數學中蘊涵的美學思想省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

第六章數學中蘊涵美學思想第一節(jié)

數學美涵義第二節(jié)數學美特征退出一、數學家論數學美二、數學美涵義

一、

簡單美

二、

對稱美三、友好美四、奇異美第1頁第三節(jié)

讓學生感受數學美

第四節(jié)

數學美在中國源頭

一、美觀---外在美二、美好---內在美三、美妙---高興美四、完美---

至善至美一、太極八卦---中國象數學美二、河圖洛書—數學形式美雛形第2頁第一節(jié)

數學美涵義一、數學家論數學美古希臘哲學家、數學家普洛克拉斯(Proelus)斷言:“哪里有數，哪里就有美?！?/p>

古希臘著名學者畢達哥拉斯(Pythagoras)對數學有很深造詣,其中畢氏定理(勾股定理)就是他杰作,他認為“萬物最基本元素是數,數友好---這就是美。”返回第3頁龐加萊：“數學家們十分重視他們方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實作風，那么到底是什么使我們感到一個解答、一個證實優(yōu)美呢？那就是各個部分之間友好、對稱、恰到好處平穩(wěn)?！笨巳R因:“數學是人類最高超智力成就，也是人類靈魂最獨特創(chuàng)造。音樂能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩歌能感人心弦，哲學使人取得智慧，科學可改進物質生活，但數學能給給予上一切?！备咚?“去尋求一個最美和最簡練證實，乃是吸引我研究主要動力?！狈祷氐?頁數學美是數學科學本質力量感性和理性顯現,是一個人本質力量經過宜人數學思維結構展現。它是自然美客觀反應,是科學美關鍵。二、數學美涵義返回第5頁第二節(jié)數學美特征

一、

簡單美

簡單是指數學語言、符號、方法、邏輯結構和理論體系簡單。

1.符號簡單符號是書寫數學語言文字，大數學家克萊因說:“符號經常比創(chuàng)造它們數學家更能推理”,人們總是探索用簡單符號去表現復雜數學內容。比如，微積分學中慣用符號:返回第6頁又如,哈密頓微分算子符號向量場函數v=v1i+v2j+v3k,

(vi是x,y,z函數)▽v=()(v1i+v2j+v3k)

返回數量場函數u(x,y,z)時,產生梯度第7頁拉普拉斯方程:若用哈密頓算子表示,也十分漂亮、利落:

▽u·▽u=0返回第8頁在線性方程組表示為AX=B返回第9頁在埃及出土三千六百年前萊因特紙草上有下面一串符號用今天符號表示即：宋、元時期我國也開始了相當于現在“方程論”研究,當初記數使用是“算籌”,記號來表示二次三項式412x2－x+136其中x系數旁邊注以“元”字,常數項注以“太”字,籌上畫斜線表示“負數”。返回第10頁16世紀,數學家卡當、韋達等人對方程符號有了改進,直到笛卡爾才第一個倡用x,y,z表示未知數。他曾用xxx－9xx+26－24∝0表示方程x3－9x2+26－24=0

這個演變過程就是對簡單美追求過程。返回第11頁假如要詳細寫出圓周率或歐拉常數根本不可能,然而用數學符號卻能準確地表示它們。有些數及其運算只有用符號表示,才能更準確、更完美。比如,圓周率是一個常數,1737年歐拉首先提倡用希臘字母π來表示它,且通用全世界；也是歐拉用e表示特殊無理常數─歐拉常數返回第12頁2.形式簡單藝術家們追求美中,形式美是其中尤其主要內容,他們在渲染美時,經常利用不一樣形式,如泰山雄偉,華山險峻,黃山奇特,峨眉秀麗,青海幽深,滇池開闊等。數學家們也十分重視數學形式美,美國數學家柏克提出了一個公式

審美度=即人們對數學審美感受程度,與數學表現出秩序成正比,與數學表現出復雜性成反比。所以,按審美度要求,數學表現形式越簡單就越美。返回第13頁格林公式斯托克斯公式返回第14頁空間解析幾何中

橢球

橢圓拋物面

它們不但便于記憶,而且含有形式美。返回第15頁3.語言簡單數學簡單美表現在語言上使人回味無窮。

如“負負得正”；“對頂角相等”；“實數集不可數”；

“角、邊、角”；“邊、角、邊”等。數列極限

函數極限

導數概念

返回第16頁4.方法簡單數學中許多簡單有效判定定理,形式優(yōu)美表示方式,并不是原本固有,而是經過人們長久比較、篩選結果。比如,對于正項級數收斂性判別,達朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡單有效判別法,然而它們都有一個共同不足,就是不能判別當極限值時級數斂散性,于是人們不停地給出了許多其它形式判別法。比達朗貝爾判別法更精細是拉貝(Laber)判別法

設則當r>1時，級數收斂；

當r<1時，級數發(fā)散。返回第17頁實際上，由達朗貝爾判別法：設級數滿足級數收斂級數發(fā)散不確定收斂；返回第18頁收斂；發(fā)散；斂散性不確定。凡是用達氏法能判別級數斂散性,用拉貝法也能判別,所以,拉貝法比達氏法更精細。返回第19頁比拉貝判別法更精細是庫麥爾(Kummer)判別法,其中{Cn}適合條件:級數發(fā)散。

設則當k>0時,級數收斂;當k<0時,級數發(fā)散。返回實際上，當時，庫麥爾判別法即為拉貝判別法。第20頁拉格朗日型余項簡單整齊,易于記憶,使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項是最美,所以受到人們青睞。然而,人們在應用泰勒公式時,最習慣使用還是拉格朗日型余項其中在x與x0之間。返回又如,泰勒公式余項,局部性有皮亞諾(Peano)余項,整體性有施諾米爾奇(Schlomilch)─羅赫(Roche)余項,柯西余項和拉格朗日余項等。在整體性余項中,后兩種余項僅是前一個余項特例。因而,從整體性考慮,前一個余項更完美。第21頁二、

對稱美

對稱是指圖形或數式對稱,概念、命題、法則或結構對偶、對應、對逆等。1.形式對稱解析幾何中標準圖形

返回第22頁代數中二項式定理:對稱行列式:

對稱矩陣：返回第23頁微積分中空間曲線L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)切線方程空間曲面S:F(x,y,z)=0法線方程==導數運算法則

返回第24頁2.關系對稱運算對稱:加與減、乘與除、乘方與開方、指數與對數、微分與積分、矩陣與逆矩陣等；概念對稱:函數與反函數、奇與偶、單增與單減、連續(xù)與間斷、收級與發(fā)散等；命題對稱:嚴格單減。

返回第25頁“共軛”關系對稱性:共軛無理數

共軛矩陣

共軛積分返回第26頁“對偶”關系對稱性:集合中對偶關系

線性規(guī)劃中對偶關系

線性規(guī)劃問題：

(*)返回第27頁對偶規(guī)劃問題：

(**)由對偶定理知,若線性規(guī)劃問題(*)有最優(yōu)解,則其對偶規(guī)劃問題(**)也有最優(yōu)解,且兩問題目標函數最優(yōu)值相等。反之也成立。返回返回第28頁3.對稱美方法利用對稱美方法是數學中銳利武器,數學家們利用它揭示和發(fā)覺了很多數學中奧秘,其中最經典有麥克斯韋方程、笛沙格定理和伽羅瓦群等,它被著名數學家狄拉克(Dirac)稱為“自然科課時代新方法精華”。下面僅以求積分為例,來說明它妙用。(1)利用積分區(qū)間對稱性

利用積分區(qū)間關于原點對稱性和被積函數奇偶性,簡化定積分計算,是積分運算中最慣用一個方法。若積分區(qū)間不關于原點對稱,或積分區(qū)間即使關于原點對稱,但被積函數是非奇非偶函數,有時經過適當換元或拆項等方法也可轉化為對稱區(qū)間上積分問題。返回第29頁例1求(n為自然數)。令,則可將積分化為對稱區(qū)間。

返回第30頁(2)利用函數圖象對稱性

借助積分中函數圖象對稱性,取得簡捷解題路徑,這是對稱美方法又一妙用。例2設C為對稱于坐標軸平面光滑閉曲線,證實易知積分與路徑無關。設D為曲線C圍成平面閉區(qū)域,則由格林公式返回第31頁因為積分域D關于x軸對稱,又y3是奇函數,同理，所以(3)利用輪換對稱性

依據研究問題中解析式結構對稱性,由一個結論快速地得出相同結論,這不但能縮減冗長繁瑣計算或證實過程,而且給人以對稱美享受。例3計算

橢球外表面。

返回第32頁作廣義極坐標變換,則

返回第33頁用輪換對稱法,即得于是

返回第34頁(4)挖掘潛在對稱關系

有問題從表面上看,似乎與對稱無關。但假如仔細分析,尋找潛在對稱關系,從而將問題轉化為對稱問題,就能很快找到突破口,使問題迎刃而解。例4計算

若直接令,則會造成錯誤結論。

因為f(x)=在[0,]上原函數不是初等函數,所以不能用普通定積分方法來計算。

返回第35頁于是尋找有沒有對稱點,輕易發(fā)覺

即在區(qū)間[0,]上橫坐標關于任意兩個對稱點x與對應函數值關于也對稱,故

返回第36頁(5)結構對稱關系

有些數學問題,原來并不含有對稱性,在解題過程中,假如善于依據問題特點,結構出某種對稱關系,便能使問題很快得到處理。例5計算其中D為y=1,x=－1所圍成區(qū)域,f是一連續(xù)函數。

積分區(qū)域不具有對稱性，作曲線,

將D分成D1,D2兩部分,返回第37頁于是D1與D2

分別關于y軸和x軸對稱。

又因為是x或y奇函數,所以=0從上述解題過程中都放射出對稱美思想光芒，正如德國數學家外爾(Weyl)所說:“美和對稱緊密相關”。返回第38頁三、友好美

數學中友好美是指數學內容與內容之間、內容與形式之間、部分與整體之間存在著內在聯絡或共同規(guī)律,從而形成本質上嚴謹與統一。友好指事物之間含有勻稱、有序、明確改變規(guī)律。1.嚴謹是友好基礎數學嚴謹自然顯現出它友好。為了追求嚴謹,消除數學中不友好原因,數學家們一直在努力。數學史上所謂“數學危機”正是一些數學理論不友好所致。

返回第39頁第一次危機---無理數誕生。

第二次危機------實數理論得以建立,造成集合論誕生。第三次數學危機------“羅素悖論”和其它悖論產生,為了防止悖論,策梅洛(Zermelo)在19提出了一個公理系統,后經弗蘭克爾(Fraenkel)在19加以改進,形成了當前公認彼此無矛盾公理系統,簡稱ZF公理系統。函數連續(xù)性,是當今數學中一個主要基本概念,然而它當代定義形成,也經歷了一個從不友好到友好漫長過程。18世紀,數學家歐拉認為,由一個單獨表示式給出函數是連續(xù),而由幾個表示式給出函數是不連續(xù)。比如,歐拉函數返回第40頁是不連續(xù),而由兩個分支組成雙曲線(反百分比函數),因為它是由一個表示式給出,就認為它是連續(xù)。19世紀，傅立葉證實:定義在某個區(qū)間上任意函數可表示成該區(qū)間上正弦與余弦無窮級數。比如，返回第41頁可表示為這么一來,上述函數依照歐拉看法既不是連續(xù),同時又是連續(xù)。18,柯西對“連續(xù)”概念重新敘述,直至1850年魏爾斯特拉斯給出“”形式定義,才使得“連續(xù)”這一概念有了新解釋。2.統一是友好標志統一是指數學中內容與內容之間、內容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在相互聯絡。

返回第42頁解析幾何中,引入極坐標之后,橢圓、雙曲線、拋物線統一于公式平面上二次曲線方程因為系數A,B,C,…,F不一樣,其形態(tài)萬千,不過歐拉經過坐標變換,將它們化為下面九種標準形狀:返回第43頁(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返回第44頁(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋物線)(兩相交直線)返回第45頁在積分學中,不定積分與定積分是兩個切然不一樣概念,但在微積分基本公式之中得到友好統一,從而極大地推進了微積分應用與發(fā)展。

定積分、重積分、曲線積分和曲面積分,它們表述實際意義各不相同,但卻都統一于黎曼積分之中。各類積分之間都有著內在聯絡:返回第46頁二重積分三重積分Ⅰ型曲線積分Ⅰ型曲面積分Ⅱ型曲線積分Ⅱ型曲面積分定積分返回第47頁

四、奇異美

奇異指數學中方法、結論或相關發(fā)展出乎意料,使人既驚奇又贊賞與折服。徐利治先生說:“奇異是一個美，奇異到極度更是一個美?！痹跀祵W史上曾吸引人們廣泛關注有“蝴蝶定理”。

1815年,數學家奧納首先處理了這個問題證實。但因為它優(yōu)美外形及包含深刻內涵,引發(fā)了人們廣泛興趣,100多年來研究者眾多,給出了不少初等與高等證實,其中被公認為最奇妙證實是1973年由斯特溫等人給出。返回第48頁證實:由圖所表示，圓內共有四對相等角。設PM=x,MQ=y,AM=MB=a,則有

化簡得

返回第49頁由相交弦定理知

故有

因x,y都大于0,上式僅在x=y,即PM=MQ時成立。

上述證實中沒有添加任何輔助線，證實過程簡明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！返回第50頁高等數學中這種“離經叛道”奇異現象,隨地可見。比如,人們長久認為,周期函數一定存在最小正周期,然而狄利克雷函數是周期函數,但不存在最小正周期。實數軸上有理點與無理點都是處處稠密,然而無理點卻比有理點多得多。洛比達(L’Hospital)法則是求未定式極限銳利武器,但它對極限返回第51頁卻無能為力。

在不定積分中，有些看上去非常簡單函數，卻“積”不出來:在歐拉公式

代入,得

真叫人拍案叫絕,人們把這5個常數戲稱為數學中“五朵金花”。

返回第52頁對于n!,人們長久認為除了表示1,2,3,…,n這n個連續(xù)自然數乘積外,再沒有別意義。但在微積分中依據嘎瑪函數Г()遞推性質,能夠得到n!分析表示式這確實令人震驚而又感到數學魅力無窮。

第二型曲面積分是在雙側曲面上進行。那么，單側曲面又是什么樣子呢？假如把一條長矩形紙帶扭轉180o后,再把兩端粘起來,這就成了僅有一個側面曲面,它通常叫做莫比烏斯帶,它是德國數學家莫比烏斯在1858年發(fā)覺。返回第53頁莫比烏斯帶有許多有趣性質，比如用不一樣方式去剪開它，可有不一樣結果:假如沿著紙帶中線剪開,它仍是一條莫比烏斯帶,只是長度增加了一倍；若沿紙帶寬處剪開,它卻成了一個扭了兩圈長莫比烏斯帶套上一個小莫比烏斯帶。兩位美國學者在研究莫比烏斯帶制作時提出過一個問題：在確保不摺折紙條前提下，能做成功莫比烏斯帶紙條最短長度是多少？問題看上去似乎很簡單，然而回答起來卻是如此困難。兩位美國人預計是:若紙條寬是1,則能做成莫比烏斯帶最小長度在之間。返回第54頁從圖看出,只要,做成功是沒有問題。但它并不是最小預計,這個最小預計至今依然是一個未解之“謎”。

有趣是,這個在數學史上完全由數學家構想出來東西,竟進入了有機化學領域。美國科羅拉多大學化學系沃爾巴、理查茲和霍爾提萬格,在試驗室第一次合成了形狀和莫比烏斯帶一樣莫比烏斯分子,他們制造莫比烏斯分子方法同制作莫比烏斯帶方法極其相同。返回第55頁數學中奇異現象還有另一個涵義,當人們沒有認清它而做犯錯誤判斷、結論或給出不盡完美方法時,將會出現一些“反例”。以后又有些人發(fā)覺,存在著黎曼可積而又含有沒有窮多個間斷點函數。連續(xù)函數是微積分學主要研究對象,起初,數學家們認為“連續(xù)函數最少在某點處可微”,然而魏爾斯特拉斯卻找到了一個“處處連續(xù)但處處不可微”例子。返回第56頁第三節(jié)

讓學生感受數學美

怎樣在數學教學過程中展現數學美，讓學生在數學學習中能夠感受和觀賞數學美，張奠宙教授認為，數學教學中美學教育有以下4個層次:

美觀、美好、美妙、完美。

返回第57頁一、美觀---外在美

這主要是數學對象以形式上對稱、友好、簡練,給人感官帶來漂亮、漂亮感受。幾何學經常帶給人們直觀美學形象

返回第58頁,在東京召開國際數學教育大會上,日本教師一堂公開課題目:在一塊矩形場地上筑一花壇,使其面積為場地二分之一,要求設計美觀。美國教師要求學生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作,發(fā)揮學生用幾何曲線(寫出方程)進行美術創(chuàng)作想象力。上海進才中學教研組,他們在進行立體幾何教課時,要求學生以“柱體”、“臺體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形,制作一座運動會獎杯,并要求學生寫出每個部件方程式。返回第59頁二、美好---內在美

數學上許多東西,只有認識到它正確性,才能感覺其“美好”?！懊烙^”數學對象,也必須進到“美好”層次。

“圓”從結構上看是極其美觀。從性質上看它也十分美好。任何圓周長與直徑之比總是一個常數π。π既非有理數又非代數數,是超越數。這種內在數學價值,展現了“圓”魅力,引無數英雄盡折腰。從祖沖之計算到今天用計算機算到60億位小數,對它研究還未完結。返回第60頁不美觀數學對象是很多。一個突出例子是一元二次方程求根公式:這一公式不論從哪方面看都不對稱、不友好、不美觀。

不過，當我們了解它、利用它，就會感到它價值，它“內秀”。這一公式會告訴我們許多信息:“士”表示它有2個根；“a≠0,△=b2一4ac”會顯示根數目及方程性質……,所以，當你和它熟悉了，就會以為它形式上雖難看，本質卻是美好。正如《巴黎圣母院》中卡西摩多，外表丑陋而內心美好。返回第61頁三、美妙---高興美

教師要給學生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)覺機會,體驗發(fā)覺真理高興。美妙感覺需要培養(yǎng),比如,三角形3條高、3條中線、3條內角平分線都交于一點,這是很漂亮、十分美好,同時令人驚奇結論。發(fā)覺它會使人以為數學妙不可言,尤其是幾何學妙極了。那么在教課時,先不告訴學生結果,讓學生自己親手作圖,讓學生自己發(fā)覺這些一下子看不出來“真理”。能夠想見,學生自己發(fā)覺一個數學真理該會是何等驚喜。一旦體會到數學“美妙”,對數學產生由衷興趣,也就是順理成章事了。返回第62頁每個喜歡數字人，都曾感受到那樣時刻:一條輔助線使無從著手幾何題豁然開朗,一個技巧使百思不得其解不等式證實得以經過,一個特定“關系一映射一反演”方法使原不相干問題得以處理,這時高興與興奮真是難以形容,可能只有用一個“妙”字加以概括。這種美妙意境,會使人感到天地造化數學之巧妙,數學家創(chuàng)造數字之深邃,數學學習領悟之歡快。到達這一步,學生才算真正感受到數學美真諦,被數學所吸引,喜歡數學,熱愛數學。返回第63頁四、完美-----至善至美

數學總是盡力做到至善至美、完美無缺,這可能是數學最高“品質”和最高精神“境界”。

數學家經過300余年努力來證實費馬定理,陳景潤對歌德巴赫猜測苦苦追求,都是追求數學“完美”經典事例。二次曲線標準方程,現有圓錐曲線優(yōu)美,又有數形結合風采;現有啟迪二次型數學底蘊,更有描摹天體運動功效,確實是一件完美科學杰作。返回第64頁數學美學格調,和藝術格調是一脈相承。徐利治先生早就把數學概念和詩意境相結合,如借“孤帆遠影碧空盡”來描述極限,更是一個高端美學觀賞。愛舍兒數學畫,顯示出濃厚哲學意味,而奇異數學分形藝術則是20世紀計算機技術產物。觀賞數學藝術,怎樣在課堂教學中發(fā)掘數學藝術魅力,在我國還沒有得到應有重視,尤其是當前數學教學中某種過分形式化趨向,往往掩蓋了數學漂亮色彩,遮蔽了數學文化光芒,以至喪失了數學教學美育功效。把數學美展示真正落實到課堂上,還有許多工作要做。返回第65頁第四節(jié)

數學美在中國源頭

數學作為一門有組織、獨立、理性學科來說,形成于公元前6世紀至公元前3世紀古希臘時代。早期一些古代文明國家,如中國、埃及、印度和巴比倫等,數學已經有了開端和萌芽,我們稱公元前6世紀以前這個時期數學為早期數學,而人類在早期數學中,就已經發(fā)覺一個朦朧而神秘數學美了,這是為考古學家和數學史家大量發(fā)覺和研究結果所證實了。人類關于數學美觀念,對于數學美感受、追求、探索以及研究也早在遙遠古代就開始了,這里介紹數學美在中國源頭。返回第66頁一、太極八卦---中國象數學美

中國,在古代對于數學美感受與體驗,一直可追溯到公元前11世紀殷末周初時期。傳說“天神”伏羲氏所創(chuàng)造太極八卦圖,說明我國古代先人對于圓形所展現美有著自己獨特認識。古希臘畢達哥拉斯之所以認為“一切平面圖形中最美是圓形”,其主要原因是因為圓有著無數條對稱軸,顯示出一個絕正確對稱與友好。返回第67頁中國太極圖表示出了陰與陽運動性質,黑色陰和白色陽也展現出一個對稱。

但這種對稱不是以平直單調直徑作為對稱軸,而是以一條S形曲線將大圓均分成兩半。這一奇妙分割產生許多意想不到美效果:它使得這個陰與陽之間對稱不是靜止，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補充。暗示著無休止強有力運動,并可經過這個含有動態(tài)美幾何圖形對事物進行抽象,給出宇宙萬物對立統一運動形象模式,告訴我們宇宙美一個簡單美妙組合方式,但又沒有詳細指出它們確實切涵義,只道出了一個“互補性之謎”。其內含寓意深刻,令人贊嘆不已。返回第68頁“周易”經史學家考證,大約出于公元前11