第05講 概率的計算（主干知識復習）（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學銜接（新人教版）

第05講概率的計算【學習目標】1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系(參見案例12)了解隨機事件的并，交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并，交運算2.結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率3.通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則4.結(jié)合實例，會用頻率估計概率5.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義，結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率【基礎知識】一、隨機事件與概率1.隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗(randomexperiment),簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.2．樣本空間(1)我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間(samplespace).(2)一般地，我們用Ω(歐米伽)表示樣本空間，用ω表示樣本點.樣本點是隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點的集合.關于什么是基本結(jié)果,只能直觀描述,無法嚴格定義.我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,...,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,...,ωn,}為有限樣本空間.3.事件的相關概念二、事件的關系與運算1.事件的關系定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，2.判斷互斥、對立事件的方法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．三、古典概型1.概率和頻率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．(3)頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.3.基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．4．確定基本事件個數(shù)的三種方法(1)列舉法：此法適合基本事件較少的古典概型．(2)列表法(坐標法)：此法適合多個元素中選定兩個元素的試驗．(3)樹狀圖法：適合有順序的問題及較復雜問題中基本事件個數(shù)的探求．5．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．6．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇．7．古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設出所求的事件為A；②分別計算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個數(shù)m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.8.求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，在列舉基本事件空間時，可以利用列舉、畫樹狀圖等方法，以防遺漏．同時要注意細節(jié)，如用列舉法，注意是無序還是有序．在解答時，缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件是常見錯誤．四、概率的基本性質(zhì)1.性質(zhì)1對任意的事件A,都有P(A)≥0.2.性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1,P(Φ)=0.3．性質(zhì)3.如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)【解讀】①事件A與事件B互斥，如果沒有這一條件，加法公式將不能應用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．③在求某些稍復雜的事件的概率時，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．4.性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)【解讀】公式使用的前提必須是對立事件，否則不能使用此公式．②當一事件的概率不易直接求，但其對立事件的概率易求時，可運用此公式，即使用間接法求概率．5.性質(zhì)5.如果A?B,那么P(A)≤P(B)6.性質(zhì)6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)五、事件的相互獨立性1.設A,B兩個事件,如果事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響(即P(AB)=P(A)P(B)),則稱事件A與事件B相互獨立.簡稱獨立.2.必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨立.3.互斥事件和相互獨立事件是兩個不同概念:兩個事件互斥是指這兩個事件不可能同時發(fā)生;兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.4.相互獨立事件的判斷方法(1)定義法：P(AB)=P(A)P(B)(2)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個事件的發(fā)生是否相互影響.【考點剖析】考點一：事件的關系判斷例1．(2021-2022廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城高中高一下學期期中)一個射手進行射擊，記事件=“脫靶”，=“中靶”，=“中靶環(huán)數(shù)大于4”，則在上述事件中，互斥而不對立的事件是(

)A．與 B．與 C．與 D．以上都不對【答案】B【解析】射手進行射擊時，事件=“脫靶”，=“中靶”，=“中靶環(huán)數(shù)大于4”，事件與不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件與是互斥且對立，A不是；事件與不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件與是互斥不對立，B是；事件與可以同時發(fā)生，即事件與不互斥不對立，C不是，顯然D不正確.故選B考點二：概率與頻率例2．從年北京冬奧會、冬殘奧會志愿者的人中隨機抽取人，測得他們的身高分別為(單位：)：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在之間的概率為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，分析人的數(shù)據(jù)可得，身高在之間的有人，則在志愿者中任抽取一人身高在之間的概率為.故選B.考點三：利用古典概型求概率例3．(2022學年廣東省深圳市光明區(qū)高級中學高一下學期期中)甲有大小相同的兩張卡片，標有數(shù)字2、4；乙有大小相同的卡片四張，分別標有1、2、3、4．(1)求乙隨機抽取的兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率；(2)甲、乙分別取出一張卡，比較數(shù)字，數(shù)字小者獲勝，求乙獲勝的概率．【解析】(1)乙隨機抽取的兩張卡片，基本事件為，其中和為偶數(shù)的事件為：，所以乙隨機抽取的兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為(2)甲、乙分別取出一張卡，基本事件為，其中乙的數(shù)字小的事件為：，所以乙獲勝的概率為.考點四：利用互斥事件與對立事件求概率例4．(2022學年陜西省寶雞市金臺區(qū)高一下學期期中)把一個正方體的表面涂上紅色，在它的長、寬、高上等距離地各切三刀，則大正方體被分割成了個大小相等的小正方體，將這些小正方體均勻地攪混在一起.如果你從這些小正方體中隨意地取出個，則這個小正方體至少有一個面涂有紅色的概率為_______.【答案】【解析】個小正方體中，將大正方體外層的正方體去掉，可知沒有面是紅色的小正方體有個，至少有一個面涂有紅色的概率為.考點五：相互獨立事件的判斷例5．(2022學年江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校高一下學期期中)有5個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則(

)A．甲與丙相互獨立 B．丙與丁相互獨立 C．甲與丁相互獨立 D．乙與丙相互獨立【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁事件分別記為，則有，，對于A，顯然甲丙不可能同時發(fā)生，即，A不正確；對于B，顯然丙丁不可能同時發(fā)生，即，B不正確；對于C，，甲與丁相互獨立，C正確；對于D，，D不正確.故選C考點六：利用相互獨立事件概率計算公式求概率例6．(2022學年廣西北海市高一上學期期末檢測)已知甲、乙、丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒有影響，則他們?nèi)酥星∮袃扇吮讳浫〉母怕蕿開__________.【答案】【解析】因為甲、乙、丙三人被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒有影響，甲和乙被錄取的概率為，甲和丙被錄取的概率為，乙和丙被錄取的概率為，則他們?nèi)酥星∮袃扇吮讳浫〉母怕蕿椤菊骖}演練】1.(2021高考全國全國卷甲卷)將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有5種排法，若2個0不相鄰，則有10種排法，所以2個0不相鄰的概率為．故選C．2.(2020-2021學年湖南師范大學附屬中學高一下學期期末)隨機拋鄭兩枚均勻骰子，觀察得到的點數(shù)，則得到的兩個骰子的點數(shù)之和能被3整除的概率是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】隨機拋鄭兩枚均勻骰子的所有結(jié)果如下表：1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)共36個不同結(jié)果，它們等可能，得到的兩個骰子的點數(shù)之和能被3整除的有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12個，所以所求概率為.故選D3．(2022學年北京市清華大學附屬中學朝陽學校高一5月月考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(

)A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個紅球與都是紅球C．至少有一個黑球與至少有1個紅球D．恰有1個黑球與恰有2個黑球【答案】D【解析】對于A：至少有一個黑球與都是黑球，其中至少有一個黑球包含1個黑球和2個黑球，而都是黑球即為2個黑球，所以既不互斥，更不對立.故A錯誤；對于B：至少有一個紅球與都是紅球，其中至少有一個紅球包含1個紅球和2個紅球，而都是紅球即為2個紅球，所以既不互斥，更不對立.故B錯誤；對于C：至少有一個黑球與至少有1個紅球都包含1個黑球和1個紅球這種情況，所以既不互斥，更不對立.故C錯誤；對于D：恰有1個黑球即為1個黑球和1個紅球，而恰有2個黑球為2個黑球，所以恰有1個黑球與恰有2個黑球為互斥事件，而基本事件還包括2個紅球的情況，所以恰有1個黑球與恰有2個黑球不是對立事件.故D正確.故選D4.(多選)(2022學年江西省景德鎮(zhèn)一中高一下學期期中)已知袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3次，則下列事件的概率不為的是(

)A．顏色相同 B．顏色不全相同 C．顏色全不相同 D．無紅球【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，有放回的取3次，共有3×3×3=27種情況，即(黃，黃，黃)，(黃，白，黃)，(黃，黃，白)，(黃，紅，黃)，……，由古典概型計算：A選項，顏色相同的情況有3種，故概率為，不為；B選項，顏色不全相同與顏色相同是對立事件，故其概率為；C選項，顏色全不相同，即黃，紅，白各有一次，共有6種情況，故概率為，不為；D選項，無紅球，即三次都是黃或白球，共有8種情況，故其概率為，不為.故選ACD5.(多選甘肅省蘭州第一中學高一下學期期中)(2022學年)已知事件A，B，且，則(

)A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨立，那么D．如果A與B相互獨立，那么【答案】ABD【解析】如果，那么，，故A正確；如果A與互斥，那么，，故B正確；如果A與相互獨立，那么，，故C錯誤；如果A與相互獨立，那么，故D正確；故選ABD6.(2022學年黑龍江省佳木斯市第一中學高一下學期期中)若隨機事件A、B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意，，即，解得．7．(2022學年河南省南陽地區(qū)高一3月階段檢測)某農(nóng)戶要種植甲、乙兩種蔬菜，需要先播種培育成苗，然后再進行移栽．已知甲、乙兩種蔬菜培育成苗的概率分別為0.5，0.6，移栽后成活的概率分別為0.6，0.8，則恰好有一種蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率為______．【答案】0.492【解析】記“甲種蔬菜能培育成苗且移栽成活”為事件A，“乙種蔬菜能培育成苗且移栽成活”為事件B，則，，，，故恰好有一種蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率為．8.(2022學年河北省邢臺市南和區(qū)第一中學高一下學期第四次月考)高一某班計劃從6名學生中選出2名學生參加學校的羽毛球比賽.已知這6名學生中有3名男生和3名女生.(1)求參加比賽的學生中恰有1名男生的概率；(2)求參加比賽的學生中至少有1名女生的概率.【解析】(1)設3名男生分別為，，，3名女生分別為，，.這個試驗的樣本空間可記為，共包含15個樣本點.設事件“參加比賽的學生中恰有1名男生”，則，共包含9個樣本點，所以.(2)設“參加比賽的學生中至少有1名女生”為事件，則，共包含12個樣本點，所以.【過關檢測】1.(2022學年吉林省長春市第二實驗中學高一下學期期中)袋子中裝有大小相同2個紅球，4個藍球，攪拌均勻后從中隨機摸出3個球，現(xiàn)在用數(shù)字0，1表示紅球，數(shù)字2，3，4，5表示藍球，通過計算器隨機模擬10次該試驗，得到如下數(shù)據(jù)：024234213012034125035345134304三個數(shù)為一組，代表摸到三個球的結(jié)果，以此估計，摸到三個球都是藍球的概率為(

)A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】A【解析】摸到三個球都是籃球的有234，345，估計摸到三個球都是藍球的概率為.故選A2.(2022學年遼寧省縣級重點高中協(xié)作體高一下學期期中)從3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者參加社區(qū)核酸檢測秩序管理工作，則至少有1名女性志愿者參加的概率為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】將3名男性志愿者分別設為a，b，c，2名女性志愿者分別設為d，e，這個實驗的樣本空間可記為，共包含10個樣本點，記事件A為至少有1名女性志愿者參加，則，A包含的樣本點個數(shù)為7，所以．故選D．3.(2022學年廣東深圳市龍崗區(qū)德琳學校高一下學期期中)設A，B是兩個概率大于0的隨機事件，則下列論述正確的是(

)A．若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1B．事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1C．若A和B互斥，則A和B一定相互獨立D．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)【答案】A【解析】A.若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，所以該選項正確；B.事件A，B，C兩兩互斥，如:投擲一枚均勻的骰子，設{向上的點數(shù)是1點}，{向上的點數(shù)是2點}，{向上的點數(shù)是3點}，則A，B，C兩兩互斥，,P(A)＋P(B)＋P(C)＜1,所以該選項錯誤；C.若A和B互斥，則，則A和B一定不相互獨立，所以該選項錯誤；D.只有當A和B互斥時，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以該選項錯誤.故選A4.(多選)(2022學年遼寧省朝陽市凌源市高一下學期第二次聯(lián)考)從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出1個紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個球，則(

)A．2個球不都是紅球的概率是 B．2個球都是紅球的概率是C．至少有1個紅球的概率是 D．2個球中恰好有1個紅球的概率是【答案】BCD【解析】對于A，2個球不都是紅球的概率為，故A不正確；對于B，2個球都是紅球的概率為，故B正確；對于C，至少有一個紅球的概率為，故C正確；對于D，兩個球中恰好有一個紅球的概率為，故D正確.故選BCD5.(多選)(2022學年江西省部分名校高一下學期期中)連擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，記，則下列結(jié)論正確的是(

)A．事件“”的概率與事件“”的概率相等B．事件“”的概率小于事件“”的概率C．事件“或”與事件“t是質(zhì)數(shù)”是對立事件D．事件“t是奇數(shù)”與事件“t是2的倍數(shù)”是對立事件【答案】AD【解析】列表如下：123456101234521012343210123432101254321016543210由表可知事件“”的概率是是，事件“”的概率是是，則A正確．事件“”的概率是，事件“”的概率是，則B錯誤．由題意可知t的所有可能取值為0，1，2，3，4，5．因為1不是質(zhì)數(shù)，所以事件“或”與事件“t是質(zhì)數(shù)”是互斥事件，但不是對立事件，則C錯誤．事件“t是奇數(shù)”與事件“t是2的倍數(shù)”是對立事件，則D正確．故選AD6.(2022學年河南省南陽市高一上學期12月月考)現(xiàn)從3男3女共6名學生中隨機抽取2人進行座談，則這2人中至少有一名女生的概率為___________.【答案】【解析】記男生為，女生為，從中任取人有：，共種方法.其中至少有名女生的有：，共種，所以這2人中至少有一名女生的概率為.7.某同學進行投籃訓練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別，，，該同學站在這三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值為________.【答案】【解析】該同學在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為：，解得．8.在一個口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個白球和3個紅球，若不放回的依次從口袋中每次摸出一個球，直到摸出2個紅球就停止，則連續(xù)摸4次停止的概率等于______．【答案】【解析】由題意知，連續(xù)依次摸出的4個球分別是：白白紅紅，白紅白紅，紅白白紅共3種情況，第一種摸出“白白紅紅”的概率為，第二種摸出“白紅白紅”的概率為，第三種摸出“紅白白紅”