稱為“自然科課時代新方法精華”。下面僅以求積分為例,來說明它妙用。(1)利用積分區(qū)間對稱性

利用積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱性和被積函數(shù)奇偶性,簡化定積分計(jì)算,是積分運(yùn)算中最慣用一個方法。若積分區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對稱,或積分區(qū)間即使關(guān)于原點(diǎn)對稱,但被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù),有時經(jīng)過適當(dāng)換元或拆項(xiàng)等方法也可轉(zhuǎn)化為對稱區(qū)間上積分問題。返回第29頁例1求(n為自然數(shù))。令,則可將積分化為對稱區(qū)間。

返回第30頁(2)利用函數(shù)圖象對稱性

借助積分中函數(shù)圖象對稱性,取得簡捷解題路徑,這是對稱美方法又一妙用。例2設(shè)C為對稱于坐標(biāo)軸平面光滑閉曲線,證實(shí)易知積分與路徑無關(guān)。設(shè)D為曲線C圍成平面閉區(qū)域,則由格林公式返回第31頁因?yàn)榉e分域D關(guān)于x軸對稱,又y3是奇函數(shù),同理，所以(3)利用輪換對稱性

依據(jù)研究問題中解析式結(jié)構(gòu)對稱性,由一個結(jié)論快速地得出相同結(jié)論,這不但能縮減冗長繁瑣計(jì)算或證實(shí)過程,而且給人以對稱美享受。例3計(jì)算

橢球外表面。

返回第32頁作廣義極坐標(biāo)變換,則

返回第33頁用輪換對稱法,即得于是

返回第34頁(4)挖掘潛在對稱關(guān)系

有問題從表面上看,似乎與對稱無關(guān)。但假如仔細(xì)分析,尋找潛在對稱關(guān)系,從而將問題轉(zhuǎn)化為對稱問題,就能很快找到突破口,使問題迎刃而解。例4計(jì)算

若直接令,則會造成錯誤結(jié)論。

因?yàn)閒(x)=在[0,]上原函數(shù)不是初等函數(shù),所以不能用普通定積分方法來計(jì)算。

返回第35頁于是尋找有沒有對稱點(diǎn),輕易發(fā)覺

即在區(qū)間[0,]上橫坐標(biāo)關(guān)于任意兩個對稱點(diǎn)x與對應(yīng)函數(shù)值關(guān)于也對稱,故

返回第36頁(5)結(jié)構(gòu)對稱關(guān)系

有些數(shù)學(xué)問題,原來并不含有對稱性,在解題過程中,假如善于依據(jù)問題特點(diǎn),結(jié)構(gòu)出某種對稱關(guān)系,便能使問題很快得到處理。例5計(jì)算其中D為y=1,x=－1所圍成區(qū)域,f是一連續(xù)函數(shù)。

積分區(qū)域不具有對稱性，作曲線,

將D分成D1,D2兩部分,返回第37頁于是D1與D2

分別關(guān)于y軸和x軸對稱。

又因?yàn)槭莤或y奇函數(shù),所以=0從上述解題過程中都放射出對稱美思想光芒，正如德國數(shù)學(xué)家外爾(Weyl)所說:“美和對稱緊密相關(guān)”。返回第38頁三、友好美

數(shù)學(xué)中友好美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在聯(lián)絡(luò)或共同規(guī)律,從而形成本質(zhì)上嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一。友好指事物之間含有勻稱、有序、明確改變規(guī)律。1.嚴(yán)謹(jǐn)是友好基礎(chǔ)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)自然顯現(xiàn)出它友好。為了追求嚴(yán)謹(jǐn),消除數(shù)學(xué)中不友好原因,數(shù)學(xué)家們一直在努力。數(shù)學(xué)史上所謂“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是一些數(shù)學(xué)理論不友好所致。

返回第39頁第一次危機(jī)---無理數(shù)誕生。

第二次危機(jī)------實(shí)數(shù)理論得以建立,造成集合論誕生。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)------“羅素悖論”和其它悖論產(chǎn)生,為了防止悖論,策梅洛(Zermelo)在19提出了一個公理系統(tǒng),后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)在19加以改進(jìn),形成了當(dāng)前公認(rèn)彼此無矛盾公理系統(tǒng),簡稱ZF公理系統(tǒng)。函數(shù)連續(xù)性,是當(dāng)今數(shù)學(xué)中一個主要基本概念,然而它當(dāng)代定義形成,也經(jīng)歷了一個從不友好到友好漫長過程。18世紀(jì),數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為,由一個單獨(dú)表示式給出函數(shù)是連續(xù),而由幾個表示式給出函數(shù)是不連續(xù)。比如,歐拉函數(shù)返回第40頁是不連續(xù),而由兩個分支組成雙曲線(反百分比函數(shù)),因?yàn)樗怯梢粋€表示式給出,就認(rèn)為它是連續(xù)。19世紀(jì)，傅立葉證實(shí):定義在某個區(qū)間上任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上正弦與余弦無窮級數(shù)。比如，返回第41頁可表示為這么一來,上述函數(shù)依照歐拉看法既不是連續(xù),同時又是連續(xù)。18,柯西對“連續(xù)”概念重新敘述,直至1850年魏爾斯特拉斯給出“”形式定義,才使得“連續(xù)”這一概念有了新解釋。2.統(tǒng)一是友好標(biāo)志統(tǒng)一是指數(shù)學(xué)中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在相互聯(lián)絡(luò)。

返回第42頁解析幾何中,引入極坐標(biāo)之后,橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式平面上二次曲線方程因?yàn)橄禂?shù)A,B,C,…,F不一樣,其形態(tài)萬千,不過歐拉經(jīng)過坐標(biāo)變換,將它們化為下面九種標(biāo)準(zhǔn)形狀:返回第43頁(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返回第44頁(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋物線)(兩相交直線)返回第45頁在積分學(xué)中,不定積分與定積分是兩個切然不一樣概念,但在微積分基本公式之中得到友好統(tǒng)一,從而極大地推進(jìn)了微積分應(yīng)用與發(fā)展。

定積分、重積分、曲線積分和曲面積分,它們表述實(shí)際意義各不相同,但卻都統(tǒng)一于黎曼積分之中。各類積分之間都有著內(nèi)在聯(lián)絡(luò):返回第46頁二重積分三重積分Ⅰ型曲線積分Ⅰ型曲面積分Ⅱ型曲線積分Ⅱ型曲面積分定積分返回第47頁

四、奇異美

奇異指數(shù)學(xué)中方法、結(jié)論或相關(guān)發(fā)展出乎意料,使人既驚奇又贊賞與折服。徐利治先生說:“奇異是一個美，奇異到極度更是一個美。”在數(shù)學(xué)史上曾吸引人們廣泛關(guān)注有“蝴蝶定理”。

1815年,數(shù)學(xué)家奧納首先處理了這個問題證實(shí)。但因?yàn)樗鼉?yōu)美外形及包含深刻內(nèi)涵,引發(fā)了人們廣泛興趣,100多年來研究者眾多,給出了不少初等與高等證實(shí),其中被公認(rèn)為最奇妙證實(shí)是1973年由斯特溫等人給出。返回第48頁證實(shí):由圖所表示，圓內(nèi)共有四對相等角。設(shè)PM=x,MQ=y,AM=MB=a,則有

化簡得

返回第49頁由相交弦定理知

故有

因x,y都大于0,上式僅在x=y,即PM=MQ時成立。

上述證實(shí)中沒有添加任何輔助線，證實(shí)過程簡明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！返回第50頁高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”奇異現(xiàn)象,隨地可見。比如,人們長久認(rèn)為,周期函數(shù)一定存在最小正周期,然而狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù),但不存在最小正周期。實(shí)數(shù)軸上有理點(diǎn)與無理點(diǎn)都是處處稠密,然而無理點(diǎn)卻比有理點(diǎn)多得多。洛比達(dá)(L’Hospital)法則是求未定式極限銳利武器,但它對極限返回第51頁卻無能為力。

在不定積分中，有些看上去非常簡單函數(shù)，卻“積”不出來:在歐拉公式

代入,得

真叫人拍案叫絕,人們把這5個常數(shù)戲稱為數(shù)學(xué)中“五朵金花”。

返回第52頁對于n!,人們長久認(rèn)為除了表示1,2,3,…,n這n個連續(xù)自然數(shù)乘積外,再沒有別意義。但在微積分中依據(jù)嘎瑪函數(shù)Г()遞推性質(zhì),能夠得到n!分析表示式這確實(shí)令人震驚而又感到數(shù)學(xué)魅力無窮。

第二型曲面積分是在雙側(cè)曲面上進(jìn)行。那么，單側(cè)曲面又是什么樣子呢？假如把一條長矩形紙帶扭轉(zhuǎn)180o后,再把兩端粘起來,這就成了僅有一個側(cè)面曲面,它通常叫做莫比烏斯帶,它是德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)覺。返回第53頁莫比烏斯帶有許多有趣性質(zhì)，比如用不一樣方式去剪開它，可有不一樣結(jié)果:假如沿著紙帶中線剪開,它仍是一條莫比烏斯帶,只是長度增加了一倍；若沿紙帶寬處剪開,它卻成了一個扭了兩圈長莫比烏斯帶套上一個小莫比烏斯帶。兩位美國學(xué)者在研究莫比烏斯帶制作時提出過一個問題：在確保不摺折紙條前提下，能做成功莫比烏斯帶紙條最短長度是多少？問題看上去似乎很簡單，然而回答起來卻是如此困難。兩位美國人預(yù)計(jì)是:若紙條寬是1,則能做成莫比烏斯帶最小長度在之間。返回第54頁從圖看出,只要,做成功是沒有問題。但它并不是最小預(yù)計(jì),這個最小預(yù)計(jì)至今依然是一個未解之“謎”。

有趣是,這個在數(shù)學(xué)史上完全由數(shù)學(xué)家構(gòu)想出來東西,竟進(jìn)入了有機(jī)化學(xué)領(lǐng)域。美國科羅拉多大學(xué)化學(xué)系沃爾巴、理查茲和霍爾提萬格,在試驗(yàn)室第一次合成了形狀和莫比烏斯帶一樣莫比烏斯分子,他們制造莫比烏斯分子方法同制作莫比烏斯帶方法極其相同。返回第55頁數(shù)學(xué)中奇異現(xiàn)象還有另一個涵義,當(dāng)人們沒有認(rèn)清它而做犯錯誤判斷、結(jié)論或給出不盡完美方法時,將會出現(xiàn)一些“反例”。以后又有些人發(fā)覺,存在著黎曼可積而又含有沒有窮多個間斷點(diǎn)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)是微積分學(xué)主要研究對象,起初,數(shù)學(xué)家們認(rèn)為“連續(xù)函數(shù)最少在某點(diǎn)處可微”,然而魏爾斯特拉斯卻找到了一個“處處連續(xù)但處處不可微”例子。返回第56頁第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠感受和觀賞數(shù)學(xué)美，張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中美學(xué)教育有以下4個層次:

美觀、美好、美妙、完美。

返回第57頁一、美觀---外在美

這主要是數(shù)學(xué)對象以形式上對稱、友好、簡練,給人感官帶來漂亮、漂亮感受。幾何學(xué)經(jīng)常帶給人們直觀美學(xué)形象

返回第58頁,在東京召開國際數(shù)學(xué)教育大會上,日本教師一堂公開課題目:在一塊矩形場地上筑一花壇,使其面積為場地二分之一,要求設(shè)計(jì)美觀。美國教師要求學(xué)生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作,發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線(寫出方程)進(jìn)行美術(shù)創(chuàng)作想象力。上海進(jìn)才中學(xué)教研組,他們在進(jìn)行立體幾何教課時,要求學(xué)生以“柱體”、“臺體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形,制作一座運(yùn)動會獎杯,并要求學(xué)生寫出每個部件方程式。返回第59頁二、美好---內(nèi)在美

數(shù)學(xué)上許多東西,只有認(rèn)識到它正確性,才能感覺其“美好”?！懊烙^”數(shù)學(xué)對象,也必須進(jìn)到“美好”層次。

“圓”從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀。從性質(zhì)上看它也十分美好。任何圓周長與直徑之比總是一個常數(shù)π。π既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù),是超越數(shù)。這種內(nèi)在數(shù)學(xué)價(jià)值,展現(xiàn)了“圓”魅力,引無數(shù)英雄盡折腰。從祖沖之計(jì)算到今天用計(jì)算機(jī)算到60億位小數(shù),對它研究還未完結(jié)。返回第60頁不美觀數(shù)學(xué)對象是很多。一個突出例子是一元二次方程求根公式:這一公式不論從哪方面看都不對稱、不友好、不美觀。

不過，當(dāng)我們了解它、利用它，就會感到它價(jià)值，它“內(nèi)秀”。這一公式會告訴我們許多信息:“士”表示它有2個根；“a≠0,△=b2一4ac”會顯示根數(shù)目及方程性質(zhì)……,所以，當(dāng)你和它熟悉了，就會以為它形式上雖難看，本質(zhì)卻是美好。正如《巴黎圣母院》中卡西摩多，外表丑陋而內(nèi)心美好。返回第61頁三、美妙---高興美

教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)覺機(jī)會,體驗(yàn)發(fā)覺真理高興。美妙感覺需要培養(yǎng),比如,三角形3條高、3條中線、3條內(nèi)角平分線都交于一點(diǎn),這是很漂亮、十分美好,同時令人驚奇結(jié)論。發(fā)覺它會使人以為數(shù)學(xué)妙不可言,尤其是幾何學(xué)妙極了。那么在教課時,先不告訴學(xué)生結(jié)果,讓學(xué)生自己親手作圖,讓學(xué)生自己發(fā)覺這些一下子看不出來“真理”。能夠想見,學(xué)生自己發(fā)覺一個數(shù)學(xué)真理該會是何等驚喜。一旦體會到數(shù)學(xué)“美妙”,對數(shù)學(xué)產(chǎn)生由衷興趣,也就是順理成章事了。返回第62頁每個喜歡數(shù)字人，都曾感受到那樣時刻:一條輔助線使無從著手幾何題豁然開朗,一個技巧使百思不得其解不等式證實(shí)得以經(jīng)過,一個特定“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干問題得以處理,這時高興與興奮真是難以形容,可能只有用一個“妙”字加以概括。這種美妙意境,會使人感到天地造化數(shù)學(xué)之巧妙,數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)字之深邃,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快。到達(dá)這一步,學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美真諦,被數(shù)學(xué)所吸引,喜歡數(shù)學(xué),熱愛數(shù)學(xué)。返回第63頁四、完美-----至善至美

數(shù)學(xué)總是盡力做到至善至美、完美無缺,這可能是數(shù)學(xué)最高“品質(zhì)”和最高精神“境界”。

數(shù)學(xué)家經(jīng)過300余年努力來證實(shí)費(fèi)馬定理,陳景潤對歌德巴赫猜測苦苦追求,都是追求數(shù)學(xué)“完美”經(jīng)典事例。二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,現(xiàn)有圓錐曲線優(yōu)美,又有數(shù)形結(jié)合風(fēng)采;現(xiàn)有啟迪二次型數(shù)學(xué)底蘊(yùn),更有描摹天體運(yùn)動功效,確實(shí)是一件完美科學(xué)杰作。返回第64頁數(shù)學(xué)美學(xué)格調(diào),和藝術(shù)格調(diào)是一脈相承。徐利治先生早就把數(shù)學(xué)概念和詩意境相結(jié)合,如借“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”來描述極限,更是一個高端美學(xué)觀賞。愛舍兒數(shù)學(xué)畫,顯示出濃厚哲學(xué)意味,而奇異數(shù)學(xué)分形藝術(shù)則是20世紀(jì)計(jì)算機(jī)技術(shù)產(chǎn)物。觀賞數(shù)學(xué)藝術(shù),怎樣在課堂教學(xué)中發(fā)掘數(shù)學(xué)藝術(shù)魅力,在我國還沒有得到應(yīng)有重視,尤其是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中某種過分形式化趨向,往往掩蓋了數(shù)學(xué)漂亮色彩,遮蔽了數(shù)學(xué)文化光芒,以至喪失了數(shù)學(xué)教學(xué)美育功效。把數(shù)學(xué)美展示真正落實(shí)到課堂上,還有許多工作要做。返回第65頁第四節(jié)

數(shù)學(xué)美在中國源頭

數(shù)學(xué)作為一門有組織、獨(dú)立、理性學(xué)科來說,形成于公元前6世紀(jì)至公元前3世紀(jì)古希臘時代。早期一些古代文明國家,如中國、埃及、印度和巴比倫等,數(shù)學(xué)已經(jīng)有了開端和萌芽,我們稱公元前6世紀(jì)以前這個時期數(shù)學(xué)為早期數(shù)學(xué),而人類在早期數(shù)學(xué)中,就已經(jīng)發(fā)覺一個朦朧而神秘?cái)?shù)學(xué)美了,這是為考古學(xué)家和數(shù)學(xué)史家大量發(fā)覺和研究結(jié)果所證實(shí)了。人類關(guān)于數(shù)學(xué)美觀念,對于數(shù)學(xué)美感受、追求、探索以及研究也早在遙遠(yuǎn)古代就開始了,這里介紹數(shù)學(xué)美在中國源頭。返回第66頁一、太極八卦---中國象數(shù)學(xué)美

中國,在古代對于數(shù)學(xué)美感受與體驗(yàn),一直可追溯到公元前11世紀(jì)殷末周初時期。傳說“天神”伏羲氏所創(chuàng)造太極八卦圖,說明我國古代先人對于圓形所展現(xiàn)美有著自己獨(dú)特認(rèn)識。古希臘畢達(dá)哥拉斯之所以認(rèn)為“一切平面圖形中最美是圓形”,其主要原因是因?yàn)閳A有著無數(shù)條對稱軸,顯示出一個絕正確對稱與友好。返回第67頁中國太極圖表示出了陰與陽運(yùn)動性質(zhì),黑色陰和白色陽也展現(xiàn)出一個對稱。

但這種對稱不是以平直單調(diào)直徑作為對稱軸,而是以一條S形曲線將大圓均分成兩半。這一奇妙分割產(chǎn)生許多意想不到美效果:它使得這個陰與陽之間對稱不是靜止，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補(bǔ)充。暗示著無休止強(qiáng)有力運(yùn)動,并可經(jīng)過這個含有動態(tài)美幾何圖形對事物進(jìn)行抽象,給出宇宙萬物對立統(tǒng)一運(yùn)動形象模式,告訴我們宇宙美一個簡單美妙組合方式,但又沒有詳細(xì)指出它們確實(shí)切涵義,只道出了一個“互補(bǔ)性之謎”。其內(nèi)含寓意深刻,令人贊嘆不已。返回第68頁“周易”經(jīng)史學(xué)家考證,大約出于公元前11